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平移处理，柳暗花明
平移------送线段到恰当位置
1．如图所示，要在竖直高AC为3米，水平宽BC为12米的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要______米．
2．如图，直角三角形ABC的周长为2021，在其内部有5个小直角三角形，则这5个小直角三角形周长的和为____ ．
3. 在长方形的草坪上有两条互相垂直的小路，为求草坪的面积，我们进行了如图的平移，那么草坪的面积用代数式表示为 . (
10-4-6
)
(
a
b
c
)
4．某数学兴趣小机开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现在计划用铁丝按照图制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是（　　）
A．甲种方案所用铁丝最长 B．乙种方案所用铁丝最长
C．丙种方案所用铁丝最长 D．三种方案所用铁丝一样长
重要的，画出平移后的图形
5．如图，某居民小区有一长方形土地，长32米，宽20米．居民想在长方形地内修筑宽均为2米的小路，余下的部分做绿化，为了使草坪更美观，有人建议把道路修成如图所示的形状，求绿化的面积为（ ）平方米
6．如图所示：某公园里有一处长方形风景欣赏区ABCD，AB长50米，BC宽25米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小明同学在假期沿着小路的中间行走（图中虚线），则：小明同学所走的路径长约为（　　）米．
7．在如图所示的长方形草坪上，要修筑两条同样宽的“之”字形柏油路，路宽为2 m，则剩余草坪的面积是多少平方米？
8..如图是一块长方形ABCD的场地,长AB=102m,宽AD=51m,从A,B两处入口的路宽都为1m,两小路汇合处路宽为2m,其余部分种植草坪,则草坪的面积为 (　　)标记1、2、3，让角数字化
几何之父------欧几里得（约前330年 -----约前275年）古希腊著名数学家，公元前300年写出数学巨著《几何原本》，并开创欧氏几何学。
欧几里得五条一般公理：等量减等量，其差相等；等量加等量，其和相等；跟同一个量相等的两个量相等；完全叠合的两个图形是全等的；整体大于部分；
如图所示，∠1＝∠3，∠BAD＝∠DCB，求证：AB//CD
如图，AB⊥AD，CD⊥AD，∠1＝∠4，求证：DE∥AF
如图，EFEG，GMEG，1＝2，求证：AB//CD．
4.如图，∠ABC＝∠ADC，BF、DE分别是∠ABC、∠ADC的角平分线，∠1＝∠2
求证：AB//CD，．
模式识别-------F、Z、U， 等角互补推平行
5.已知∠DAC＝∠ACB，∠D+∠DFE＝180°，求证：EF∥BC.
已知：如图，∠C＝∠1，∠2和∠D互余，BE⊥FD于点G．求证：AB∥CD．
7.如图，已知∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠B，求证：DE∥BC．
8．已知：如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠6．求证：ED∥FB．
F
A
C
M
1
2
Q
E
G
N
B
D
D
F
C
3
A
E
B
F
E
A
4
G
1
B
5
3
6
2
C
D
A
D
1
2
3
B
C
C
D
4
3
E
F
2
A
B彩色标记F、Z、U--标记符号，化繁为简；凸显关系，拨云见日
等量代换指用一种量来代替和它相等的另一种量。它是数学中一种基本的思想方法，也是代数思想方法的基础.等量代换思想用等式的性质来体现就是等式的传递性：如果a=b,b=c, 那么b=c,
如图所示,已知AB∥DE,EF∥BC,∠B=45°,求∠E的度数.
如图,AD⊥BE,BC⊥BE,∠A=∠C,点C,D,E在同一条直线上.请说明:AB∥CD.
3.如图,AE,BD交于点O,AC∥BD,∠A=∠B,证明：AE∥BF
4. 如图，已知AD ⊥ BC，EF ⊥ BC，∠1 = ∠2．猜测AB与DG有怎样的位置关系，说明理由．
等角互补推平行，平行推等角互补
5.如图,AD是∠BAC的平分线,E是射线AC上一点,延长ED至点F,∠CAD+∠ADF=180°.
试说明:(1)AB∥EF; (2)2∠ADE=∠CEF.
6、如图，D是BC上一点，DE∥AB，交AC于点E，∠A＝∠1．（1）直接写出图中与∠A构成的同旁内角．（2）求证：DF∥AC．（3）若∠BDE+∠CDF＝215°，求∠B+∠C的值．
证明：在同一平面内平行于同一条直线的两条直线平行
8.如图,已知∠ABC,请你再画一个∠DEF,使DE∥AB,EF∥BC,且DE交BC边于点P.探究:∠ABC与∠DEF有怎样的数量关系 请说明理由.平行线：送角到恰当位置+借助F、Z、U，送角到刚好位置
构造法：当解决某些数学问题使用通常方法按照定向思维难以解决问题时，应根据题设条件和结论的特征、性质，从新的角度，用新的观点去观察、分析、理解对象，牢牢抓住反映问题的条件与结论之间的内在联系，运用问题的数据、外形、坐标等特征，使用题中的已知条件为原材料，运用已知数学关系式和理论为工具，在思维中构造出满足条件或结论的数学对象，从而，使原问题中隐含的关系和性质在新构造的数学对象中清晰地展现出来，并借助该数学对象方便快捷地解决数学问题的方法。
如何构造基本图形F、Z、U、⊿？ -----连接+延长+作平行线
1 ..如图,水渠的两岸互相平行,修渠时要求拐弯处∠1=110°,则∠2应等于多少度 为什么
2．如图，已知∠B=∠GDF，∠A=∠G，猜想AF与GC平行吗？请说明理由．
3．如图，AE平分∠BAC，BE⊥AE于E，ED∥AC，∠BAE＝34°，求∠BED的度数
4 .如图,一条铁路修到一个村庄附近时,需拐弯绕道而过,如果第一次拐的角∠A是105°,第二次拐的角∠B是135°,第三次拐的角是∠C,这时的铁路恰好和第一次拐弯之前的铁路平行,那么∠C应为多少度
辅助线：在几何学中用来帮助解答疑难几何图形问题在原图基础之上另外所作的具有极大价值的直线或者线段。　添辅助线的作用------构造基本图形F、Z、U、⊿
如图，AB∥CD∥EF，则下列各式中正确的是（ ）
∠1=180°﹣∠3 B. ∠1=∠3﹣∠2
C. ∠2+∠3=180°﹣∠1 D. ∠2+∠3=180°+∠1
6.如图，AB//CD，∠D＝60°，FB＝FE，则∠E＝ °.
如图，AB DE，BC⊥CD，则以下说法中正确的是（ ）
A. α，β的角度数之和为定值 B. α随β增大而增大
C. α，β的角度数之积为定值 D. α随β增大而减小
8.如图所示，a//b，则下列式子中,值为180 的是( )
A. B.
C. D. 锁定位置，顺藤摸瓜
1 如图（1），AB∥CD，试求∠BPD与∠B、∠D的数量关系，说明理由．
（1）填空： 解：过点P作EF∥AB， ∴∠B+∠BPE＝180°
∵AB∥CD，EF∥AB ∴　 　 （如果两条直线都和第三条直线平行，
那么这两条直线也互相平行） ∴ ∠EPD+　 　＝180°
∴∠B+∠BPE+∠EPD+∠D＝360° ∴∠B+∠BPD+∠D＝360°
（2）依照上面的解题方法，观察图（2），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的数量关系，并说明理由．
（3）已知AB∥CD，点P与直线AB、CD在同一平面内，画图并写出∠BPD与∠B、∠D的数量关系，不用说明理由．
有序思考，不慌不忙；有序解答，不急不慢
2. 问题情景：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数．
（1）天天同学看过图形后立即口答出：∠APC＝110°，请你补全他的推理依据．
如图2，过点P作PE∥AB， ∵AB∥CD， ∴PE∥AB∥CD．（　 　 ）
∴∠A+∠APE＝180°． ∠C+∠CPE＝180°．（　 　 ）
∵∠PAB＝130°，∠PCD＝120°， ∴∠APE＝50°，∠CPE＝60°
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝110°．（　 　 ）
问题迁移：
（2）如图3，AD∥BC，点P在直线AB上，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β，求∠CPD与∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由．
（3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD与∠α、∠β之间的数量关系．

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