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2021年北京市中考数学试卷
一 选择题（共16分，每题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 如图是某几何体的展开图，该几何体是（ ）
A. 长方体 B. 圆柱 C. 圆锥 D. 三棱柱
2. 党的十八大以来，坚持把教育扶贫作为脱贫攻坚的优先任务．年，中央财政累计投入“全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件”专项补助资金1692亿元，将169200000000用科学记数法表示应为（ ）
A B. C. D.
3. 如图，点在直线上，．若，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
4. 下列多边形中，内角和最大的是（ ）
A. B. C. D.
5. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
6. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上 一枚硬币反面向上的概率是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知．若为整数且，则的值为（ ）
A. 43 B. 44 C. 45 D. 46
8. 如图，用绳子围成周长为的矩形，记矩形的一边长为，它的邻边长为，矩形的面积为．当在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与与满足的函数关系分别是（ ）
A. 一次函数关系，二次函数关系 B. 反比例函数关系，二次函数关系
C. 一次函数关系，反比例函数关系 D. 反比例函数关系，一次函数关系
二 填空题（共16分，每题2分）
9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_______________．
10. 分解因式：______________．
11. 方程的解为______________．
12. 在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点和点，则的值为______________．
13. 如图，是的切线，是切点．若，则______________．
14. 如图，在矩形中，点分别在上，．只需添加一个条件即可证明四边形是菱形，这个条件可以是______________（写出一个即可）．
15. 有甲 乙两组数据，如表所示：
甲 11 12 13 14 15
乙 12 12 13 14 14
甲 乙两组数据的方差分别为，则______________（填“＞”，“＜”或“＝”）．
16. 某企业有两条加工相同原材料的生产线．在一天内，生产线共加工吨原材料，加工时间为小时；在一天内，生产线共加工吨原材料，加工时间为小时．第一天，该企业将5吨原材料分配到两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到生产线的吨数与分配到生产线的吨数的比为______________．第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又给生产线分配了吨原材料，给生产线分配了吨原材料．若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则的值为______________．
三 解答题（共68分，第17－20题，每题5分，第21－22题，每题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27－28题，每题7分）解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程．
17. 计算：．
18. 解不等式组：
19. 已知，求代数式的值．
20. 《淮南子 天文训》中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点，使两点间的距离为10步（步是古代的一种长度单位），在点处立一根杆；日落时，在地面上沿着点处的杆的影子的方向取一点，使两点间的距离为10步，在点处立一根杆．取的中点，那么直线表示的方向为东西方向．
（1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点的位置如图所示．使用直尺和圆规，在图中作的中点（保留作图痕迹）；
（2）在如图中，确定了直线表示的方向为东西方向．根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线表示的方向为南北方向，完成如下证明．
证明：在中，______________，是的中点，
（______________）（填推理的依据）．
∵直线表示的方向为东西方向，
∴直线表示的方向为南北方向．
21. 已知关于的一元二次方程．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若，且该方程的两个实数根的差为2，求的值．
22. 如图，在四边形中，，点在上，，垂足为．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若平分，求和的长．
23. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象向下平移1个单位长度得到．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围．
24. 如图，是外接圆，是的直径，于点．
（1）求证：；
（2）连接并延长，交于点，交于点，连接．若的半径为5，，求和的长．
25. 为了解甲 乙两座城市的邮政企业4月份收入的情况，从这两座城市的邮政企业中，各随机抽取了25家邮政企业，获得了它们4月份收入（单位：百万元）的数据，并对数据进行整理 描述和分析．下面给出了部分信息．
．甲城市邮政企业4月份收入的数据的频数分布直方图如下（数据分成5组：）：
．甲城市邮政企业4月份收入的数据在这一组的是：10.0，10.0，10.1，10.9，11.4，11.5，11.6，11.8
．甲 乙两座城市邮政企业4月份收入数据的平均数 中位数如下：
平均数 中位数
甲城市 10.8
乙城市 11.0 11.5
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中的值；
（2）在甲城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为．在乙城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为．比较的大小，并说明理由；
（3）若乙城市共有200家邮政企业，估计乙城市邮政企业4月份的总收入（直接写出结果）．
26. 在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上．
（1）若，求该抛物线的对称轴；
（2）已知点在该抛物线上．若，比较的大小，并说明理由．
27. 如图，在中，为的中点，点在上，以点为中心，将线段顺时针旋转得到线段，连接．
（1）比较与的大小；用等式表示线段之间的数量关系，并证明；
（2）过点作的垂线，交于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
28. 在平面直角坐标系中，的半径为1，对于点和线段，给出如下定义：若将线段绕点旋转可以得到的弦（分别是的对应点），则称线段是的以点为中心的“关联线段”．
（1）如图，点的横 纵坐标都是整数．在线段中，的以点为中心的“关联线段”是______________；
（2）是边长为1的等边三角形，点，其中．若是的以点为中心的“关联线段”，求的值；
（3）在中，．若是的以点为中心的“关联线段”，直接写出的最小值和最大值，以及相应的长．
参考答案及解析
【解析】B
由几何体的展开图可得该几何体是圆柱．
【解析】C
将169200000000用科学记数法表示为．
【解析】A
依题意，∵点在直线上，，
∴，，
又∵，
∴，
∴．
【解析】D
根据题意，A、是三角形，其内角和为180°；
B、是四边形，其内角和为360°；
C、是五边形，其内角和为540°；
D、是六边形，其内角和为720°；
【解析】B
由数轴可得：，
∴，
B选项正确
【解析】C
由题意得：
即一枚硬币正面向上 一枚硬币反面向上的概率是：．
【解析】B
∵，
n2<2021<(n+1)2
∴，
∴，
∴．
【解析】A
由题意得：
，得：，
，
∴y与x成一次函数的关系，S与x成二次函数的关系．
【解析】
由题意得：
，
得：．
【解析】
根据提公因式法及平方差公式得，．
【解析】
根据分式方程的解法，
，
，
经检验：是原方程的解．
【解析】
将点代入反比例函数得：，
∴，得：．
【解析】130°
由题意知：，
，
∵，
∴．
【解析】（答案不唯一）
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
若或AE=CE或CE=CF或AF=CF，则平行四边形AECF为菱形。理由：一组邻边相等的平行四边形是菱形；
故答案为（答案不唯一）．
【解析】＞
由题意得：
，，
∴，
，
∴．
【解析】 ①. 2∶3 ②.
解：设分配到生产线的吨数为x吨，分配到B生产线的吨数为（5-x）吨，依题意可得：
，得：，
即分配到B生产线的吨数为5-2=3（吨），分配到生产线的吨数与分配到生产线的吨数的比为2∶3；
∴第二天开工时，给生产线分配了吨原材料，给生产线分配了吨原材料，
由于加工时间相同，
即，
解得：，
∴．
【解析】
根据特殊三角函数值、零次幂及二次根式的运算知，原式=．
【解析】
解：
由①得：，
由②得：，
∴原不等式组的解集为．
【解析】1
=
=，
∵，
∴，
∴原式=．
【解析】（1）图见详解；（2），等腰三角形的三线合一
（1）如图所示：
（2）证明：在中，，是的中点，
（等腰三角形的三线合一）（填推理的依据）．
∵直线表示的方向为东西方向，
∴直线表示的方向为南北方向；
【解析】（1）见详解；（2）
（1）证明：由题意得：，
∴，
∵，
∴，
∴该方程总有两个实数根；
（2）解：设关于的一元二次方程的两实数根为，则有：，
∵，
∴，
得：，
∵，
∴．
【解析】（1）见详解；（2），
证明：∵，
∴AD∥CE，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
解：∵，平分，，
∴，
由（1）可得四边形是平行四边形，
∴，
∴EF=CE=AD，
∵，
∴，
∴，
∴．
【解析】（1）；（2）
解：（1）由题意可得：该一次函数的解析式为；
（2）假设函数与一次函数的交点横坐标为，则由（1）可得：
，解得：，
函数图象如图所示：
∴当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值时，根据一次函数的k表示直线的倾斜程度可得时，符合题意，当时，则函数与一次函数的交点在第一象限，不符合题意，
综上所述：．
【解析】（1）见详解；（2），
（1）证明：∵是的直径，，
∴，
∴；
（2）解：由题意可得如图所示：
由（1）可得点E为BC的中点，
∵点O是BG的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵的半径为5，
∴，
∴，
∴
【解析】（1）；（2），理由见详解；（3）乙城市的邮政企业4月份的总收入为2200百万元．
解：（1）由题意可得m为甲城市的中位数，因为共有25家邮政企业，所以第13家邮政企业的收入作为甲城市邮政企业收入的中位数，
因为有3家，有7家，有8家，
所以中位数在上，
即；
（2）由（1）可得：甲城市中位数低于平均数，最大为12个；乙城市中位数高于平均数，至少为13个，
所以；
（3）由题意得：
（百万元）；
答：乙城市的邮政企业4月份的总收入为2200百万元．
【解析】（1）；（2），理由见解析
解：（1）当时，将点和点，代入二次函数得：
，解得：，
∴抛物线解析式为，
∴抛物线的对称轴为；
（2）由题意得：抛物线始终过定点，则由可得：
①当时，由抛物线始终过定点可得此时的抛物线开口向下，即，与矛盾；
②当时，
∵抛物线始终过定点，
∴抛物线的对称轴的范围为，
∵点在该抛物线上，
∴离抛物线对称轴的距离的范围分别为，
∵，开口向上，
由抛物线性质可知点横坐标离对称轴越近对应的y越小，
∴．
【解析】（1），，理由见详解；（2），理由见详解．
（1）证明：∵，
∴，
∴，
由旋转的性质可得，
∵，
∴，
∴，
∵点M为BC的中点，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：，理由如下：
过点E作EH⊥AB，垂足为点Q，交AB于点H，如图所示：
∴，
由（1）知，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【解析】（1）；（2）；（3）当时，此时；当时，此时．
解：（1）由题意得：
观察图象可知：线段能绕点A旋转90°得到的“关联线段”，都不能绕点A进旋转得到；
故的“关联线段”为；
（2）由题意可得：当是的以点为中心的“关联线段”时，则有是等边三角形，且边长也为1，当点A在y轴的正半轴上时，如图所示：
设与y轴的交点为D，连接，易得轴，
∴，
∴，，
∴，
∴；
当点A在y轴的负半轴上时，如图所示：
同理可得，
∴；
（3）由是的以点为中心的“关联线段”，则可知都在上，且，则有当以为圆心，1为半径作圆，以点A为圆心，2为半径作圆，即得到点A的运动轨迹，如图所示：
由运动轨迹可得当点A也在上时为最小，最小值为1，此时为的直径，
∴，
∴，
∴；
由以上情况可知当点三点共线时，OA的值为最大，最大值为2，如图所示：
连接，过点作于点P，
∴，
设，则，
由勾股定理得：，即，
得：，
∴，
∴，
在中，，
∴；
综上所述：当时，此时；当时，此时．

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