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第七讲 平面向量的正交分解及坐标表示
【学习目标】
1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.
2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.
3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来．
【知识总结】
知识点一　平面向量的正交分解
如果基底的两个基向量e1，e2互相垂直，则称这个基底为正交基底．在正交基底下分解向量，叫做正交分解．21世纪教育网版权所有
知识点二　平面向量的坐标表示
(1)基底：在直角坐标系xOy内，分别取 ( http: / / www.21cnjy.com )与x轴和y轴方向相同的两个单位向量e1，e2.这时，我们就在坐标平面内建立了一个正交基底{e1，e2}．这个基底也叫做直角坐标系xOy的基底．21·cn·jy·com
(2)坐标分量：在坐标平面xOy ( http: / / www.21cnjy.com )内，任作一向量a(用有向线段表示)，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(a1，a2)，使得a＝a1e1＋a2e2，(a1，a2)就是向量a在基底{e1，e2}下的坐标，即a＝(a1，a2)，其中a1叫做向量a在x轴上的坐标分量，a2叫做a在y轴上的坐标分量．www.21-cn-jy.com
(3)若＝xe1＋ye2＝(x，y)，则的坐标(x，y) 点A的坐标(x，y)．
知识点三　平面向量的坐标运算
(1)若a＝(a1，a2)，b＝(b1 ( http: / / www.21cnjy.com )，b2)，则a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2)，a－b＝(a1－b1，a2－b2)，λa＝λ(a1，a2)＝(λa1，λa2)．即两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差；数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积．【来源：21·世纪·教育·网】
(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)．即一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标．21·世纪*教育网
(3)在直角坐标系xOy中，已知点A(x1，y1)，点B(x2，y2)．则线段AB中点的坐标为.
【题型讲解】
类型一　平面向量的坐标表示
例1　如图，在平面直角坐标系xOy中，O ( http: / / www.21cnjy.com )A＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，＝a，＝b.四边形OABC为平行四边形．www-2-1-cnjy-com
(1)求向量a，b的坐标；
(2)求向量的坐标；
(3)求点B的坐标．
解　(1)作AM⊥x轴于点M，
则OM＝OA·cos 45°
＝4×＝2，
AM＝OA·sin 45°
＝4×＝2.
∴A(2，2)，故a＝(2，2)．
∵∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°，
∴∠COy＝30°.
又∵OC＝AB＝3，
∴C，∴＝＝，
即b＝.
(2)＝－＝.
(3)＝＋＝(2，2)＋
＝.
即点B的坐标为.
反思与感悟　在表示点、向量的坐标时，可利用向量的相等、加减法运算等求坐标，也可以利用向量、点的坐标的定义求坐标．21cnjy.com
跟踪训练1　已知边长为2的正 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形ABC，顶点A在坐标原点，AB边在x轴上，点C在第一象限，D为AC的中点，分别求向量，，，的坐标．2-1-c-n-j-y
解　如图，
正三角形ABC的边长为2，则顶点A(0,0)，B(2,0)，
C(2cos 60°，2sin 60°)，
∴C(1，)，D.
∴＝(2,0)，＝(1，)，
＝(1－2，－0)＝(－1，)，
＝＝.
类型二　平面向量的坐标运算
例2　已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c.
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n的值；
解　由已知，得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)
＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝a＝(5，－5)，
∴解得
反思与感悟　向量坐标运算的方法
(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．
(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．
(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．
跟踪训练2　已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求：
(1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)a－b.
解　(1)2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1)
＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)．
(2)a－3b＝(－1,2)－3(2,1)
＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1)．
(3)a－b＝(－1,2)－(2,1)
＝－＝.
类型三　平面向量坐标运算的应用
例3　已知点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)．若＝＋λ(λ∈R)，试求当λ为何值时：
(1)点P在第一、三象限的角平分线上；
(2)点P在第三象限内．
解　设点P的坐标为(x，y)，
则＝(x，y)－(2,3)＝(x－2，y－3)，
＋λ＝(5,4)－(2,3)＋λ[(7,10)－(2,3)]
＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ)．
∵＝＋λ，
∴则
(1)若点P在第一、三象限的角平分线上，
则5＋5λ＝4＋7λ，∴λ＝.
(2)若点P在第三象限内，则∴λ<－1.
反思与感悟　(1)待定系 ( http: / / www.21cnjy.com )数法是最基本的数学方法之一，实质是先将未知量设出来，建立方程(组)求出未知数的值，是待定系数法的基本形式，也是方程思想的一种基本应用．21教育网
(2)坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量．由此可建立相等关系求某些参数的值．2·1·c·n·j·y
跟踪训练3　已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．
答案　－3
解析　∵a＝(2,1)，b＝(1，－2)，
∴ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，
即解得
故m－n＝2－5＝－3.
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