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第五讲 平面向量的数量积
【学习目标】
1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功.
2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义.
3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直．
4.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式.
5.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明．
【知识总结】
知识点一　向量的夹角
两个向量夹角的定义
(1)已知两个非零向量a，b，作＝a，＝b，则∠AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a，b〉，并规定它的范围是0≤〈a，b〉≤π.21cnjy.com
在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并且有〈a，b〉＝〈b，a〉．
(2)当〈a，b〉＝时，我们说向量a和向量b互相垂直，记作a⊥b.
知识点二　向量在轴上的正射影
　向量在轴上的正射影
已知向量a和轴l(如图)．
作＝a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足 ( http: / / www.21cnjy.com )分别为O1，A1，则向量叫做向量a在轴l上的正射影(简称射影)，该射影在轴l上的坐标，称作a在轴l上的数量或在轴l的方向上的数量.＝a在轴l上正射影的坐标记作al，向量a的方向与轴l的正向所成的角为θ，则由三角函数中的余弦定义有al＝|a|cos θ.
知识点三　向量的数量积(内积)
向量数量积的定义
|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
知识点四　向量数量积的性质
两个向量内积有如下重要性质
(1)如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝|a|cos〈a，e〉(a≠0)．
(2)a⊥b a·b＝0，且a·b＝0 a⊥b(a≠0，b≠0)．
(3)a·a＝|a|2或|a|＝.
(4)cos〈a，b〉＝(|a||b|≠0)．
(5)|a·b|≤|a||b|.
知识点五　平面向量数量积的运算律
类比实数的运算律，判断下表中的平面向量数量积的运算律是否正确.
运算律 实数乘法 向量数量积 判断正误
交换律 ab＝ba a·b＝b·a 正确
结合律 (ab)c＝a(bc) (a·b)c＝a(b·c) 错误
分配律 (a＋b)c＝ac＋bc (a＋b)·c＝a·c＋b·c 正确
消去律 ab＝bc(b≠0) a＝c a·b＝b·c(b≠0) a＝c 错误
知识点六　平面向量数量积的运算性质
类比多项式乘法的乘法公式，写出下表中的平面向量数量积的运算性质.
多项式乘法 向量数量积
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 (a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2
(a－b)2＝a2－2ab＋b2 (a－b)2＝a2－2a·b＋b2
(a＋b)(a－b)＝a2－b2 (a＋b)·(a－b)＝a2－b2
(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a
【题型讲解】
类型一　求两向量的数量积
例1　已知|a|＝4，|b|＝5，a与b的夹角为θ，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为30°时，分别求a与b的数量积．21世纪教育网版权所有
解　(1)当a∥b时，若a与b同向，则θ＝0°，
a·b＝|a||b|cos 0°＝4×5＝20；
若a与b反向，则θ＝180°，
∴a·b＝|a||b|cos 180°＝4×5×(－1)＝－20.
(2)当a⊥b时，θ＝90°，∴a·b＝|a||b|cos 90°＝0.
(3)当a与b的夹角为30°时，a·b＝|a||b|cos 30°
＝4×5×＝10.
反思与感悟　求平面向量数量积的步骤：(1 ( http: / / www.21cnjy.com ))求a与b的夹角θ，θ∈[0°，180°]；(2)分别求|a|和|b|；(3)求数量积，即a·b＝|a||b|cos θ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去．21教育网
跟踪训练1　已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60° ，则·等于(　　)
A．－a2 B．－a2
C.a2 D.a2
答案　D
解析　如图所示，
由题意，得BC＝a，CD＝a，∠BCD＝120°.
∴·＝(＋)·
＝·＋2
＝a·a·cos 60°＋a2
＝a2.
类型二　求向量的模
例2　已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角θ为，求|a＋b|，|a－b|.
解　a·b＝|a||b|cos θ＝5×5×＝.
|a＋b|＝＝
＝＝5.
|a－b|＝＝
＝＝5.
引申探究
若本例中条件不变，求|2a＋b|，|a－2b|.
解　a·b＝|a||b|cos θ＝5×5×＝，
|2a＋b|＝＝
＝＝5.
|a－2b|＝＝
＝＝5.
反思与感悟　此类求解向量模的问题就是要灵活应用a2＝|a|2，即|a|＝，勿忘记开方．
跟踪训练2　已知|a|＝|b|＝5，且|3a－2b|＝5，求|3a＋b|的值．
解　∵|3a－2b|2＝9|a|2－12a·b＋4|b|2
＝9×25－12a·b＋4×25＝325－12a·b，
∵|3a－2b|＝5，∴325－12a·b＝25，
∴a·b＝25.
∴|3a＋b|2＝(3a＋b)2
＝9a2＋6a·b＋b2＝9×25＋6×25＋25＝400，
故|3a＋b|＝20.
类型三　求向量的夹角
例3　设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角．
解　∵|n|＝|m|＝1且m与n的夹角是60°，
∴m·n＝|m||n|cos 60°＝1×1×＝.
|a|＝|2m＋n|＝＝
＝＝，
|b|＝|2n－3m|＝＝
＝＝，
a·b＝(2m＋n)·(2n－3m)＝m·n－6m2＋2n2
＝－6×1＋2×1＝－.
设a与b的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝－.
又∵θ∈[0，π]，∴θ＝，故a与b的夹角为.
反思与感悟　当求向量夹角时，应先根据公式把涉及到的量先计算出来再代入公式求角，注意向量夹角的范围是[0，π]．21·cn·jy·com
跟踪训练3　已知a·b＝－9，a在b方向上的正射影的数量为－3，b在a方向上的正射影的数量为－，求a与b的夹角θ.www.21-cn-jy.com
解　∵　∴
即∴
∴cos θ＝＝＝－.
又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.
类型四　向量数量积的运算性质
例4　给出下列结论：①若a≠0，a·b＝ ( http: / / www.21cnjy.com )0，则b＝0；②若a·b＝b·c，则a＝c；③(a·b)c＝a(b·c)；④a·[b(a·c)－c(a·b)]＝0，其中正确结论的序号是________．【来源：21·世纪·教育·网】
答案　④
解析　因为当两个非零向量a，b垂直时，a·b＝0，故①不正确；
当a＝0，b⊥c时，a·b＝b·c＝0，但不能得出a＝c，故②不正确；
向量(a·b)c与c共线，a(b·c)与a共线，故③不正确；
a·[b(a·c)－c(a·b)]
＝(a·b)(a·c)－(a·c)(a·b)＝0，故④正确．
反思与感悟　向量的数量积a·b与实数a， ( http: / / www.21cnjy.com )b的乘积a·b有联系，同时有许多不同之处．例如，由a·b＝0并不能得出a＝0或b＝0.特别是向量的数量积不满足结合律．2·1·c·n·j·y
跟踪训练4　设a，b，c是任意的非零向量，且互不平行，给出以下说法：
①(a·b)·c－(c·a)·b＝0；
②(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直；
③(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.
其中正确的是________．(填序号)
答案　③
解析　(a·b)·c表示与向量c ( http: / / www.21cnjy.com )共线的向量，(c·a)·b表示与向量b共线的向量，而b，c不共线，所以①错误；由[(b·c)·a－(c·a)·b]·c＝0知，(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，故②错误；向量的乘法运算符合多项式乘法法则，所以③正确．21·世纪*教育网
类型五　平面向量数量积有关的参数问题
命题角度1　已知向量垂直求参数值
例5　已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)·b，且b⊥c，则t＝________.
答案　2
解析　由题意，将b·c＝b·[ta＋(1－t)b]＝0整理，
得ta·b＋(1－t)＝0，又a·b＝，所以t＝2.
反思与感悟　由两向量垂直求参数一般是利用性质：a⊥b a·b＝0.
跟踪训练5　已知|a|＝3，|b|＝2，向量a，b的夹角为60°，c＝3a＋5b，d＝ma－3b，求当m为何值时，c与d垂直．www-2-1-cnjy-com
考点　平面向量数量积的应用
题点　已知向量夹角求参数
解　由已知得a·b＝3×2×cos 60°＝3.
若c⊥d，则c·d＝0，
∴c·d＝(3a＋5b)·(ma－3b)＝3ma2＋(5m－9)a·b－15b2＝27m＋3(5m－9)－60＝42m－87＝0，
∴m＝，即当m＝时，c与d垂直．
命题角度2　由两向量夹角的取值范围求参数的取值范围
例6　已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，若向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角， 则k的取值范围为________．2-1-c-n-j-y
答案　(0,1)∪(1，＋∞)
解析　∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，
∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)
＝ke＋ke＋(k2＋1)e1·e2
＝2k>0，∴k>0.
但当k＝1时，e1＋ke2＝ke1＋e2，它们的夹角为0，不符合题意，舍去．
综上，k的取值范围为k>0且k≠1.
反思与感悟　由两向量夹角θ的取值范围，求参数的取值范围，一般利用以下结论：对于非零向量a，b，θ∈ a·b>0，θ∈ a·b<0.21*cnjy*com
跟踪训练6　设两个向量e1 ( http: / / www.21cnjy.com )，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．【来源：21cnj*y.co*m】
解　设向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为θ.
根据题意，得cos θ＝<0，
∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0.
化简，得2t2＋15t＋7<0，解得－7当θ＝π时，也有(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，但此时夹角不是钝角．
设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，λ<0，
则∴
∴实数t的取值范围是∪.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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