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课件102张PPT。初中数学优质课教学及案例分析（一）李忠如
西南大学数学与统计学院
lizhru@swu.edu.cn相关背景（教师专业标准、教师资格考试）教育部拟定教师标准征求意见 “三个标准” - 新华网(2011年12月12日)
中小学教师专业标准
教育部：教师队伍建设将与政绩考核挂钩
中小学和幼儿园教师资格考试标准
中小学和幼儿园教师资格考试大纲
《数学学科知识与教学能力》(高级中学)考试大纲
《数学学科知识与教学能力》（初级中学）考试大纲
对大二学生解决中学数学问题能力的研究提纲相关理论
当前新课程实践面临的问题
关于数学解题教学的认识
关于有效教学的认识
案例研究
如何进行有意义的接受学习
如何指导学生开展合作学习
如何评价学生的数学学习公众对数学教师的看法?某中学生咨询报名志愿
重庆一知名中学校长
学生：为什么要学数学？
数学对一个人一生的影响至关重要！
数学可以被教得兴趣盎然，也可以让学生望而生畏！ —— 数学教师的责任大否？学生为什么要学数学？说法一：数学是一切科学的基础，一切重大科技进展无不以数学息息相关。没有了数学就没有电脑，就没有电视，就没有航天飞机，就没有今天这么丰富多彩的生活。可这样说学生能理解吗？能引起他们的共鸣吗？有点悬！
说法二：学好数学是成功成才的必要条件，不学好数学就考不上好的大学，也就不会有大的成就。这话说得够实际的！可也太功利了吧！这无形中等于告诉学生数学是他们成才的“绊脚石”。这不是激励学生学好数学，而是在恐吓他们啊！学生为什么要学数学？说法三：数学是思维的体操。多做体操身体健壮，多做数学头脑聪明。然而，我们应该清醒的看到，不仅仅数学可以培养逻辑思维，数学思维的各种方法也不只有数学才具有。诸如物理学、化学、甚至人文学科都与数学有着很多的相同之处，很多方法是相通的，因为它们都是对生活现象与经验的提炼。而如今的现实是数学与其它学科的绝对分离，以及对数学的功能的夸大其词，使学生对数学不敢有丝毫放松，拼命在数学上考出高分以显示自身存在的价值。有一位物理学家讲过，“数学如果离开物理，还剩下什么？”也许剩下的只是一具僵硬的外壳，一个由各种零件组装的机器，了无生机，无法吸引学生的注意力。学生为什么要学数学？说法四：反问学生们：“学数学就光是为了现在马上用吗？不能因为我们现在用不上数学就可以断然肯定学习数学没用，你们也太功利了。”可这不就是我们对问题的一种回避吗？还不如不回答算了。况且，不功利！难道还要用“献身”的精神来学数学吗？学生为什么要学数学？说法五：学数学是因为学数学有趣啊！然而，要让学生感到学习数学有趣，勿庸讳言，一个字——有点难！因为数学是高度抽象的一门科学，符号是它的语言，晦涩难懂。实践中经常看到很多老师在课堂上精心设计问题情境，把数学构筑到现实的情景之中，学生满脸兴奋，但随着教学的进展，学生要构建数学模型进而要去解决问题，感觉又陷入了符号的泥潭，难免又感无趣，提不起学习的热情。这是数学学习的一个较为“广泛存在”的一个现实。当前新课程实践面临的问题理念难把握；
设计难适应；
方式变革（教学与学习）难跟上；
考试评价难配套；
…………原因之一——教学层面的因素课堂教学抓不住数学概念的核心，没有前后一致、贯穿始终的数学思想主线，在学生没有基本了解数学概念和思想方法时就进行大量解题操练，导致教学缺乏必要的根基，教学活动不得要领，在无关大局的细枝末节上耗费学生宝贵时间，数学课堂中效益、质量“双低下”。学生花大量时间学数学，做无数的练习，但数学基础仍很脆弱。原因之一——教学层面的因素教学过程“不自然”，强加于人，对学生学习兴趣与内部动机都有不利影响；
缺乏问题意识，对学生的创新精神和实践能力培养不利；
重结果轻过程，“掐头去尾烧中段”，缺乏知识的归纳、概括过程，学习过程不完整，导致思维参与度不足；
重解题技能、技巧轻普适性思考方法的概括，方法论层次的内容渗透不够，机械模仿多独立思考少，思维层次不高；
讲逻辑而不讲思想，关注明确知识多，强调学科的思想方法少，对学生整体素养的提高不利。原因之二——教师层面的因素对数学课程、教材的体系结构、内容及其组织方式把握不准，特别是对中学数学核心概念和思想方法的体系结构缺乏必要的了解；
对数学概念的核心把握不准，对概念反映的思想方法的理解水平不高；
只能抽象笼统地描述数学教学目标，导致教学措施无的放矢，对是否已经达成教学目标心中无数；
对自己设计的教学方案不能取得预期效果，不能从设计层面给出令人信服的解释，往往只把问题归咎于教学系统的复杂性；
缺乏有效的发现、分析和解决教学问题的方法，往往感到教学问题的存在而不知其所在，或者发现了问题而找不到原因，甚至发现了问题及其根源也找不出解决问题的有效方法；
教学方法、策略和模式比较单一，机械地套用一些已有的解决教学问题方案，缺乏根据教学问题和教学条件创建解决教学问题的新方法。努力的方向——两个素养的结合数学学科的专业素养——有较好的数学功底（教好数学的前提是自己先学好数学），对数学内容所反映的思想、精神有深入的体会和理解；懂得哪些数学知识对学生的发展具有根本的重要性；具有揭示数学知识所蕴含的科学方法和理性思维过程的能力和“技术”；等。
教育学科的专业素养——一个人的可持续发展，不仅要有扎实的双基，而且要有积极的生活态度、主动发展的需求、终身学习的愿望、热情、能力和坚持性、健康向上的人生观和价值观。教师在这些方面对学生的影响力，就是教师的教育学科专业素养的最重要指标。
“两个素养”的结合——善于抓住数学的核心概念和思想方法，懂得削枝强干；善于打开凝结在数学知识中的数学家的思维活动，并有好的载体（如教学情景、典型例子、变式训练等）来展开这些数学思维活动；对数学知识中蕴含的价值观资源特别敏感，有挖掘这些资源并用与学生身心发展相适应的方式表述的能力，使数学知识教学与价值观影响有机整合。解决问题的抓手提高数学理解水平，从数学思想方法层面把握：
从表面到本质——把握概念的深层结构上的进步，提高解读概念所反映的数学思想方法的能力；
从抽象到具体——对抽象概念的形象描述，解读概念关键词，更多的典型、精彩的例子；
从孤立到系统——对概念之间的关系、联系的认识，有层次性、立体化的认识；关于加减消元法 （某初中数学教材中例题）
例2 “我们的小世界杯”足球赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。“勇士”队赛了9场，共得17分。已知这个队只输2场，那么胜了几场？又平了几场呢？ 学生问：为什么①式的赛场数与②式的得分数能够相减？ 解: 设勇士队胜了x场，平了y场。根据得分的总场次所提供的等量关系有方程
①
根据得分的总数所提供的等量关系有方程
②
由②－①得 ，

代入①得 。
答：勇士队胜了5场，平了2场。 这里涉及生活原型与数学模式的关系．一方面式①、②来源于比赛场次与得分总数（有单位问题）．另一方面，列成方程后又完全舍弃了原型的物理性质，成为抽象的模式，可以去刻画任何“两者和为7”的生活现象而不专属于任一生活现象．方程的加减，是根据方程的理论与方法进行的（消元化归），这是数学内部的事情（与单位无关）．最后，得出后，才又回到生活中去，给出解释（有单位了）．也就是说，足球赛的现实原型经过代数运作之后（设未知数，进行四则运算等），已经凝聚为对象（方程），经过“建模”之后的运作已经是数学对象的形式运算了，当中的消元求解过程是化归思想的应用，与现实原型的具体含义无关． 关于不等式性质的运用 已知 2≤x+y≤4, ①
1≤x-y≤2, ②
求4x-2y的范围。 一学生的解答过程为：
解 ①+②得 3≤2x≤6,
所以 6≤4x≤12. ③
又由①得 -4≤-x-y≤-2, ④
②+④得 -3≤-2y≤0 ⑤
故由③、⑤得 3≤4x-2y≤12
请你分析学生的错误原因,并给出正确解答。正确解法方程与恒等式A+B=B+A是方程吗？
X=2是方程吗？
某某方程的解是2对吗？方程与恒等式数学中常用的“关系”一词，泛指数学对象之间的某种性质的联系。两个数学对象之间具有某种性质的联系，就说它们“有某种关系”；如果它们之间不具有某种性质的联系，就说它们“没有某种关系”。数学中的关系，可以用文字语言表示，也可以用由字母与符号组成的符号语言或关系式来表示，还可以用图形语言来表示；至于关系的名称，显然根据联系的性质来确定。方程与恒等式教科书中规定，“用符号‘=’来表示相等关系的式子，叫做等式”.
为什么不定义“用符号连结两个代数式所得到的式子叫做等式”呢？
为什么不把恒等式与等式分开定义呢？方程与恒等式教科书中规定，“方程就是含有未知数的等式”。这一定义是小学数学教科书和传统的我国中学数学教科书的处理方法，目的是让学生利用等式的性质。
为什么不提出“条件等式”这一概念？
x+1=x是不是方程？关于数学解题教学的认识一个重大的发现可以解决一个重大的问题，但在求解任何问题的过程中，也都会有点滴的发现。你要求解的问题可能不大，但如果它能引起你的好奇心，如果它能使你的创造才能得以展现，而且，如果你是用自己的方法去解决它们的，那么，你就会体验到这种紧张心情，并享受到发现的喜悦。在易塑的青少年时期，这样的体验会使你养成善于思维的习惯，并在你的心中留下深刻的印象，甚至会影响到你一生的性格。
——波利亚作为“双基”之一的数学基本技能 数值运算技能——
符号操作技能——
图形处理技能——
数据分析技能——作为“双基”之一的数学基本技能推理论证技能——使学生认识到推理和证明是数学的一个必需的、有效的成分；作出和研究数学猜想；建立和评价数学论断与证明；选择和运用各种恰当的推理和论证方法
数学交流技能——能掌握数学语言及符号的意义与书写形式和格式;能熟练进行数学语言与自然语言（母语）之间的翻译转换;能够用多种方式表述数学知识、问题和想法；能运用数学语言正确、迅速、规范地将解(证)题过程表述出来;能用数学概念原理及思想方法去解释一些自然和社会现象；等等。解题策略：波利亚的“怎样解题表”波利亚的“怎样解题表”波利亚的“怎样解题表”波利亚的“怎样解题表”波利亚的“怎样解题表”关于有效教学的认识教学既是科学也是艺术
教学类型的划分（按水平）
新课程下的数学优质课的要求教学是科学还是艺术？麦当劳靠什么成为世界知名品牌?
中国是世界公认的美食王国，为什么没有世界知名的饮食品牌?麦当劳为什么这么牛？中国餐饮缺点啥?麦当劳——操作流程标准化，电脑控制，可批量生产，产品稳定性好，最大程度减少操作者的影响（工业化思维）。
中国美食——操作流程非标准化，人工控制，不易批量生产，产品稳定性存在隐患，与操作者有密切关系（农业化思维）*教学是科学还是艺术？ 传统教学观
偏于艺术，追求不确定性（个性）
提倡“教学有法，教无定法，贵在得法”
强调个人魅力，很难推广
现代教学观
趋向科学，讲求确定性
注重规律与操作流程的寻求教学是科学还是艺术？ 教师发展（模仿学习、独立探索、创造超越、发展成型）：
科学且艺术（先科学性，后艺术性）
科学即按教学规律、教学流程办事（学有定律，教有定则）
艺术即发挥教师的个性特长（个人魅力）*教学是科学还是艺术？有效教学的内涵
师生耗费合理的时间获得尽可能大的成效（目标达成）。
关注学生的进步与发展（以学论教）对得起良心的教学就是好的教学吗？有效教学？教师的成就感来自哪里？ 你知道什么是沮丧吗？那就是当你花了一生的时间爬梯子并最终到达顶端的时候，却发现梯子架的并不是你想上的那堵墙。
——约瑟夫·坎贝尔 能不能学？想不想学？学得怎么样？花多少时间学？有效数学教学的认识从“中国人数学学习的悖论”谈起
西方研究者认为，中国学习者的数学学习环境存在许多缺陷，
在教学方式上，属于典型的“被动灌输”和“机械训练”
单一讲授的上课方式，教师灌输，学生被动接受
班级规模大，一般超过50人，多至60人以上
低认知水平频繁考试和高度竞争，造成教师、学生沉重负担
Ginsberg（1992）发表报告认为，中国的教学特点是“一个受尊敬的长者传输知识给处于服从地位的年少者”“学而时习之，不亦说乎”学——从书本上，从教师口头上获取间接知识。习——从经验中，从个体实践活动中获取知识。知识的冰山模型明确知识
（是什么、为什么）
主要是事实和原理的知识存于书本，可编码（逻辑性）、可传递（共享性）、可反思（批判性）默会知识
（怎么想、怎么做）
本质上是理
解力和领悟 存于个人经验（个体
性）、嵌入实践活动
（情境性）匈牙利裔英国哲学家M.Polanyi(1956)：“ 缄默的认识”，实践技能很难诉诸文字，科学创造根源于默会的力量。
《OECD（经合组织）1996年科学、技术与产业展望》重点强调默会知识在新经济时代的特别重要意义。知识、学习与教学重建学习与教学的概念
——从教师、书本、课堂三中心到交叉体系明确知识明确知识默会知识默会知识③内化④外显①言传②意会①言传：书本知识，
听讲为主
②意会：实践经验，
在做中学
③内化：明确知识的
融会贯通
④外显：默会知识逐
步清晰化让学生在迫切要求之下学习----认知动因的激发----情意原理组织好课堂教学的层次序列----认知内容的组织----序进原理讲授法同时辅之以尝试活动----认知方法的安排----活动原理获取效果信息随时调节教学----认知结果的利用----反馈原理促进有效学习的教学原理与策略（1）基于情意原理的教学策略激发学生的动机、兴趣和追求的意向，加强教师与学生的感情交流，是促进认知发展的支柱和动力存在的问题“假学”：学习是受父母之命、为考试之需，在高压、
厌烦等不良刺激支配下，甚至成了令人恐
怖的身心负担
真学： 学生全部心理活动的参与，情意与认知互
为前提、互相促进，使学生的学习热情保
持在最佳状态需要努力发掘多种可能性问题作为出发点
面对适度的困难
根据结果调整学习良好的师生关系对学习的理想模式有不容忽视的影响? “亲其师，信其道”，教师亲身感染的作用大大超过空洞的说教
?优秀教师行为求同：热爱学生，了解学生
?马卡连柯成功的“诀窍”：尽可能多地要求学生、尽可能多地尊重学生（不断提出适切的期望目标）若干差生的形成过程[学生]某小问题?问题积累?学习脱节?自信降低

[教师]不予重视?未及补救?产生成见?期待丧失情意与认知的迭加效应实验如能让学生自觉产生适当的期望目标，学习效果提
高将更为迅速
分75面批+鼓励7065面批60对照55起始1 2 3 测验序次（2）基于序进原理的教学策略教师根据不同对象的发展水平，有步骤地提高所显示的知识和经验的结构化程度，组织好从简单到复杂的有序累积过程，是提高教学效率的基础问题与经验存在问题：叙述式照本宣科；
“题海战术”、题型训练
（水之积也不深，则其负大舟也无力；
师之蕴也不足，则其育长才也无望）
原型经验：“以旧引新”重新组织内容；
“一题多变”分步设置障碍理性探索合适的“潜在距离”是课堂教学的生命线短距联结符合渐进分化的原理；长距联结更多地需要学生的创造智慧
实验表明：适合不同学生特点、针对不同发展时期的合适“潜在距离”是不同的变式训练与不同教学水平的对应关系（3）基于活动原理的教学策略教师精心组织各类行为活动与认知活动，并使之合理结合，学生充分发挥活动的自主性，是促成行为结构与心理结构迅速互化的有效途径。存在的问题“被动灌输”： 将学生视为可被填满的容器
主动活动： 学习是获得知识经验的“学”与进行
行为实践的“习”相结合的活动范畴，
应特别重视学生的自主活动开展尝试探究活动是促进学生主动学习的重要策略?“道而弗牵，强而弗抑，开而弗达”（《礼记·学记》）
?最有效的学习方法应是让学生在体验和创造的过程中
学习例.“有理数加减法”课（探索法则）实现最佳教学过程的关键是接受式与活动式互相补充、合理结合?赫尔巴特的接受式教学与杜威的活动式教学，自20世纪70年
代以来有明显接近的趋势——真理也许在两个极端的中间
?学校要有学习的“自我发展区”：
教师 传授者 ? 指导者 ? 促进者
学生 提高自主性 ? 适度自主 ? 基本自主学习质量的两极张力提高学生的学习质量是根本（两个源头、两种方式）两种教学方式的分析讨论教学水平分类记忆水平。在多边形内角和公式的得出过程中，教师急于给出现成结论。其表现：
公式的推理过程极其简化，学生象征性地操作之后，教师立刻告诉学生n边形内角和公式。随后学生大量的练习围绕n边形的内角和=(n-2)?180展开。其间安排了根据直观图形计算内角和，填表格计算内角和、求正多边形的每个内角，知道内角和求边数等习题。要完成任务学生只需要简单套用公式，模仿例题就行。 解释水平。教师注重公式的推导过程：
首先教师安排学生回忆三角形的内角和公式，再让学生比较五边形的内角和与三角形的内角和有何关系；
然后指导学生如何从五边形的一个顶点引对角线，引导学生观察把五边形分成三角形的个数，得到五边形的内角和，或者从五边形内部取一个点，与五边形各顶点相连，得到五边形的内角和，用同样的方法指导学生得到六边形的内角和，接着让学生观察五边形、六边形……n边形转化成的三角形的个数，从而得出n边形内角和公式。
在教师的指导与帮助下，学生既明白了n边形内角和公式的推导过程，又理解了多边形内角和转化成三角形内角和的道理。学生在这个过程中参与了动手操作活动，但是在教师的指导下，一步一步朝着教师指明的方向前进。 探究水平。
教师通过创设一个问题情景，激发学生的认知冲突，让学生在迫切要求下，积极参与到多边形内角和公式的推导过程。
首先教师可能先出示一个五边形，希望学生以小组形式探讨这个五边形内角和的求法,学生找到的方法可能有连接点可以是多边形的顶点、多边形边上除顶点的点、多边形内的点、多边形外的点，对学生获得的结论，教师不是马上给予对或错的评定，而是动员全体学生进行评判，分析优劣，教师协助学生归纳动手操作的方法与思路；
随后学生把已获得的方法和思路运用到一般推导中，检验其合理性；
最后学生除了练习一些n边形内角和公式外，教师可能通过出示一些变式题，让学生在不同的情景中去运用刚才学到的事实、法则和数学思想方法解决一些新问题，并引导学生判断答案的合理性和简捷性。 新课程教学的现状——
许多本该达到较高认知水平的课，不少教师下降为填空式问答；有的课堂把数学学科教学混同于“习题的反复训练和反馈强化”，思考力水平明显处于低层次；
许多正在实验探究的课，教师常常通过解释或让学生记住最简捷的算法、程序、操作步骤，从而得出答案，“表面上像是探究，实际上仍然是讲解”，或者就是课堂失去控制，“探究成为无序或无数学的活动”，事实上造成将“激发学生参与”与“促进认知”对立，从而未能达到使学生亲自卷入到建构数学知识的目的。有意义活动的教学（注重学生的气质和能力）在数学教学中，学生要学习大量的性质定理、判定定理和公式等。以往的数学学习常常是老师“告诉”定理、公式，给出证明，然后通过练习做机械训练。学生感到枯燥乏味。如何激发学生提出和论证命题的兴趣、如何让从简单到复杂的变式练习成为学生解题能力的练兵场，是日常数学教学中值得关注的问题。 “（数学）早已广泛被人们承认为科学、工艺、商业和晋升各种专业的基础工具。这种目标会导致成人热衷于数学；但对于初步接触数学的幼龄学生，却是遥不可及。”（斯根普1971）案例：等腰三角形的判定模式化的定理教学复习性质定理、给出判定命题
师生进行思路分析
通过论证得出定理
应用定理做练习等腰三角形的两个底角相等有两个角相等的三角形是等腰三角形写成已知求证的形式：
已知：在△ABC中，∠B=∠C.
求证：AB=AC用情境问题引发兴趣如何复原一个被墨迹浸渍的等腰三角形？学生的三种“补出”方法：只剩一个底角和一条底边①量出∠C度数，画出∠B＝∠C， ∠B与∠C的边相交得到顶点A②作BC边上的中垂线，与∠C的一边相交得到顶点A画出的是否为等腰三角形，由此引发判定定理的证明③“对折”多种证法激活创造力三种常规的办法：两种创造性的证法：①作∠A的平分线，利用“角角边”②过A作BC边的垂线，利用“角角边”③作BC边上的中线，“边边角”不能证明④假定AB>AC,由“大边对大角”得出矛盾⑤△ABC≌△ACB，应用“角边角”用变式练习分步解决问题不断变换题目的条件：△ABC中，∠ABC＝∠ACB，BO平分∠B，CO平分∠C。能得出什么结论？过O作直线EF∥BC。①图中有几个等腰三角形？为什么？②线段EF与线段BE、FC之间有何关系？(学生编题)若∠B与∠C不相等。 ①图中有没有等腰三角形？为什么？②线段EF与线段BE、FC之间还有没有关系？(学生讨论)直观看到一个，简单应用判定定理必须综合应用判定定理和性质定理论证两个红色三角形以及线段间的关系直观看到三个，两个红色三角形必须应用判定定理论证；线段关系用到性质定理。几点建议课堂的本真？
教学中的加法与减法
寻找最合适的教学目标
习题教学三个境界
数学课堂的三类升华与课堂时间安排
关于例题教学
开展有效复习的四次交流
关于作业批改课堂的本真课堂，不是现在这样的……
因为，有一块黑板总在前面，
因为，老师总喜欢站在前面，
因为，同学们已经习惯了面向前黑板而坐，
所以，我们都已经习惯于学生个体面向黑板、面向老师的线性交流！
老师发布问题之后，一步到位提问到具体的或者指定的某一个学生，也许关于这个问题的回答，只有这一个学生的回答，能够符合继续推进教学的需要；
学生有了困惑后，一步到位直接将问题询问到老师，也许这个问题只有他少部分人或者只有他自己不明白，也许这个问题，他的同位或者前后临位同学或者更多的同学都早已经明白；
问题，从学生个体直接反馈到老师；
提问，老师直接点名到具体的某一个学生。
这个问题，是我们当今课堂司空见惯、习以为常的问题！课堂的本真其实这个问题，恰恰是现行课堂的最大问题！
因为师、生之间正在交流的这个问题，可能仅仅只是诸多问题中的一个极其个别的问题！
因为在现在正在进行的师、生线性交流的问题，其他的同学可能不感兴趣，甚至就连参与发言的学生的同位，也没有真正关心和思考这个问题……
课堂，不是这样的；课堂，不应该成为这个样子的！
如果我们明确了每一个学生从课前到课后可能发生的行为、情意等方面的变化，明确了学生应该也必须发生的变化，也许我们会尝试这样一些做法：课堂的本真让每一个学生知道这节课，他将要做什么？他必须要达到什么标准？他可以选用什么方式达到这些标准？
先安排学生自主学习，然后组织同位协商、然后小组合作，最后由小组代表将问题或者收获向课堂报告！
在全班范围内参与课堂交流的问题，如果是经过了小组成员内部人人都已经思考过但都没有解决的问题，那么，在这个问题的交流中，自然会引起发言者和未参与发言的其他同学的共同兴趣；如果是经过了小组内部的交流，大家已经解决了问题，那么这个交流，必定可以激活全体成员心底深处的成就感！
教师，将问题抛给具体的学习小组；教师提问，从小组中选择成员代表小组发言。当任何一个课堂发言，都不再是单独的个体行为，而是凝聚了小组或者众多同学的思考结晶之后，那么这时的课堂交流，必定会引发众多学生的注意与参与！
课堂，不再是一个个孤立单独的点，而是由具体的六个或者八个节点（小组）组成的网络。问题，也在这些节点中生成或者展开，问题也最后借助这些节点而获得消化解决。
这应该是我们期望的结构课堂！【问题】已知一元二次方程有一个根为1，那么这个方程可以是？ （只需写出一个方程）（2005，上海）
【策略】
第一境界：直接告诉学生答案
第二境界：升华至思想方法的境界
方法（1）从最简单处思考，例如，方程 ；
方法（2）从 ，引出 ；
方法（3）从 ，引出 .
提升到一般方法：
方法（4）从“ 有根为1，则 ”，引出更一般的情况。
第三境界：炒熟夹生饭.
让每一个学生都能够自选一个自己喜欢的方法，再解决一个类似问题：请自取一个你喜爱的m的值，使关于x的方程 有两个不相等的非零实数根，你取的m值为 ．并把答案写在纸条上，当场由各组组长收交给老师，老师针对问题，进一步个别辅导。习题教学的三个境界数学课堂的三类升华与时间设计在没有升华的数学课上，学生很难获得思想的发展；在没有升华形成的交流、互动中，学生也很难真正获得情感的体验！数学课，需要从现在华丽的包装下返朴归真；数学课，也更需要在朴实中，悄悄地完成某些升华……三类升华或者其中的部分升华：
第一类：从生活情景到数学情境的升华，从数学情境到数学本质（或数学思维）的升华；
第二类：从问题解决到问题拓展的升华，从教学对话到思想交流的升华，从知识与技能、过程与方法到情感态度价值观的升华；
第三类：从数学学习到生活回归的升华，从学习数学走向应用数学的升华。第一类升华：生活情景到数学情境，数学情境到数学本质（或数学思维）如果学习内容，能够与现实生活有所关联，那么应该努力创设生活情景，引领学生从生活情景走进数学情境、从学生已有的学习体验走进新的学习情境。这样的升华过程，可以帮助学生产生数学并不遥远、数学就在身边的亲切感，同时也能够帮助学生更好地完成数学概念的建构。
需要提醒的是，这种从生活情景到数学情境的升华，不宜拖泥带水，最好能够在上课铃声响起之后的3到5分钟内，完成为宜。第一类升华：生活情景到数学情境，数学情境到数学本质（或数学思维）如果学习内容与生活情景，没有什么关联，也不宜牵强附会，直接从数学的自身创设情境，带领学生经历从数学情境到数学本质的升华过程，也是一种常见的教学模式。
数学情境只是一个数学化的问题，进入数学情境，并不代表已经走进了数学的本质，并不代表已经形成了数学化解决问题的思维。第一类升华：生活情景到数学情境，数学情境到数学本质（或数学思维）某种意义上，数学情境与数学思维是两个层次的概念，能否充分地帮助学生完成从数学情境到数学思维的升华，往往决定着问题解决的成败。
遗憾的是，许多课堂，这种“从数学情境到数学本质的升华”，往往不能够引起人们的重视，大家往往认为走进数学情境，就走进了数学思维。
这种升华，往往消失在老师对教材内容的过于熟悉上。因为非常熟悉教学内容，许多老师可能容易忽略学生学习心理认知层面的丰富，而简单、快速地以教师个人的理解，从数学情境走进了数学思维。
因熟悉而陌生，许多数学课，往往就在这种熟悉地方，而迷失了风景。
数学情境到数学本质的升华，不是课堂表层的升华，不是教师讲解下的升华，而是指学生心理层面的升华。这个升华所用的时间同样不宜过长，不宜较长时间停留在数学情境的表层思维上，尽快抓住本质的东西，放手让学生思考、讨论。
这类升华，一般以5到10分钟为宜。第二类升华：问题解决到问题拓展，教学对话到思想交流，知识与技能、过程与方法向情感态度价值观单纯的一个问题，如单纯的一个数学例题，未必能够反映问题的本质。而在问题的变式与拓展中，往往能够看出问题的源，也能发现问题的流。
从问题解决到问题拓展的升华，一般适宜于在例题学习的过程中完成。让例题在“交流、沟通”与“变式、拓展”中，链结更多的精彩，是完成这个升华的主要手段。如，先放开例题，让学生充分思考、尝试然后将学生的思维适时地穿插在例题学习的过程中，让学生在真实学习过程中生成的精彩的和值得探究的思维，更多地融合于例题学习的过程之中。第二类升华：问题解决到问题拓展，教学对话到思想交流，知识与技能、过程与方法向情感态度价值观在例题板书点评中，适时融入并展示学生的解答；在例题变式拓展中，融进学生的思考；在例题交流互动中，融入学生的成功体验与面临的困惑、突破困惑后的惊喜。
师生对话，在任意一节课上，都一定发生；但是思想交流，则未必如此。伴随着上课的铃声，教师与学生之间的对话，就已经开始，直到下课铃声的响起，这些对话，也可能尚没有结束。但是这样的对话，却未必能够触及学生的思想。第二类升华：问题解决到问题拓展，教学对话到思想交流，知识与技能、过程与方法向情感态度价值观因此，从教学对话到思想交流的升华，也是课堂上值得关注、努力完成的升华之一。
从知识与技能、过程与方法向情感态度价值观的升华，比起其他的升华，这次升华是最特殊的，也是最重要的。
这次升华，没有固定的时间模式，它需要的是教师潜意识内，对于学生的欣赏与认同；源于对学生的学习思想方法的包容，源于平等的交流与积极发展的评价（含非语言评价）。
学生的情感、态度、价值观，不是凭空产生的，而是伴随学习的历程，伴随教师的心理暗示与当众认可，渐渐地在学生心理凝聚而成的。
这类升华，一般以10到15分钟为宜。第三类升华：数学回归生活，数学走向应用学以致用，让数学回归生活，让数学走向应用，这是提高学生数学学习兴趣的重要措施之一。
课堂上，应该认真挖掘教材、生活中的潜在资源，认真设计问题，让学生能够及时运用所学到的知识、思想、方法。
这类升华，可以结合在例题学习之后的练习巩固环节。
时间设计：以3到5分钟为宜。开展有效复习的四次交流与记忆交流。“记忆中的实数，是怎样的？请选择一个自己喜欢的方式描述你记忆中的实数。可以使用知识结构图；可以列表；可以绘画知识记忆树；可以使用自然序号，罗列伴随记忆而出现的知识、方法；……”
与同伴交流。“同伴描述的实数，又是怎样的？结合自己的理解，与同伴交流。”
与课本交流。“现在我们再来看看课本中描述的实数是怎样的？”
与老师交流。教师可以根据学生在交流过程中所表现出的态势，给出实数的知识结构。并引导学生修正、扩充或者重建原来记忆中所存储的认知结构。
注意：与记忆交流是前提；与同伴交流是补充；与课本交流是根本；与教师交流是升华。对号?错号?问号——沉淀在作业上的思考
对号，是一种认可，任何一个学生见到对号，都能够生成一种喜悦；
错号，则不同。某种意义上说，错号是一种否定。有些同学见到错号，能够引发学习的反思；有些同学可能在连续的错号所释放的信息中，逐渐消沉。
是否可以把错号改为问号？
问号，同样能够起到错号的警示作用，能够引发学生的学习反思。但，问号，所传递的信息中,更多的是一种基于平等的交流。数学例题教学，应该把握的要点例题，首先应成为学生学习的范例，成为“教”“学”交流的平台。
例题，不是教师专利，不一定都需要在老师分析、讲解的过程中完成。
遇见教材中的例题，就拿出来自己先“教”，遇见教材中的练习，就交给学生完成，泾渭分明！
这样的例题教学观念，需要转变。
例题，需要教，但不需要先教后练。真正的教，应该生成于学生的尝试、交流之后。
例题，应该允许学生出错；例题，是学生遇到困难、 需要帮助就能够得到帮助的地方。
例题，可以允许学生先做先错。如果能够融合学生过去、现在、将来学习过程中可能出现的错误，整合于例题教学的过程中，这样的例题教学才是最好的例题教学。数学例题教学，应该把握的要点例题，是“举一反三”的地方；也是“举三反一”的地方。
例题教学，需要打破思维定势，“举一反三”。要围绕例题的基本结构，引领学生灵活领会条件所蕴含的信息；要围绕例题已知、求解中的信息，组织变式、拓展。解决一个例题，应该能够辐射一类知识、方法以及类似问题.
例题教学，更需要形成定势，“举三反一”。
学习、复习、考试时，例题，就应该成为一种定势，当学生遇见某些信息，能够想起某些例题的情境，能够参照例题的解题方法，解决当前问题，这才是例题学习需要形成的学有所用的定势。
走进中考的考场，学生能够记住每个单元的典型例题以及例题所相关的链接，能够忆起当时学习过程中，所获得的表扬，这样的例题，才是真正的例题。
例题，应该保证参与学习的学生，人人过关。事实上，我们的学生未必能够正确地解决例题，在单元考试、期中、期末考试的时候！如果30%以上的学生（小班环境）都不能够正确地解决例题，那么例题教学的意义在哪里呢？用加法备课，用减法教学对于具有一定教学经历的教师而言，当某一课时的教学内容，已经在曾经走过的教学经历中，积累形成了自己的深刻理解之后，那么备课过程中备教材的环节，相对而言就不再处于主要的地位。
结合学生备预设，则上升为主要的地位。
用加法备课的第一层含义，就是在备预设的时候，尽可能考虑到多种方案。在某一个教学交流的过程中，不同的学生加入教学交流所引发的教学态势，往往是不同的。
如果针对教学重点、教学难点的某些细节，已经结合部分学生，预设了两套方案，那么，就应该在走进课堂之前，再回顾并思考，会不会出现两种预设之外的情况呢？如果我们是立足于自己心里深处那些虚拟的学生，仅仅预设了一套教学方案，那么，这样的教学方案，进入课堂之后，只能够是教师一厢情愿地授课。
用加法备课的第二层含义，就是在备课时，要考虑到课时内容所覆盖得所有知识点，要考虑到题目的不同的解决方法。用加法备课，用减法教学备课，固然是越细越好；但是，走进课堂的教学，则未必是越细越好。
用减法操作的第一层含义，就是指，因为课堂上的某种生成，挤占了原定预设的教学时间，假如只有30分钟的时间，我们会舍弃哪些内容？假如只有20分钟的时间，我们又会舍弃哪些内容？假如只有10分钟的时间，我们又会舍弃哪些内容呢？……在这种不断地假设性舍弃中，自然可以帮助我们进一步了解的教学真正重点所在。
用减法操作的第二层含义，就是说，备课所预设的，未必都需要全部在课堂上讲授，如果发现学生已经达到了某种境界，或者学生的发言超前于预设，则预设中的内容，当舍则舍。有舍才有得。
如果一味地执行预设，也许可以得到教案执行的完美，但是，这样的执行，所舍弃的，一定是学生的有效学习机会。
用加法备课的判定标准，是课程标准、教材所规定的目标；
用减法操作的执行标准，则是学生的实际学习需要。寻找最适合的教学目标【学佛】有一次，虚有禅师在河边行走。此时，有几个人正在岸边垂钓，旁边的几名游客在欣赏海景。只见一位垂钓者秆子一扬，钓上了一条大鱼，足有三尺长，落在岸上后，仍跳跃不止。可是垂钓者却用脚踩着大鱼，解下鱼嘴内的钓钩，顺手将鱼丢进了河里。
围观的人一阵惊呼，这么大的鱼还不能够令他满意，可见垂钓者的雄心之大。
就在众人屏息以待之际，钓者的鱼杆又是一扬，这次钓上来的是一条足有两尺长的鱼，钓者仍然是不看一眼，顺手就又把鱼仍进了河里。
第三次，钓者的钓竿再次扬起，只见钓线的末端钓着一条不到一尺长的小鱼，围观的人以为这条鱼也肯定会被放回，不料垂钓者却将鱼解下来，小心翼翼地放回了自己的鱼篓里。
众人百思不得其解：钓者为什么舍大取小呢？
钓者的回答是：因为我家里最大的小盘子才只有一尺长，太大的鱼钓回去，盘子也放不下。
禅师感叹道：“人生路上，找到适合自己的目标才是最重要的，否则，将会永远在不如意的贪念中挣扎。”
（引自《谈佛说禅悟人生》，释然著）寻找最适合的教学目标【论教】课堂教学又何尝不是如此呢？只有能够找到最适合自己学生的学习目标，才能够最有效地组织教学。可是怎样的教学目标才是最合适的呢？
例如：掌握有理数的加法法则，这是教材、“课标”规定的教学目标，也是应该帮助学生学完有理数这个单元之后所必须达到的目标。许多时候，我们常将这个目标从教学参考资料中直接搬运过来，放到教案上。寻找最适合的教学目标但是，结合我们自己的学生，展开思考，这个目标未必就是最适合的目标，尤其是在学习刚刚开始在学习有理数加法的第一、二课时上。不是所有的学生都能够当堂掌握有理数的加法法则的，即使他们能够当堂正确计算某些习题，但是在今后遇到减法、乘法、除法以及混合运算的时候，学生依然会出现诸多问题。
事实上，在40分钟的课堂上，我们是做不了许多事的，学生能够掌握某些与例题相关的习题，就已经非常难得了。掌握有理数的加法法则，学生是在伴随着后续的学习过程而渐渐理解并掌握的。
因此，合理定位自己的教学目标，是非常重要的。
什么样的目标才是最合适的？符合自己学生实际并且能够帮助学生当堂达成的目标，就是最合适的！谢 谢！

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