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2021年福建省中考数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1. 在实数，，0，中，最小的数是（ ）
A. B. 0 C. D.
2. 如图所示的六角螺栓，其俯视图是（ ）
A B.
C. D.
3. 如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得．据此，可求得学校与工厂之间的距离等于（ ）
A. B. C. D.
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 某校为推荐一项作品参加“科技创新”比赛，对甲、乙、丙、丁四项候选作品进行量化评分，具体成绩（百分制）如表：
项目 作品 甲 乙 丙 丁
创新性 90 95 90 90
实用性 90 90 95 85
如果按照创新性占60%，实用性占40%计算总成绩，并根据总成绩择优推荐，那么应推荐的作品是（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
6. 某市2018年底森林覆盖率为63%．为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力开展植树造林活动，2020年底森林覆盖率达到68%，如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x，那么，符合题意的方程是（ ）
A. B.
C. D.
7. 如图，点F在正五边形的内部，为等边三角形，则等于（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，一次函数的图象过点，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，为的直径，点P在的延长线上，与相切，切点分别为C，D．若，则等于（ ）
A. B. C. D.
10. 二次函数的图象过四个点，下列说法一定正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 若反比例函数的图象过点，则k的值等于_________．
12. 写出一个无理数x，使得，则x可以是_________（只要写出一个满足条件x即可）
13. 某校共有1000名学生．为了解学生的中长跑成绩分布情况，随机抽取100名学生的中长跑成绩，画出条形统计图，如图．根据所学的统计知识可估计该校中长跑成绩优秀的学生人数是_________．
14. 如图，是的角平分线．若，则点D到的距离是_________．
15. 已知非零实数x，y满足，则值等于_________．
16. 如图，在矩形中，，点E，F分别是边上的动点，点E不与A，B重合，且，G是五边形内满足且的点．现给出以下结论：
①与一定互补；
②点G到边的距离一定相等；
③点G到边的距离可能相等；
④点G到边的距离的最大值为．
其中正确的是_________．（写出所有正确结论的序号）
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算：．
18. 如图，在中，D是边上的点，，垂足分别为E，F，且．求证：．
19. 解不等式组：
20. 某公司经营某种农产品，零售一箱该农产品的利润是70元，批发一箱该农产品的利润是40元．
（1）已知该公司某月卖出100箱这种农产品共获利润4600元，问：该公司当月零售、批发这种农产品的箱数分别是多少？
（2）经营性质规定，该公司零售数量不能多于总数量的30%．现该公司要经营1000箱这种农产品，问：应如何规划零售和批发的数量，才能使总利润最大？最大总利润是多少？
21. 如图，在中，．线段是由线段平移得到的，点F在边上，是以为斜边的等腰直角三角形，且点D恰好在的延长线上．
（1）求证：；
（2）求证：．
22. 如图，已知线段，垂足为a．
（1）求作四边形，使得点B，D分别在射线上，且，，；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）设P，Q分别为（1）中四边形的边的中点，求证：直线相交于同一点．
23. “田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒．该故事的大意是：齐王有上、中、下三匹马，田忌也有上、中、下三匹马，且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下：（注：表示A马与B马比赛，A马获胜）．一天，齐王找田忌赛马，约定：每匹马都出场比赛一局，共赛三局，胜两局者获得整场比赛的胜利．面对劣势，田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，并采用孙膑的策略：分别用下马、上马、中马与齐王的上马、中马、下马比赛，即借助对阵（）获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例．
假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题：
（1）如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？并求其获胜的概率；
（2）如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是否必败无疑？若是，请说明理由；若不是，请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率．
24. 如图，在正方形中，E，F为边上的两个三等分点，点A关于的对称点为，的延长线交于点G．
（1）求证：；
（2）求的大小；
（3）求证：．
25. 已知抛物线与x轴只有一个公共点．
（1）若抛物线过点，求最小值；
（2）已知点中恰有两点在抛物线上．
①求抛物线的解析式；
②设直线l：与抛物线交于M，N两点，点A在直线上，且，过点A且与x轴垂直的直线分别交抛物线和于点B，C．求证：与的面积相等．
参考答案及解析
【解析】A
比较实数，，0，的大小，
，为正数大于0，
为负数小于0，
所以最小的数是：．
【解析】A
根据从上面看到的图形是一个正六边形，中间是一个圆，判断A选项正确。
故选：A．
【解析】D
，
．
【解析】D
A：，故 A选项错误；
B：，故 B选项错误；
C：，故C选项错误；
D：．
故选：D
【解析】B
由题意得:
甲：90×60%+90×40%=90；
乙：95×60%+90×40%=93；
丙：90×60%+95×40%=92；
丁：90×60%+85×40%=88；
【解析】B
根据题意得：
．
【解析】C
∵是正五边形，
∴∠ABC==108°，AB=BC，
∵为等边三角形，
∴∠ABF=∠AFB=60°，AB=BF，
∴BF=BC，∠FBC=∠ABC-∠ABF=108°-60°=48°，
∴∠BFC==66°，
∴=∠AFB+∠BFC=2∠BFC=126°．
【解析】C
如图所示，直线向右平移1个单位得到 ，该图像经过原点，
由图像可知，在y轴右侧，直线位于x轴上方，即y>0，即
此时 x>0，
故选：C．
【解析】D
连接OC，
∵ CP，DP是⊙O的切线，
∴∠OCP＝90°，∠CAP＝∠PAD，
∴∠CAD=2∠CAP，
∵OA=OC
∴∠OAC＝∠ACO，
∴∠COP＝2∠CAO
∴∠COP＝∠CAD
∵
∴OC=3
在Rt△COP中，OC=3，PC=4
∴OP=5．
∴== ．
【解析】C
二次函数的对称轴为：
，且开口向上，
距离对称轴越近，函数值越小，
，
A，若，则不一定成立，选项A错误，不符合题意；
B, 若，则不一定成立，选项B错误，不符合题意；
C，若，所以，则一定成立，选项C正确，符合题意；
D，若，则不一定成立，选项D错误，不符合题意．
【解析】1
∵反比例函数的图象过点
∴，得．
【解析】答案不唯一（如等）
根据无理数的定义写一个无理数，满足即可；
所以有以下几种：
①开方开不尽的数：
②无限不循环小数，，
③含有π的数等．写出一个满足条件的x即可．
【解析】
由图知：100名学生中优秀学生的比例为：，
所以该校中长跑成绩优秀的学生人数是：（人）．
【解析】
如图所示，过点D作，则点D到的距离为DE
平分，，
点D到的距离为．
【解析】4
∵
∴ xy+y=x，∴ x-y=xy
∴
【解析】①②④
①四边形是矩形
,四边形内角和为
所以①正确．
②如图所示：过点作
，
即点G到边的距离一定相等
所以②正确．
③如图所示：过作
所以点G到边的距离不可能相等
所以③不正确．
④如图所示：
当时，点G到边的距离的最大
所以④正确．
综上得：①②④正确．
【解析】
．
【解析】
证明：∵，
∴．
在和中，
∴，（SAS)
∴．
【解析】
解不等式，
得:．
解不等式，
，
得：．
综上原不等式组的解集是：．
【解析】（1）该公司当月零售农产品20箱，批发农产品80箱；（2）该公司应零售农产品300箱、批发农产品700箱才能使总利润最大，最大总利润是49000元
解：（1）设该公司当月零售农产品x箱，批发y农产品箱．
由题意，得
解得
即该公司当月零售农产品20箱，批发农产品80箱．
（2）设该公司零售农产品m箱，获得总利润w元．批发农产品的数量为箱，
因为该公司零售的数量不能多于总数量的30%
所以
根据题意，得．
因为，所以w随着m的增大而增大，
则时，取得最大值49000元，
此时．
因此该公司应零售农产品300箱、批发农产品700箱才能使总利润最大，最大总利润是49000元．
【解析】
证明：（1）在等腰直角三角形中，，
∴．
∵，∴∠BCD=90°
∴，
∴．
（2）连接．
由平移性质得．
∴，
∴，
∴．
∵是等腰直角三角形，
∴．
根据（1）得，
∴（AAS）
∴，∴．
【解析】
（1）作图如下：
四边形是所求作的四边形；
（2）设直线与相交于点S，
∵，
∴，
∴
设直线与相交于点，
同理．
∵P，Q分别为的中点，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点S与点重合，即三条直线相交于同一点．
【解析】（1）田忌首局应出“下马”才可能在整场比赛中获胜，；（2）不是，田忌获胜的所有对阵是，，，，，，
解：（1）田忌首局应出“下马”才可能在整场比赛中获胜．
此时，比赛的所有可能对阵为：
，，
，，共四种．
则田忌获胜的对阵为
，，共两种，
故田忌获胜的概率为．
（2）不是．
齐王出马顺序是时，则田忌获胜对阵为；
齐王出马顺序是时，则田忌获胜对阵为；
齐王出马顺序是时，则田忌获胜对阵为；
齐王出马顺序是时，则田忌获胜对阵为；
齐王出马顺序是时，则田忌获胜对阵为；
齐王出马顺序是时，则田忌获胜对阵为．
综上，田忌获胜的对阵为
，，，
，，．
齐王的出马顺序是时，比赛的所有可能对阵是
，，，
，，，
共6种，同理，齐王的其他各种出马顺序，也分别有相应的6种可能对阵，
所以田忌获胜的概率．
【解析】（1）见解析；（2）45°；（3）见解析
解：（1）设直线与相交于点T，
∵E，F为边上的两个三等分点，
∴，
∵点A与点关于对称，
∴垂直平分，即．
∴是的中位线，
∴，即．
（2）连接，∵，∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴．
∴（SAS）
∴，又，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴．
∵，
∴，
∴．
取的中点O，连接，
在，中，
，
∴，
∴点，F，B，G都在以为直径的上，
∴．
（3）设，则．
由（2）得，
∴，即，∴．
设，则，在中，由勾股定理，得，
∴．
在中，由勾股定理，得．
又∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
由（2）知，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【解析】（1）-1；（2）①；②见解析
解：因为抛物线与x轴只有一个公共点，
则方程有两个相等的实数根，
所以，即．
∵抛物线过点，所以，
∴，即．
∴，
当时，取到最小值．
① ∵抛物线与x轴只有一个公共点，
∴抛物线上的点只能落在x轴的同侧．
又∵点中恰好有两点在抛物线图象上，
∴只能是点在抛物线图象上，
由对称性可得抛物线的对称轴为，所以，
即，∵，∴．
又∵点在抛物线的图象上，∴，
则抛物线的解析式为．
②根据题意 设，则．
记直线为m，分别过M，N作，垂足分别为E，F，
则，
∵，∴．
又∵，∴，∴．
∴，∴，即．
∴，
即．①
把代入，得，
解得，
∴ ．②
将②代入①，得，
即，解得，即．
∴ 过点A且与x轴垂直的直线为，
将代入，得，即，
将代入，得，
即，
∴，则，
∴与的面积相等．

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