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2022年福建省宁德市中考数学一检试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．2的相反数是（　　）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
2．下列运算正确的是（　　）
A．a+a2＝a3 B．a2 a3＝a6 C．a5÷a3＝a2 D．（a2）3＝a5
3．如图是3个相同的小正方体组合而成的几何体，它的俯视图是（　　）
A． B． C． D．
4．闽北某村原有林地120公顷，旱地60公顷，为适应产业结构调整，需把一部分旱地改造为林地，改造后，旱地面积占林地面积的20%，设把x公顷旱地改造为林地，则可列方程为（　　）
A．60﹣x＝20%（120+x） B．60+x＝20%×120
C．180﹣x＝20%（60+x） D．60﹣x＝20%×120
5．下列尺规作图，能判断AD是△ABC边上的高是（　　）
A． B．
C． D．
6．如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于（　　）
A．15° B．30° C．45° D．60°
7．如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，P是线段AB上任意一点（不包括端点），过点P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为8，则该直线的函数表达式是（　　）
A．y＝﹣x+4 B．y＝x+4 C．y＝x+8 D．y＝﹣x+8
8．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．若线段AD长为正整数，则点D的个数共有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，将△ABC折叠，使点A落在BC边上的点D处，EF为折痕，若AE＝3，则sin∠BFD的值为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在菱形ABOC中，AB＝2，∠A＝60°，菱形的一个顶点C在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，则反比例函数的解析式为（　　）
A．y＝﹣ B．y＝﹣ C．y＝﹣ D．y＝
二、填空题：本题共6小题．每小题4分，共24分．
11．计算：（）0﹣1＝　 　．
12．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，D是AB的中点，则CD＝　 　．
13．把二次函数y＝x2+3x+4的图象向右平移2个单位，再向下平移5个单位，所得图象对应的函数解析式是 　 　．
14．如图，点A、B是双曲线y＝上的点，分别过点A、B作x轴和y轴的垂线段，若图中阴影部分的面积为2，则两个空白矩形面积的和为　 　．
15．如图，正方形ABCO的顶点C、A分别在x轴、y轴上，BC是菱形BDCE的对角线，若∠D＝60°，BC＝2，则点D的坐标是　 　．
16．如图，等腰△ABC中，CA＝CB＝4，∠ACB＝120°，点D在线段AB上运动（不与A、B重合），将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ，给出下列结论：
①CD＝CP＝CQ；
②∠PCQ的大小不变；
③△PCQ面积的最小值为；
④当点D在AB的中点时，△PDQ是等边三角形，
其中所有正确结论的序号是　 　．
三、解答题：本题共9小题，共86分．
17．计算：+（π﹣3）0﹣2cos30°．
18．解不等式组：
19．小梅家的阳台上放置了一个晒衣架如图1，图2是晒衣架的侧面示意图，A，B两点立于地面，将晒衣架稳固张开，测得张角∠AOB＝62°，立杆OA＝OB＝140cm，小梅的连衣裙穿在衣架后的总长度为122cm，问将这件连衣裙垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面？请通过计算说明理由（参考数据：sin59°≈0.86，cos59°≈0.52，tan59°≈1.66）
20．如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC、BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到△DCE．
（1）求证：△ACD≌△EDC；
（2）请探究△BDE的形状，并说明理由．
21．已知正比例函数y1＝ax（a≠0）与反比例函数y2＝（k≠0）的图象在第一象限内交于点A（2，1）
（1）求a，k的值；
（2）在直角坐标系中画出这两个函数的大致图象，并根据图象直接回答y1＞y2时x的取值范围．
22．国务院办公厅在2015年3月16日发布了《中国足球发展改革总体方案》，一年过去了，为了了解足球知识的普及情况，某校举行“足球在身边”的专题调查活动，采取随机抽样的方法进行问卷调查，调查结果划分为“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”、“不太了解”四个等级，并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图（如图），请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）被调查的学生共有　 　人．
（2）在扇形统计图中，表示“比较了解”的扇形的圆心角度数为　 　度；
（3）从该校随机抽取一名学生，抽中的学生对足球知识是“基本了解”的概率的是多少？
23．受新冠肺炎疫情影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售．“一方有难，八方支援”某水果经销商主动从该种植专业户购进甲，乙两种水果进行销售．专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/千克的价格出售．设经销商购进甲种水果x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示．
（1）直接写出当0≤x≤50和x＞50时，y与x之间的函数关系式；
（2）若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于40千克，但又不超过60千克．如何分配甲，乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额w（元）最少？
（3）若甲，乙两种水果的销售价格分别为40元/千克和36元/千克．经销商按（2）中甲，乙两种水果购进量的分配比例购进两种水果共a千克，且销售完a千克水果获得的利润不少于1650元，求a的最小值．
24．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM．
（1）当AN平分∠MAB时，求DM的长；
（2）连接BN，当DM＝1时，求△ABN的面积；
（3）当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值．
25．已知抛物线y＝ax2+bx+c（b＜0）与x轴只有一个公共点．
（1）若抛物线与x轴的公共点坐标为（2，0），求a、c满足的关系式；
（2）设A为抛物线上的一定点，直线l：y＝kx+1﹣k与抛物线交于点B、C，直线BD垂直于直线y＝﹣1，垂足为点D．当k＝0时，直线l与抛物线的一个交点在y轴上，且△ABC为等腰直角三角形．
①求点A的坐标和抛物线的解析式；
②证明：对于每个给定的实数k，都有A、D、C三点共线．
参考答案
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．2的相反数是（　　）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
【分析】根据相反数的定义求解即可．
解：2的相反数为：﹣2．
故选：B．
2．下列运算正确的是（　　）
A．a+a2＝a3 B．a2 a3＝a6 C．a5÷a3＝a2 D．（a2）3＝a5
【分析】分别利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方运算法则分析得出答案．
解：A、a+a2无法计算，故此选项错误；
B、a2 a3＝a5，故此选项错误；
C、a5÷a3＝a2，正确；
D、（a2）3＝a6，故此选项错误；
故选：C．
3．如图是3个相同的小正方体组合而成的几何体，它的俯视图是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
解：人站在几何体的正面，从上往下看，正方形个数从左到右依次为2，1，
故选：C．
4．闽北某村原有林地120公顷，旱地60公顷，为适应产业结构调整，需把一部分旱地改造为林地，改造后，旱地面积占林地面积的20%，设把x公顷旱地改造为林地，则可列方程为（　　）
A．60﹣x＝20%（120+x） B．60+x＝20%×120
C．180﹣x＝20%（60+x） D．60﹣x＝20%×120
【分析】设把x公顷旱地改为林地，根据旱地面积占林地面积的20%列出方程即可．
解：设把x公顷旱地改为林地，根据题意可得方程：60﹣x＝20%（120+x）．
故选：A．
5．下列尺规作图，能判断AD是△ABC边上的高是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】过点A作BC的垂线，垂足为D，则AD即为所求．
解：过点A作BC的垂线，垂足为D，
故选：B．
6．如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于（　　）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【分析】先判断出AD是BC的垂直平分线，进而求出∠ECB＝45°，即可得出结论．
解：∵等边三角形ABC中，AD⊥BC，
∴BD＝CD，即：AD是BC的垂直平分线，
∵点E在AD上，
∴BE＝CE，
∴∠EBC＝∠ECB，
∵∠EBC＝45°，
∴∠ECB＝45°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∴∠ACE＝∠ACB﹣∠ECB＝15°，
故选：A．
7．如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，P是线段AB上任意一点（不包括端点），过点P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为8，则该直线的函数表达式是（　　）
A．y＝﹣x+4 B．y＝x+4 C．y＝x+8 D．y＝﹣x+8
【分析】设P点坐标为（x，y），由坐标的意义可知PC＝x，PD＝y，根据围成的矩形的周长为8，可得到x、y之间的关系式．
解：如图，过P点分别作PD⊥x轴，PC⊥y轴，垂足分别为D、C，
设P点坐标为（x，y），
∵P点在第一象限，
∴PD＝y，PC＝x，
∵矩形PDOC的周长为8，
∴2（x+y）＝8，
∴x+y＝4，
即该直线的函数表达式是y＝﹣x+4，
故选：A．
8．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．若线段AD长为正整数，则点D的个数共有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【分析】首先过A作AE⊥BC，当D与E重合时，AD最短，首先利用等腰三角形的性质可得BE＝EC，进而可得BE的长，利用勾股定理计算出AE长，然后可得AD的取值范围，进而可得答案．
解：过A作AE⊥BC，
∵AB＝AC，
∴EC＝BE＝BC＝4，
∴AE＝＝3，
∵D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．
∴3≤AD＜5，
∴AD＝3或4，
∵线段AD长为正整数，
∴AD的可以有三条，长为4，3，4，
∴点D的个数共有3个，
故选：C．
9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，将△ABC折叠，使点A落在BC边上的点D处，EF为折痕，若AE＝3，则sin∠BFD的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】由题意得：△AEF≌△DEF，故∠EDF＝∠A；由三角形的内角和定理及平角的知识问题即可解决．
解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，
∴∠A＝∠B，
由折叠的性质得到：△AEF≌△DEF，
∴∠EDF＝∠A，
∴∠EDF＝∠B，
∴∠CDE+∠BDF+∠EDF＝∠BFD+∠BDF+∠B＝180°，
∴∠CDE＝∠BFD．
又∵AE＝DE＝3，
∴CE＝4﹣3＝1，
∴在直角△ECD中，sin∠CDE＝＝，
∴sin∠BFD＝．
故选：A．
10．如图，在菱形ABOC中，AB＝2，∠A＝60°，菱形的一个顶点C在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，则反比例函数的解析式为（　　）
A．y＝﹣ B．y＝﹣ C．y＝﹣ D．y＝
【分析】根据菱形的性质和平面直角坐标系的特点可以求得点C的坐标，从而可以求得k的值，进而求得反比例函数的解析式．
解：∵在菱形ABOC中，∠A＝60°，菱形边长为2，
∴OC＝2，∠COB＝60°，
过C作CE⊥OB于E，
则∠OCE＝30°，
∴OE＝OC＝1，CE＝，
∴点C的坐标为（﹣1，），
∵顶点C在反比例函数y＝的图象上，
∴＝，得k＝﹣，
即y＝﹣，
故选：B．
二、填空题：本题共6小题．每小题4分，共24分．
11．计算：（）0﹣1＝　0　．
【分析】根据零指数幂：a0＝1（a≠0）进行计算即可．
解：原式＝1﹣1＝0，
故答案为：0．
12．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，D是AB的中点，则CD＝　3　．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．
解：∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，
∴CD＝AB＝×6＝3．
故答案为：3．
13．把二次函数y＝x2+3x+4的图象向右平移2个单位，再向下平移5个单位，所得图象对应的函数解析式是 　　．
【分析】首先把y＝x2+4x+3化为顶点式，再根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
解：∵y＝x2+3x+4＝（x+）2+，
∴把二次函数y＝x2+3x+4的图象向右平移2个单位，再向下平移5个单位，所得图象对应的函数解析式是y＝（x+﹣2）2+﹣5，即：．
故答案为：．
14．如图，点A、B是双曲线y＝上的点，分别过点A、B作x轴和y轴的垂线段，若图中阴影部分的面积为2，则两个空白矩形面积的和为　8　．
【分析】由A，B为双曲线上的两点，利用反比例系数k的几何意义，求出矩形ACOG与矩形BEOF面积，再由阴影DGOF面积求出空白面积之和即可．
解：∵点A、B是双曲线y＝上的点，
∴S矩形ACOG＝S矩形BEOF＝6，
∵S阴影DGOF＝2，
∴S矩形ACDF+S矩形BDGE＝6+6﹣2﹣2＝8，
故答案为：8
15．如图，正方形ABCO的顶点C、A分别在x轴、y轴上，BC是菱形BDCE的对角线，若∠D＝60°，BC＝2，则点D的坐标是　（2+，1）　．
【分析】过点D作DG⊥BC于点G，根据四边形BDCE是菱形可知BD＝CD，再由BC＝2，∠D＝60°可得出△BCD是等边三角形，由锐角三角函数的定义求出GD及CG的长即可得出结论．
解：过点D作DG⊥BC于点G，
∵四边形BDCE是菱形，
∴BD＝CD．
∵BC＝2，∠D＝60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴BD＝BC＝CD＝2，
∴CG＝1，GD＝CD sin60°＝2×＝，
∴D（2+，1）．
故答案为：（2+，1）．
16．如图，等腰△ABC中，CA＝CB＝4，∠ACB＝120°，点D在线段AB上运动（不与A、B重合），将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ，给出下列结论：
①CD＝CP＝CQ；
②∠PCQ的大小不变；
③△PCQ面积的最小值为；
④当点D在AB的中点时，△PDQ是等边三角形，
其中所有正确结论的序号是　①②④　．
【分析】①由折叠直接得到结论；
②由折叠的性质求出∠ACP+∠BCQ＝120°，再用周角的意义求出∠PCQ＝120°；
③先作出△PCQ的边PC上的高，用三角函数求出QE＝CQ，得到S△PCQ＝CD2，判断出△PCQ面积最小时，点D的位置，求出最小的CD＝CF，即可；
④先判断出△APD是等边三角形，△BDQ是等边三角形，再求出∠PDQ＝60°，即可．
解：①∵将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ，
∴CP＝CD＝CQ，
∴①正确；
②∵将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ，
∴∠ACP＝∠ACD，∠BCQ＝∠BCD，
∴∠ACP+∠BCQ＝∠ACD+∠BCD＝∠ACB＝120°，
∴∠PCQ＝360°﹣（∠ACP+BCQ+∠ACB）＝360°﹣（120°+120°）＝120°，
∴∠PCQ的大小不变；
∴②正确；
③如图，
过点Q作QE⊥PC交PC延长线于E，
∵∠PCQ＝120°，
∴∠QCE＝60°，
在Rt△QCE中，sin∠QCE＝，
∴QE＝CQ×sin∠QCE＝CQ×sin60°＝CQ，
∵CP＝CD＝CQ
∴S△PCQ＝CP×QE＝CP×CQ＝CD2，
∴CD最短时，S△PCQ最小，
即：CD⊥AB时，CD最短，
过点C作CF⊥AB，此时CF就是最短的CD，
∵AC＝BC＝4，∠ACB＝120°，
∴∠ABC＝30°，
∴CF＝BC＝2，
即：CD最短为2，
∴S△PCQ最小＝CD2＝×22＝，
∴③错误，
④∵将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ，
∴AD＝AP，∠DAC＝∠PAC，
∵∠DAC＝30°，
∴∠PAD＝60°，
∴△APD是等边三角形，
∴PD＝AD，∠ADP＝60°，
同理：△BDQ是等边三角形，
∴DQ＝BD，∠BDQ＝60°，
∴∠PDQ＝60°，
∵当点D在AB的中点，
∴AD＝BD，
∴PD＝DQ，
∴△DPQ是等边三角形．
∴④正确，
故答案为：①②④．
三、解答题：本题共9小题，共86分．
17．计算：+（π﹣3）0﹣2cos30°．
【分析】根据零指数幂的意义和特殊角的三角函数值得到原式＝2+1﹣2×，然后进行乘法运算后合并即可．
解：原式＝2+1﹣2×
＝2+1﹣
＝+1．
18．解不等式组：
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据不等式的解集求出不等式组的解集即可．
解：，
解不等式①得：x≤1，
解不等式②得：x＜4，
故不等式组的解集为x≤1．
19．小梅家的阳台上放置了一个晒衣架如图1，图2是晒衣架的侧面示意图，A，B两点立于地面，将晒衣架稳固张开，测得张角∠AOB＝62°，立杆OA＝OB＝140cm，小梅的连衣裙穿在衣架后的总长度为122cm，问将这件连衣裙垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面？请通过计算说明理由（参考数据：sin59°≈0.86，cos59°≈0.52，tan59°≈1.66）
【分析】过点O作OE⊥AB，根据等腰三角形的性质求得∠OAB，再在Rt△AEO中，利用三角函数sin∠OAB＝，求得OE，即可作出判断．
【解答】证明：过点O作OE⊥AB于点E，
∵OA＝OB，∠AOB＝62°，
∴∠OAB＝∠OBA＝59°，
在Rt△AEO中，OE＝OA sin∠OAB
＝140×sin59°
≈140×0.86
＝120.4，
∵120.4＜122，
∴这件连衣裙垂挂在晒衣架上会拖落到地面．
20．如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC、BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到△DCE．
（1）求证：△ACD≌△EDC；
（2）请探究△BDE的形状，并说明理由．
【分析】（1）由矩形的性质得出AB＝DC，AC＝BD，AD＝BC，∠ADC＝∠ABC＝90°，由平移的性质得：DE＝AC，CE＝BC，∠DCE＝∠ABC＝90°，DC＝AB，得出AD＝EC，由SAS即可得出结论；
（2）由AC＝BD，DE＝AC，得出BD＝DE即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，AC＝BD，AD＝BC，∠ADC＝∠ABC＝90°，
由平移的性质得：DE＝AC，CE＝BC，∠DCE＝∠ABC＝90°，DC＝AB，
∴AD＝EC，
在△ACD和△EDC中，，
∴△ACD≌△EDC（SAS）；
（2）解：△BDE是等腰三角形；理由如下：
∵AC＝BD，DE＝AC，
∴BD＝DE，
∴△BDE是等腰三角形．
21．已知正比例函数y1＝ax（a≠0）与反比例函数y2＝（k≠0）的图象在第一象限内交于点A（2，1）
（1）求a，k的值；
（2）在直角坐标系中画出这两个函数的大致图象，并根据图象直接回答y1＞y2时x的取值范围．
【分析】（1）将A坐标代入双曲线解析式中，求出k的值，确定出反比例函数解析式，将A坐标代入一次函数解析式中，求出a的值，确定出一次函数解析式；
（2）画出两函数图象，由函数图象，即可得到y1＞y2时x的取值范围．
解：（1）将A（2，1）代入正比例函数解析式得：1＝2a，即a＝，
故y1＝x；
将A（2，1）代入双曲线解析式得：1＝，即k＝2，
故y2＝；
（2）如图所示：
由图象可得：当y1＞y2时，﹣2＜x＜0或x＞2．
22．国务院办公厅在2015年3月16日发布了《中国足球发展改革总体方案》，一年过去了，为了了解足球知识的普及情况，某校举行“足球在身边”的专题调查活动，采取随机抽样的方法进行问卷调查，调查结果划分为“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”、“不太了解”四个等级，并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图（如图），请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）被调查的学生共有　300　人．
（2）在扇形统计图中，表示“比较了解”的扇形的圆心角度数为　108　度；
（3）从该校随机抽取一名学生，抽中的学生对足球知识是“基本了解”的概率的是多少？
【分析】（1）根据统计图中的数据可以求得本次调查的人数；
（2）根据条形统计图中的数据可以求得在扇形统计图中，表示“比较了解”的扇形的圆心角度数；
（3）根据统计图中的数据可以求得从该校随机抽取一名学生，抽中的学生对足球知识是“基本了解”的概率．
解：（1）由题意可得，
被调查的学生有：60÷20%＝300（人），
故答案为：300；
（2）在扇形统计图中，表示“比较了解”的扇形的圆心角度数为：360°×＝108°，
故答案为：108；
（3）由题意可得，
从该校随机抽取一名学生，抽中的学生对足球知识是“基本了解”的概率是：＝0.4，
即从该校随机抽取一名学生，抽中的学生对足球知识是“基本了解”的概率是0.4．
23．受新冠肺炎疫情影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售．“一方有难，八方支援”某水果经销商主动从该种植专业户购进甲，乙两种水果进行销售．专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/千克的价格出售．设经销商购进甲种水果x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示．
（1）直接写出当0≤x≤50和x＞50时，y与x之间的函数关系式；
（2）若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于40千克，但又不超过60千克．如何分配甲，乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额w（元）最少？
（3）若甲，乙两种水果的销售价格分别为40元/千克和36元/千克．经销商按（2）中甲，乙两种水果购进量的分配比例购进两种水果共a千克，且销售完a千克水果获得的利润不少于1650元，求a的最小值．
【分析】（1）由图可知y与x的函数关系式是分段函数，待定系数法求解析式即可．
（2）设购进甲种水果为a千克，则购进乙种水果（100﹣a）千克，根据实际意义可以确定a的范围，结合付款总金额（元）与种水果的购进量之间的函数关系可以分类讨论最少费用为多少．
（3）根据（2）的结论分情况讨论．
解：（1）当0≤x≤50时，设y＝k1x，根据题意得50k1＝1500，
解得k1＝30；
∴y＝30x；
当x＞50时，设y＝k2x+b，
根据题意得，
，解得，
∴y＝24x+300．
∴y＝，
（2）设购进甲种水果为a千克，则购进乙种水果（100﹣a）千克，
∴40≤a≤60，
当40≤a≤50时，w1＝30a+25（100﹣a）＝5a+2500．
当a＝40 时．wmin＝2700 元，
当50＜a≤60时，w2＝24a+300+25（100﹣a）＝﹣a+2800．
当a＝60时，wmin＝2740 元，
∵2740＞2700，
∴当a＝40时，总费用最少，最少总费用为2700 元．
此时乙种水果100﹣40＝60（千克）．
答：购进甲种水果为40千克，购进乙种水果60千克，才能使经销商付款总金额w（元）最少．
（3）由题意可设甲种水果为千克，乙种水果为千克
当时，即0≤a≤125，
则甲种水果的进货价为30元/千克，
（40﹣30）×a+（36﹣25）×≥1650，
解得a≥，
与0≤a≤125矛盾，故舍去；
当时，即a＞125，
则甲种水果的进货总成本是（9.6a+300）元，
≥1650，
解得a≥150，
∴a的最小值为150．
24．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM．
（1）当AN平分∠MAB时，求DM的长；
（2）连接BN，当DM＝1时，求△ABN的面积；
（3）当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值．
【分析】（1）由折叠性质得∠MAN＝∠DAM，证出∠DAM＝∠MAN＝∠NAB，由三角函数得出DM＝AD tan∠DAM＝即可；
（2）延长MN交AB延长线于点Q，由矩形的性质得出∠DMA＝∠MAQ，由折叠性质得出∠DMA＝∠AMQ，AN＝AD＝3，MN＝MD＝1，得出∠MAQ＝∠AMQ，证出MQ＝AQ，设NQ＝x，则AQ＝MQ＝1+x，证出∠ANQ＝90°，在Rt△ANQ中，由勾股定理得出方程，解方程求出NQ＝4，AQ＝5，即可求出△ABN的面积；
（3）过点A作AH⊥BF于点H，证明△ABH∽△BFC，得出对应边成比例＝，可以看到点N是在以A为圆心3为半径的圆上运动，所以当射线BN与圆相切时，DF最大，此时B、N、M三点共线，由折叠性质得：AD＝AH，推出CF＝BH，由勾股定理求出BH，得出CF，即可得出结果．
解：（1）由折叠性质得：△ANM≌△ADM，
∴∠MAN＝∠DAM，
∵AN平分∠MAB，∠MAN＝∠NAB，
∴∠DAM＝∠MAN＝∠NAB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝90°，
∴∠DAM＝30°，
∴DM＝AD tan∠DAM＝3×tan30°＝3×＝；
（2）延长MN交AB延长线于点Q，如图1所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥DC，
∴∠DMA＝∠MAQ，
由折叠性质得：△ANM≌△ADM，
∴∠DMA＝∠AMQ，AN＝AD＝3，MN＝MD＝1，
∴∠MAQ＝∠AMQ，
∴MQ＝AQ，
设NQ＝x，则AQ＝MQ＝1+x，
∵∠ANM＝90°，
∴∠ANQ＝90°，
在Rt△ANQ中，由勾股定理得：AQ2＝AN2+NQ2，
∴（x+1）2＝32+x2，
解得：x＝4，
∴NQ＝4，AQ＝5，
∵AB＝4，AQ＝5，
∴S△NAB＝S△NAQ＝×AN NQ＝××3×4＝；
（3）过点A作AH⊥BF于点H，如图2所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥DC，
∴∠HBA＝∠BFC，
∵∠AHB＝∠BCF＝90°，
∴△ABH∽△BFC，
∴＝，
∵AH≤AN＝3，AB＝4，
∴可以看到点N是在以A为圆心3为半径的圆上运动，所以当射线BN与圆相切时，DF最大，此时B、N、M三点共线，如图3所示：
由折叠性质得：AD＝AH，
∵AD＝BC，
∴AH＝BC，
∵＝，
∴CF＝BH，
由勾股定理得：BH＝＝＝，
∴CF＝，
∴DF的最大值＝DC﹣CF＝4﹣．
25．已知抛物线y＝ax2+bx+c（b＜0）与x轴只有一个公共点．
（1）若抛物线与x轴的公共点坐标为（2，0），求a、c满足的关系式；
（2）设A为抛物线上的一定点，直线l：y＝kx+1﹣k与抛物线交于点B、C，直线BD垂直于直线y＝﹣1，垂足为点D．当k＝0时，直线l与抛物线的一个交点在y轴上，且△ABC为等腰直角三角形．
①求点A的坐标和抛物线的解析式；
②证明：对于每个给定的实数k，都有A、D、C三点共线．
【分析】（1）抛物线与x轴的公共点坐标即为函数顶点坐标，即可求解；
（2）①y＝kx+1﹣k＝k（x﹣1）+1过定点（1，1），且当k＝0时，直线l变为y＝1平行x轴，与轴的交点为（0，1），即可求解；②计算直线AD表达式中的k值、直线AC表达式中的k值，两个k值相等即可求解．
解：（1）抛物线与x轴的公共点坐标即为函数顶点坐标，故：y＝a（x﹣2）2＝ax2﹣4ax+4a，
则c＝4a；
（2）y＝kx+1﹣k＝k（x﹣1）+1过定点（1，1），
且当k＝0时，直线l变为y＝1平行x轴，与y轴的交点为（0，1），
又△ABC为等腰直角三角形，
∴点A为抛物线的顶点；
①c＝1，顶点A（1，0），
抛物线的解析式：y＝x2﹣2x+1，
②，
x2﹣（2+k）x+k＝0，
x＝（2+k±），
xD＝xB＝（2+k﹣），yD＝﹣1；
则D，
yC＝（2+k2+k），
C，A（1，0），
∴直线AD表达式中的k值为：kAD＝＝，直线AC表达式中的k值为：kAC＝，
∴kAD＝kAC，点A、C、D三点共线．

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