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专题：平抛运动的推论及与斜面结合问题
【方法突破】
一、平抛运动的两个推论：
1.速度的反向延长线过水平位移的中点
■方法归纳
（1）从速度的分解来看，速度偏向角的正切值：tanθ＝＝。①
（2）将代表速度矢量v的箭头反向延长，速度偏向角的正切值还可以用长度之比来表示，即
tanθ＝＝，② 联合①②解得＝v0t＝xA，
【例1】如图所示，水平面上固定放置一内壁光滑的球形半圆槽，小球A从左边槽口水平抛出，同时小球B从右边槽口由静止释放，不计空气阻力，则（　　）
A．若小球A落到槽内壁时恰好与小球B碰撞，则落点一定在槽的右半面
B．若小球A落到槽内壁时恰好与小球B碰撞，则落点一定在槽的最低点
C．小球A落到槽内壁时，不可能与小球B碰撞
D．调整小球A的水平初速度，A到达内壁时的速度可能与内壁垂直
【答案】C
【详解】ABC．A球做平抛运动，竖直方向上做自由落体运动，B球沿光滑曲面下滑，所以在竖直方向上A球比B球运动得快，在相等时间内A球下落的高度大于B球，所以两球不可能相碰，故AB错误，C正确。
D．若A球与内壁相碰时，速度方向与内壁垂直，则速度方向的反向延长线过圆心O点，由平抛运动知，速度方向的反向延长线过水平位移的中点，而从题目知，A球做平抛运动水平位移的中点不可能是圆心O，故D错误。故选C。
2.tanθ＝2tanα
■方法归纳
（1）速度偏向角的正切值：tanθ＝，①
（2）由图知位移偏向角的正切值：tanα＝＝＝。② 比较①②可得tanθ＝2tanα。
【例2】 如图所示，从某高度水平抛出一小球，经过时间t到达地面时，速度与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　）
A．小球水平抛出时的初速度大小为gttanθ
B．小球在t时间内的位移方向与水平方向的夹角为
C．若小球初速度增大，则平抛运动的时间变长
D．若小球初速度增大，则θ减小
【答案】D
【详解】A．速度、位移分解如图
vy=gt可得故A错误；
B．设位移与水平方向夹角为α，则tanθ=2tanα，故B错误；
C．平抛时间由下落高度决定，与水平初速度无关，故C错误；
D．由知，v0增大则θ减小，D正确；故选D。
二、与斜面结合的平抛运动问题
1.顺着斜面抛
■方法归纳
（1）平抛运动物体的合位移方向与水平方向的夹角等于斜面的倾角；
（2）到达斜面的水平位移和竖直位移的关系：tanθ＝＝＝；
（3）运动时间t＝。
【例3】跳台滑雪以其特有的惊险性、刺激性成为历届冬奥会中备受关注的项目之一，目前的世界纪录已经超过了250米。如图，某运动员在比赛中以的水平速度从倾角为30°的斜坡顶端飞出（可近似视为平抛运动），当地重力加速度取。当该运动员再次落到斜面上时，落点与斜坡顶端的高度差约为（　　）
A．60m B．90m C．120m D．150m
【答案】A
【详解】由题意知，运动员做平抛运动，从斜面顶端抛出又落到斜面上，则根据平抛运动规律又有，联立各式解得则其落点与坡顶的高度差为故选A。
2.对着斜面抛
■方法归纳
合速度与竖直方向的夹角等于斜面的倾角；
（2）水平分速度与竖直分速度的关系：tanθ＝＝；
（3）运动时间t＝。
【例4】如图所示，以10m/s的水平初速度v0抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角为30°的斜面上，则飞行时间t是（g取10m/s2）（　　）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【详解】物体做平抛运动，当垂直地撞在倾角为30°的斜面上时，把物体的速度分解如图所示，
由图可知，此时物体的竖直方向上的速度的大小为vy=v0cot30°=10m/s由vy=gt可得，运动的时间为，ABC错误，D正确。故选D。
【对点检测】
随堂检测
1．如图所示，将一小球从坐标原点沿着水平轴以的速度抛出，经过一段时间到达P点，M为P点在轴上的投影，作小球轨迹在P点的切线并反向延长，与轴相交于Q点，已知，则小球运动的时间为（　　）
A．1s B．1.5s C．2.5s D．3s
【答案】D
【详解】根据平抛运动推论可得，小球在P点速度的反向沿长线过其这段时间水平位移的中点，则有解得小球运动的时间为所以D正确；ABC错误；故选D。
2．如图所示，从倾角为θ的斜面上某点先后将同一小球以不同的初速度水平抛出，小球均落在斜面上。当抛出的速度为v1时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为β1；当抛出速度为v2时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为β2.不计空气阻力，则（　　）
A．当时， B．当时，
C．的关系与斜面倾角θ有关 D．无论关系如何，均有
【答案】D
【详解】平抛时速度角满足位移角满足二者之间的关系为题中小球只要落到斜面上，则位移角相等，所以速度角也相等，因即无论、关系如何，均有。故选D。
3．如图所示，两小球从斜面顶端分别以和的水平初速度先后向右抛出，在斜面上的落点分别是和，不计空气阻力。若落在点的小球位移大小为，那么落在点的小球位移大小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设斜面倾角为，由题意知两次都落在斜面上，则两次位移与水平方向的夹角相等，当以速度抛时，飞行时间为t，由平抛运动的推论得当以速度抛出时有联立可得
可得当以速度抛出时飞行时间为2t，则水平位移竖直位移由；联立可得故C正确，ABD错误。故选C。
4．如图所示，小球分别以3v0和v0的速度水平抛出，落到一倾角为的固定斜面上时，其速度方向均与斜面垂直，不计空气阻力，则两小球在空中飞行的水平位移之比为（　　）
A．1：1 B．3：1 C．9：1 D．1：3
【答案】C
【详解】设斜面倾角为，当初速度为v0时，由速度偏角公式可得解得在空中飞行的水平位移为同理可得，当初速度为3v0时，在空中飞行的水平位移为
则两小球在空中飞行的水平位移之比为故选C。
课后检测
5．在电视剧里，我们经常看到这样的画面：屋外刺客向屋里投来两支飞镖，落在墙上，如图所示。现设飞镖是从同一位置做平抛运动射出来的，飞镖A与竖直墙壁成53°角，飞镖B与竖直墙壁成37°角，两落点相距为d，试求刺客离墙壁有多远（已知tan 37°=，tan 53°=）（　　）
A．d B．2d C．d D．d
【答案】C
【详解】把两飞镖速度反向延长，交点为水平位移中点，如图所示
设水平位移为x，根据几何关系有解得x=d故选C。
6．如图所示，一小球在竖直墙壁的左侧点，以不同的初速度将小球水平抛出，点为点在墙面上的水平投影点，那么当小球与墙壁碰撞时，其速度所在直线与直线的交点（　　）
A．为的中点
B．在的延长线上
C．在线段上，且初速度越小交点离点越近
D．在线段上，且初速度越大交点离点越近
【答案】A
【详解】设小球到达墙壁时速度方向与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，如图所示，则有
；可知tanθ=2tanα由几何关系知，速度的反向延长线经过AO的中点，即所有小球速度的反向延长线交于OA上的同一点。故选A。
7．如图所示，xOy是平面直角坐标系，Ox水平、Oy竖直，一质点从O点开始做平抛运动，P点是轨迹上的一点. 质点在P点的速度大小为v，方向沿该点所在轨迹的切线. M点为P点在Ox轴上的投影，P点速度方向的反向延长线与Ox轴相交于Q点. 已知平抛的初速度为20m/s，MP=20m，重力加速度g取10m/s2，则下列说法正确的是
A．QM的长度为10m
B．质点从O到P的运动时间为1s
C．质点在P点的速度v大小为40m/s
D．质点在P点的速度与水平方向的夹角为45°
【答案】D
【详解】AB．根据平拋运动在竖直方向做自由落体运动有：可得t=2s；质点在水平方向的位移为：
根据平抛运动的推论可知Q是OM的中点，所以QM=20m，故A错误，B错误；
C．质点在P点的竖直速度：所以在P点的速度为：故C错误；
D．因为：所以质点在P点的速度与水平方向的夹角为45°，故D正确.
8．如图所示，从斜面上A点以速度v水平抛出的小球经时间落在B点，球到达B点时的速度方向与斜面的夹角为。现将小球从斜面上A、B之间的中点C抛出，抛出时的速度方向与斜面的夹角为，经时间恰能水平击中A点，击中A点时的速度大小为，忽略空气阻力，则（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【详解】设斜面的倾角为θ，由平抛运动的规律得解得由图知 可知速度方向与斜面夹角与抛出速度无关，将小球从斜面上A、B之间的中点C抛出，恰能水平击中A点，则逆过程可看做是从A点的平抛到C点；故α=β由于水平射程
由于两次平抛的位移关系为2:1，则抛出的初速度关系为 故选A。
9．如图所示，两个挨得很近的小球，从斜面上的同一位置O以不同的初速度vA、vB做平抛运动，斜面足够长，在斜面上的落点分别为A，B，空中运动的时间分别为tA、tB，碰撞斜面前瞬间的速度与斜面的夹角分别为α、β，已知OB=2OA则有（　　）
A．tA:tB=1:2 B．vA:vB=1:2 C．α=β D．α>β
【答案】C
【详解】AB．由几何关系知，平抛运动的竖直位移之比为1：2，根据可得根据
水平位移之比为1：2，则初速度之比故AB错误；
CD．平抛运动某时刻速度方向与水平方向夹角的正切值是位移方向与水平方向夹角的正切值的2倍，两球落在斜面上，位移方向相同，则速度方向相同，可知碰撞斜面前瞬间的速度与斜面的夹角相同，故C正确，D错误。故选C。
10．如图所示，从倾角为θ的足够长的斜面顶端P以速度v抛出一个小球，落在斜面上某处Q点，小球落在斜面上的速度与斜面的夹角，若把初速度变为2v，则（ ）
A．小球的水平位移和竖直位移之比变为原来的2倍
B．夹角将变原来的2倍
C．PQ间距一定为原来问距的2倍
D．空中的运动时间变为原来的2倍
【答案】D
【详解】A．斜面足够长，所以小球最终落在斜面上，则即小球的水平位移和竖直位移之比不变，A错误；
B．根据平抛运动的推论速度偏向角的正切值是位移偏向角正切值的2倍，即tan(α + θ) = 2tanθ由于位移偏向角不变，所以速度偏向角也不变，B错误；
C．因为初速度变为原来的2倍，运行的时间也变为原来的2倍，根据x = v0t水平位移变为原来的22倍，竖直位移也变为原来的22倍，而sPQ = 所以PQ间距变为原来间距的22倍，C错误；
D．根据解得t = 知小球在空中运动的时间变为原来的2倍，D正确；故选D。
【提升训练】
11．一个水平抛出的小球落到一倾角为θ的斜面上时，其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如图中虚线所示。则小球水平方向通过的距离与竖直方向下落的距离之比为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设小球的初速度为v0，则落到斜面上时的竖直速度水平位移x=v0t；
解得故选C。
12．第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月在中国北京市和张家口市举行。冬奥会跳台滑雪比赛简化模型如图所示，一运动员穿着专用滑雪板，在助滑道上获得高速后从坡顶A点以速度水平飞出，在空中飞行一段距离后，在坡底B点着陆。若不考虑空气阻力，下列关于运动员的说法正确的是（　　）
A．若改变初速度的大小，则运动员空中飞行时间不变
B．若减小初速度的大小，则运动员落到坡面上时的瞬时速度方向都相同
C．飞行过程中一定有某一时刻瞬时速度方向与坡面平行
D．若增大初速度大小，则运动员的水平位移与大小成正比
【答案】BCD
【详解】A．若减小初速度的大小，则运动员会落在坡面上，他在空中飞行的时间将随下落高度的变化而变化，故A错误；
B．若减小初速度的大小，则运动员落到坡面上时的位移偏向角都等于37°，根据平抛运动规律的推论可知运动员落到坡面上时的速度偏向角的正切值等于位移偏向角的正切值的2倍，所以运动员落到坡面上时的速度偏向角都相同，进而可知其瞬时速度方向都相同，故B正确；
C．v0可以在垂直于坡面向上和沿坡面向下两个方向分解，而g可以在垂直于坡面向下和沿坡面向下两个方向分解，当v0在垂直于坡面向上的分速度减小至零时，运动员的瞬时速度方向与坡面平行，故C正确；
D．若增大初速度大小，运动员始终落在水平地面上，做平抛运动的高度相同，所以水平位移为故D正确；故选BCD。
13．2022年将在我国举办第二十四届冬奥会，自由式滑雪雪赛道示意图如图所示，运动员从较高的坡面滑到A处时，沿水平方向飞离坡面，落到倾角为的斜坡B处，若不计空气阻力，飞出时的速度大小为10m/s，（取g=10m/s2）则（　　）
A．运动员落到斜坡上的速度方向与竖直线的夹角等于
B．运动员在空中经历的时间
C．运动员落到斜坡上的落点B与起飞点A的距离是m
D．运动员落到斜坡上的速度大小是m/s
【答案】BC
【详解】B．由位移偏角公式可得代入数据解得故B正确；
D．运动员落到斜坡上的竖直分速度为则合速度大小为故D错误；
A．设运动员落到斜坡上的速度方向与竖直线的夹角为，满足故不等于，故A错误；
C．运动员落到斜坡上的落点B与起飞点A的距离为故C正确。故选BC。
14．一个水平抛出的小球落到一倾角为θ的斜面上时，速度方向恰好与斜面垂直且速度大小为v，运动轨迹如图中虚线所示，不计空气阻力。小球从抛出到打在斜面的过程中，下列说法不正确的是（　　）
A．小球水平方向的速度为
B．小球在空中的飞行时间为
C．小球水平方向发生的距离为
D．小球竖直方向下落的距离为
【答案】AD
【详解】ABC．小球垂直打在斜面上，由几何知识可知，此时速度方向和竖直方向的夹角为θ，则水平方向的的分速度为竖直方向的分速度为竖直方向上做自由落体运动，加速度为g，则飞行时间为则水平方向的位移为故BC正确，A错误；
D．由平抛运动的推论可得解得竖直方向下落的距离故D错误。
本题选不正确项，故选AD。专题：平抛运动的推论及与斜面结合问题
【方法突破】
一、平抛运动的两个推论：
1.速度的反向延长线过水平位移的中点
■方法归纳
（1）从速度的分解来看，速度偏向角的正切值：tanθ＝＝。①
（2）将代表速度矢量v的箭头反向延长，速度偏向角的正切值还可以用长度之比来表示，即
tanθ＝＝，② 联合①②解得＝v0t＝xA，
【例1】如图所示，水平面上固定放置一内壁光滑的球形半圆槽，小球A从左边槽口水平抛出，同时小球B从右边槽口由静止释放，不计空气阻力，则（　　）
A．若小球A落到槽内壁时恰好与小球B碰撞，则落点一定在槽的右半面
B．若小球A落到槽内壁时恰好与小球B碰撞，则落点一定在槽的最低点
C．小球A落到槽内壁时，不可能与小球B碰撞
D．调整小球A的水平初速度，A到达内壁时的速度可能与内壁垂直
【答案】C
【详解】ABC．A球做平抛运动，竖直方向上做自由落体运动，B球沿光滑曲面下滑，所以在竖直方向上A球比B球运动得快，在相等时间内A球下落的高度大于B球，所以两球不可能相碰，故AB错误，C正确。
D．若A球与内壁相碰时，速度方向与内壁垂直，则速度方向的反向延长线过圆心O点，由平抛运动知，速度方向的反向延长线过水平位移的中点，而从题目知，A球做平抛运动水平位移的中点不可能是圆心O，故D错误。故选C。
2.tanθ＝2tanα
■方法归纳
（1）速度偏向角的正切值：tanθ＝，①
（2）由图知位移偏向角的正切值：tanα＝＝＝。② 比较①②可得tanθ＝2tanα。
【例2】 如图所示，从某高度水平抛出一小球，经过时间t到达地面时，速度与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　）
A．小球水平抛出时的初速度大小为gttanθ
B．小球在t时间内的位移方向与水平方向的夹角为
C．若小球初速度增大，则平抛运动的时间变长
D．若小球初速度增大，则θ减小
【答案】D
【详解】A．速度、位移分解如图
vy=gt可得故A错误；
B．设位移与水平方向夹角为α，则tanθ=2tanα，故B错误；
C．平抛时间由下落高度决定，与水平初速度无关，故C错误；
D．由知，v0增大则θ减小，D正确；故选D。
二、与斜面结合的平抛运动问题
1.顺着斜面抛
■方法归纳
（1）平抛运动物体的合位移方向与水平方向的夹角等于斜面的倾角；
（2）到达斜面的水平位移和竖直位移的关系：tanθ＝＝＝；
（3）运动时间t＝。
【例3】跳台滑雪以其特有的惊险性、刺激性成为历届冬奥会中备受关注的项目之一，目前的世界纪录已经超过了250米。如图，某运动员在比赛中以的水平速度从倾角为30°的斜坡顶端飞出（可近似视为平抛运动），当地重力加速度取。当该运动员再次落到斜面上时，落点与斜坡顶端的高度差约为（　　）
A．60m B．90m C．120m D．150m
【答案】A
【详解】由题意知，运动员做平抛运动，从斜面顶端抛出又落到斜面上，则根据平抛运动规律又有，联立各式解得则其落点与坡顶的高度差为故选A。
2.对着斜面抛
■方法归纳
合速度与竖直方向的夹角等于斜面的倾角；
（2）水平分速度与竖直分速度的关系：tanθ＝＝；
（3）运动时间t＝。
【例4】如图所示，以10m/s的水平初速度v0抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角为30°的斜面上，则飞行时间t是（g取10m/s2）（　　）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【详解】物体做平抛运动，当垂直地撞在倾角为30°的斜面上时，把物体的速度分解如图所示，
由图可知，此时物体的竖直方向上的速度的大小为vy=v0cot30°=10m/s由vy=gt可得，运动的时间为，ABC错误，D正确。故选D。
【对点检测】
随堂检测
1．如图所示，将一小球从坐标原点沿着水平轴以的速度抛出，经过一段时间到达P点，M为P点在轴上的投影，作小球轨迹在P点的切线并反向延长，与轴相交于Q点，已知，则小球运动的时间为（　　）
A．1s B．1.5s C．2.5s D．3s
2．如图所示，从倾角为θ的斜面上某点先后将同一小球以不同的初速度水平抛出，小球均落在斜面上。当抛出的速度为v1时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为β1；当抛出速度为v2时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为β2.不计空气阻力，则（　　）
A．当时， B．当时，
C．的关系与斜面倾角θ有关 D．无论关系如何，均有
3．如图所示，两小球从斜面顶端分别以和的水平初速度先后向右抛出，在斜面上的落点分别是和，不计空气阻力。若落在点的小球位移大小为，那么落在点的小球位移大小为（　　）
A． B． C． D．
4．如图所示，小球分别以3v0和v0的速度水平抛出，落到一倾角为的固定斜面上时，其速度方向均与斜面垂直，不计空气阻力，则两小球在空中飞行的水平位移之比为（　　）
A．1：1 B．3：1 C．9：1 D．1：3
课后检测
5．在电视剧里，我们经常看到这样的画面：屋外刺客向屋里投来两支飞镖，落在墙上，如图所示。现设飞镖是从同一位置做平抛运动射出来的，飞镖A与竖直墙壁成53°角，飞镖B与竖直墙壁成37°角，两落点相距为d，试求刺客离墙壁有多远（已知tan 37°=，tan 53°=）（　　）
A．d B．2d C．d D．d
6．如图所示，一小球在竖直墙壁的左侧点，以不同的初速度将小球水平抛出，点为点在墙面上的水平投影点，那么当小球与墙壁碰撞时，其速度所在直线与直线的交点（　　）
A．为的中点
B．在的延长线上
C．在线段上，且初速度越小交点离点越近
D．在线段上，且初速度越大交点离点越近
7．如图所示，xOy是平面直角坐标系，Ox水平、Oy竖直，一质点从O点开始做平抛运动，P点是轨迹上的一点. 质点在P点的速度大小为v，方向沿该点所在轨迹的切线. M点为P点在Ox轴上的投影，P点速度方向的反向延长线与Ox轴相交于Q点. 已知平抛的初速度为20m/s，MP=20m，重力加速度g取10m/s2，则下列说法正确的是
A．QM的长度为10m
B．质点从O到P的运动时间为1s
C．质点在P点的速度v大小为40m/s
D．质点在P点的速度与水平方向的夹角为45°
8．如图所示，从斜面上A点以速度v水平抛出的小球经时间落在B点，球到达B点时的速度方向与斜面的夹角为。现将小球从斜面上A、B之间的中点C抛出，抛出时的速度方向与斜面的夹角为，经时间恰能水平击中A点，击中A点时的速度大小为，忽略空气阻力，则（　　）
A．， B．，
C．， D．，
9．如图所示，两个挨得很近的小球，从斜面上的同一位置O以不同的初速度vA、vB做平抛运动，斜面足够长，在斜面上的落点分别为A，B，空中运动的时间分别为tA、tB，碰撞斜面前瞬间的速度与斜面的夹角分别为α、β，已知OB=2OA则有（　　）
A．tA:tB=1:2 B．vA:vB=1:2 C．α=β D．α>β
10．如图所示，从倾角为θ的足够长的斜面顶端P以速度v抛出一个小球，落在斜面上某处Q点，小球落在斜面上的速度与斜面的夹角，若把初速度变为2v，则（ ）
A．小球的水平位移和竖直位移之比变为原来的2倍
B．夹角将变原来的2倍
C．PQ间距一定为原来问距的2倍
D．空中的运动时间变为原来的2倍
【提升训练】
11．一个水平抛出的小球落到一倾角为θ的斜面上时，其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如图中虚线所示。则小球水平方向通过的距离与竖直方向下落的距离之比为（　　）
A． B． C． D．
12．第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月在中国北京市和张家口市举行。冬奥会跳台滑雪比赛简化模型如图所示，一运动员穿着专用滑雪板，在助滑道上获得高速后从坡顶A点以速度水平飞出，在空中飞行一段距离后，在坡底B点着陆。若不考虑空气阻力，下列关于运动员的说法正确的是（　　）
A．若改变初速度的大小，则运动员空中飞行时间不变
B．若减小初速度的大小，则运动员落到坡面上时的瞬时速度方向都相同
C．飞行过程中一定有某一时刻瞬时速度方向与坡面平行
D．若增大初速度大小，则运动员的水平位移与大小成正比
13．2022年将在我国举办第二十四届冬奥会，自由式滑雪雪赛道示意图如图所示，运动员从较高的坡面滑到A处时，沿水平方向飞离坡面，落到倾角为的斜坡B处，若不计空气阻力，飞出时的速度大小为10m/s，（取g=10m/s2）则（　　）
A．运动员落到斜坡上的速度方向与竖直线的夹角等于
B．运动员在空中经历的时间
C．运动员落到斜坡上的落点B与起飞点A的距离是m
D．运动员落到斜坡上的速度大小是m/s
14．一个水平抛出的小球落到一倾角为θ的斜面上时，速度方向恰好与斜面垂直且速度大小为v，运动轨迹如图中虚线所示，不计空气阻力。小球从抛出到打在斜面的过程中，下列说法不正确的是（　　）
A．小球水平方向的速度为
B．小球在空中的飞行时间为
C．小球水平方向发生的距离为
D．小球竖直方向下落的距离为

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