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2021年天津市中考试卷数学
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 计算的结果等于（ ）
A. B. 2 C. D. 15
2. 的值等于（ ）
A. B. C. 1 D. 2
3. 据2021年5月12日《天津日报》报道，第七次全国人口普查数据公布，普查结果显示，全国人口共141178万人．将141178用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
4. 在一些美术字中，有汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A. B.
C. D.
6. 估算的值在(　　)
A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间
7. 方程组的解是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，的顶点A，B，C的坐标分别是，则顶点D的坐标是（ ）
A. B. C. D.
9. 计算的结果是（ ）
A. 3 B. C. 1 D.
10. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
11. 如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接．当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
12. 已知抛物线（是常数，）经过点，当时，与其对应的函数值．有下列结论：①；②关于x的方程有两个不等的实数根；③．其中，正确结论的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13. 计算的结果等于_____．
14. 计算的结果等于_____．
15. 不透明袋子中装有7个球，其中有3个红球，4个黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是_____．
16. 将直线向下平移2个单位长度，平移后直线的解析式为_____．
17. 如图，正方形的边长为4，对角线相交于点O，点E，F分别在的延长线上，且，G为的中点，连接，交于点H，连接，则的长为________．
18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A，C均落在格点上，点B在网格线上．
（Ⅰ）线段的长等于_____；
（Ⅱ）以为直径的半圆的圆心为O，在线段上有一点P，满足，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）_____．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19. 解不等式组
请结合题意填空，完成本题解答．
（Ⅰ）解不等式①，得_______________；
（Ⅱ）解不等式②，得_______________；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为___________．
20. 某社区为了增强居民节约用水的意识，随机调查了部分家庭一年的月均用水量（单位：t）．
根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）本次接受调查的家庭个数为________，图①中m的值为_______；
（Ⅱ）求统计这组月均用水量数据的平均数、众数和中位数．
21. 已知内接于，点D上一点．
（Ⅰ）如图①，若为的直径，连接，求和的大小；
（Ⅱ）如图②，若//，连接，过点D作的切线，与的延长线交于点E，求的大小．
22. 如图，一艘货船在灯塔C的正南方向，距离灯塔257海里的A处遇险，发出求救信号．一艘救生船位于灯塔C的南偏东方向上，同时位于A处的北偏东方向上的B处，救生船接到求救信号后，立即前往救援．求的长（结果取整数）．参考数据：，取1.73．
23. 在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．
已知学校、书店、陈列馆依次在同一条直线上，书店离学校，陈列馆离学校．李华从学校出发，匀速骑行到达书店；在书店停留后，匀速骑行到达陈列馆；在陈列馆参观学习一段时间，然后回学校；回学校途中，匀速骑行后减速，继续匀速骑行回到学校．给出的图象反映了这个过程中李华离学校的距离与离开学校的时间之间的对应关系．
请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）填表
离开学校的时间/
离学校的距离/
（Ⅱ）填空：
①书店到陈列馆的距离为________；
②李华在陈列馆参观学的时间为_______h；
③李华从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为______；
④当李华离学校距离为时，他离开学校的时间为_______h．
（Ⅲ）当时，请直接写出y关于x的函数解析式．
24. 在平面直角坐标系中，O为原点，是等腰直角三角形，，顶点，点B在第一象限，矩形的顶点，点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限，射线经过点B．
（Ⅰ）如图①，求点B的坐标；
（Ⅱ）将矩形沿x轴向右平移，得到矩形，点O，C，D，E的对应点分别为，，，，设，矩形与重叠部分的面积为S．
①如图②，当点在x轴正半轴上，且矩形与重叠部分为四边形时，与相交于点F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．
25. 已知抛物线（a，c为常数，）经过点，顶点为D．
（Ⅰ）当时，求该抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）当时，点，若，求该抛物线的解析式；
（Ⅲ）当时，点，过点C作直线l平行于x轴，是x轴上的动点，是直线l上的动点．当a为何值时，的最小值为，并求此时点M，N的坐标．
参考答案及解析
【解析】C
根据有理数的乘法法则运算,由题意可知：.
【解析】A
．
【解析】B
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．
所以141178=1.41178×105．
【解析】A
根据轴对称图形的概念,依题意，
A．是轴对称图形，此选项符合题意；
B．不是轴对称图形，此选项不符合题意；
C．不是轴对称图形，此选项不符合题意；
D．不是轴对称图形，此选项不符合题意．
【解析】D
根据三视图中的主视图定义，所以从正面看到的平面图形是3列小正方形，从左至右第1列有1个，第2列有2个，第3列有2个．
【解析】C
∵,∴的值在4和5之间．
【解析】B
利用加减消元法解该二元一次方程组．即
，
②-①得：，即，
∴．
将代入①得：，
∴．
所以原二元一次方程组的解为．
【解析】C
根据平行四边形性质以及点的平移性质可知：
∵四边形ABCD是平行四边形，
点B的坐标为(-2，-2)，点C的坐标为(2，-2)，
∴点B到点C为水平向右移动4个单位长度，
∴点A到点D也应向右移动4个单位长度，
∵点A的坐标为(0，1)，
∴点D的坐标为(4，1)．
【解析】A
解：
，
．
【解析】B
将A、B、C三点坐标代入反比例函数解析式得：
、、．
所以．
【解析】D
依题意，由旋转性质可知，
∵点A，D，E在同一条直线上，
∴，
∵，
∴，所以A选项错误；
由旋转可知，
∵为钝角，
∴，
∴，所以B选项错误；
∵，
∴，所以C选项错误；
由旋转可知，
∵，
∴为等边三角形，
∴．
∴，
∴，所以D选项正确．
【解析】D
依题意，∵抛物线（是常数，）经过点，当时，与其对应的函数值．
∴c=1＞0，a-b+c= -1，4a-2b+c＞1，
∴a-b= -2，2a-b＞0，
∴2a-a-2＞0，
∴a＞2＞0，
∴b=a+2＞0，
∴abc＞0，
∵,
∴△==＞0,
∴有两个不相等的实数根；
∵b=a+2，a＞2，c=1，
∴a+b+c=a+a+2+1=2a+3，
∵a＞2，
∴2a＞4，
∴2a+3＞4+3＞7．
【解析】
原式
【解析】9
原式
【解析】
依题意得，∵袋子中共有7个球，其中红球有3个，
∴从袋子中随机取出1个球，它是红球的概率是．
【解析】y=-6x-2
根据“上加下减，左加右减”的平移规律．即
将直线y=-6x向下平移2个单位长度，所得直线的解析式为y=-6x-2．
【解析】
如图所示,作OK⊥BC，垂足为点K，
∵正方形边长为4，
∴KC=2，OK=2，
∴KC=CE，
∴CH是△OKE中位线
∴，
作GM⊥CD，垂足为点M，
∵G点为EF中点，
∴GM是△FCE的中位线，
∴，，
∴，
在Rt△MHG中，.
【解析】 （Ⅰ） （Ⅱ） 见解析
（Ⅰ）因为每个小正方形的边长为1，
所以，
（Ⅱ）如图所示，取与网格线的交点D，则点D为BC中点，连接并延长，与半圆相交于点E，连接并延长，与的延长线相交于点F，则OE为△BFA的中位线，且，连接交于点G，连接并延长，与相交于点P，因为，即点P即为所求．
【解析】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示见解析；（Ⅳ）．
（Ⅰ）解不等式，得：．
（Ⅱ）解不等式，得：．
（Ⅲ）不等式①和②解集在数轴上表示为：
；
（Ⅳ）原不等式的解集为．
【解析】（Ⅰ）50，20；（Ⅱ）这组数据的平均数是5.9；众数为6；中位数为6．
解：（Ⅰ）本次接受调查的家庭个数=，
根据题意可知 ，
解得．
（Ⅱ）观察条形统计图可知，
∵，
∴这组数据的平均数是5.9．
∵在这组数据中，6出现了16次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数为6．
∵将这组数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是6，
即这组数据的中位数为6．
【解析】（Ⅰ），；（Ⅱ）．
解;（Ⅰ）∵为的直径，
∴．
∵在中，，
∴；
∵，
∴．
∴．
（Ⅱ）如图所示 ，连接．
∵，
∴．
∵四边形是圆的内接四边形，，
∴．
∴．
∴．
又∵是的切线，
∴，即．
∴．
【解析】的长约为168海里．
如图所示，过点B作BH⊥CA，垂足为点H．
依题意， ，
∵在中，，，
∴．
∵在中，，
∴．
又，
∴．
∴．
∴．
答：的长约为168海里．
【解析】（Ⅰ）10，12，20；（Ⅱ）①8；②3；③28；④或；（Ⅲ）当时，；当时，；当时，．
解：由函数图象知：
①当时，设函数表达式为，当x=0.6时，y=12，
即，解得
∴当时，设函数表达式为
②当时，
③当时，设函数表达式为，当x=1时，y=12；当x=1.5时，y=20，
即 ，解得
∴当时，设函数表达式为
④当时，
⑤当时，设函数表达式为，当x=4.5时，y=20；当x=5时，y=6，
即，解得
∴当时，设函数表达式为
⑥当时，设函数表达式为，当x=5时，y=6；当x=5.5时，y=0，
即，解得
∴当时，设函数表达式为
（Ⅰ）∵当时，函数表达式为
∴当x=0.5时，．故第一个空为10．
当时，．故第二个空为12．
当时，．故第三个空为20．
（Ⅱ）①李华从学校出发，匀速骑行到达书店；在书店停留后，匀速骑行到达陈列馆．由图象可知书店到陈列馆的距离为；
②李华在陈列馆参观学习一段时间，然后回学校．由图象可知李华在陈列馆参观学的时间为；
③当时，设函数表达式为，所以李华从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为28；
④当李华离学校的距离为时，或
由以上对图象的分析可知：
当时，设函数表达式为
令，解得
当时，设函数表达式为
令，解得
∴当李华离学校的距离为时，他离开学校的时间为或．
（Ⅲ）由以上对图象的分析可知：
当时，；
当时，；
当时，．
【解析】（Ⅰ）点B的坐标为；（Ⅱ）①， t的取值范围是；②．
解：(I)如图所示，过点B作，垂足为点H．
由点，得．
∵，
∴．
又∠BOH=45°，
∴△OBH为等腰直角三角形，
∴．
∴点B的坐标为．
(II)①由点，得．由平移可知，四边形是矩形，得
，，
∴，．
∵，，
∴．
∴
∴．
∴．
∴．
∴．
整理得：．
当点与A点重合时，矩形与重叠部分刚开始为四边形，如下图(1)：此时，
当点与点B重合时，矩形与重叠部分为三角形，接下来往右平移时重叠部分一直为三角形直到点与点A重合，如下图(2)：
此时，
∴t的取值范围为；
②当时，矩形与重叠部分的面积如下图3：
此时，∠BAO=45°，为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴重叠部分面积，
∴是关于的二次函数，且对称轴为，且开口向下，
所以自变量离对称轴越远，其对应的函数值越小，
所以将代入，
得到最大值，
将代入，
得到最小值，
当时，矩形与重叠部分的面积如下图4：
此时，
和均为等腰直角三角形，
∴，
，
∴重叠部分面积，
∴是关于的二次函数，且对称轴为，且开口向下，
所以自变量离对称轴越远，其对应的函数值越小，故将代入，得到最大值，
将代入，
得到最小值，
∵，，
∴的最小值为，最大值为．
【解析】（Ⅰ）抛物线的顶点坐标为；（Ⅱ）或；（Ⅲ）点M的坐标为，点N的坐标为
（Ⅰ）当时，抛物线的解析式为．
解：因为抛物线经过点
所以
解得：
所以抛物线的解析式为
因为
所以抛物线的顶点坐标为；
（Ⅱ）当时，由抛物线经过点，可知
所以抛物线的解析式为
所以抛物线的对称轴为：
当时，
所以抛物线的顶点D的坐标为；
过点D作轴于点G
在中，，，
∴
在中，，，
∴．
∵，即，
∴
解得：，
∴抛物线的解析式为或．
（Ⅲ）当时，将点向左平移3个单位长度，向上平移1个单位长度后得．
作点F关于x轴的对称点，得点的坐标为
当满足条件的点M落在线段上时，最小，
即，．
过点 作轴于点H
在中，，，
∴．
又，即．
解得：，（舍去）
∴点坐标为，点的坐标为．
∴直线的解析式为．
当时，．
∴，
∴点M的坐标为，点N的坐标为．

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