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第四讲 向量的数乘运算
【学习目标】
1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义.
2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算
3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题．
【知识总结】
知识点一　数乘向量的定义
(1)定义：实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且λa的长|λa|＝|λ||a|.
λa(a≠0)的方向
当λ＝0或a＝0时，0a＝0或λ0＝0.
(2)λa中的实数λ，叫做向量a的系数．数乘向量的几何意义就是把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小．21世纪教育网版权所有
知识点二　向量数乘的运算律
向量数乘运算律
(1)λ(μa)＝(λμ)a.
(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa.
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.
知识点三　向量的线性运算
向量的加法、减法和数乘向量的综合运算，通常叫做向量的线性运算．
【题型讲解】
类型一　数乘向量概念的理解
例1　已知a，b是两个非零向量，判断下列各命题的对错，并说明理由：
(1)2a的方向与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍；
(2)－2a的方向与5a的方向相反，且－2a的模是5a的模的；
(3)－2a与2a是一对相反向量；
(4)a－b与－(b－a)是一对相反向量；
(5)若a，b不共线，则λa与b不共线．
解　(1)正确．∵2>0，∴2a与a同向，且|2a|＝2|a|.
(2)正确．∵5>0，∴5a与a同向，且|5a|＝5|a|.
∵－2<0，∴－2a与a反向，且|－2a|＝2|a|.
(3)正确．
(4)错误．－(b－a)＝－b＋a＝a－b.
(5)错误．若λ＝0，则0a＝0,0与任意向量共线．
反思与感悟　对数乘运算的理解，关 ( http: / / www.21cnjy.com )键是对实数的作用的认识，当λ>0时，λa与a同向，模是|a|的λ倍；当λ<0时，λa与a反向，模是|a|的－λ倍；当λ＝0时，λa＝0.21教育网
跟踪训练1　设a是非零向量，λ是非零实数，则下列结论正确的是(　　)
A．a与－λa的方向相反 B．|－λa|≥|a|
C．a与λ2a的方向相同 D．|－λa|＝|λ|a
答案　C
解析　当λ＜0时，a与－λa方向相同，故A错；
当|λ|＜1时，|－λa|≤|a|，故B错；
|－λa|＝|λ||a|，故D错；
∵λ≠0，∴λ2＞0，∴a与λ2a的方向相同，故选C.
类型二　向量的线性运算
例2　(1)化简：[2(2a＋4b)－4(5a－2b)]．
解　[2(2a＋4b)－4(5a－2b)]
＝(4a＋8b－20a＋8b)
＝(－16a＋16b)
＝－4a＋4b.
(2)已知向量为a，b，未知向量为x，y，向量a，b，x，y满足关系式3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，求向量x，y.21cnjy.com
解　因为
由①×3＋②×2，得x＝3a＋2b，
代入①得3×(3a＋2b)－2y＝a，即y＝4a＋3b.
所以x＝3a＋2b，y＝4a＋3b.
反思与感悟　(1)向量的数 ( http: / / www.21cnjy.com )乘运算类似于代数多项式的运算，例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在实数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数．21·cn·jy·com
(2)向量也可以通过列方程和方程组求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算．
跟踪训练2　(1)计算：(a＋b)－3(a－b)－8a.
解　(a＋b)－3(a－b)－8a＝(a－3a)＋(b＋3b)－8a
＝－2a＋4b－8a＝－10a＋4b.
(2)若2－(c＋b－3y)＋b＝0，其中a，b，c为已知向量，则未知向量y＝________.
答案　a－b＋c
解析　因为2－(c＋b－3y)＋b＝0，
3y－a＋b－c＝0，所以y＝a－b＋c.
类型三　用已知向量表示其他向量
例3　在△ABC中，若点D满足＝2，则等于(　　)
A.＋ B.－
C.－ D.＋
答案　D
解析　示意图如图所示，
由题意可得＝＋
＝＋
＝＋(－)＝＋.
反思与感悟　用已知向量表示未知向量的求解思路
(1)先结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中．
(2)然后结合向量的三角形法则或平行四边形法则及向量共线定理用已知向量表示未知向量．
(3)当直接表示比较困难时，可以利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．www.21-cn-jy.com
跟踪训练3　如图，在△ABC中，D，E为边AB的两个三等分点，＝3a，＝2b，求，.
解　∵＝3a，＝2b，
∴＝－＝2b－3a.
又∵D，E为边AB的两个三等分点，
∴＝＝b－a，
∴＝＋＝3a＋b－a＝2a＋b，
＝＋＝3a＋＝3a＋(2b－3a)＝a＋b.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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