资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
专题06 填空题技法攻略
【题型概述】
填空题是一种只要求写出结 ( http: / / www.21cnjy.com )论，不要求解答过程的客观性试题，有小巧灵活、覆盖面广、跨度大等特点，突出考查准确、严谨、灵活运用知识的能力．根据填空时所填写的内容形式，可以将填空题分成两种类型：21世纪教育网版权所有
(1)定量型，要求考生填写数值、数集或数量关系，如方程的解、不等式的解集、函数的定义域、值域、最大值或最小值、线段长度、角度大小等．21·cn·jy·com
(2)定性型，要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定数学对象的某种性质，如填写给定二次曲线的焦点坐标、离心率等.【来源：21·世纪·教育·网】
【技法指导】
方法一　直接法
直接法就是直接从题设出发，利用有关性 ( http: / / www.21cnjy.com )质或结论，通过巧妙地变形，直接得到结果的方法．要善于透过现象抓本质，有意识地采取灵活、简捷的方法解决问题．直接法是求解填空题的基本方法．
【典例1】　(2017·全国卷 ( http: / / www.21cnjy.com )Ⅰ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为________．
[解析]　双曲线的右顶点为A(a,0) ( http: / / www.21cnjy.com )，一条渐近线的方程为y＝x，即bx－ay＝0，圆心A到此渐近线的距离d＝＝，因为∠MAN＝60°，圆的半径为b，所以b·sin60°＝，即＝，所以e＝＝.
[答案]　
直接法求解填空题的关键
利用直接法求解填空题要根据题目的要求灵活处 ( http: / / www.21cnjy.com )理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解填空题的关键．21·世纪*教育网
【训练】1．已知向量a＝(1,3)，b＝(－2，k)，且(a＋2b)∥(3a－b)，则实数k＝________.
方法二　特例法
当填空题已知条件中含有某些不确定 ( http: / / www.21cnjy.com )的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值(特殊函数，特殊角，特殊数列，图形特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等)进行处理，从而得出待求的结论．这样可大大地简化推理、论证的过程．21cnjy.com
【典例2】　cos2α＋cos2(α＋120°)＋cos2(α＋240°)的值为________．
[解析]　令α＝0，则原式＝cos20＋cos2120°＋cos2240°＝.
[答案]　
特例法求解填空题的技巧
求值或比较大小等问题的求解均可利 ( http: / / www.21cnjy.com )用特例法，但要注意此种方法仅限于求解结论只有一种的填空题，对于开放性的问题或者有多种答案的填空题，则不能使用该种方法求解．21*cnjy*com
【训练】2．设坐标原点为O，抛物线y2＝2x与过焦点的直线交于A，B两点，则·＝________.
方法三　图解法(数形结合法)
对于一些含有几何背景的填空题，若能根 ( http: / / www.21cnjy.com )据题目中的条件，作出符合题意的图形，并通过对图形的直观分析、判断，即可快速得出正确结果．这类问题的几何意义一般较为明显，如一次函数的斜率和截距、向量的夹角、解析几何中两点间距离等，求解的关键是明确几何含义，准确规范地作出相应的图形．
【典例3】　(2017·贵阳模拟)若不等式|x－2a|≥x＋a－1对x∈R恒成立，则a的取值范围是________．
[解析]　作出y＝|x－2a|和y＝x＋a－1的简图，依题意知应有2a≤2－2a，故a≤.
[答案]　
图解法求解填空题的要点
图解法可直观快捷得到问题的结论，充分应用了图形的直观性，数中思形，以形助数，应用时要准确把握各种数式和几何图形中变量之间的关系．www-2-1-cnjy-com
【训练】3．已知点P(x，y)的坐标x，y满足则x2＋y2－6x＋9的取值范围是________．
方法四　构造法
构造型填空题的求解，需要利用已知条件和 ( http: / / www.21cnjy.com )结论的特殊性构造出新的数学模型，从而简化推理与计算过程，使较复杂的数学问题得到简捷的解决，它来源于对基础知识和基本方法的积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到过的类似问题中寻找灵感，构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模型，使问题快速解决．2·1·c·n·j·y
【典例4】　(2017·安徽淮北二 ( http: / / www.21cnjy.com )模)中国古代数学经典《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑(biē nào)．若三棱锥P－ABC为鳖臑，且PA⊥平面ABC，PA＝AB＝2，又该鳖臑的外接球的表面积为24π，则该鳖臑的体积为________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
[解析]　由题意，该鳖臑实质就是四个面都为直角三角形的三棱锥．
设该鳖臑的外接球半径为R，则由已知可得24π＝4πR2，即R2＝6.
由PA2＋AB2＋BC2＝(2R)2，得4＋4＋BC2＝24，解得BC＝4.
故该鳖臑的体积为V＝×2××2×4＝.
[答案]　
[探究追问]　将本例改为如图为一个阳马与 ( http: / / www.21cnjy.com )一个鳖臑的组合体，已知三棱锥P－ADE为鳖臑，且PA⊥平面ABCE，AD＝CD＝2，ED＝1，该鳖臑的外接球的表面积为9π，则阳马P－ABCD的外接球体积为(　　)
A．4π B．4π
C．2π D．2π
[解析]　由题意得，在三棱锥P－ADE中，ED⊥DA，又PA⊥平面ABCE，所以其外接球的直径2r＝PE.
设PA＝x，则2r＝＝＝.
由该鳖臑的外接球的表面积S＝4πr2＝π(x2＋5)＝9π，得x＝2.
易知阳马P－ABCD的外接球直径2R＝PC，
即2R＝＝＝2，所以R＝.
故阳马P－ABCD的外接球的体积V＝πR3＝π×()3＝4π.
[答案]　B
(1)构造法求解填空题的技巧
构造法实质上是化归与转化思想在 ( http: / / www.21cnjy.com )解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向，通过构造新的函数、不等式、数列、空间几何体等新的模型，从而转化为自己熟悉的问题．
(2)本例中根据“鳖臑”的几何特征，可知AB ( http: / / www.21cnjy.com )与AC不垂直，只有AB⊥BC时，三棱锥的四个面才能都是直角三角形．在确定其外接球的直径时，可依据球的直径的两端点与球面上任意一点所组成的角都是直角，直接找出其直径PC；当然，也可以把“鳖臑”补成一个长方体，可更为直观地找出外接球的直径．在探究追问中，“阳马”与“鳖臑”的外接球都是用构造法找出外接球的直径．21教育网
【训练】4．若定义在R上的函数f( ( http: / / www.21cnjy.com )x)满足f(x)＋f′(x)>1，f(0)＝4，则不等式f(x)>＋1(e为自然对数的底数)的解集为________．【来源：21cnj*y.co*m】
方法五　归纳推理法
做关于归纳推理的填空题的时 ( http: / / www.21cnjy.com )候，一般是由题目的已知可以得出几个结论(或直接给出了几个结论)，然后根据这几个结论可以归纳出一个更一般性的结论，再利用这个一般性的结论来解决问题．归纳推理是从个别或特殊认识到一般性认识的推演过程，这里可以大胆地猜想．【出处：21教育名师】
【典例5】　(2017·沧 ( http: / / www.21cnjy.com )州联考)在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说：“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”．四个人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是________．【版权所有：21教育】
[解析]　若负主要责任的人 ( http: / / www.21cnjy.com )是甲，则甲、乙、丙说的都是假话，只有丁说的是真话，符合题意；若负主要责任的人是乙，则甲、丙、丁说的都是真话，不合题意；若负主要责任的人是丙，则乙、丁说的都是真话，不合题意；若负主要责任的人是丁，则甲、乙、丙、丁说的都是假话，不合题意．故该事故中需要负主要责任的人是甲．21*cnjy*com
[答案]　甲
归纳推理法求解填空题的技巧
归纳推理法多用于新定义型填 ( http: / / www.21cnjy.com )空题，只要能读懂题意，认真归纳类比即可得出结论，但在推理过程中要严格按照定义的法则或相关的定理进行，关键是找准归纳的对象．
【训练】5．观察下列式子： ( http: / / www.21cnjy.com )1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，…，由以上可推测出一个一般性结论：对于n∈N*,1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝________.www.21-cn-jy.com
方法六　正反互推法
多选型问题给出多个命题或结论，要求从中选出所 ( http: / / www.21cnjy.com )有满足条件的命题或结论．这类问题要求较高，涉及图形、符号和文字语言，要准确阅读题目，读懂题意，通过推理证明，命题或结论之间互反互推，相互印证，也可举反例判断错误的命题或结论．
【典例6】　(2017·全国卷Ⅲ)a，b ( http: / / www.21cnjy.com )为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：
①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；
②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；
③直线AB与a所成角的最小值为45°；
④直线AB与a所成角的最大值为60°.
其中正确的是________．(填写所有正确结论的编号)
[解析]　由题意，AB是以AC为轴，BC ( http: / / www.21cnjy.com )为底面半径的圆锥的母线，又AC⊥a，AC⊥b，AC⊥圆锥底面，∴在底面内可以过点B，作BD∥a，交底面圆C于点D，如图所示，连接DE，则DE⊥BD，∴DE∥b，连接AD，设BC＝1，在等腰△ABD中，AB＝AD＝，当直线AB与a成60°角时，∠ABD＝60°，故BD＝，又在Rt△BDE中，BE＝2，∴DE＝，2-1-c-n-j-y
过点B作BF∥DE，交圆C于点F，连接AF，EF，∴BF＝DE＝，
∴△ABF为等边三角形，∴∠ABF＝60°，即AB与b成60°角，故②正确，①错误．
由最小角定理可知③正确；很明显，可以满足平面ABC⊥直线a，∴直线AB与a所成角的最大值为90°，④错误．21教育名师原创作品
∴正确的说法为②③.
[答案]　②③
正反互推法求解填空题的技巧
正反互推法适用于多选型问题 ( http: / / www.21cnjy.com )，这类问题一般有两种形式，一是给出总的已知条件，判断多种结论的真假；二是多种知识点的汇总考查，主要覆盖考点功能．两种多选题在处理上不同，前者需要扣住已知条件进行分析，后者需要独立利用知识逐项进行判断．利用正反互推结合可以快速解决这类问题．
【训练】6．若函数y＝f(x)对定义域D内 ( http: / / www.21cnjy.com )的每一个x1，都存在唯一的x2∈D，使得f(x1)·f(x2)＝1成立，则称f(x)为“自倒函数”，给出下列四个命题：
①f(x)＝sinx＋是自倒函数；
②自倒函数f(x)的值域可以是R；
③自倒函数f(x)可以是奇函数；
④若y＝f(x)，y＝g(x)都是自倒函数，且定义域相同，则y＝f(x)·g(x)也是自倒函数．
则以上命题正确的是________(写出所有正确命题的序号)．
【强化训练】
1．[直接法]对于锐角α，若sin＝，则cos＝________.
2．[直接法]已知(1－2x)5(1＋ax)4的展开式中x的系数为2，则实数a的值为________．
3．[特例法]已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则的值是________．
4．[特例法]如图，在三棱锥O－ABC中 ( http: / / www.21cnjy.com )，三条棱OA，OB，OC两两垂直，且OA>OB>OC，分别经过三条棱OA，OB，OC作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为S1，S2，S3，则S1，S2，S3的大小关系为________．
5．[图解法]设方程＝|lgx|的两个根为x1，x2，则x1·x2的取值范围________．
6．[图解法]不等式－kx＋1≤0的解集非空，则k的取值范围为________．
7．[构造法]如图，已知球O的球面上有四点A ( http: / / www.21cnjy.com )，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝，则球O的体积等于________．
8．[构造法]已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1，则{an}的通项公式为________．
9．[归纳推理法](2017·辽宁丹东联考 ( http: / / www.21cnjy.com ))已知“整数对”按如下规律排列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第70个“整数对”为________．
10．[归纳推理法]若直角三角形的 ( http: / / www.21cnjy.com )两直角边为a、b，斜边c上的高为h，则＝＋.类比以上结论，如图，在正方体的一角上截取三棱锥P－ABC，PO为该棱锥的高，记M＝，N＝＋＋，那么M，N的大小关系是M________N．(填>，<或＝)
11．[正反互推法]给出以下命题：
①双曲线－x2＝1的渐近线方程为y＝±x；
②命题p：“ x∈R＋，sinx＋≥2”是真命题；
③已知线性回归方程为＝3＋2x，当变量x增加2个单位，其预报值平均增加4个单位；
④设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，若P(ξ>1)＝0.2，则p(－1<ξ<0)＝0.6.
则正确命题的序号为________(写出所有正确命题的序号)．
12．[正反互推法]已知f(x)为定义在R ( http: / / www.21cnjy.com )上的偶函数，当x≥0时，有f(x＋1)＝－f(x)，且当x∈[0,1)时，f(x)＝log2(x＋1)，给出下列命题：
①f(2016)＋f(－2017)的值 ( http: / / www.21cnjy.com )为0；②函数f(x)在定义域上为周期是2的周期函数；③直线y＝x与函数f(x)的图象有1个交点；④函数f(x)的值域为(－1,1)．其中正确的命题序号有________．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题06 填空题技法攻略
【题型概述】
填空题是一种只要求写出结 ( http: / / www.21cnjy.com )论，不要求解答过程的客观性试题，有小巧灵活、覆盖面广、跨度大等特点，突出考查准确、严谨、灵活运用知识的能力．根据填空时所填写的内容形式，可以将填空题分成两种类型：21世纪教育网版权所有
(1)定量型，要求考生填写数值、数集或数量关系，如方程的解、不等式的解集、函数的定义域、值域、最大值或最小值、线段长度、角度大小等．21教育网
(2)定性型，要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定数学对象的某种性质，如填写给定二次曲线的焦点坐标、离心率等.21·世纪*教育网
【技法指导】
方法一　直接法
直接法就是直接从题设出发，利用有 ( http: / / www.21cnjy.com )关性质或结论，通过巧妙地变形，直接得到结果的方法．要善于透过现象抓本质，有意识地采取灵活、简捷的方法解决问题．直接法是求解填空题的基本方法．
【典例1】　(2017·全国卷Ⅰ)已知 ( http: / / www.21cnjy.com )双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为________．
[解析]　双曲线的右顶点为A(a,0) ( http: / / www.21cnjy.com )，一条渐近线的方程为y＝x，即bx－ay＝0，圆心A到此渐近线的距离d＝＝，因为∠MAN＝60°，圆的半径为b，所以b·sin60°＝，即＝，所以e＝＝.
[答案]　
直接法求解填空题的关键
利用直接法求解填空题要根据题目的要 ( http: / / www.21cnjy.com )求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解填空题的关键．2-1-c-n-j-y
【训练】1．已知向量a＝(1,3)，b＝(－2，k)，且(a＋2b)∥(3a－b)，则实数k＝________.
[解析]　a＋2b＝(－3,3＋2k)，3a－b＝(5,9－k)，由题意可得－3(9－k)＝5(3＋2k)，解得k＝－6.
[答案]　－6
方法二　特例法
当填空题已知条件中含有某些不 ( http: / / www.21cnjy.com )确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值(特殊函数，特殊角，特殊数列，图形特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等)进行处理，从而得出待求的结论．这样可大大地简化推理、论证的过程．21cnjy.com
【典例2】　cos2α＋cos2(α＋120°)＋cos2(α＋240°)的值为________．
[解析]　令α＝0，则原式＝cos20＋cos2120°＋cos2240°＝.
[答案]　
特例法求解填空题的技巧
求值或比较大小等问题的求解均可利用 ( http: / / www.21cnjy.com )特例法，但要注意此种方法仅限于求解结论只有一种的填空题，对于开放性的问题或者有多种答案的填空题，则不能使用该种方法求解．【来源：21·世纪·教育·网】
【训练】2．设坐标原点为O，抛物线y2＝2x与过焦点的直线交于A，B两点，则·＝________.
[解析]　解法一：如图，可取过焦点的直线为x＝，求出交点A，B，所以·＝×＋1×(－1)＝－.21*cnjy*com
解法二：设点A(xA，yA)，点B(xB，yB)，由题意，知p＝1.
设AB的方程为y＝k，联立消去x得ky ( http: / / www.21cnjy.com )2－2y－k＝0∴yAyB＝－1，∴xAxB＝·＝.则·＝(xA，yA)·(xB，yB)＝xAxB＋yAyB＝－1＝－.【来源：21cnj*y.co*m】
[答案]　－
方法三　图解法(数形结合法)
对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目 ( http: / / www.21cnjy.com )中的条件，作出符合题意的图形，并通过对图形的直观分析、判断，即可快速得出正确结果．这类问题的几何意义一般较为明显，如一次函数的斜率和截距、向量的夹角、解析几何中两点间距离等，求解的关键是明确几何含义，准确规范地作出相应的图形．
【典例3】　(2017·贵阳模拟)若不等式|x－2a|≥x＋a－1对x∈R恒成立，则a的取值范围是________．
[解析]　作出y＝|x－2a|和y＝x＋a－1的简图，依题意知应有2a≤2－2a，故a≤.
[答案]　
图解法求解填空题的要点
图解法可直观快捷得到问题的结论，充分应用了图形的直观性，数中思形，以形助数，应用时要准确把握各种数式和几何图形中变量之间的关系．21·cn·jy·com
【训练】3．已知点P(x，y)的坐标x，y满足则x2＋y2－6x＋9的取值范围是________．
[解析]　画出可行域如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，所求的x2＋y2－6x＋9＝(x－3)2＋y2是点Q(3,0)到可行域上的点的距离的平方，由图形知最小值为Q到射线x－y－1＝0(x≥0)的距离d的平方，【版权所有：21教育】
∴d＝2＝()2＝2.
最大值为点Q到点A的距离的平方，
∴d＝16.
∴取值范围是[2,16]．
[答案]　[2,16]
方法四　构造法
构造型填空题的求解，需要利用已知条件和结 ( http: / / www.21cnjy.com )论的特殊性构造出新的数学模型，从而简化推理与计算过程，使较复杂的数学问题得到简捷的解决，它来源于对基础知识和基本方法的积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到过的类似问题中寻找灵感，构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模型，使问题快速解决．21教育名师原创作品
【典例4】　(2017·安徽淮 ( http: / / www.21cnjy.com )北二模)中国古代数学经典《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑(biē nào)．若三棱锥P－ABC为鳖臑，且PA⊥平面ABC，PA＝AB＝2，又该鳖臑的外接球的表面积为24π，则该鳖臑的体积为________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
[解析]　由题意，该鳖臑实质就是四个面都为直角三角形的三棱锥．
设该鳖臑的外接球半径为R，则由已知可得24π＝4πR2，即R2＝6.
由PA2＋AB2＋BC2＝(2R)2，得4＋4＋BC2＝24，解得BC＝4.
故该鳖臑的体积为V＝×2××2×4＝.
[答案]　
[探究追问]　将本例改为如图为一 ( http: / / www.21cnjy.com )个阳马与一个鳖臑的组合体，已知三棱锥P－ADE为鳖臑，且PA⊥平面ABCE，AD＝CD＝2，ED＝1，该鳖臑的外接球的表面积为9π，则阳马P－ABCD的外接球体积为(　　)
A．4π B．4π
C．2π D．2π
[解析]　由题意得，在三棱锥P－ADE中，ED⊥DA，又PA⊥平面ABCE，所以其外接球的直径2r＝PE.
设PA＝x，则2r＝＝＝.
由该鳖臑的外接球的表面积S＝4πr2＝π(x2＋5)＝9π，得x＝2.
易知阳马P－ABCD的外接球直径2R＝PC，
即2R＝＝＝2，所以R＝.
故阳马P－ABCD的外接球的体积V＝πR3＝π×()3＝4π.
[答案]　B
(1)构造法求解填空题的技巧
构造法实质上是化归与转化思想在解题中的应用， ( http: / / www.21cnjy.com )需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向，通过构造新的函数、不等式、数列、空间几何体等新的模型，从而转化为自己熟悉的问题．
(2)本例中根据“鳖臑”的几何特征，可知 ( http: / / www.21cnjy.com )AB与AC不垂直，只有AB⊥BC时，三棱锥的四个面才能都是直角三角形．在确定其外接球的直径时，可依据球的直径的两端点与球面上任意一点所组成的角都是直角，直接找出其直径PC；当然，也可以把“鳖臑”补成一个长方体，可更为直观地找出外接球的直径．在探究追问中，“阳马”与“鳖臑”的外接球都是用构造法找出外接球的直径．www-2-1-cnjy-com
【训练】4．若定义在R上的函数f(x ( http: / / www.21cnjy.com ))满足f(x)＋f′(x)>1，f(0)＝4，则不等式f(x)>＋1(e为自然对数的底数)的解集为________．21*cnjy*com
[解析]　由f(x)>＋1得，exf(x ( http: / / www.21cnjy.com ))>3＋ex，构造函数F(x)＝exf(x)－ex－3，对F(x)求导得F′(x)＝exf(x)＋exf′(x)－ex＝ex[f(x)＋f′(x)－1]．由f(x)＋f′(x)>1，ex>0，可知F′(x)>0，即F(x)在R上单调递增，又因为F(0)＝e0f(0)－e0－3＝f(0)－4＝0，所以F(x)>0的解集为(0，＋∞)．
[答案]　(0，＋∞)
方法五　归纳推理法
做关于归纳推理的填空题的时候，一 ( http: / / www.21cnjy.com )般是由题目的已知可以得出几个结论(或直接给出了几个结论)，然后根据这几个结论可以归纳出一个更一般性的结论，再利用这个一般性的结论来解决问题．归纳推理是从个别或特殊认识到一般性认识的推演过程，这里可以大胆地猜想．
【典例5】　(2017·沧州联 ( http: / / www.21cnjy.com )考)在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说：“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”．四个人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是________．
[解析]　若负主要责任的人是甲，则 ( http: / / www.21cnjy.com )甲、乙、丙说的都是假话，只有丁说的是真话，符合题意；若负主要责任的人是乙，则甲、丙、丁说的都是真话，不合题意；若负主要责任的人是丙，则乙、丁说的都是真话，不合题意；若负主要责任的人是丁，则甲、乙、丙、丁说的都是假话，不合题意．故该事故中需要负主要责任的人是甲．
[答案]　甲
归纳推理法求解填空题的技巧
归纳推理法多用于新定义型填 ( http: / / www.21cnjy.com )空题，只要能读懂题意，认真归纳类比即可得出结论，但在推理过程中要严格按照定义的法则或相关的定理进行，关键是找准归纳的对象．
【训练】5．观察下列式子：1, ( http: / / www.21cnjy.com )1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，…，由以上可推测出一个一般性结论：对于n∈N*,1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝________.
[解析]　∵1＝12,1＋2＋1＝2 ( http: / / www.21cnjy.com )2,1＋2＋3＋2＋1＝32,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝42，…，∴归纳可得1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝n2.
[答案]　n2
方法六　正反互推法
多选型问题给出多个命题或结论， ( http: / / www.21cnjy.com )要求从中选出所有满足条件的命题或结论．这类问题要求较高，涉及图形、符号和文字语言，要准确阅读题目，读懂题意，通过推理证明，命题或结论之间互反互推，相互印证，也可举反例判断错误的命题或结论．
【典例6】　(2017·全国卷Ⅲ)a， ( http: / / www.21cnjy.com )b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：
①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；
②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；
③直线AB与a所成角的最小值为45°；
④直线AB与a所成角的最大值为60°.
其中正确的是________．(填写所有正确结论的编号)
[解析]　由题意，AB是以AC为轴，BC为底 ( http: / / www.21cnjy.com )面半径的圆锥的母线，又AC⊥a，AC⊥b，AC⊥圆锥底面，∴在底面内可以过点B，作BD∥a，交底面圆C于点D，如图所示，连接DE，则DE⊥BD，∴DE∥b，连接AD，设BC＝1，在等腰△ABD中，AB＝AD＝，当直线AB与a成60°角时，∠ABD＝60°，故BD＝，又在Rt△BDE中，BE＝2，∴DE＝，
过点B作BF∥DE，交圆C于点F，连接AF，EF，∴BF＝DE＝，
∴△ABF为等边三角形，∴∠ABF＝60°，即AB与b成60°角，故②正确，①错误．
由最小角定理可知③正确；很明显，可以满足平面ABC⊥直线a，∴直线AB与a所成角的最大值为90°，④错误．
∴正确的说法为②③.
[答案]　②③
正反互推法求解填空题的技巧
正反互推法适用于多选型问题，这 ( http: / / www.21cnjy.com )类问题一般有两种形式，一是给出总的已知条件，判断多种结论的真假；二是多种知识点的汇总考查，主要覆盖考点功能．两种多选题在处理上不同，前者需要扣住已知条件进行分析，后者需要独立利用知识逐项进行判断．利用正反互推结合可以快速解决这类问题．
【训练】6．若函数y＝f( ( http: / / www.21cnjy.com )x)对定义域D内的每一个x1，都存在唯一的x2∈D，使得f(x1)·f(x2)＝1成立，则称f(x)为“自倒函数”，给出下列四个命题：2·1·c·n·j·y
①f(x)＝sinx＋是自倒函数；
②自倒函数f(x)的值域可以是R；
③自倒函数f(x)可以是奇函数；
④若y＝f(x)，y＝g(x)都是自倒函数，且定义域相同，则y＝f(x)·g(x)也是自倒函数．
则以上命题正确的是________(写出所有正确命题的序号)．
[解析]　对于①，不妨任取x1∈，则f(x1)∈[－1，＋1]，所以f(x2)＝∈[－1，＋1]．又f(x)在上单调递增，故满足题意，故①正确；对于②，若函数f(x)的值域为R，不妨取f(x1)＝0，则在其定义域内不存在x2，使得f(x1)·f(x2)＝1成立，故②不正确；对于③，设函数f(x)＝，易知f(x)满足题意，显然f(x)为奇函数，故③正确；对于④，取f(x)＝x，x∈(0，＋∞)，g(x)＝，x∈(0，＋∞)，则f(x)，g(x)是自倒函数．但y＝f(x)·g(x)＝x·＝1不是自倒函数，因为对y＝f(x)·g(x)的定义域内的任意x1，x2，都有f(x1)·f(x2)＝1，故④不正确，故填①③.
[答案]　①③
题型技法归纳
1．解答填空题的策略
填空题的结果必须准确、规范，解答填空题的第一要求是“准”，然后才是“快”、“巧”，要合理灵活地运用恰当的方法，不可“小题大做”．【出处：21教育名师】
2．解答填空题的原则
( http: / / www.21cnjy.com / )
【强化训练】
1．[直接法]对于锐角α，若sin＝，则cos＝________.
[解析]　由α为锐角，且sin＝，可得cos＝，则cos＝cos＝coscos－sinsin＝×－×＝，于是cos＝2cos2－1＝2×2－1＝－.
[答案]　－
2．[直接法]已知(1－2x)5(1＋ax)4的展开式中x的系数为2，则实数a的值为________．
[解析]　因为(1－2x)5的展 ( http: / / www.21cnjy.com )开式中的常数项为1，x的系数为C×(－2)＝－10；(1＋ax)4的展开式中的常数项为1，x的系数为Ca＝4a，所以(1－2x)5(1＋ax)4的展开式中x的系数为1×4a＋1×(－10)＝2，所以a＝3.
[答案]　3
3．[特例法]已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则的值是________．
[解析]　令an＝n，则＝＝.
[答案]　
4．[特例法]如图，在三棱锥O－ABC中， ( http: / / www.21cnjy.com )三条棱OA，OB，OC两两垂直，且OA>OB>OC，分别经过三条棱OA，OB，OC作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为S1，S2，S3，则S1，S2，S3的大小关系为________．
[解析]　要满足各个截面使分 ( http: / / www.21cnjy.com )得的两个三棱锥体积相等，则需满足与截面对应的交点E，F，G分别为中点即可．故可以将三条棱长分别取为OA＝6，OB＝4，OC＝2，如图，则可计算S1＝3，S2＝2，S3＝，故S3[答案]　S35．[图解法]设方程＝|lgx|的两个根为x1，x2，则x1·x2的取值范围________．
[解析]　分别作出函数y＝和y＝|lgx|的图象如图，
不妨设0|lgx2|，
∴－lgx1>lgx2，即lgx1＋lgx2<0，∴0[答案]　(0,1)
6．[图解法]不等式－kx＋1≤0的解集非空，则k的取值范围为________．
[解析]　由－kx＋1≤0，得≤kx－1，
设f(x)＝，g(x)＝kx－1，其中－2≤x≤2.
如图，作出函数f(x)，g(x)的图象，不等式的解集非空，即直线l和半圆有公共点．
由图可知kAC＝＝－，
kBC＝＝.
所以k的取值范围为
∪.
[答案]　∪
7．[构造法]如图，已知球O ( http: / / www.21cnjy.com )的球面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝，则球O的体积等于________．
[解析]　如图，以DA，AB，BC ( http: / / www.21cnjy.com )为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O的半径为R，则正方体的体对角线长即为球O的直径，所以CD＝＝2R，所以R＝，故球O的体积V＝＝π.
[答案]　π
8．[构造法]已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1，则{an}的通项公式为________．
[解析]　由an＋1＝3 ( http: / / www.21cnjy.com )an＋1，得an＋1＋＝3，所以数列是以为首项，3为公比的等比数列，所以an＋＝·3n－1，故an＝.
[答案]　an＝
9．[归纳推理法](2017·辽宁丹东联考) ( http: / / www.21cnjy.com )已知“整数对”按如下规律排列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第70个“整数对”为________．
[解析]　因为1＋2＋…＋11＝66，所以 ( http: / / www.21cnjy.com )第67个“整数对”是(1,12)，第68个“整数对”是(2,11)，第69个“整数对”是(3,10)，第70个“整数对”是(4,9)．
[答案]　(4,9)
10．[归纳推理法]若直角三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形的两直角边为a、b，斜边c上的高为h，则＝＋.类比以上结论，如图，在正方体的一角上截取三棱锥P－ABC，PO为该棱锥的高，记M＝，N＝＋＋，那么M，N的大小关系是M________N．(填>，<或＝)
[解析]　由题意得
所以M＝＝＝＝＋＋＝N.即M＝N.
[答案]　＝
11．[正反互推法]给出以下命题：
①双曲线－x2＝1的渐近线方程为y＝±x；
②命题p：“ x∈R＋，sinx＋≥2”是真命题；
③已知线性回归方程为＝3＋2x，当变量x增加2个单位，其预报值平均增加4个单位；
④设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，若P(ξ>1)＝0.2，则p(－1<ξ<0)＝0.6.
则正确命题的序号为________(写出所有正确命题的序号)．
[解析]　①由－x2＝0可以解得双曲线的渐近线方程为y＝±x，正确．
②命题不能保证sinx，为正，故错误；
③根据线性回归方程的含义正确；
④P(ξ>1)＝0.2，
可得P(ξ<－1)＝0.2，
所以P(－1<ξ<0)＝P(－1<ξ<1)＝0.3，故错误．
综上①③正确．
[答案]　①③
12．[正反互推法]已知f(x)为 ( http: / / www.21cnjy.com )定义在R上的偶函数，当x≥0时，有f(x＋1)＝－f(x)，且当x∈[0,1)时，f(x)＝log2(x＋1)，给出下列命题：www.21-cn-jy.com
①f(2016)＋f(－2017)的值为0 ( http: / / www.21cnjy.com )；②函数f(x)在定义域上为周期是2的周期函数；③直线y＝x与函数f(x)的图象有1个交点；④函数f(x)的值域为(－1,1)．其中正确的命题序号有________．
[解析]　根据题意，可在同一坐标系中画出直线y＝x和函数f(x)的图象如下：
根据图象可知①f(201 ( http: / / www.21cnjy.com )6)＋f(－2017)＝0正确，②函数f(x)在定义域上不是周期函数，所以②不正确，③根据图象确定只有一个交点，所以正确，④根据图象，函数f(x)的值域是(－1,1)，正确．
[答案]　①③④
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑