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2022年江西省中考数学专题练8-四边形
一．选择题（共10小题）
1．（2021 江西模拟）夹在两条平行线间的正方形ABCD等边三角形DEF如图所示，顶点A、F分别在两条平行线上．若A、D、F在一条直线上，则∠1与∠2的数量关系（　　）
A．∠1+∠2＝60° B．2∠1+∠2＝90° C．∠2＝2∠1 D．∠2﹣∠1＝30°
2．（2021 吉安县模拟）已知正方形ABCD的边长为a，延长BC到点E，使CE＝BC，取CD的中点F，连接DE、BF，DE与BF的延长线相交于点G，则BG的长为（　　）
A．a B．a C．a D．a
3．（2021 南昌模拟）在校运动会上，三位同学用绳子将四根同样大小的接力棒分别按横截面如图（1），（2），（3）所示的方式进行捆绑，三个图中的四个圆心的连线（虚线）分别构成菱形，正方形，菱形，如果把三种方式所用绳子的长度分别用x，y，z来表示，则（　　）
A．z＞x＞y B．x＞z＞y C．x＞y＞z D．x＝y＝z
4．（2021 江西模拟）如图，矩形桌面的对角线相交于点O，点P在其中一条对角线上，点M，N分别在两条对称轴上．两人在这个矩形桌面上做摆放硬币的游戏，规则是：用相同的硬币，每人每次摆一枚，轮流摆放，硬币不能重叠，也不能出边界，直到谁先摆不下就认输．若你先摆，为了确保能赢，你的第一枚硬币应该摆放在（　　）
A．点M处 B．点N处 C．点O处 D．点P处
5．（2021 吉安县模拟）如图，在平行四边形ABCD中，BC＝2AB，CE⊥AB于E，F为AD的中点，若∠AEF＝54°，则∠B＝（　　）
A．54° B．60° C．66° D．72°
6．（2020 江西模拟）如图，点D、E、F分别是△ABC三边的中点，则下列判断错误的是（　　）
A．四边形AEDF一定是平行四边形
B．若AD平分∠A，则四边形AEDF是正方形
C．若AD⊥BC，则四边形AEDF是菱形
D．若∠A＝90°，则四边形AEDF是矩形
7．（2020 南康区模拟）如图，正五边形ABCDE中，以BC为一边，在五边形内部作等边△BCF，连接AF，则∠AFB的度数是（　　）
A．72° B．66° C．65° D．60°
8．（2020 承德二模）把边长相等的正五边形ABCDE和正方形ABFG，按照如图所示的方式叠合在一起，连接AD，则∠DAG＝（　　）
A．18° B．20° C．28° D．30°
9．（2020 会昌县模拟）将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1，A2，…，An分别是正方形对角线的交点，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为（　　）
A． cm2 B．cm2 C． cm2 D．（）ncm2
10．（2020 吉安模拟）如图， ABCD的周长为16cm，AC与BD相交于点O，OE⊥AC交AD于E，则△DCE的周长为（　　）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
二．填空题（共9小题）
11．（2021 江西）如图，将 ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，CE交AD于点F，若∠B＝80°，∠ACE＝2∠ECD，FC＝a，FD＝b，则 ABCD的周长为 　 　．
12．（2021 寻乌县模拟）在 ABCD中，∠A＝30°，AD＝8，BD＝8，则 ABCD的面积等于 　 　．
13．（2021 寻乌县模拟）如图，边长为2的正方形ABCD中，点E，F在边BC上，且BE＝CF1，在边AB或CD上有一点P，若∠EPF＝30°，则PE的长为 　 　．
14．（2021 江西模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点P在BC边上，点M在AD边上，AM＝5，点Q为AP的中点，当△AMQ为直角三角形时，AP的长为 　 　．
15．（2021 景德镇模拟）如图是6个形状、大小完全相同的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角（∠O）为60°，A，B，C，D都在格点上，且线段AB，CD相交于点P，则tan∠BPD的值为 　 　．
16．（2021 南昌县一模）如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，点E是BC的中点，点F在AB上，FB＝1，P是矩形上一动点．若点P从点F出发，沿F→A→D→C的路线运动，当∠FPE＝30°时，FP的长为 　 　．
17．（2021 江西模拟）一张矩形纸片ABCD，已知AB＝3，AD＝2，小明按如图步骤折叠纸片，则四边形A'EGC′的面积为 　 　．
18．（2021 江西模拟）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60°，AE⊥BC于点E，交BD于点F．若P是菱形ABCD边上的一动点，当△AFP的面积是9时，DP的长为　 　．
19．（2021 寻乌县模拟）如图，四边形ABCD是菱形，点O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形分成阴影和空白部分，当菱形的两条对角线长分别为12和16时，则阴影部分面积为 　 　．
三．解答题（共8小题）
20．（2021 江西）课本再现
（1）在证明“三角形内角和定理”时，小明只撕下三角形纸片的一个角拼成图1即可证明，其中与∠A相等的角是 　 　；
类比迁移
（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC与∠ADC互余，小明发现四边形ABCD中这对互余的角可类比（1）中思路进行拼合：先作∠CDF＝∠ABC，再过点C作CE⊥DF于点E，连接AE，发现AD，DE，AE之间的数量关系是 　 　；
方法运用
（3）如图3，在四边形ABCD中，连接AC，∠BAC＝90°，点O是△ACD两边垂直平分线的交点，连接OA，∠OAC＝∠ABC．
①求证：∠ABC+∠ADC＝90°；
②连接BD，如图4，已知AD＝m，DC＝n，2，求BD的长（用含m，n的式子表示）．
21．（2020 江西）某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积S1，S2，S3之间的关系问题”进行了以下探究：
类比探究
（1）如图2，在Rt△ABC中，BC为斜边，分别以AB，AC，BC为斜边向外侧作Rt△ABD，Rt△ACE，Rt△BCF，若∠1＝∠2＝∠3，则面积S1，S2，S3之间的关系式为　 　；
推广验证
（2）如图3，在Rt△ABC中，BC为斜边，分别以AB，AC，BC为边向外侧作任意△ABD，△ACE，△BCF，满足∠1＝∠2＝∠3，∠D＝∠E＝∠F，则（1）中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；
拓展应用
（3）如图4，在五边形ABCDE中，∠A＝∠E＝∠C＝105°，∠ABC＝90°，AB＝2，DE＝2，点P在AE上，∠ABP＝30°，PE，求五边形ABCDE的面积．
22．（2022 南昌模拟）已知正方形ABCD与正方形AEFG，正方形AEFG绕点A旋转一周．
（1）如图1，连接BG、CF，
①求的值；
②求∠BHC的度数．
（2）当正方形AEFG旋转至图2位置时，连接CF、BE，分别取CF、BE的中点M、N，连接MN，猜想MN与BE的数量关系与位置关系，并说明理由．
23．（2021 江西模拟）（1）化简：．
（2）如图，在等腰△ABC中，AD平分顶角∠BAC，交底边BC于点H，点E在AD上，BE＝BD．求证：四边形BDCE是菱形．
24．（2021 九江模拟）如图1，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是对角线AC上任意一点，F是线段BC延长线上一点，且CF＝AE，连接EB，EF，ED，DF．
（1）求证：△ADE≌△CDF；
（2）求证：BE＝EF；
（3）如图2，当E是线段AC延长线上的任意一点，其它条件不变，（2）中的结论还成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．
25．（2021 江西模拟）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形做“等邻角四边形”，例如：如图1，∠B＝∠C，则四边形ABCD为等邻角四边形．
（1）定义理解：已知四边形ABCD为等邻角四边形，且∠A＝130°，∠B＝120°，则∠D＝　 　度．
（2）深入探究：如图2，在五边形ABCDE中，ED∥BC，对角线BD平分∠ABC．
①求证：四边形ABDE为等邻角四边形；
②若∠A+∠C+∠E＝300°，∠BDC＝∠C，请判断△BCD的形状，并明理由．
（3）拓展应用：
如图3，在等邻角四边形ABCD中，∠B＝∠C，点P为边BC上的一动点，过点P作PM⊥AB，PN⊥CD，垂足分别为M，N．在点P的运动过程中，PM+PN的值是否会发生变化？请说明理由．
26．（2021 寻乌县模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的圆分别交AB，BC于点E，F，过点A作AD∥BC交圆于点D，连接DF．
（1）求证：四边形ABFD是平行四边形；
（2）连接EF，若BC＝4，求EF的长．
27．（2021 全南县二模）如图，四边形ABCD和四边形AEFG均为菱形，且∠BAD＝∠EAG＝60°．
（1）问题引入
如图1，点E、G分别为边AB、AD上两点，且AE＜AB，连接CF．
①BE、CF之间的数量关系为 　 　；
②延长CF、BE交于点O，则∠COB＝　 　．
（2）拓展探究
将图1中的菱形AEFG绕点A顺时针旋转a（30°＜a＜60°）得到图2，连接BE并延长交CF的延长线于点O，试探究BE与CF之间的数量关系，并求出∠COB的度数；
（3）问题解决
将图1中的菱形AEFG绕点A逆时针旋转60°得到图3，连接BE，CF，当AB＝6，AE＝4时，求CF的长．
2022年江西省中考数学专题练8-四边形
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【解答】解：∵夹在两条平行线间的正方形ABCD、等边三角形DEF如图所示，顶点A、F分别在两条平行线上，
∴∠BAD＝90°，∠DFE＝60°，
∵l1∥l2，A、D、F在一条直线上，
∴∠1+∠BAD＝∠2+∠DFE，
即∠1+90°＝∠2+60°，
∴∠2﹣∠1＝30°，
故选：D．
2．【解答】解：过点C作CP∥BG，交DE于点P，连接BD，
∵BC＝CE，
∴CP是△BEG的中位线，
∴P为EG的中点，
∵F是CD的中点，
∴FG是△DCP的中位线，
∴DG＝GP＝PE，
∵正方形ABCD的边长为a，CE＝BC，
∴BC＝CD＝CE＝a，∠BCD＝90°，
BD＝DEa，∠BDC＝∠EDC＝45°，
∴DG，∠BDG＝90°，
∴BGa，
故选：B．
3．【解答】解：∵四根同样大小的接力棒，
∴横截面四个圆相同，
设圆的半径为r，
则AB＝BC＝CD＝AD＝2r，
分别与圆心A、B、C、D向外连接各切点AE、AQ、BF、BG、CH、CM、DN、DP，
则四边形ABFE、四边形BCHG、四边形CDNM、四边形ADPQ都是矩形，
∴AB＝EF＝BC＝GH＝CD＝MN＝AD＝QP＝2r，
（1）当四边形ABCD为菱形时，
①如图（1）所示：
则∠BAD+∠ABC＝180°，
∵∠EAB＝∠ABF＝∠GBC＝∠DAQ＝90°，
∴∠EAQ+∠FBG＝720°＝180°﹣4×90°＝180°，
∴的长的长为圆A周长的一半，
同理：的长的长也为圆A周长的一半，
∴x＝EF+GH+MN+QP的长的长的长的长＝4×2r+2πr＝8r+2πr；
②如图（3）所示：
同理：z＝EF+GH+MN+QP的长的长的长的长＝4×2r+2πr＝8r+2πr；
（2）四边形ABCD为正方形时，如图（2）所示：
同理：∠EAQ＝∠FBG＝∠HCM＝∠NDP＝90°，
∴的长的长的长的长＝2πr，
∴y＝EF+GH+MN+QP+2πr＝8r+2πr；
∴x＝y＝z，
故选：D．
4．【解答】解：∵矩形是中心对称图形，
∴点O是对称中心，
∴第一枚硬币应该摆放在点O处，
故选：C．
5．【解答】解：过F作FG∥AB∥CD，交BC于G；
则四边形ABGF是平行四边形，所以AF＝BG，
即G是BC的中点；
连接EG，在Rt△BEC中，EG是斜边上的中线，
则BG＝GE＝FGBC；
∵AE∥FG，
∴∠EFG＝∠AEF＝∠FEG＝54°，
∴∠AEG＝∠AEF+∠FEG＝108°，
∴∠B＝∠BEG＝180°﹣108°＝72°．
故选：D．
6．【解答】解：A、∵点D、E、F分别是△ABC三边的中点，∴DE、DF为△ABC得中位线，
∴ED∥AC，且EDAC＝AF；同理DF∥AB，且DFAB＝AE，
∴四边形AEDF一定是平行四边形，正确．
B、若AD平分∠A，如图，延长AD到M，使DM＝AD，连接CM，由于BD＝CD，DM＝AD，
∠ADB＝∠CDM，
∴△ABD≌△MCD（SAS），
∴CM＝AB，
又∵∠DAB＝∠CAD，
∠DAB＝∠CMD，
∴∠CMD＝∠CAD，
∴CA＝CM＝AB，
∵AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
则△ABD≌△ACD；AB＝AC，AE＝AF，
结合（1）四边形AEDF是菱形，因为∠BAC不一定是直角
∴不能判定四边形AEDF是正方形；
C、若AD⊥BC，则△ABD≌△ACD；AB＝AC，AE＝AF，结合（1）四边形AEDF是菱形，正确；
D、若∠A＝90°，则四边形AEDF是矩形，正确．
故选：B．
7．【解答】解：在正五边形ABCDE中，∠ABC（5﹣2）×180°＝108°，
∵△BCF是等边三角形，
∴∠CBF＝60°，BC＝BF，
∴∠ABF＝108°﹣60°＝48°，
∵AB＝BC，
∴AB＝BF，
∴∠AFB（180°﹣∠ABF）（180°﹣48°）＝66°．
故选：B．
8．【解答】解：∵正五边形ABCDE的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，
∴∠E540°＝108°，∠BAE＝108°
又∵EA＝ED，
∴∠EAD（180°﹣108°）＝36°，
∴∠BAD＝∠BAE﹣∠EAD＝72°，
∵正方形GABF的内角∠BAG＝90°，
∴∠DAG＝90°﹣72°＝18°，
故选：A．
9．【解答】解：由题意可得阴影部分面积等于正方形面积的，即是，
5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为4，
n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为（n﹣1）．
故选：B．
10．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝CD，OA＝OC，
∵ ABCD的周长为16cm，
∴AD+CD＝8cm，
∵OA＝OC，OE⊥AC，
∴EC＝AE，
∴△DCE的周长为：DE+EC+CD＝DE+AE+CD＝AD+CD＝8（cm）．
故选：C．
二．填空题（共9小题）
11．【解答】解：∵∠B＝80°，四边形ABCD为平行四边形．
∴∠D＝80°．
由折叠可知∠ACB＝∠ACE，
又AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∴∠ACE＝∠DAC，
∴△AFC为等腰三角形．
∴AF＝FC＝a．
设∠ECD＝x，则∠ACE＝2x，
∴∠DAC＝2x，
在△ADC中，由三角形内角和定理可知，2x+2x+x+80°＝180°，
解得：x＝20°．
∴由三角形外角定理可得∠DFC＝4x＝80°，
故△DFC为等腰三角形．
∴DC＝FC＝a．
∴AD＝AF+FD＝a+b，
故平行四边形ABCD的周长为2（DC+AD）＝2（a+a+b）＝4a+2b．
故答案为：4a+2b．
12．【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，如图1，当点B在E的右边时，
∵∠A＝30°，AD＝8，
∴DEAD＝4，
∴AEDE＝12，
∴BE，
∴AB＝AE+BE＝16，
∴S四边形ABCD＝16×464，
如图2，点B在E的左边时，
同理AE＝12，BE＝4，DE＝4，
∴S四边形ABCD＝8×432，
故答案为：64或32．
13．【解答】解：如图，连接AC，BD交于点O，连接OE，OF，过点O作OH⊥BC于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，∠ABC＝∠BCD＝90°，∠OBC＝∠OCB＝45°，OA＝OB＝OC＝OD，
∵OH⊥BC，
∴OH＝BH＝CH，
∴EH＝BH﹣BE＝1，
∴OE＝2．
同理可得：OF＝2，
又∵EF＝BC﹣BE﹣CF＝2，
∴△OEF是等边三角形，
∴∠EOF＝60°，
以点O为圆心，OE长为半径作⊙O，分别交AB于点P1，P2，交CD于点P3，P4，
则∠EP1F＝∠EP2F＝∠EP3F＝∠EP4F∠EOF＝30°，
∵OE＝OF，OH⊥BC，
∴EH＝FH＝OH tan30°1，
∴BE＝CF＝BH﹣EH1，
同理：AP2＝BP1＝BE＝CF＝CP4＝DP31，
①当∠EP1F＝30°时，
在Rt△P1BE中，∵BP1＝BE1，
∴P1EBE；
②当∠EP2F＝30°时，
在Rt△P2BE中，BP2＝AB﹣AP21，
则P2E2；
③当∠EP3F＝30°时，
在Rt△P3CE中，CP3＝CE1，
∴P3ECE；
④当∠EP4F＝30°时，
在Rt△P4CE中，CP41，CE1，
则P4E2．
综上，PE或2或．
故答案为：或2或．
14．【解答】解：∵当点P和B重合时，Q为AB的中点，∠MAQ＝90°，
∴△AMQ为直角三角形，
∴AP＝AB＝4，
当∠AQM＝90°，连接MP，过M作MN⊥BC于N，
∵Q是AP的中点，
∴△APM是等腰三角形，
∴PM＝AM＝5，
又∵MN＝AB＝4，
∴PN，
∴BP＝BC﹣PN﹣NC＝8﹣3﹣3＝2，
∴AP，
当P与C重合时，MP，
∴AM＝PM，
∴△AMP是等腰三角形，
又∵Q是AP的中点，
∴MQ⊥AC，
∴△AMQ是直角三角形，
∴AP，
故答案为4或2或4．
15．【解答】解：如图取格点E，连接EC、DE．设小菱形的边长为1．
由题意：EC∥AB，
∴∠APC＝∠ECD，
∵∠CDO＝60°，∠EDB＝30°，
∴∠CDE＝90°，
∵CD＝2，DE，
∴tan∠BPD＝tan∠APC＝tan∠ECD，
故答案为：．
16．【解答】解：如图，连接DF，AE，DE，取DF的中点O，连接OA、OE．以O为圆心OE的长度为半径，画⊙O交CD于P3．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠B＝90°，
∵AB＝3，AD＝2，点E是BC的中点，FB＝1，
∴BE，AF＝2，
∴tan∠FEB＝tan∠ADF，
∴∠ADF＝∠FEB＝30°，
∵EF2，DF4，
∴OE＝OF＝EF＝2，
∴△OEF是等边三角形，
∴∠EP1F＝∠FP2F＝∠FP3E＝30°，
∴FP1＝2，FP2＝4，FP3＝2，
故答案为2或4或2．
17．【解答】解：∵AB＝3，AD＝2，
由折叠的性质可得，DA′＝AD＝2，A′C″＝A′C，∠A′DE＝45°，
∴A′C″＝A′C＝1
∴C″G＝C″D＝1，
∴四边形A'EGC′的面积为（1+2）×1，
故答案为：．
18．【解答】解：∵AB＝6，∠ABC＝60°，AE⊥BC，
∴∠BAE＝30°，BEAB＝3，AEBE＝9，
∴EC＝3，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD＝∠CBD＝30°，AD∥BC，
∴BEEF，BF＝2EF，∠DAF＝∠AEB＝90°，
∴EF＝3，BF＝6，
∴AF＝6，
∵△AFP的面积是9，
∴9AF×点P到AF的距离，
∴点P到AF的距离为3，
∴点P与点B或点C重合，
当点P与点C重合，
∴PD＝6，
当点P与点B重合时，
∵∠ADB＝30°，∠DAF＝90°，
∴DF＝2AF＝12，
∴PD＝6+12＝18；
当点P在AD上时，AP＝3，
∴PD＝3，
综上所述：PD＝6或3或18，
故答案为6或3或18．
19．【解答】解：∵菱形的两条对角线的长分别为12和16，
∴菱形的面积12×16＝96，
∵O是菱形两条对角线的交点，
∴阴影部分的面积96＝48．
故答案是：48．
三．解答题（共8小题）
20．【解答】（1）解：如图1中，由图形的拼剪可知，∠A＝∠DCE′，
故答案为：∠DCE′．
（2）解：如图2中，
∵∠ADC+∠ABC＝90°，∠CDE＝∠ABC，
∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝90°，
∴AD2+DE2＝AE2．
故答案为：AD2+DE2＝AE2．
（3）①证明：如图3中，连接OC，作△ADC的外接圆⊙O．
∵点O是△ACD两边垂直平分线的交点
∴点O是△ADC的外心，
∴∠AOC＝2∠ADC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵∠AOC+∠OAC+∠OCA＝180°，∠OAC＝∠ABC，
∴2∠ADC+2∠ABC＝180°，
∴∠ADC+∠ABC＝90°．
②解：如图4中，在射线DC的下方作∠CDT＝∠ABC，过点C作CT⊥DT于T．
∵∠CTD＝∠CAB＝90°，∠CDT＝∠ABC，
∴△CTD∽△CAB，
∴∠DCT＝∠ACB，，
∴，∠DCB＝∠TCA
∴△DCB∽△TCA，
∴，
∵2，
∴AC：BA：BC＝CT：DT：CD＝1：2：，
∴BDAT，
∵∠ADT＝∠ADC+∠CDT＝∠ADC+∠ABC＝90°，DTn，AD＝m，
∴AT，
∴BD．
21．【解答】解：类比探究
（1）∵∠1＝∠3，∠D＝∠F＝90°，
∴△ADB∽△BFC，
∴（）2，
同理可得：（）2，
∵AB2+AC2＝BC2，
∴（）2+（）21，
∴S1+S2＝S3，
故答案为：S1+S2＝S3．
（2）结论仍然成立，
理由如下：∵∠1＝∠3，∠D＝∠F，
∴△ADB∽△BFC，
∴（）2，
同理可得：（）2，
∵AB2+AC2＝BC2，
∴（）2+（）21，
∴S1+S2＝S3，
（3）过点A作AH⊥BP于H，连接PD，BD，
∵∠ABH＝30°，AB＝2，
∴AH，BH＝3，∠BAH＝60°，
∵∠BAP＝105°，
∴∠HAP＝45°，
∵AH⊥BP，
∴∠HAP＝∠APH＝45°，
∴PH＝AH，
∴AP，BP＝BH+PH＝3，
∴S△ABP，
∵PE，ED＝2，AP，AB＝2，
∴，，
∴，
且∠E＝∠BAP＝105°，
∴△ABP∽△EDP，
∴∠EPD＝∠APB＝45°，，
∴∠BPD＝90°，PD＝1，
∴S△BPD23，
∵△ABP∽△EDP，
∴（）2，
∴S△PDE
∵tan∠PBD，
∴∠PBD＝30°，
∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABP﹣∠PBD＝30°，
∴∠ABP＝∠PDE＝∠CBD，
又∵∠A＝∠E＝∠C＝105°，
∴△ABP∽△EDP∽△CBD，
由（2）的结论可得：S△BCD＝S△ABP+S△DPE22，
∴五边形ABCDE的面积22+23＝67．
22．【解答】解：（1）①如图1，连接AF，AC，
∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，
∴ACAB，AFAG，∠CAB＝∠GAF＝45°，∠BAD＝90°，
∴∠CAF＝∠BAG，，
∴△CAF∽△BAG，
∴；
②∵AC是正方形BCD的对角线，
∴∠ABC＝90°，∠ACB＝45°，
在△BCH中，∠BHC＝180°﹣（∠HBC+∠HCB）
＝180°﹣（∠HBC+∠ACB+∠ACF）
＝180°﹣（∠HBC+∠ACB+∠ABG）
＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝45°；
（2）BE＝2MN，MN⊥BE，
理由如下：如图2，连接ME，过点C作CQ∥EF，交直线ME于Q，连接BH，设CF与AD交点为P，CF与AG交点为R，
∵CQ∥EF，
∴∠FCQ＝∠CFE，
∵点M是CF的中点，
∴CM＝MF，
又∵∠CMQ＝∠FME，
∴△CMQ≌△FME（ASA），
∴CQ＝EF，ME＝QM，
∴AE＝CQ，
∵CQ∥EF，AG∥EF，
∴CQ∥AG，
∴∠QCF＝∠CRA，
∵AD∥BC，
∴∠BCF＝∠APR，
∴∠BCQ＝∠BCF+∠QCF＝∠APR+∠ARC，
∵∠DAG+∠APR+∠ARC＝180°，∠BAE+∠DAG＝180°，
∴∠BAE＝∠BCQ，
又∵BC＝AB，CQ＝AE，
∴△BCQ≌△BAE（SAS），
∴BQ＝BE，∠CBQ＝∠ABE，
∴∠QBE＝∠CBA＝90°，
∵MQ＝ME，点N是BE中点，
∴BQ＝2MN，MN∥BQ，
∴BE＝2MN，MN⊥BE．
23．【解答】（1）解：
＝x+1；
（2）证明：在等腰△ABC中，AD平分顶角∠BAC，
∴AH⊥BC，BH＝CH，
∴BE＝CE，BD＝CD，
∵BE＝BD，
∴BE＝CE＝BD＝CD，
∴四边形BDCE是菱形．
24．【解答】（1）证明：如图1，
在菱形ABCD中，AB＝BC，AD∥BC，AB∥CD，AD＝CD．
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
∴∠BCA＝60°．
∵AD∥BC，
∴∠1＝∠BCA＝60°．
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠ABC＝60°．
∴∠1＝∠2＝60°．
在△ADE和△CDF中，
．
∴△ADE≌△CDF（SAS）；
（2）证明：过点E作EG∥BC交AB于点G，如图2所示：
由（1）知，△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠ACB＝60°，
又∵EG∥BC，
∴∠AGE＝∠ABC＝60°，
又∵∠BAC＝60°，
∴△AGE是等边三角形，
∴AG＝AE＝GE，∠AGE＝60°，
∴BG＝CE，∠BGE＝120°＝∠ECF，
又∵CF＝AE，
∴GE＝CF，
在△BGE和△CEF中，
，
∴△BGE≌△ECF（SAS），
∴BE＝EF．
（3）结论成立．证明如下：
过点E作EG∥BC交AB延长线于点G，如图3所示．
由（1）知，△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠ACB＝60°，
∴∠ECF＝60°．
∵EG∥BC，
∴∠AGE＝∠ABC＝60°．
∵∠BAC＝60°，
∴△AGE是等边三角形，
∴AG＝AE＝GE，∠AGE＝60°，
∴BG＝CE，∠AGE＝∠ECF．
∵CF＝AE，
∴GE＝CF，
∴△BGE≌△ECF（SAS），
∴BE＝EF．
25．【解答】解：（1）∵∠A＝130°，∠B＝120°，根据“等邻角四边形”定义可知：∠C＝∠D，
∴∠D＝（360°﹣130°﹣120°）÷2＝55°，
故答案为：55；
（2）①∵ED∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，
∵对角线BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠EDB，
∴四边形ABDE为等邻角四边形；
②△BCD是等边三角形，理由如下：
由①知：∠EDB＝∠DBC＝∠ABD，
设∠EDB＝∠DBC＝∠ABD＝x°，∠BDC＝∠C＝y°，
∵∠A+∠C+∠E＝300°，而五边形ABCDE内角和为（5﹣2）×180°＝540°，
∴∠EDC+∠ABC＝240°，即3x+y＝240，
在△BCD中，∠DBC+∠BDC+∠C＝180°，即x+2y＝180，
由解得，
∴∠DBC＝60°，∠BDC＝∠C＝60°，
∴△BCD是等边三角形；
（3）在点P的运动过程中，PM+PN的值不会发生变化，理由如下：
过C作CH⊥AB于H，过P作PG⊥CH于G，如图：
∵PM⊥AB，CH⊥AB，PG⊥CH，
∴∠PMH＝∠MHG＝∠HGP＝90°，
∴四边形PMHG是矩形，
∴PM＝HG，MH∥PG，即AB∥PG，
∴∠B＝∠GPC，
∵∠B＝∠NCP，
∴∠GPC＝∠NCP，
∵PN⊥CD，
∴∠PGC＝∠CNP＝90°，
在△PGC和△CNP中，
，
∴△PGC≌△CNP（AAS），
∴CG＝PN，
∴PM+PN＝HG+CG＝CH，
即在点P的运动过程中，PM+PN的值总等于C到AB的距离，是定值．
26．【解答】（1）证明：连接AF，
∵AC为直径，
∴∠AFC＝90°，
∴AF⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BF＝CF，
∵AD∥BC，CF⊥AF，
∴AF⊥AD，
∴∠D+∠AFD＝90°，
∵∠C+∠FAC＝90°，∠D＝∠C，
∴∠AFD＝∠FAC，
∴，
∴AD＝FC，
∴AD＝BF，
又∵AD∥BF，
∴四边形ABFD为平行四边形；
（2）解：∵四边形AEFC为圆内接四边形，
∴∠BEF＝∠C，
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠B＝∠BEF，
∴BF＝EF，
∵BC＝4，
∴BF2，
∴EF＝2．
27．【解答】解：（1）①如图1中，延长EF交CD于H，过点H作HJ⊥CF于J，连接AF，AC．
∵四边形ABCD和四边形AEFG均为菱形，且∠BAD＝∠EAG＝60°，
∴AF，AC，平分∠BAD，∠ACD＝∠CAD＝30°，
∴A，F，C共线，
∵FH∥AD，
∴∠CFH＝∠CAD＝30°，
∴∠HCF＝∠HFC，
∴CH＝FH，
∵HJ⊥CF，
∴JF＝JC＝CH cos30°
∴CFF＝CH，
∵BC∥EH，BE∥CH，
∴四边形BEHC是平行四边形，
∴BE＝CH，
∴CFBE．
故答案为：CFBE．
②由①可知，C，F，A共线，
∴点O与A重合，
∴∠COB＝∠CAB＝30°，
故答案为：30°．
（2）如图2中，连接AC，AF，设AC交BE于T．
∵AB＝CB，∠ABC＝120°，AE＝EF，∠AEF＝120°，
∴∠BAC＝∠EAF＝30°，ACAB，AFAE，
∴∠BAE＝∠CAF，，
∴△BAE∽△CAF，
∴∠ABE＝∠ACF，，
∴CFBE，
∵∠ATB＝∠CTO，
∴∠O＝∠BAC＝30°．
（3）如图3中，连接AC，AF，过点E作EH⊥AB于H．
在Rt△AEH中，∠AHE＝90°，∠EAH＝60°，AE＝4，
∴AH＝AE cos60°＝2，EHAH＝2，
∵BH＝AB﹣AH＝6﹣2＝4，
∴BE2，
同法可证，△ACF∽△ABE，
∴，
∴CFBE＝2．

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