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第9讲　函数模型及其应用
1．几种常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)
2.三种函数模型性质比较
y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上的单调性 增函数 增函数 增函数
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
图象的变化 随x值增大，图象与y轴行 随x值增大，图象与x轴行 随n值变化而不同
常用结论
1．“对勾”函数f(x)＝x＋(a>0)的性质
(1)该函数在(－∞，－]和[，＋∞)上单调递增，在[－，0)和(0， ]上单调递减．
(2)当x>0时，x＝时取最小值2；
当x<0时，x＝－时取最大值－2.
2．“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢．
常见误区
1．解应用题的关键是审题，不仅要明白、理解问题讲的是什么，还要特别注意一些关键的字眼(如“几年后”与“第几年”)，学生常常由于读题不谨慎而漏读和错读，导致题目不会做或函数解析式写错．
2．解应用题建模后一定要注意定义域．
3．解决完数学模型后，注意转化为实际问题写出总结答案．
[思考辨析]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)幂函数增长比一次函数增长更快．(　　)
(2)在(0，＋∞)内，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xα(α>0)的增长速度．(　　)
(3)指数型函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)√
[诊断自测]
1．在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如表：
x 0.50 0.99 2.01 3.98
y －0.99 0.01 0.98 2.00
则对x，y最适合的拟合函数是(　　)
A．y＝2x B．y＝x2－1
C．y＝2x－2 D．y＝log2x
解析：选D．根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．
2．某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100 km，票价是0.5元/km，如果超过100 km，超过100 km的部分按0.4元/km定价，则客运票价y(元)与行驶千米数x(km)之间的函数关系式是________．
解析：由题意可得y＝
答案：y＝
3．生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝x2＋2x＋20(万元)．一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为______万件．
解析：设利润为L(x)，则利润L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)2＋142，当x＝18 时，L(x)有最大值．
答案：18
用函数图象刻画实际问题(自主练透)
1．(2020·广州市综合检测(一))如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T. 若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f(t)的图象大致是(　　)
解析：选B．水位由高变低，排除C，D．半缸前下降速度先快后慢，半缸后下降速度先慢后快，故选B．
2．(2020·高考北京卷)为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝f(t)，用－的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示．
给出下列四个结论：
①在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
④甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2.t3]这三段时间中，在[0，t1]的污水治理能力最强．
其中所有正确结论的序号是________．
解析：设y＝－，由已知条件可得甲、乙两个企业在[t1，t2]这段时间内污水治理能力强弱的数值计算式为－，由题图易知y甲>y乙，即甲企业的污水治理能力比乙企业强，所以①对；
由题意知在某一时刻企业污水治理能力的强弱由这一时刻的切线的斜率的绝对值表示，所以②对；
在t3时刻，由题图可知甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下，所以③对；
由计算式－可知，甲企业在[0，t1]这段时间内污水治理能力最弱，所以④错．
答案：①②③
判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的方法
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．
(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择符合实际情况的答案．　
已知函数模型求解实际问题(师生共研)
(2020·新高考卷Ⅰ)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)(　　)
A．1.2天　 B．1.8天
C．2.5天 D．3.5天
【解析】　因为R0＝1＋rT，所以3.28＝1＋6r，所以r＝0.38.
若则e0.38(t2－t1)＝2，0.38(t2－t1)＝ln 2≈0.69，t2－t1≈1.8，选B．
【答案】　B
求解已知函数模型解决实际问题的关键
(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．
(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．
(3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验．　
1．据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：min)为f(x)＝(A，c为常数)．已知某工人组装第4件产品用时30 min，组装第A件产品用时15 min，那么c和A的值分别是(　　)
A．75，25 B．75，16
C．60，25 D．60，16
解析：选D．由题意可知4解得
2．人们用分贝(dB)来划分声音的等级，声音的等级d(x)(单位：dB)与声音强度x(单位：W/m2)满足d(x)＝9lg .一般两人小声交谈时，声音的等级约为54 dB，在有50人的课堂上课时，老师声音的等级约为63 dB，那么老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的(　　)
A．1倍 B．10倍
C．100倍 D．1 000倍
解析：选B．设老师上课时声音强度，一般两人小声交谈时声音强度分别为x1W/m2，x2W/m2，
根据题意得d(x1)＝9lg ＝63，解得x1＝10－6，
d(x2)＝9lg ＝54，解得x2＝10－7，所以，＝10，
因此，老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的10倍，故选B．
构建函数模型解决实际问题(多维探究)
角度一　构建二次函数、分段函数、“对勾”函数模型
响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王大学毕业后决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调研，生产某小型电子产品需投入年固定成本2万元，每生产x万件，需另投入流动成本W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)＝x2＋2x.在年产量不小于8万件时，W(x)＝7x＋－37.每件产品售价6元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．
(1)写出年利润P(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)　
(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
【解】　(1)因为每件商品售价为6元，
则x万件商品销售收入为6x万元．
依题意得
当0当x≥8时，P(x)＝6x－－2＝35－.
故P(x)＝
(2)当0此时，当x＝6时，P(x)取最大值，最大值为10万元．
当x≥8时，P(x)＝35－≤35－2＝15
(当且仅当x＝，即x＝10时，取等号)．
此时，当x＝10时，P(x)取得最大值，最大值为15万元．
因为10<15，所以当年产量为10万件时，
小王在这一商品的生产中所获利润最大，
最大利润为15万元．
建模解决实际问题的三个步骤
(1)建模：抽象出实际问题的数学模型．
(2)推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学演算，得到问题在数学意义上的解．
(3)评价、解释：对求得的数学结果进行深入的讨论，作出评价、解释，返回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解．
即：
[提醒]　(1)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域．
(2)利用模型f(x)＝ax＋求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件．　
角度二　构建指数、对数函数模型
某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入．若该高校2018年全年投入科研经费1 300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长12%，则该高校全年投入的科研经费开始超过2 000万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)(　　)
A．2020年 B．2021年
C．2022年 D．2023年
【解析】　若2019年是第1年，则第n年全年投入的科研经费为1 300×1.12n万元，由1 300×1.12n>2 000，可得lg 1.3＋nlg 1.12>lg 2，所以n×0.05>0.19，得n>3.8，即n≥4，所以第4年，即2022年全年投入的科研经费开始超过2 000万元，故选C．
【答案】　C
指数型、对数型函数模型
(1)在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解．
(2)有关对数型函数的应用题，一般都会给出函数解析式，要求根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据值回答其实际意义．　
1．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N*)件．当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x＞20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元，则y与x的函数关系式为____________，该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大(年利润＝年销售总收入－年总投资)．
解析：年销售总收入减去年总投资即可得到年利润，年总投资为(x＋100)万元，故函数关系式为y＝
当020时，y<140.
故年产量为16件时，年利润最大．
答案：y＝　16
2．里氏震级M的计算公式为：M＝lg A－lg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．
解析：M＝lg 1 000－lg 0.001＝3－(－3)＝6.
设9级地震的最大振幅和5级地震的最大振幅分别为A1，A2，
则9＝lg A1－lg A0＝lg ，则＝109，
5＝lg A2－lg A0＝lg ，则＝105，所以＝104.
即9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的10 000倍．　
答案：6　10 000
核心素养系列2　数学建模——函数建模在实际问题中的妙用
某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润低于10%时，则该企业就考虑转型，下表显示的是某企业几年来年利润y(百万元)与年投资成本x(百万元)变化的一组数据：
年份 2018 2019 2020 2021 …
投资成本x 3 5 9 17 …
年利润y 1 2 3 4 …
给出以下3个函数模型：①y＝kx＋b(k≠0)；②y＝abx(a≠0，b＞0，且b≠1)；③y＝loga(x＋b)(a＞0，且a≠1)．
(1)选择一个恰当的函数模型来描述x，y之间的关系；
(2)试判断该企业年利润超过6百万元时，该企业是否要考虑转型．
【解】　(1)将(3，1)，(5，2)代入y＝kx＋b(k≠0)，
得解得
所以y＝x－.
当x＝9时，y＝4，不符合题意；
将(3，1)，(5，2)代入y＝abx(a≠0，b＞0，且b≠1)，
得解得
所以y＝·()x＝2.
当x＝9时，y＝2＝8，不符合题意；
将(3，1)，(5，2)代入y＝loga(x＋b)(a＞0，且a≠1)，
得
解得所以y＝log2(x－1)．
当x＝9时，y＝log28＝3；
当x＝17时，y＝log216＝4.故可用③来描述x，y之间的关系．
(2)令log2(x－1)>6，则x>65.
因为年利润＜10%，所以该企业要考虑转型．
解函数模型的实际应用题，首先应考虑该题考查的是何种函数，然后根据题意列出函数关系式(注意定义域)，并进行相关求解，最后结合实际意义作答．
　
　某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供应不足使价格呈持续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌．现有三种价格模拟函数：①f(x)＝p·qx；②f(x)＝px2＋qx＋1；③f(x)＝x(x－q)2＋p(以上三式中p，q均为常数，且q＞1)．
(1)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数(不必说明理由)
(2)若f(0)＝4，f(2)＝6.
①求出所选函数f(x)的解析式(注：函数定义域是[0，5]，其中x＝0表示8月1日，x＝1表示9月1日，以此类推)；
②为保证养殖户的经济效益，当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该海鲜将在哪几个月内价格下跌．
解：(1)因为上市初期和后期价格呈持续上涨态势，而中期又将出现价格连续下跌，所以在所给出的函数中应选模拟函数f(x)＝x(x－q)2＋p.
(2)①对于f(x)＝x(x－q)2＋p，
由f(0)＝4，f(2)＝6，
可得p＝4，(2－q)2＝1，
又q＞1，所以q＝3，
所以f(x)＝x3－6x2＋9x＋4(0≤x≤5)．
②因为f(x)＝x3－6x2＋9x＋4(0≤x≤5)，
所以f′(x)＝3x2－12x＋9，
令f′(x)＜0，得1＜x＜3.
所以函数f(x)在(1，3)内单调递减，所以可以预测这种海鲜将在9月、10月两个月内价格下跌．
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9第8讲　函数与方程
1．函数零点
(1)定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．
(2)三个等价关系
(3)存在性定理
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象
与x轴的交点 (x1，0)，(x2，0) (x1，0) 无交点
零点 x1，x2 x1 无
常用结论
有关函数零点的三个结论
(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．
(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．
常见误区
1．函数f(x)的零点是一个实数，是方程f(x)＝0的根，也是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．
2．函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象等综合考虑．
[思考辨析]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(　　)
(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)f(b)<0.(　　)
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．(　　)
(4)若函数f(x)在(a，b)上连续单调且f(a)f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
[诊断自测]
1．函数f(x)＝ln x－的零点所在的大致范围是(　　)
A．(1，2) B．(2，3)
C．和(3，4) D．(4，＋∞)
解析：选B．易知f(x)为增函数，由f(2)＝ln 2－1＜0，f(3)＝ln 3－＞0，得f(2)f(3)＜0.故选B．
2．已知函数y＝f(x)的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：
x 1 2 3 4 5 6
y 124.4 33 －74 24.5 －36.7 －123.6
则函数y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至少有________个．
解析：依题意，f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，根据零点存在性定理可知，f(x)在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)上均至少含有一个零点，故函数y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至少有3个．
答案：3
3．已知函数f(x)＝2ax－a＋3，若 x0∈(－1，1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围是________．
解析：依题意可得f(－1)f(1)<0，即(－2a－a＋3)(2a－a＋3)<0，解得a<－3或a>1.
答案：(－∞，－3)∪(1，＋∞)
函数零点所在区间的判断(师生共研)
(一题多解)函数f(x)＝log3x＋x－2的零点所在的区间为(　　)
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
【解析】　方法一(定理法)：函数f(x)＝log3x＋x－2的定义域为(0，＋∞)，并且f(x)在(0，＋∞)上递增，图象是一条连续曲线．由题意知f(1)＝－1<0，f(2)＝log32>0，f(3)＝2>0，根据零点存在性定理可知，函数f(x)＝log3x＋x－2有唯一零点，且零点在区间(1，2)内．
方法二(图象法)：函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)＝log3x，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的范围．作出两个函数的图象如图所示，可知f(x)的零点所在的区间为(1，2)．故选B．
【答案】　B
判断函数零点所在区间的方法
方法 解读 适合题型
定理法 利用函数零点的存在性定理进行判断 能够容易判断区间端点值所对应函数值的正负
图象法 画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断 容易画出函数的图象
1．已知实数a>1，0A．(－2，－1) B．(－1，0)
C．(0，1) D．(1，2)
解析：选B．因为a>1，00，由零点存在性定理可知f(x)在区间(－1，0)上存在零点．
2．设函数f(x)＝x－ln x，则函数y＝f(x)(　　)
A．在区间，(1，e)内均有零点
B．在区间，(1，e)内均无零点
C．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点
D．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点
解析：选D．令f(x)＝0得x＝ln x.
作出函数y＝x和y＝ln x的图象，如图，
显然y＝f(x)在内无零点，在(1，e)内有零点．
函数零点个数的判断(师生共研)
(一题多解)函数f(x)＝的零点个数为(　　)
A．3 B．2
C．1 D．0
【解析】　方法一(方程法)：由f(x)＝0，
得或
解得x＝－2或x＝e.
因此函数f(x)共有2个零点．
方法二(图形法)：函数f(x)的图象如图所示，
由图象知函数f(x)共有2个零点．
【答案】　B
判断函数零点个数的3种方法
(1)方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点．
(3)图形法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．　
1．函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内的零点个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C．由题意可知f(x)的定义域为(0，＋∞)．在同一直角坐标系中画出函数y＝|x－2|(x>0)，y＝ln x(x>0)的图象．如图所示．
由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.故选C项．
2．已知函数f(x)＝下列关于函数y＝f(f(x))＋m的零点个数的判断，正确的是(　　)
A．当a＝0，m∈R时，有且只有1个零点
B．当a>0，m≤－1时，有3个零点
C．当a<0，m<－1时，有4个零点
D．当a<0，－1解析：选B．令t＝f(x)，则f(f(x))＋m＝0，即f(t)＋m＝0，即f(t)＝－m.对于选项A，当a＝0，m∈R时，取m＝0，则f(t)＝0，此时图①中的t＝1，而t＝f(x)＝1对应图②中的x有无穷个解，故函数y＝f(f(x))＋m有无穷个零点，选项A错误．
对于选项B，当a>0，m≤－1时，f(t)＝－m≥1，此时在图③中y＝f(t)的图象与y＝－m的图象有2个交点，横坐标分别记为t1，t2；在图④中t＝t1的图象与t＝f(x)的图象只有一个交点，横坐标记为x1，而t＝t2的图象与t＝f(x)的图象有2个交点，横坐标分别记为x2，x3，故函数y＝f(f(x))＋m有3个零点，选项B正确．
对于选项C，a<0，m<－1，f(t)＝－m>1，在图⑤中y＝f(t)的图象与y＝－m的图象只有一个交点，横坐标记为t3；在图⑥中t＝t3的图象与t＝f(x)的图象只有一个交点，故函数y＝f(f(x))＋m只有1个零点，选项C错误．
对于选项D，当a<0，－1综上，选B．
函数零点的应用(师生共研)
(1)函数f(x)＝x2－ax＋1在区间上有零点，则实数a的取值范围是(　　)
A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)
C． D．
(2)已知函数f(x)＝，g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是______．
【解析】　(1)由题意知方程ax＝x2＋1在上有解，即a＝x＋在上有解，设t＝x＋，x∈，则t的取值范围是.所以实数a的取值范围是.
(2)函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点，作出直线y＝－x－a与函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，－a≤1，解得a≥－1.
【答案】　(1)D　(2)[－1，＋∞)
根据函数零点的情况求参数有3种常用方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．　
1．若函数f(x)＝|2x－4|－a存在两个零点，且一个为正数，另一个为负数，则a的取值范围为(　　)
A．(0，4) B．(0，＋∞)
C．(3，4) D．(3，＋∞)
解析：选C．令g(x)＝|2x－4|，其图象如图所示，若f(x)＝|2x－4|－a存在两个零点，且一个为正数，另一个为负数，则a∈(3，4)．
2．若函数f(x)＝|ln x|－ax＋1－2ln 2有三个不同的零点，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0，) B．(0，)
C．(0，) D．(0，)
解析：选C．构造函数y＝|ln x|，y＝ax＋2ln 2－1，在同一坐标系中分别作出两个函数的图象如图所示，直线y＝ax＋2ln 2－1过点(0，2ln 2－1)，结合函数图象可知，当a≤0时，不符合题意，故a>0.当直线y＝ax＋2ln 2－1与曲线y＝ln x相切时，设切点坐标为(x0，ln x0)，因为y′＝，所以切线的斜率为，则＝，解得x0＝4，所以切线斜率为.结合图象可知，当0思想方法系列5　跳出嵌套函数的零点问题
函数的零点是高考命题的热点，主要涉及判断函数零点的个数或范围，常考查三次函数与复合函数相关零点，与函数的性质和相关问题交汇．对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解．
类型1　嵌套函数零点个数的判断
已知函数f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝则函数g(x)＝f2(x)－f(x)的零点个数为(　　)
A．4 B．5
C．6 D．7
【解析】　因为x∈(0，2]时，f(x)＝(x－1)2，x>2时，f(x)＝f(x－2)＋1，
所以将f(x)在区间(0，2]上的图象向右平移2个单位长度，同时再向上平移1个单位长度，得到函数f(x)在(2，4]上的图象．同理可得到f(x)在(4，6]，(6，8]，…上的图象．再由f(x)的图象关于y轴对称得到f(x)在(－∞，0)上的图象，从而得到f(x)在其定义域内的图象，如图所示：
令g(x)＝0，得f(x)＝0或f(x)＝1，由图可知直线y＝0与y＝1和函数y＝f(x)的图象共有6个交点，所以函数g(x)共有6个零点．故选C．
【答案】　C
破解此类问题的主要步骤
(1)换元解套，转化为t＝g(x)与y＝f(t)的零点．
(2)依次解方程，令f(t)＝0，求t，代入t＝g(x)求出x的值或判断图象交点个数．　
类型2　求嵌套函数零点中的参数
函数f(x)＝若函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________．
【解析】　设t＝f(x)，令f(f(x))－a＝0，则a＝f(t)．在同一坐标系内作y＝a，y＝f(t)的图象(如图)．当a≥－1时，y＝a与y＝f(t)的图象有两个交点．
设交点的横坐标为t1，t2(不妨设t2>t1)，则t1<－1，t2≥－1.
当t1<－1时，t1＝f(x)有一解；当t2≥－1时，t2＝f(x)有两解．综上，当a≥－1时，函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点．
【答案】　[－1，＋∞)
(1)求解本题抓住分段函数的图象性质，由y＝a与y＝f(t)的图象，确定t1，t2的取值范围，进而由t＝f(x)的图象确定零点的个数．
(2)含参数的嵌套函数方程，还应注意让参数的取值“动起来”，抓临界位置，动静结合．　
　已知函数f(x)＝x2＋2x＋a(a<0)，若函数y＝f(f(x))有三个零点，则a＝________．
解析： 令t＝f(x)＝(x＋1)2＋a－1，则可知f(t)＝0有两个不同的解t1，t2，不妨设t1答案：
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9第7讲　函数的图象
1．利用描点法作函数图象
其基本步骤是列表、描点、连线．
首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)．
其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．
2．利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
(2)对称变换
①y＝f(x)y＝－f(x)．
②y＝f(x)y＝f(－x)．
③y＝f(x)y＝－f(－x)．
④y＝ax(a＞0且a≠1)y＝logax(x＞0)．
(3)翻折变换
①y＝f(x)y＝|f(x)|；
②y＝f(x)y＝f(|x|)．
(4)伸缩变换
①y＝f(x)→y＝f(ax)．
②y＝f(x)→y＝af(x)．
常用结论
1．函数图象平移变换的八字方针
(1)“左加右减”，要注意加减指的是自变量．
(2)“上加下减”，要注意加减指的是函数值．
2．函数图象自身的轴对称
(1)f(－x)＝f(x) 函数y＝f(x)的图象关于y轴对称．
(2)函数y＝f(x)的图象关于x＝a对称 f(a＋x)＝f(a－x) f(x)＝f(2a－x) f(－x)＝f(2a＋x)．
(3)若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称．
3．函数图象自身的中心对称
(1)f(－x)＝－f(x) 函数y＝f(x)的图象关于原点对称．
(2)函数y＝f(x)的图象关于(a，0)对称 f(a＋x)＝－f(a－x) f(x)＝－f(2a－x) f(－x)＝－f(2a＋x)．
(3)函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称 f(a＋x)＝2b－f(a－x) f(x)＝2b－f(2a－x)．
4．两个函数图象之间的对称关系
(1)函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称(由a＋x＝b－x得对称轴方程)；
(2)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称；
(3)函数y＝f(x)与y＝2b－f(－x)的图象关于点(0，b)对称．
常见误区
1．函数图象的左右变换都针对自变量“x”而言，如从f(－2x)的图象到f(－2x＋1)的图象是向右平移个单位长度，其中是把x变成x－.
2．要注意一个函数的图象自身对称和两个不同的函数图象对称的区别．
[思考辨析]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)将函数y＝f(x)的图象先向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到函数y＝f(x＋1)＋1的图象．(　　)
(2)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．(　　)
(3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称．(　　)
(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
[诊断自测]
1．函数f(x)＝x＋的图象关于(　　)
A．y轴对称 B．x轴对称
C．原点对称 D．直线y＝x对称
解析：选C．函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f(－x)＝－f(x)，即函数f(x)为奇函数，关于原点对称．
2．下列图象是函数y＝的图象的是(　　)
解析：选C．其图象是由y＝x2图象中x<0的部分和y＝x－1图象中x≥0的部分组成．
3．将函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位长度得到函数________的图象．
解析：y＝f(－x)的图象向右平移1个单位长度，是将f(－x)中的x变成x－1.
答案：y＝f(－x＋1)
4．若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是________．
解析：由题意得a＝|x|＋x，令y＝|x|＋x＝其图象如图所示，故要使a＝|x|＋x只有一个解，则a>0.
答案：(0，＋∞)
作函数的图象(师生共研)
分别作出下列函数的图象．
(1)y＝|lg x|；
(2)y＝2x＋2；
(3)y＝x2－2|x|－1.
【解】　(1)y＝
图象如图①所示．
(2)将y＝2x的图象向左平移2个单位，图象如图②所示．
(3)y＝图象如图③所示．
函数图象的画法
[提醒]　(1)画函数的图象一定要注意定义域．
(2)利用图象变换法时要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．　
　分别作出下列函数的图象．
(1)y＝|x－2|(x＋1)；
(2)y＝.
解：(1)当x≥2，即x－2≥0时，
y＝(x－2)(x＋1)＝x2－x－2＝－；
当x<2，即x－2<0时，
y＝－(x－2)(x＋1)＝－x2＋x＋2＝－＋.
所以y＝
这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数图象作出(如图)．
(2)作出y＝的图象，保留y＝图象中x≥0的部分，加上y＝的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，即得y＝的图象，如图中实线部分．
函数图象的辨识(师生共研)
(1)(2020·高考浙江卷)函数y＝xcos x＋sin x在区间[－π，π]上的图象可能是(　　)
(2)已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可以是(　　)
A．f(x)＝ B．f(x)＝
C．f(x)＝－1 D．f(x)＝x－
【解析】　(1)令f(x)＝xcos x＋sin x，所以f(－x)＝(－x)cos(－x)＋sin(－x)＝－xcos x－sin x＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，排除C，D，又f(π)＝－π<0，排除B，故选A．
(2)由函数图象可知，函数f(x)为奇函数，应排除B，C．若函数为f(x)＝x－，则x→＋∞时，f(x)→＋∞，排除D，故选A．
【答案】　(1)A　(2)A
(1)抓住函数的性质，定性分析
①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象上下位置；
②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
③从周期性，判断图象的循环往复；
④从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
(2)抓住函数的特征，定量计算
利用函数的特征点、特殊值的计算，分析解决问题．　
1．已知函数f(x)＝ln|x|·cos x，则f(x)的大致图象是(　　)
解析：选B．通解：当x＝2π时，f(x)＝ln 2π＞0，故排除C，D；当x＝时，f(x)＝0，当＜x＜时，ln x＞0，cos x＜0，所以f(x)＜0，故排除A．故选B．
优解：当x＝和x＝1时，f(x)＝0，故排除A，D；当x＝2π时，f(x)＝ln 2π＞0，故排除C．故选B．
2．如图，四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象表示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中不正确的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选A．将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，容器中水面的高度h和时间t之间的关系可以从高度随时间的变化率上反映出来．①中应该是匀速的，故下面的图象不正确；②中的变化率应该是越来越慢的，正确；③中的变化率是先快后慢再快，正确；④中的变化率是先慢后快再慢，也正确，故只有①是错误的．
3．已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是(　　)
A．0C．0解析：选A．由函数图象可知，f(x)在R上单调递增，又y＝2x＋b－1在R上单调递增，故a>1.函数图象与y轴的交点坐标为(0，logab)，由函数图象可知－1函数图象的应用(多维探究)
角度一　研究函数的性质
对任意两个实数a，b，定义min{a，b}＝若f(x)＝2－x2，g(x)＝x2，下列关于函数F(x)＝min{f(x)，g(x)}的说法不正确的是(　　)
A．函数F(x)是偶函数
B．方程F(x)＝0有三个解
C．函数F(x)在区间[－1，1]上单调递增
D．函数F(x)有4个单调区间
【解析】　根据函数f(x)＝2－x2与g(x)＝x2，画出函数F(x)＝min{f(x)，g(x)}的图象，如图．由图象可知，函数F(x)＝min{f(x)，g(x)}关于y轴对称，所以A项正确；函数F(x)的图象与x轴有三个交点，所以方程F(x)＝0有三个解，所以B项正确；函数F(x)在(－∞，－1]上单调递增，在[－1，0]上单调递减，在[0，1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减，所以C项错误，D项正确．
【答案】　C
对于已知解析式或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究：
①从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；
②从图象的对称性，分析函数的奇偶性；
③从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．　
角度二　解不等式
设增函数f(x)＝的值域为R，若不等式f(x)≥x＋b的解集为{x|c≤x≤e}，则实数c的值为________．
【解析】　当x>1时，f(x)为增函数，
且f(x)∈(0，＋∞)，
当0即f(x)∈(－∞，a－1]，
因为f(x)为增函数，所以a－1≤0，则a≤1，又函数f(x)的值域为R，
所以a－1≥0，即a≥1，从而a＝1，函数f(x)＝
作出f(x)的大致图象如图所示，因为不等式f(x)≥x＋b的解集为{x|c≤x≤e}，所以数形结合，得ln x＝x＋b的解集为x＝e，那么b＝1－e，当x＝1时，x＋b＝1＋1－e＝2－e<0，故c<1.令＝x＋1－e，得x2－ex＋1＝0，从而x＝(舍去)，则c＝.
【答案】　
利用函数的图象研究不等式的思路
当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上下关系问题或函数图象与坐标轴的位置关系问题，从而利用数形结合法求解．　
角度三　求参数的取值范围
已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是________．
【解析】　先作出函数f(x)＝|x－2|＋1的图象，如图所示，当直线g(x)＝kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g(x)＝kx过A点时斜率为，故f(x)＝g(x)有两个不相等的实根时，k的取值范围为.
【答案】　
【迁移探究】　(变条件)若f(x)>g(x)恒成立，则实数k的取值范围是________．
解析：如图作出函数f(x)的图象，
当－1≤k<时，直线y＝kx的图象恒在函数y＝f(x)的下方．
答案：
当参数的不等关系不易找出时，可将函数(或方程)等价转化为方便作图的两个函数，再根据题设条件和图象确定参数的取值范围．　
1．已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(　　)
A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)
B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)
C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1，1)
D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)
解析：选C．将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值得f(x)＝画出函数f(x)的大致图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1，1)上单调递减．
2．已知函数f(x)＝关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．
解析：问题等价于函数y＝f(x)与y＝－x＋a的图象有且只有一个交点，如图，结合函数图象可知a>1.
答案：(1，＋∞)
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10第6讲　对数与对数函数
1．对数
概念 如果ax＝N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底数N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式
性质 对数式与指数式的互化：ax＝N x＝logaN(a>0，且a≠1)
loga1＝0，logaa＝1，a＝N(a>0且a≠1)
运算法则 loga(M·N)＝logaM＋logaN a>0，且a≠1，M>0，N>0
loga＝logaM－logaN
logaMn＝nlogaM(n∈R)
换底公式 logab＝(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)
2.对数函数的图象与性质
a>1 0图象
性质 定义域：(0，＋∞)
值域：R
过定点(1，0)
当x>1时，y>0当01时，y<0当00
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
3.反函数
指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
常用结论
1．换底公式的三个重要结论
(1)logab＝；(2)logambn＝logab；(3)logab·logbc·logcd＝logad.
2．对数函数图象的特点
(1)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，，函数图象只在第一、四象限．
(2)函数y＝logax与y＝logx(a>0且a≠1)的图象关于x轴对称．
(3)在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大．
常见误区
1．在运算性质logaMn＝nlogaM中，要特别注意M>0的条件，当n∈N*，且n为偶数时，在无M>0的条件下应为logaMn＝nloga|M|.
2．研究对数函数问题应注意函数的定义域．
3．解决与对数函数有关的问题时，若底数不确定，应注意对a>1及0[思考辨析]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若MN>0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.(　　)
(2)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(　　)
(3)函数y＝logax2与函数y＝2logax是相等函数．(　　)
(4)若M>N>0，则logaM>logaN.(　　)
(5)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√
[诊断自测]
1．log29·log34＝(　　)
A．　 B．
C．2 D．4
解析：选D．原式＝log232×log322＝4log23×log32＝4××＝4.
2．函数y＝log2(x＋1)的图象大致是(　　)
解析：选C．函数y＝log2(x＋1)的图象是把函数y＝log2x的图象向左平移一个单位长度得到的，图象过定点(0，0)，函数定义域为(－1，＋∞)，且在(－1，＋∞)上是增函数，故选C．
3．函数f(x)＝＋的定义域为________．
解析：由f(x)＝＋，得得x∈(－1，0)∪(0，2]．
答案：(－1，0)∪(0，2]
4．函数y＝logax(a>0，a≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a＝________．
解析：分两种情况讨论：①当a>1时，有loga4－loga2＝1，解得a＝2；②当0答案：2或
对数式的化简与求值(自主练透)
1．(2020·高考全国卷Ⅰ)设alog34＝2，则4－a＝(　　)
A．　 B．
C． D．
解析：选B．方法一：因为alog34＝2，所以log34a＝2，则有4a＝32＝9，所以4－a＝＝，故选B．
方法二：因为alog34＝2，所以－alog34＝－2，所以log34－a＝－2，所以4－a＝3－2＝＝，故选B．
方法三：因为alog34＝2，所以＝＝log43，所以4＝3，两边同时平方得4a＝9，所以4－a＝＝，故选B．
方法四：因为alog34＝2，所以a＝＝＝log49，所以4－a＝＝，故选B．
方法五：令4－a＝t，两边同时取对数得log34－a＝log3t，即alog34＝－log3t＝log3，因为alog34＝2，所以log3＝2，所以＝32＝9，所以t＝，即4－a＝，故选B．
方法六：令4－a＝t，所以－a＝log4t，即a＝－log4t＝log4.由alog34＝2，得a＝＝＝log49，所以log4＝log49，所以＝9，t＝，即4－a＝，故选B．
2．计算：lg－lg 8＋lg 7＝________．
解析：原式＝lg 4＋lg 2－lg 7－lg 8＋lg 7＋lg 5＝2lg 2＋(lg 2＋lg 5)－2lg 2＝.
答案：
3．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝________．
解析：因为2a＝5b＝m>0，所以a＝log2m，b＝log5m，
所以＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2.所以m2＝10，
所以m＝.
答案：
4．计算：
(1)÷100 eq \s\up6(－)；
(2).
解：(1)原式＝(lg 2－2－lg 52)×100＝lg ×10
＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.
(2)原式＝
＝
＝
＝
＝＝1.
[提醒]　对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数符号有意义的前提下才成立的，不能出现log212＝log2[(－3)×(－4)]＝log2(－3)＋log2(－4)的错误．　
对数函数的图象及应用(师生共研)
(1)若函数y＝a|x|(a>0且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是(　　)
(2)若方程4x＝logax在上有解，则实数a的取值范围为____________．
【解析】　(1)由于y＝a|x|的值域为{y|y≥1}，所以a>1，则y＝loga|x|在(0，＋∞)上是增函数，又函数y＝loga|x|的图象关于y轴对称．因此y＝loga|x|的图象应大致为选项B．
(2)构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，
当a>1时不满足条件，
当0可知，只需两图象在上有交点即可，
则f≥g，即2≥loga，则a≤，
所以a的取值范围为.
【答案】　(1)B　(2)
对数函数图象的识别及应用方法
(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．　
1．已知函数y＝ax＋b的图象如图所示，则函数f(x)＝loga(－x＋b)的图象是(　　)
解析：选D．由题意知00，所以x2．已知函数f(x)＝关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．
解析：问题等价于函数y＝f(x)与y＝－x＋a的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a>1.
答案：(1，＋∞)
对数函数的性质及应用(多维探究)
角度一　比较对数值的大小
(2020·高考全国卷Ⅲ)设a＝log32，b＝log53，c＝，则(　　)
A．aC．b【解析】　因为23<32，所以2<3，所以log3252，所以3>5，所以log53>log55＝，所以b>c，所以a【答案】　A
比较对数值的大小的方法
　
角度二　解对数不等式、方程
(1)方程log2(x－1)＝2－log2(x＋1)的解为________．
(2)设函数f(x)＝若f(a)【解析】　(1)原方程变形为log2(x－1)＋log2(x＋1)＝log2(x2－1)＝2，即x2－1＝4，解得x＝±，又x>1，所以x＝.
(2)由f(a)即或解得0【答案】　(1)　(2)(－∞，－1)∪(0，1)
解对数方程、不等式的方法
(1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0(2)形如logax>b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式．　
角度三　对数型函数的综合问题
已知函数f(x)＝loga(3－ax)．
(1)当x∈[0，2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；
(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．
【解】　(1)因为a>0且a≠1，设t(x)＝3－ax，
则t(x)＝3－ax为减函数，
x∈[0，2]时，t(x)的最小值为3－2a，
当x∈[0，2]时，f(x)恒有意义，
即x∈[0，2]时，3－ax>0恒成立．
所以3－2a>0.所以a<.
又a>0且a≠1，所以a∈(0，1)∪.
(2)t(x)＝3－ax，因为a>0，
所以函数t(x)为减函数．
因为f(x)在区间[1，2]上为减函数，
所以y＝logat为增函数，
所以a>1，当x∈[1，2]时，t(x)最小值为3－2a，f(x)最大值为f(1)＝loga(3－a)，
所以即
故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1.
利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域、最值和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用．　
1．已知函数f(x)＝log2(1＋2－x)，则函数f(x)的值域是(　　)
A．[0，2) B．(0，＋∞)
C．(0，2) D．[0，＋∞)
解析：选B．f(x)＝log2(1＋2－x)，因为1＋2－x>1，
所以log2(1＋2－x)>0，所以函数f(x)的值域是(0，＋∞)，故选B．
2．已知函数f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增，则f(－2)________f(a＋1)．(填“<”“＝”或“>”)
解析：因为f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增，所以a>1，所以a＋1>2.因为f(x)是偶函数，所以f(－2)＝f(2)答案：<
3．已知a>0，若函数f(x)＝log3(ax2－x)在[3，4]上是增函数，则a的取值范围是________．
解析：要使f(x)＝log3(ax2－x)在[3，4]上单调递增，
则y＝ax2－x在[3，4]上单调递增，
且y＝ax2－x>0恒成立，
即解得a>.
答案：
思想方法系列4　数形结合思想在对数函数问题中的应用
设方程10x＝|lg(－x)|的两个根分别为x1，x2，则(　　)
A．x1x2<0 B．x1x2＝0
C．x1x2>1 D．0【解析】　作出y＝10x与y＝|lg(－x)|的大致图象，如图．
显然x1<0，x2<0.
不妨令x1则x1<－1所以10x1＝lg(－x1)，10x2＝－lg(－x2)，
此时10x1<10x2，即lg(－x1)<－lg(－x2)，
由此得lg(x1x2)<0，所以0【答案】　D
一些对数型函数、方程、不等式问题的求解，需转化为相应函数图象问题，利用数形结合法求解．　
　已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)－x＋a.若函数g(x)有两个不同的零点，则(　　)
A．a≤－2
B．a<－2
C．a>2
D．a∈R
解析：选B．函数g(x)有两个不同的零点，即函数y＝f(x)与y＝x－a的图象有两个不同的交点．作出函数y＝f(x)与y＝x－a的图象如图所示，因为x＋＋2>x＋2(x>0)，所以当－a>2，即a<－2时，y＝f(x)与y＝x－a的图象有两个交点，所以选B．
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10第5讲　指数与指数函数
1．根式
(1)根式的概念
①若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n>1且n∈N*.式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
②a的n次方根的表示：
xn＝a
(2)根式的性质
①()n＝a(n∈N*，且n>1)．
②＝
2．有理数指数幂
(1)幂的有关概念
①正分数指数幂：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；
②负分数指数幂：a eq \s\up6(－)＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；
③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义．
(2)有理数指数幂的运算性质
①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
②＝ar－s(a>0，r，s∈Q)；
③(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
④(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
3．指数函数的图象与性质
y＝ax(a>0且a≠1) a>1 0图象
定义域 R
值域 (0，＋∞)
性质 过定点(0，1)
当x>0时，y>1；当x<0时，00时，01
在R上是增函数 在R上是减函数
常用结论
指数函数图象的特点
(1)指数函数的图象恒过点(0，1)，(1，a)，，依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象．
(2)函数y＝ax与y＝(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称．
(3)指数函数y＝ax与y＝bx的图象特征，在第一象限内，图象越高，底数越大；在第二象限内，图象越高，底数越小．
[思考辨析]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)＝()n＝a.(　　)
(2)(－1)＝(－1)＝.(　　)
(3)函数y＝a－x是R上的增函数．(　　)
(4)函数y＝a(a>1)的值域是(0，＋∞)．(　　)
(5)函数y＝2x－1是指数函数．(　　)
(6)若am0，且a≠1)，则m答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×　(6)×
[诊断自测]
1．化简(x<0，y<0)得(　　)
A．2x2y B．2xy
C．4x2y D．－2x2y
解析：选D．因为x<0，y<0，所以＝(16x8·y4)＝(16)·(x8)·(y4)＝2x2|y|＝－2x2y.
2．已知当x>0时，函数f(x)＝(3a－2)x的值总大于1，则实数a的取值范围是(　　)
A． B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．
解析：选C．根据指数函数性质知3a－2>1，解得a>1.故选C．
3．若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点P，则f(－1)＝________．
解析：由题意知＝a2，所以a＝，
所以f(x)＝，所以f(－1)＝＝.
答案：
4．已知函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[1，2]上的最大值比最小值大，则实数a的值为________．
解析：当0所以a＝或a＝0(舍去)．
当a>1时，a2－a＝，
所以a＝或a＝0(舍去)．
综上所述，a＝或.
答案：或
指数幂的化简与求值(自主练透)
1．若实数a>0，则下列等式成立的是(　　)
A．(－2)－2＝4　 B．2a－3＝
C．(－2)0＝－1 D．(a eq \s\up6(－))4＝
解析：选D．对于A，(－2)－2＝，故A错误；对于B，2a－3＝，故B错误；对于C，(－2)0＝1，故C错误；对于D，(a eq \s\up6(－))4＝.
2．计算：－＋＋(0.002) eq \s\up6(－)＝________．
解析：原式＝－＋＋＝－＋＋10＝10.
答案：10
3．已知f(x)＝2x＋2－x，若f(a)＝3，则f(2a)＝________．
解析：由f(a)＝3得2a＋2－a＝3，
所以(2a＋2－a)2＝9，即22a＋2－2a＋2＝9.
所以22a＋2－2a＝7，故f(2a)＝22a＋2－2a＝7.
答案：7
4．化简：÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(2\r(3,b),a)))×＝________(a>0)．
解析：原式＝÷×
＝a(a－2b)××＝a2.
答案：a2
[提醒]　运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．　
指数函数的图象及应用(典例迁移)
(1)已知y1＝，y2＝3x，y3＝10－x，y4＝10x，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象为(　　)
(2)若函数y＝|3x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围为________．
【解析】　(1)y2＝3x与y4＝10x在R上单调递增；y1＝与y3＝10－x＝在R上单调递减，在第一象限内作直线x＝1，该直线与四条曲线交点的纵坐标对应各底数，易知选A．
(2)函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．
由图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以k的取值范围为(－∞，0]．
【答案】　(1)A　(2)(－∞，0]
【迁移探究】
1．(变条件)本例(2)变为：若函数f(x)＝|3x－1|－k有一个零点，则k的取值范围为________．
解析：函数f(x)有一个零点，即y＝|3x－1|与y＝k有一个交点．由本例(2)得y＝|3x－1|的图象如图所示，
故当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有唯一的交点，所以函数f(x)有一个零点．
答案：{0}∪[1，＋∞)
2．(变条件)若本例(2)的条件变为：函数y＝|3x－1|＋m的图象不经过第二象限，则实数m的取值范围是________．
解析：作出函数y＝|3x－1|＋m的图象如图所示．
由图象知m≤－1，即m∈(－∞，－1]．
答案：(－∞，－1]
指数函数图象问题的求解策略
变换作图 对指数型函数的图象与性质问题(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象，然后数形结合使问题得解
数形结合 一些指数型方程、不等式问题的求解，往往利用相应指数型函数图象数形结合求解
1．函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　)
A．a>1，b<0 B．a>1，b>0
C．00 D．0解析：选D．由f(x)＝ax－b的图象可以观察出函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以02．若关于x的方程|ax－1|＝2a(a＞0且a≠1)有两个不等实根，则a的取值范围是________．
解析：方程|ax－1|＝2a(a＞0且a≠1)有两个不等实根转化为函数y＝|ax－1|与y＝2a有两个交点．
(1)当0＜a＜1时，如图①，所以0＜2a＜1，即0＜a＜；
(2)当a＞1时，如图②，而y＝2a＞1不符合要求．
所以0＜a＜.
答案：
指数函数的性质及应用(多维探究)
角度一　比较指数幂的大小
(2021·福建质量检测)已知a＝0.30.6，b＝0.30.5，c＝0.40.5，则(　　)
A．a>b>c B．a>c>b
C．b>c>a D．c>b>a
【解析】　方法一：由指数函数y＝0.3x在定义域内单调递减，得ab，故选D．
方法二：因为＝0.3<1，且＝<1，又a，b，c都为正数，所以c>b>a，故选D．
【答案】　D
比较指数幂大小的常用方法
一是单调性法，不同底的指数函数化同底后就可以应用指数函数的单调性比较大小，所以能够化同底的尽可能化同底．
二是取中间值法，不同底、不同指数的指数函数比较大小时，先与中间值(特别是0，1)比较大小，然后得出大小关系．
三是图解法，根据指数函数的特征，在同一平面直角坐标系中作出它们的函数图象，借助图象比较大小．　
角度二　解指数方程或不等式
若2x2＋1≤，则函数y＝2x的值域是(　　)
A． B．
C． D．[2，＋∞)
【解析】　因为2x2＋1≤＝24－2x，
则x2＋1≤4－2x，即x2＋2x－3≤0，
所以－3≤x≤1，所以≤y≤2.
【答案】　B
解简单的指数方程或不等式问题时，应利用指数函数的单调性转化为一般方程或不等式求解．要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．　
角度三　研究指数型函数的性质
(1)函数f(x)＝的单调递减区间为________．
(2)已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是________．
【解析】　(1)设u＝－x2＋2x＋1，因为y＝在R上为减函数，所以函数f(x)＝的减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的增区间．
又u＝－x2＋2x＋1的增区间为(－∞，1]，
所以函数f(x)的减区间为(－∞，1]．
(2)令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间上单调递增，在区间上单调递减．而y＝2t为R上的增函数，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]．
【答案】　(1)(－∞，1]　(2)(－∞，4]
求指数型复合函数的单调区间和值域的方法
(1)形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)的函数求值域时，要借助换元法：令u＝f(x)，先求出u＝f(x)的值域，再利用y＝au的单调性求出y＝af(x)的值域．
(2)形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)的函数单调性的判断，首先确定定义域D，再分两种情况讨论：
当a>1时，若f(x)在区间(m，n)上(其中(m，n) D)具有单调性，则函数y＝af(x)在区间(m，n)上的单调性与f(x)在区间(m，n)上的单调性相同；
当01．若函数f(x)＝a|x＋1|(a>0且a≠1)的值域为[1，＋∞)，则f(－4)与f(1)的关系是(　　)
A．f(－4)>f(1) B．f(－4)＝f(1)
C．f(－4)解析：选A．由题意知a>1，所以f(－4)＝a3，f(1)＝a2，由指数函数的单调性知a3>a2，所以f(－4)>f(1)．
2．若函数f(x)＝，则f(x)的单调递减区间是(　　)
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
解析：选B．将原函数看成复合函数f(x)＝，u＝|x－2|，f(x)是关于u的减函数，u在[2，＋∞)为增函数，在(－∞，2]为减函数，由复合函数的性质知，f(x)的单调递减区间是[2，＋∞)．
3．定义：区间[x1，x2](x1A． B．1
C． D．2
解析：选B．如图是函数y＝2|x|值域为[1，2]上的图象，使函数y＝2|x|的值域为[1，2]的区间长度最小的区间为[－1，0]，[0，1]，区间长度最大的区间为[－1，1]，从而由定义可知区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为2－1＝1.
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9第4讲　二次函数与幂函数
1．幂函数
(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1.
(2)性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．
2．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)；
③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
(2)二次函数的图象和性质
解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞)
值域
单调性 在上单调递减；在上单调递增 在上单调递增；在上单调递减
奇偶性 当b＝0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数
顶点
对称性 图象关于直线x＝－成轴对称图形
常用结论
1．巧识幂函数的图象和性质
2．记牢一元二次不等式恒成立的条件
(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是
(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是
[思考辨析]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝2x是幂函数．(　　)
(2)当n>0时，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上是增函数．(　　)
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是偶函数．(　　)
(4)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．(　　)
(5)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是.(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)×
[诊断自测]
1．已知幂函数y＝f(x)的图象经过点，则f(2)＝(　　)
A． B．4
C． D．
解析：选C．设f(x)＝xα，因为图象过点，所以f(4)＝4α＝，解得α＝－，所以f(2)＝2 eq \s\up6(－)＝.
2．已知函数f(x)＝x2＋4ax在区间(－∞，6)内单调递减，则a的取值范围是(　　)
A．[3，＋∞) B．(－∞，3]
C．(－∞，－3) D．(－∞，－3]
解析：选D．函数f(x)＝x2＋4ax的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x＝－2a，由函数在区间(－∞，6)内单调递减可知，区间(－∞，6)应在直线x＝－2a的左侧，所以－2a≥6，解得a≤－3，故选D．
3．函数f(x)＝x2－2x＋3在闭区间[0，3]上的最大值为________．最小值为________．
解析：f(x)＝(x－1)2＋2，0≤x≤3，
所以x＝1时，f(x)min＝2，x＝3时，f(x)max＝6.
答案：6　2
4．已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是________．
解析：因为函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，所以解得a>.
答案：
幂函数的图象及性质(自主练透)
1．已知幂函数f(x)＝mxn的图象过点(，2)，设a＝f(m)，b＝f(n)，c＝f(ln 2)，则(　　)
A．cC．b解析：选B．因为函数f(x)＝mxn为幂函数，故m＝1.因为函数f(x)＝mxn的图象过点(，2)，所以()n＝2，解得n＝3.故函数f(x)＝x3，所以函数f(x)为增函数，因为n>m>ln 2，故c2．幂函数y＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象如图所示，则实数m的值为(　　)
A．3 B．0
C．1 D．2
解析：选C．因为函数y在(0，＋∞)上单调递减，所以m2－2m－3<0，解得－13．若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为(　　)
A．－1C．－1解析：选D．幂函数y＝xα，当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上为增函数，且0<α<1时，图象上凸，所以04．若(a＋1)<(3－2a)，则实数a的取值范围是________．
解析：易知函数y＝x的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，
所以解得－1≤a<.
答案：
幂函数的性质与图象特征的关系
(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．
(2)判断幂函数y＝xα(α∈R)的奇偶性时，当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．
(3)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α>0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α<0.　
二次函数的解析式(师生共研)
(一题多解)已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．
【解】　方法一(利用一般式)：
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由题意得
解得所以所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
方法二(利用顶点式)：
设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．因为f(2)＝f(－1)，f(－1)＝－1，所以抛物线的对称轴为x＝＝.所以m＝.又根据题意函数有最大值8，所以n＝8，所以f(x)＝a＋8.
因为f(2)＝－1，所以a＋8＝－1，解得a＝－4，
所以f(x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7.
方法三(利用零点式)：
由已知得f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，
故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1.
又函数有最大值8，即＝8.
解得a＝－4或a＝0(舍去)，
所以所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
求二次函数解析式的方法
根据已知条件确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：
　
1．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋5的图象过点P(－1，11)，且其对称轴是直线x＝1，则a＋b的值是(　　)
A．－2 B．0
C．1 D．2
解析：选A．因为二次函数f(x)＝ax2＋bx＋5的图象的对称轴是直线x＝1，所以－＝1　①.又f(－1)＝a－b＋5＝11，所以a－b＝6　②.联立①②，解得a＝2，b＝－4，所以a＋b＝－2，故选A．
2．已知二次函数f(x)有两个零点0和－2，且它有最小值－1，则f(x)的解析式为f(x)＝________．
解析：由二次函数f(x)有两个零点0和－2，可设f(x)＝a(x＋2)x，则f(x)＝a(x2＋2x)＝a(x＋1)2－a.
又f(x)有最小值－1，则a＝1.所以f(x)＝x2＋2x.
答案：x2＋2x
二次函数的图象与性质(多维探究)
角度一　二次函数图象的识别问题
如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5aA．②④ B．①④
C．②③ D．①③
【解析】　因为二次函数的图象与x轴交于两点，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，①正确；对称轴为x＝－1，即－＝－1，2a－b＝0，②错误；结合图象，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a，又函数图象开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a【答案】　B
识别二次函数图象应学会“三看”
　
角度二　二次函数的单调性问题
(1)函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a的取值范围是(　　)
A．[－3，0] B．(－∞，－3]
C．[－2，0] D．[－3，0]
(2)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)的最小值为f(1)，则f()，f，f()的大小关系是(　　)
A．f()C．f()【解析】　(1)当a＝0时，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意．
当a≠0时，f(x)的对称轴为x＝，
由f(x)在[－1，＋∞)上单调递减，知
解得－3≤a<0.
综上，a的取值范围为[－3，0]．
(2)由已知可得二次函数f(x)图象开口向上，对称轴为x＝1，
因为>|－1|>|－1|，
所以f()【答案】　(1)D　(2)D
【迁移探究】　(变条件)若将本例(1)的条件改为函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a＝________．
解析：由题意知f(x)必为二次函数且a<0，又＝－1，所以a＝－3.
答案：－3
二次函数单调性问题的求解策略
(1)对于二次函数的单调性，关键是开口方向与对称轴的位置．若开口方向或对称轴的位置不确定，则需要分类讨论求解．
(2)利用二次函数的单调性比较大小，一定要将待比较的两数通过二次函数的对称性转化到同一单调区间上比较．　
角度三　二次函数的最值问题
若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m(　　)
A．与a有关，且与b有关
B．与a有关，但与b无关
C．与a无关，且与b无关
D．与a无关，但与b有关
【解析】　f(x)＝－＋b，①当0≤－≤1时，f(x)min＝m＝f＝－＋b，f(x)max＝M＝max{f(0)，f(1)}＝max{b，1＋a＋b}，所以M－m＝max与a有关，与b无关；②当－<0时，f(x)在[0，1]上单调递增，所以M－m＝f(1)－f(0)＝1＋a与a有关，与b无关；③当－>1时，f(x)在[0，1]上单调递减，所以M－m＝f(0)－f(1)＝－1－a与a有关，与b无关．综上所述，M－m与a有关，但与b无关，故选B．
【答案】　B
二次函数最值问题的类型及求解策略
(1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动．
(2)求解策略：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．　
角度四　一元二次不等式恒成立问题
(1)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是____________．
(2)已知函数f(x)＝x2＋2x＋1，f(x)>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，则k的取值范围为____________．
【解析】　(1)作出二次函数f(x)的草图，对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0，
则有
即解得－(2)由题意得x2＋x＋1>k在区间[－3，－1]上恒成立．
设g(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]，则g(x)在[－3，－1]上递减．
所以g(x)min＝g(－1)＝1.
所以k<1.故k的取值范围为(－∞，1)．
【答案】　(1)　(2)(－∞，1)
由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键
(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．
(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a≥f(x)恒成立 a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立 a≤f(x)min.　
1．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)有两个零点，则“－2≤a＋b≤0”是“函数f(x)至少有一个零点属于区间[0，2]”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A．因为函数f(x)至少有一个零点属于区间[0，2]，所以可设f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)有两个零点，分别为x1，x2，其中x1∈[0，2]，x2∈R，则f(x)＝x2＋ax＋b＝(x－x1)(x－x2)，a＋b＝f(1)－1＝(1－x1)(1－x2)－1.由于x1∈[0，2]，x2∈R，所以1－x1∈[－1，1]，1－x2∈R，所以a＋b＝(1－x1)(1－x2)－1∈R.所以“－2≤a＋b≤0”是“函数f(x)至少有一个零点属于区间[0，2]”的充分不必要条件.
2．如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意的实数x都有f(1＋x)＝f(－x)，那么(　　)
A．f(0)B．f(0)C．f(2)D．f(－2)解析：选A．由f(1＋x)＝f(－x)知函数f(x)图象的对称轴为直线x＝，而抛物线的开口向上，且＝，＝，＝，根据到对称轴的距离越远的函数值越大得f(－2)>f(2)>f(0)．故选A．
3．若函数f(x)＝x2－2x＋1在区间[a，a＋2]上的最小值为4，则a的取值集合为________．
解析：因为函数f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，对称轴x＝1，
因为f(x)在区间[a，a＋2]上的最小值为4，
所以当1≤a时，f(x)min＝f(a)＝(a－1)2＝4，解得a＝－1(舍去)或a＝3，
当a＋2≤1，即a≤－1时，f(x)min＝f(a＋2)＝(a＋1)2＝4，解得a＝1(舍去)或a＝－3，
当a<1故a的取值集合为.
答案：
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9第3讲　函数的奇偶性及周期性
1．函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称
奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称
2.函数的周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
常用结论
1．函数奇偶性常用结论
(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
2．函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)．
常见误区
1．判断函数的奇偶性不可忽视函数的定义域．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．
2．函数f(x)是奇函数，必须满足对定义域内的每一个x，都有f(－x)＝－f(x)，而不能说存在x0，使f(－x0)＝－f(x0)．同样偶函数也是如此．
3．不是所有的周期函数都有最小正周期，如f(x)＝5.
[思考辨析]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0.(　　)
(2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(　　)
(3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．(　　)
(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．(　　)
(5)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√
[诊断自测]
1．下列函数中为偶函数的是(　　)
A．y＝x2sin x B．y＝x2cos x
C．y＝|ln x| D．y＝2－x
解析：选B．根据偶函数的定义知偶函数满足f(－x)＝f(x)且定义域关于原点对称，A选项为奇函数，B选项为偶函数，C选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性，D选项既不是奇函数，也不是偶函数．故选B．
2．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3是定义在[a－3，2a]上的偶函数，则a＋b的值是(　　)
A．－1 B．1
C．－3 D．0
解析：选B．因为函数f(x)＝ax2＋bx＋3是定义在[a－3，2a]上的偶函数，所以a－3＋2a＝0，解得a＝1.由f(x)＝f(－x)得b＝0，所以a＋b＝1.故选B．
3．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(－1)＝________．
解析：f(1)＝1×2＝2，
又f(x)为奇函数，
所以f(－1)＝－f(1)＝－2.
答案：－2
4．设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝则f＝________．
解析：f＝f＝f＝－4×＋2＝1.
答案：1
函数的奇偶性及其应用(多维探究)
角度一　判断函数的奇偶性
判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝x3＋x，x∈[－1，4]；
(2)f(x)＝ln ；
(3)f(x)＝＋；
(4)f(x)＝
【解】　(1)因为f(x)＝x3＋x，x∈[－1，4]的定义域不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
(2)f(x)的定义域为(－2，2)，
f(－x)＝ln ＝－ln ＝－f(x)，
所以函数f(x)为奇函数．
(3)f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称．
又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0，
所以f(x)既是奇函数又是偶函数．
(4)f(x)的定义域为R，关于原点对称，
当x＞0时，f(－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)；
当x<0时，f(－x)＝(－x)2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)；
当x＝0时，f(0)＝0，也满足f(－x)＝－f(x)．
故该函数为奇函数．
判定函数的奇偶性的3种常用方法
(1)定义法
(2)图象法
(3)性质法
①设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇；
②复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”．
[提醒]　对函数奇偶性的判断，不能用特殊值法，如存在x0使f(－x0)＝－f(x0)，不能判断函数f(x)是奇函数．
角度二　函数奇偶性的应用
(1)(2019·高考全国卷Ⅱ)设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x＜0时，f(x)＝(　　)
A．e－x－1　 B．e－x＋1
C．－e－x－1 D．－e－x＋1
(2)已知函数f(x)＝x(x－a)＋b，若函数y＝f(x＋1)为偶函数，且f(1)＝0，则b的值为(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
【解析】　(1)通解：依题意得，当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－(e－x－1)＝－e－x＋1，选D．
优解：依题意得，f(－1)＝－f(1)＝－(e1－1)＝1－e，结合选项知，选D．
(2)方法一：由f(x＋1)＝(x＋1)(x＋1－a)＋b＝x2＋(2－a)x＋1－a＋b为偶函数，得a＝2, 又f(1)＝－1＋b＝0，所以b＝1，故选C．
方法二：由y＝f(x＋1)为偶函数，知y＝f(x＋1)的图象关于直线x＝0对称，因而y＝f(x＋1)的图象是由y＝f(x)的图象向左平移1个单位长度得到的，因而y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，故f(x)＝x(x－a)＋b图象的对称轴方程为x＝＝1, 得a＝2.又f(1)＝0，故b＝1，故选C．
【答案】　(1)D　(2)C
已知函数的奇偶性可以解决的3类问题
(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．
(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出．
(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得参数的方程或方程(组)，进而得出参数的值．　
1．函数f(x)＝为奇函数，则实数a＝(　　)
A．－1 B．1
C．－ D．
解析：选C．由题得f(x)为奇函数，则f(0)＝0，即0＋2a＋3＝0，所以a＝－，此时f(x)＝为奇函数．
2．如果f(x)是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是(　　)
A．y＝x＋f(x) B．y＝xf(x)
C．y＝x2＋f(x) D．y＝x2f(x)
解析：选B．因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．
对于A，g(－x)＝－x＋f(－x)＝－x－f(x)＝－g(x)，所以y＝x＋f(x)是奇函数．
对于B，g(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)＝g(x)，
所以y＝xf(x)是偶函数．
对于C，g(－x)＝(－x)2＋f(－x)＝x2－f(x)，
所以y＝x2＋f(x)为非奇非偶函数．
对于D，g(－x)＝(－x)2f(－x)
＝－x2f(x)＝－g(x)，所以y＝x2f(x)是奇函数．
3．(一题多解)已知函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－x，则当x<0时，函数f(x)的最大值为________．
解析：方法一：当x<0时，－x>0，所以f(－x)＝x2＋x.
又因为函数f(x)为奇函数，
所以f(x)＝－f(－x)＝－x2－x＝－＋，
所以当x<0时，函数f(x)的最大值为.
方法二：当x>0时，f(x)＝x2－x＝－，最小值为－，因为函数f(x)为奇函数，所以当x<0时，函数f(x)的最大值为.
答案：
函数的周期性及其应用(师生共研)
(1)函数f(x)在R上满足f(x＋1)＝f(x－1)，且f(x)＝其中a∈R，若f(－5)＝f(4.5)，则a＝(　　)
A．0.5 B．1.5
C．2.5 D．3.5
(2)已知定义在R上且周期为4的函数f(x)满足f(x＋1)是偶函数，且当x∈[0，1]时，f(x)＝1－x2，则f()＝________．
【解析】　(1)由f(x＋1)＝f(x－1)，得f(x)是周期为2的周期函数，又f(－5)＝f(4.5)，所以f(－1)＝f(0.5)，即－1＋a＝1.5，所以a＝2.5.故选C．
(2)由函数f(x)的周期为4，得f＝f＝f.因为f(x＋1)是偶函数，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f＝f.又当x∈[0，1]时，f(x)＝1－x2，所以f＝f＝1－＝.
【答案】　(1)C　(2)
函数的周期性的判定与应用
(1)判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．
(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．　
1．已知定义在R上的函数满足f(x＋2)＝－，当x∈(0，2]时，f(x)＝2x－1.则f(17)＝________．
解析： 因为f(x＋2)＝－，
所以f(x＋4)＝－＝f(x)，
所以函数y＝f(x)的周期T＝4.
f(17)＝f(4×4＋1)＝f(1)＝1.
答案：1
2．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3，0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________．
解析：因为f(x＋4)＝f(x－2)，
所以f(x＋6)＝f(x)，则T＝6是f(x)的周期．
所以f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)．
又f(x)在R上是偶函数，
所以f(1)＝f(－1)＝6－(－1)＝6，即f(919)＝6.
答案：6
函数性质的综合应用(多维探究)
角度一　函数的单调性与奇偶性
(1)设f(x)是定义在[－2b，3＋b]上的偶函数，且在[－2b，0]上为增函数，则f(x－1)≥f(3)的解集为(　　)
A．[－3，3] B．[－2，4]
C．[－1，5] D．[0，6]
(2)已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0.设a＝ln，b＝(ln 3)2，c＝ln，则(　　)
A．f(a)>f(b)>f(c) B．f(b)>f(a)>f(c)
C．f(c)>f(a)>f(b) D．f(c)>f(b)>f(a)
【解析】　(1)因为f(x) 定义在[－2b，3＋b]上的偶函数，
所以有－2b＋3＋b＝0，解得b＝3，
由函数f(x)在[－6，0]上为增函数，得f(x)在(0，6]上为减函数．故f(x－1)≥f(3) f(|x－1|)≥f(3) |x－1|≤3，故－2≤x≤4.
(2)由题意易知f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
又因为|a|＝ln 3>1，b＝(ln 3)2>|a|，0所以f(c)>f(|a|)>f(b)．又由题意知f(a)＝f(|a|)，所以f(c)>f(a)>f(b)．故选C．
【答案】　(1)B　(2)C
函数的单调性与奇偶性的综合问题的解题思路
(1)解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性．
(2)解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)角度二　函数的周期性与奇偶性
(1)已知定义在R上的奇函数f(x)，对任意实数x，恒有f(x＋3)＝－f(x)，且当x∈时，f(x)＝x2－6x＋8，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 020)＝(　　)
A．6 B．3
C．0 D．－3
(2)已知函数y＝f(x)满足y＝f(－x)和y＝f(x＋2)是偶函数，且f(1)＝，设F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(3)＝　(　　)
A． B．
C．π D．
【解析】　(1)根据题意，对任意实数x，恒有f(x＋3)＝－f(x)．则有f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，即函数f(x)是周期为6的周期函数，又由f(x)为定义在R上的奇函数，得f(0)＝0，则f(3)＝－f(0)＝0.又由当x∈时，f(x)＝x2－6x＋8，得f(1)＝3，f(2)＝f(－1＋3)＝－f(－1)＝f(1)＝3.
f(4)＝f(1＋3)＝－f(1)＝－3，f(5)＝f(2＋3)＝－f(2)＝－3.
则有f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝0，
则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 020)＝[f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(5)]×336＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝3.故选B．
(2)由y＝f(－x)和y＝f(x＋2)是偶函数知f(－x)＝f(x)，且f(x＋2)＝f(－x＋2)，则f(x＋2)＝f(x－2)．
所以f(x＋4)＝f(x)，则y＝f(x)的周期为4.
所以F(3)＝f(3)＋f(－3)＝2f(3)＝2f(－1)＝2f(1)＝.
【答案】　(1)B　(2)B
周期性与奇偶性结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的定义域内求解．　
1．已知偶函数f(x)的定义域为(－3，3)，且f(x)在[0，3)上是减函数，f(m－1)－f(3m－1)>0，则实数m的取值范围是(　　)
A． B．(－∞，0)∪
C．∪ D．
解析：选C．因为f(x)为偶函数，且在[0，3)上是减函数，
所以f(x)在(－3，0)上是增函数．f(m－1)－f(3m－1)>0可化为f(m－1)>f(3m－1)．因为f(x)为偶函数，所以f(m－1)>f(3m－1)即为f(|m－1|)>f(|3m－1|)．又f(x)在[0，3)上为减函数，所以解得m∈∪，故选C．
2．已知定义在R上的奇函数y＝f(x)满足f(x＋8)＋f(x)＝0，且f(5)＝5，则f(2 019)＋f(2 024)＝(　　)
A．－5 B．5
C．0 D．4 043
解析：选B．由f(x＋8)＋f(x)＝0，得f(x＋8)＝－f(x)，所以f(x＋16)＝－f(x＋8)＝f(x)，故函数y＝f(x)是以16为周期的周期函数．在f(x＋8)＋f(x)＝0中，令x＝0，得f(8)＋f(0)＝0，因为函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0.故f(8)＝0.故f(2 024)＝f(16×126＋8)＝f(8)＝0.又在f(x＋8)＋f(x)＝0中，令x＝－3，得f(5)＋f(－3)＝0，得f(5)＝－f(－3)＝f(3)＝5，则f(2 019)＝f(16×126＋3)＝f(3)＝5，所以f(2 019)＋f(2 024)＝5.故选B．
思想方法系列3　活用函数性质中“三个二级”结论
函数的奇偶性、周期性、对称性及单调性，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．
一、奇函数的最值性质
已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的x∈D，都有f(x)＋f(－x)＝0.特别地，若奇函数f(x) 在D上有最值，则f(x)max＋f(x)min＝0，且若0∈D，则f(0)＝0.
设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________．
【解析】　函数f(x)的定义域为R，
f(x)＝＝1＋，
设g(x)＝，则g(－x)＝－g(x)，
所以g(x)为奇函数，
由奇函数图象的对称性知g(x)max＋g(x)min＝0，
所以M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2.
【答案】　2
二、抽象函数的周期性
(1)如果f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
(2)如果f(x＋a)＝(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
(3)如果f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，有f(x＋3)＝－f(x)，且当x∈(0，3)时，f(x)＝x＋1，则f(－2 023)＋f(2 024)＝(　　)
A．3　 B．2
C．1 D．0
【解析】　因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，
所以f(－2 023)＝－f(2 023)，
因为当x≥0时，有f(x＋3)＝－f(x)，
所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，即当x≥0时，自变量的值每增加6，对应函数值重复出现一次．
又当x∈(0，3)时，f(x)＝x＋1，
所以f(2 023)＝f(337×6＋1)＝f(1)＝2，
f(2 024)＝f(337×6＋2)＝f(2)＝3.
故f(－2 023)＋f(2 024)＝－f(2 023)＋3＝1.
【答案】　C
三、抽象函数的对称性
已知函数f(x)是定义在R上的函数．
(1)若f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，特别地，若f(a＋x)＝f(a－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(2)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝0，即f(x)＝－f(2a－x)，则f(x)的图象关于点(a，0)对称．
已知定义在R上的函数f(x)满足条件f(x＋2)＝－f(x)，且函数f(x－1)为奇函数，则下列说法中错误的是(　　)
A．函数f(x)是周期函数
B．函数f(x)的图象关于点(－1，0)对称
C．函数f(x)为R上的偶函数
D．函数f(x)为R上的单调函数
【解析】　因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故A正确；
因为函数f(x－1)为奇函数，所以函数f(x－1)的图象关于原点中心对称，所以函数f(x)的图象关于点(－1，0)对称．所以B正确；
因为函数f(x－1)为奇函数，
所以f(－x－1)＝－f(x－1)，
根据f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋1)＝－f(x－1)，所以f(x＋1)＝f(－x－1)，f(－x)＝f(x)，即函数f(x)为R上的偶函数，C正确；
因为函数f(x－1)为奇函数，所以f(－1)＝0，又函数f(x)为R上的偶函数，f(1)＝0，所以函数不单调，D不正确．
【答案】　D
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11第2讲　函数的单调性与最值
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．
2．函数的最值
前提 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件 (1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (1)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论 M为最大值 M为最小值
常用结论
1．函数单调性的两个等价结论
设 x1，x2∈D(x1≠x2)，则
(1)>0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0) f(x)在D上单调递增．
(2)<0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0) f(x)在D上单调递减．
2．函数最值存在的两个结论
(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到．
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．
常见误区
1．求函数的单调区间，应先确定函数的定义域，脱离定义域研究函数的单调性是常见的错误．
2．有多个单调区间应分开写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“逗号”或“和”联结．
[思考辨析]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若定义在R上的函数f(x)，有f(－1)(2)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数f(x)的单调递增区间是[1，＋∞)．(　　)
(3)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(　　)
(4)所有的单调函数都有最值．(　　)
(5)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．(　　)
(6)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点处取到．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×　(6)√
[诊断自测]
1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递减的是(　　)
A．y＝－x　 B．y＝x2－x
C．y＝ln x－x D．y＝ex
解析：选A．对于A，y1＝在区间(0，＋∞)上是减函数，y2＝x在区间(0，＋∞)内是增函数，则y＝－x在区间(0，＋∞)上是减函数；B，C选项中的函数在区间(0，＋∞)上均不单调；选项D中，y＝ex在区间(0，＋∞)上是增函数．
2．已知函数f(x)＝，则该函数的单调递增区间为(　　)
A．(－∞，1] B．[3，＋∞)
C．(－∞，－1] D．[1，＋∞)
解析：选B．设t＝x2－2x－3，由t≥0，即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3.所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t＝x2－2x－3的图象的对称轴为x＝1，所以函数t在区间(－∞，－1]上单调递减，在区间[3，＋∞)上单调递增．所以函数f(x)的单调递增区间为[3，＋∞)．
3．已知函数f(x)＝，x∈[2，6]，则f(x)的最大值为________，最小值为__________．
解析：可判断函数f(x)＝在区间[2，6]上为减函数，所以f(x)max＝f(2)＝2，f(x)min＝f(6)＝.
答案：2　
4．若函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，则k的取值范围是________．
解析：因为函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，所以2k＋1＜0，即k＜－.
答案：
确定函数的单调性(区间)(多维探究)
角度一　判断或证明函数的单调性
试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1，1)上的单调性．
【解】　方法一：设－1f(x)＝a＝a，
f(x1)－f(x2)＝a－a＝，
因为－10，x1－1<0，x2－1<0，
故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上单调递减；
当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)方法二：f′(x)＝＝＝－.
当a>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1，1)上单调递减；
当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1，1)上单调递增．
利用定义法证明或判断函数单调性的步骤
[注意]　判断函数的单调性还有图象法、导数法、性质法等．
角度二　求函数的单调区间
求函数f(x)＝－x2＋2|x|＋1的单调区间．
【解】　f(x)＝＝
画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为(－∞，－1]和(0，1]，单调递减区间为(－1，0]和(1，＋∞)．
【迁移探究】　(变条件)若本例函数变为f(x)＝|－x2＋2x＋1|，如何求解？
解：函数y＝|－x2＋2x＋1|的图象如图所示．由图象可知，函数y＝|－x2＋2x＋1|的单调递增区间为[1－，1]和[1＋，＋∞)；单调递减区间为(－∞，1－]和[1，1＋]．
确定函数的单调区间的方法
1．函数y＝|x|(1－x)在区间A上是增函数，那么区间A可能是(　　)
A．(－∞，0) B．
C．[0，＋∞) D．
解析：选B．y＝|x|(1－x)＝
＝＝
画出函数的草图，如图．
由图易知原函数在上单调递增．
2．下列函数中，不满足“ x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0”的是(　　)
A．y＝－ B．y＝x
C．y＝x2 D．y＝|x－1|
解析：选D．由(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0可知，f(x)在 (0，＋∞)上是增函数．对于A项，y＝－在(0，＋∞)上单调递增，所以A项符合题意；对于B项，y＝x在(0，＋∞)上单调递增，所以B项符合题意；对于C项，y＝x2在(0，＋∞)上单调递增，所以C项符合题意；对于D项，y＝|x－1|在(0，＋∞)上不单调，故选D．
3．判断函数f(x)＝的单调性．
解：因为函数f(x)＝＝2x－，其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，而函数y＝2x和y＝－在区间(－∞，0)上均为增函数，根据单调函数的运算性质，可得f(x)＝2x－在区间(－∞，0)上为增函数．
同理，可得f(x)＝2x－在区间(0，＋∞)上也是增函数．
故函数f(x)＝在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上均为增函数．
函数的最值(值域)(师生共研)
(1)函数y＝的值域是________．
(2)函数y＝x＋的最小值为________．
(3)已知函数f(x)＝若f(－1)＝f(1)，则实数a＝________；若y＝f(x)存在最小值，则实数a的取值范围为________．
【解析】　(1)(分离常数法)因为y＝＝－1＋，又因为1＋x2≥1，所以0<≤2，所以－1<－1＋≤1，所以函数y的值域为(－1，1]．
(2)方法一(换元法)：令t＝，且t≥0，则x＝t2＋1，
所以原函数变为y＝t2＋1＋t，t≥0.
配方得y＝＋，
又因为t≥0，所以y≥＋＝1，
故函数y＝x＋的最小值为1.
方法二：因为函数y＝x和y＝在定义域内均为增函数，故函数y＝x＋在[1，＋∞)上为增函数，所以ymin＝1.
(3)由f(－1)＝f(1)，得＝log2(1－a)，解得a＝1－.由题意知，函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上也单调递增，且函数f(x)在(－∞，0)上无最小值，所以要使y＝f(x)存在最小值，则解得－1≤a＜0，即a的取值范围为[－1，0)．
【答案】　(1)(－1，1]　(2)1　(3)1－　[－1，0)
求函数最值的五种常用方法
[注意]　导数法求最值下章讲解，数形结合求最值见本节方法素养．　
1．已知1≤x≤5，则下列函数中，最小值为4的是(　　)
A．y＝4x＋ B．y＝x＋
C．y＝－x2＋2x＋3 D．y＝5－
解析：选D．易知函数y＝4x＋在[1，5]上单调递增，所以4x＋≥5，A不符合题意；
因为x≥1，所以y＝x＋＝x＋1＋－1≥4－1＝3(当且仅当x＝1时取等号)，故其最小值不为4，B不符合题意；
y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，其最大值为4(当x＝1时取得)，最小值是f(5)＝－12，C不符合题意；
因为函数y＝5－在(0，＋∞)上单调递增，所以在区间[1，5]上也是增函数，其最小值为f(1)＝5－＝4，符合题意．故选D．
2．函数y＝的最大值为________．
解析：令 ＝t，则t≥2，
所以x2＝t2－4，所以y＝＝，
设h(t)＝t＋，则h(t)在[2，＋∞)上为增函数，
所以h(t)min＝h(2)＝，所以y≤＝(x＝0时取等号)．即y最大值为.
答案：
函数单调性的应用(多维探究)
角度一　比较函数值的大小
已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(e)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．c>a>b B．c>b>a
C．a>c>b D．b>a>c
【解析】　因为f(x)的图象关于直线x＝1对称．由此可得f＝f.
当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，
知f(x)在(1，＋∞)上单调递减．
因为1<2<f>f(e)，
所以b>a>c.
【答案】　D
利用函数的单调性比较函数值大小的方法
比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，则要利用函数的性质，将自变量的值转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题通常选用数形结合的方法进行求解．　
角度二　解函数不等式
已知函数f(x)＝ln x＋2x，若f(x2－4)<2，则实数x的取值范围是________．
【解析】　因为函数f(x)＝ln x＋2x在定义域(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝ln 1＋2＝2，所以由f(x2－4)<2得，f(x2－4)【答案】　(－，－2)∪(2，)
在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解，此时应特别注意函数的定义域．　
角度三　求参数的值(范围)
已知f(x)＝是(－∞，＋∞)上的减函数，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0，1) B．
C． D．
【解析】　由f(x)是减函数，得
所以≤a<，所以实数a的取值范围是.
【答案】　C
利用单调性求参数的策略
(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；
(2)若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．
[注意]分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．　
1．已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x－1)A． B．
C． D．
解析：选D．因为函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f(2x－1)2．函数y＝|2x－a|在[－1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1] B．(－∞，－2]
C．(－∞，1] D．(－∞，2]
解析：选B．因为函数y＝|2x－a|的单调递增区间是，且函数y＝|2x－a|在[－1，＋∞)上单调递增，所以[－1，＋∞) ，所以≤－1，解得a≤－2.故选B．
思想方法系列2　数形结合法求函数的值域或最值
(1)若函数f(x)＝则函数f(x)的值域是(　　)
A．(－∞，2)　 B．(－∞，2]
C．[0，＋∞) D．(－∞，0)∪(0，2)
(2)已知函数f(x)是定义在R上的增函数，函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，若对任意的x，y∈R，不等式f(x2－6x＋21)＋f(y2－8y)<0恒成立，则当x>3时，x2＋y2的取值范围是(　　)
A．(3，7) B．(9，25)
C．(13，49) D．(9，49)
【解析】　(1)分别画出y＝2x(x<1)和y＝－log2x(x≥1)的图象，如图．由图象可知，函数的值域为(－∞，2)．
(2)由函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，可知函数y＝f(x)的图象关于原点(0，0)对称，
即函数y＝f(x)为奇函数，由f(x2－6x＋21)＋f(y2－8y)<0，得f(x2－6x＋21)整理得(x－3)2＋(y－4)2<4，
当x>3时，(x－3)2＋(y－4)2<4表示以M(3，4)为圆心，2为半径的右半圆内部，x2＋y2可看作半圆内部上的点到原点的距离的平方，可知当延长OM交半圆于点B时，x2＋y2的值最大，即(＋2)2＝49，当在点A时x2＋y2的值最小，最小值为32＋22＝13，故x2＋y2的取值范围是(13，49)．
【答案】　(1)A　(2)C
(1)数形结合求函数的值域就是将函数与其图象有机地结合起来，利用图形的直观性求函数的值域，其题型特点就是这些函数的解析式具有某种几何意义，如两点的距离公式或直线的斜率等．
(2)数形结合求函数值域的原则是先确定函数的定义域，再根据函数的具体形式及运算确定其值域．　
　求函数y＝＋的值域．
解：y＝＋＝＋，
把函数看成坐标系内的点与点间的距离和，P(x，0)，A(－2，－2)，B(2，1)，即y＝|PA|＋|PB|.
通过观察图象，当点P在线段AB上时，y＝|PA|＋|PB|取到最小值，y＝|AB|＝5.
所以|PA|＋|PB|≥5，即函数y的值域为[5，＋∞)．
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10第1讲 函数及其表示
知识点 最新考纲
函数及其表示 了解函数、映射的概念． 了解函数的定义域、值域及三种表示法(解析法、图象法和列表法)． 了解简单的分段函数，会用分段函数解决简单的问题.
函数的基本性质 理解函数的单调性、奇偶性，会判断函数的单调性、奇偶性． 理解函数的最大(小)值的含义，会求简单函数的最大(小)值.
指数函数 了解指数幂的含义，掌握有理指数幂的运算． 理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象、性质及应用.
对数函数 理解对数的概念，掌握对数的运算，会用换底公式． 理解对数函数的概念，掌握对数函数的图象、性质及应用.
幂函数 了解幂函数的概念． 掌握幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象和性质.
函数与方程 了解函数零点的概念，掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法.
函数模型及其应用 了解指数函数、对数函数以及幂函数的变化特征． 能将一些简单的实际问题转化为相应的函数问题，并给予解决.
第1讲　函数及其表示
1．函数的概念
(1)函数的定义
①A，B是两个非空数集．
②对于A中任意一元素x，B中都有唯一确定的元素y与之对应．
(2)定义域：x的取值范围A.
(3)值域：函数值的集合．
2．函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(3)函数的表示法
表示函数的常用方法：解析法、图象法和列表法．
3．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
特别提醒
1．判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致．
2．直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有0个或1个交点．
常见误区
1．函数定义域是研究函数的基础依据，必须坚持定义域优先的原则，明确自变量的取值范围．
2．分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
[思考辨析]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数f(x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t是相等函数．(　　)
(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．(　　)
(3)函数f(x)的图象与直线x＝1最多有一个交点．(　　)
(4)分段函数是由两个或几个函数组成的．(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)×
[诊断自测]
1．已知函数f(x)＝，则函数f(x)的定义域为(　　)
A．(－∞，3)　 B．(－∞，2)∪(2，3]
C．(－∞，2)∪(2，3) D．(3，＋∞)
解析：选C．要使函数有意义，则即即x<3且x≠2，即函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，3)，故选C．
2．下列图形中可以表示为以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的是(　　)
解析：选C．A项，函数定义域为M，但值域不是N；B项，函数定义域不是M，值域为N；D项，集合M中存在x与集合N中的两个y对应，不能构成函数关系．故选C项．
3．已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列从P到Q的各对应关系f不是函数的是________．(填序号)
①f：x→y＝x；②f：x→y＝x；
③f：x→y＝x；④f：x→y＝.
解析：对于③，因为当x＝4时，y＝×4＝ Q，所以③不是函数．
答案：③
4．已知f()＝x－1，则f(x)＝________．
解析：令t＝，则t≥0，x＝t2，所以f(t)＝t2－1(t≥0)，即f(x)＝x2－1(x≥0)．
答案：x2－1(x≥0)
函数的定义域(自主练透)
1．函数f(x)＝＋ln(2x－x2)的定义域为(　　)
A．(2，＋∞) B．(1，2)
C．(0，2) D．[1，2]
解析：选B．要使函数有意义，则
解得1所以函数f(x)＝＋ln(2x－x2)的定义域为(1，2)．
2．若函数f(x)的定义域为[0，6]，则函数的定义域为(　　)
A．(0，3) B．[1，3)∪(3，8]
C．[1，3) D．[0，3)
解析：选D．因为函数f(x)的定义域为[0，6]，所以0≤2x≤6，解得0≤x≤3.又因为x－3≠0，所以函数的定义域为[0，3)．
3．如果函数f(x)＝ln(－2x＋a)的定义域为(－∞，1)，那么实数a的值为(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
解析：选D．因为－2x＋a>0，
所以x<，所以＝1，所以a＝2.
4．若函数f(x)＝的定义域为一切实数，则实数m的取值范围是________．
解析：由题意可得mx2＋mx＋1≥0对x∈R恒成立．
当m＝0时，1≥0恒成立；
当m≠0时，则
解得0答案：[0，4]
求函数定义域的两种方法
方法 解读 适合题型
直接法 构造使解析式有意义的不等式(组)求解 已知函数的具体表达式，求f(x)的定义域
转移法 若y＝f(x)的定义域为(a，b)，则解不等式a若y＝f(g(x))的定义域为(a，b)，则求出g(x)在(a，b)上的值域即得f(x)的定义域 已知f(g(x))的定义域，求f(x)的定义域
[提醒]　定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．　
函数的解析式(师生共研)
(1)已知函数f＝lg x，则f(x)的解析式为________．
(2)若f(x)为二次函数且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2，则f(x)的解析式为________．
(3)已知函数f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝2x，则f(x)的解析式为________．
【解析】　(1)(换元法)令＋1＝t，
得x＝，因为x＞0，所以t＞1，
所以f(t)＝lg(t>1)，
即f(x)的解析式是f(x)＝lg(x>1)．
(2)(待定系数法)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
又f(0)＝c＝3，
所以f(x)＝ax2＋bx＋3，
所以f(x＋2)－f(x)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋3－(ax2＋bx＋3)＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2.
所以
所以
所以函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－x＋3.
(3)(解方程组法)因为2f(x)＋f(－x)＝2x，①
将x换成－x得2f(－x)＋f(x)＝－2x，②
由①②消去f(－x)，得3f(x)＝6x，
所以f(x)＝2x.
【答案】　(1)f(x)＝lg(x＞1)
(2)f(x)＝x2－x＋3　(3)f(x)＝2x
求函数解析式的4种方法
　
1．(一题多解)已知二次函数f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，则f(x)＝________．
解析：方法一(换元法)：令2x＋1＝t(t∈R)，
则x＝，
所以f(t)＝4－6·＋5＝t2－5t＋9(t∈R)，
所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．
方法二(配凑法)：因为f(2x＋1)＝4x2－6x＋5＝(2x＋1)2－10x＋4＝(2x＋1)2－5(2x＋1)＋9，所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．
方法三(待定系数法)：因为f(x)是二次函数，所以设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f(2x＋1)＝a(2x＋1)2＋b(2x＋1)＋c＝4ax2＋(4a＋2b)x＋a＋b＋c.
因为f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，
所以解得
所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．
答案：x2－5x＋9(x∈R)
2．设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实数根，且f′(x)＝2x＋2；求f(x)的解析式．
解：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b＝2x＋2，所以a＝1，b＝2，所以f(x)＝x2＋2x＋c.又因为方程f(x)＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝4－4c＝0，解得c＝1，故f(x)＝x2＋2x＋1.
分段函数(多维探究)
角度一　求分段函数的函数值
已知a>0且a≠1，函数f(x)＝若f(0)＋f(2)＝0，则a＝________，f(f())＝________．
【解析】　易知f(0)＝－1.因为f(0)＋f(2)＝0，所以f(2)＝1，即loga2＝1，得a＝2.所以函数f(x)＝所以f＝log2＝－1，f＝f(－1)＝＝－.
【答案】　2　－
分段函数的求值问题的解题思路
(1)求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应由内到外依次求值．
(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．　
角度二　分段函数与方程、不等式问题
(1)(一题多解)设f(x)＝若f(a)＝f(a＋1)，则f＝(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
(2)已知函数f(x)＝则f(x)【解析】　(1)方法一：当0＜a＜1时，a＋1＞1，
所以f(a)＝，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a.
由f(a)＝f(a＋1)得＝2a，
所以a＝.
此时f＝f(4)＝2×(4－1)＝6.
当a≥1时，a＋1＞1，
所以f(a)＝2(a－1)，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a.
由f(a)＝f(a＋1)得2(a－1)＝2a，无解．
综上，f＝6，故选C．
方法二：因为当0＜x＜1时，f(x)＝，为增函数，
当x≥1时，f(x)＝2(x－1)，为增函数，
又f(a)＝f(a＋1)，
所以＝2(a＋1－1)，
所以a＝.
所以f＝f(4)＝6.
(2)当x≤0时，x＋1≤1，易知f(x)单调递增，所以f(x)＜f(x＋1)恒成立；当0＜x≤1时，1＜x＋1≤2，所以f(x)∈(1，2]，f(x＋1)∈[－1，0)，则f(x)＜f(x＋1)不成立；当x＞1时，f(x)＜f(x＋1)可化为x2－4x＋3＜(x＋1)2－4(x＋1)＋3，解得x＞，所以x＞.综上，f(x)＜f(x＋1)的解集为(－∞，0]∪.
【答案】　(1)C　(2)(－∞，0]∪
求解分段函数与方程、不等式问题的方法
方法一：解决此类问题时，先在分段函数的各段上分别求解，然后将求出的值或范围与该段函数的自变量的取值范围求交集，最后将各段的结果合起来(取并集)即可．
方法二：如果分段函数的图象易得，也可以画出函数图象后结合图象求解．　
1．已知函数f(x)＝若f＝－6，则实数a的值为________，f(2)＝________．
解析：由题意得，f＝3×＋1＝3，
所以f＝f(3)＝9＋3a＝－6，
所以a＝－5，f(2)＝4－5×2＝－6.
答案：－5　－6
2．设函数f(x)＝则使f(x)＝的x的集合为________．
解析：由题意知，若x≤0，则2x＝，解得x＝－1；
若x>0，则|log2x|＝，
解得x＝2或x＝2 eq \s\up6(－).
故所求x的集合为.
答案：
3．已知函数f(x)＝若a[f(a)－f(－a)]>0，则实数a的取值范围为________．
解析：当a>0时，不等式a[f(a)－f(－a)]>0可化为a2＋a－3a>0，解得a>2.当a<0时，不等式a[f(a)－f(－a)]>0可化为－a2－2a<0，解得a<－2.综上所述，a的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．
答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)
函数的新定义问题(师生共研)
在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，若函数f(x)的图象恰好经过n(n∈N*)个整点，则称函数f(x)为n阶整点函数．给出下列函数：
①f(x)＝sin 2x；②g(x)＝x3；
③h(x)＝；④φ(x)＝ln x.
其中是一阶整点函数的是(　　)
A．①②③④ B．①③
C．①④ D．④
【解析】　对于函数f(x)＝sin 2x，它的图象(图略)只经过一个整点(0，0)，所以它是一阶整点函数，排除D；
对于函数g(x)＝x3，它的图象(图略)经过整点(0，0)，(1，1)，…，所以它不是一阶整点函数，排除A；
对于函数h(x)＝，它的图象(图略)经过整点(0，1)，(－1，3)，…，所以它不是一阶整点函数，排除B．故选C．
【答案】　C
(1)函数新定义问题的一般形式是：由命题者先给出一个新的概念、新的运算法则，或者给出一个抽象函数的性质等，然后让学生按照这种“新定义”去解决相关的问题．
(2)破解函数的新定义题的关键：紧扣新定义函数的含义，学会语言的翻译、新旧知识的转化，便可使问题顺利获解．如本例，若能把新定义的一阶整点函数转化为函数f(x)的图象恰好经过1个整点，问题便迎刃而解．　
1．若函数f(x)满足：对定义域内任意的x1，x2(x1≠x2)，均有f(x1)＋f(x2)>2f()，则称函数f(x)具有H性质，则下列函数不具有H性质的是(　　)
A．f(x)＝()x B．f(x)＝ln x
C．f(x)＝x2(x≥0) D．f(x)＝tan x(0≤x<)
解析：选B．若对定义域内任意的x1，x2(x1≠x2)，均有f(x1)＋f(x2)＞2f，则点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))连线的中点在点的上方，示意图如图所示
.根据基本初等函数f(x)＝，f(x)＝ln x，f(x)＝x2(x≥0)，f(x)＝tan x的图象可知，函数f(x)＝，f(x)＝x2(x≥0)，f(x)＝tan x具有H性质，函数f(x)＝ln x不具有H性质，故选B．
2．若函数f(x)同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”：
(1) x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0；
(2) x1，x2∈R，且x1≠x2，都有<0.
①f(x)＝sin x；②f(x)＝－2x3；③f(x)＝1－x.
以上三个函数中，________是“优美函数”．(填序号)
解析：由条件(1)，得f(x)是R上的奇函数，由条件(2)，得f(x)是R上的单调递减函数．对于①，f(x)＝sin x在R上不单调，故不是“优美函数”；对于②，f(x)＝－2x3既是奇函数，又在R上单调递减，故是“优美函数”；对于③，f(x)＝1－x不是奇函数，故不是“优美函数”．
答案：②
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