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北师大版初中数学八年级下册第六章《平行四边形》单元测试卷
考试范围：第六章；考试时间：120分钟；总分：100分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
如图，中，对角线、相交于点，交于点，连接，若的周长为，则的周长为
A. B. C. D.
下列说法正确的是
A. 平行四边形是轴对称图形 B. 平行四边形的邻边相等
C. 平行四边形的对角线互相垂直 D. 平行四边形的对角线互相平分
中，，是对角线上不同的两点．下列条件中，不能得出四边形一定为平行四边形的是
A. B.
C. D.
如图，已知，，，，垂足分别为，，则下列说法错误的是
A. 的长就是与之间的距离
B.
C. 的长就是与之间的距离
D.
如图，在平面直角坐标系中，以，，为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形第四个顶点的坐标的是
A.
B.
C.
D.
如图所示，，为、的平分线交点，于，若，则与之间的距离是
A.
B.
C.
D. 无法确定
如图，在中，点，，分别是边，，的中点，若，则四边形的周长为
A.
B.
C.
D.
如图，在中，，是的中点，过点作的平行线交于点，作的垂线交于点，若，且的面积为，则的长为
A. B. C. D.
如图，在中，，，分别是，的中点，，为上的点，连接，若，，，则图中阴影部分面积为．
A.
B.
C.
D.
如图，在 中，对角线，相交于点，点，分别是，的中点，连接，若，则的长为
A.
B.
C.
D.
将一个圆形纸片，如下图连续对折三次之后，用剪刀剪去其方形部分，展开后得到的多边形的内角和角度为
A. B. C. D.
如果一个多边形的内角和比外角和多，那么这个多边形是
A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 七边形
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
如图， 的对角线相交于点，且，过点作，交于点如果的周长为，那么 的周长是______．
如图，在平行四边形中，为上一点，，，若，则______．
如图，中，三条中位线围成的的周长是，则的周长是______．
匈牙利著名数学家爱尔特希曾提出：在平面内有个点，其中每三个点都能构成等腰三角形，人们将具有这样性质的个点构成的点集称为爱尔特希点集．如图，是由五个点、、、、构成的爱尔特希点集它们为正五边形的任意四个顶点及正五边形的中心构成，则的度数是______．
三、计算题（本大题共8小题，共52分）
如图，五边形中，，平分，平分，若，求的度数．
已知一个多边形的内角和与外角和的差为，
求这个多边形的边数；
求此多边形的对角线条数．
计算：；
如图，在 中，将沿折叠后，点落在的延长线的点处，若，，求的周长．
如图， 的对角线、相交于点，，，，点从点出发，沿以每秒个单位的速度向终点运动．连结并延长交于点设点的运动时间为秒．
求的长，用含的代数式表示
当四边形是平行四边形时，求的值
当点在线段的垂直平分线上时，直接写出的值．
如图，的中线、相交于点，、分别是、的中点，连结、、、．
求证：四边形是平行四边形．
若的面积为，则四边形的面积为______．
如图，在四边形中，、、、分别是、、、上的中点，，求四边形的周长．
已知一个多边形的内角和与外角和的差为．
求这个多边形的边数；
求此多边形的对角线条数．
探究一：如图，、为的两个外角，则与的数量关系__________________________．
探究二：如图，在中，、分别平分和，则与的数量关系__________________________．
探究三：如图，在四边形中，、分别平分和，则与
的数量关系___________________________．
探究四：若将上题中的四边形改为六边形呢？则与的数量关系__________________________．
探究五：如图，四边形中，为四边形的的角平分线及外角的平分线所在的直线构成的锐角，若设，；
如图，，则___________________；用，表示
如图，，请在图中画出，且___________；用，表示
一定存在吗？如有，直接写出的值；如不一定，请直接指出，满足什么条件时，不一定存在_________________________________________．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
平行四边形的周长为，
，
是线段的中垂线，
，
的周长，
故选：．
先判断出是的中垂线，得出，从而可得出的周长，再由平行四边形的周长为，即可得出答案．
此题考查了平行四边形的性质及线段的中垂线的性质，解答本题的关键是判断出是线段的中垂线．
2.【答案】
【解析】解：、平行四边形不是轴对称图形而是中心对称图形，故原命题错误，不符合题意；
B、平行四边形的邻边不等，对边相等，故原命题错误，不符合题意；
C、平行四边形对角线互相平分，错误，故本选项符合题意；
D、平行四边形对角线互相平分，正确，故本选项不符合题意．
故选：．
根据平行四边形的性质以及平行四边形的对称性对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
连接与相交于，根据平行四边形的对角线互相平分可得，，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，只要证明得到即可，然后根据各选项的条件分析判断即可得解．
【解答】
解：如图，连接与相交于，
在 中，，，
要使四边形为平行四边形，只需证明得到即可；
A.若，则，即，故本选项不符合题意；
B.若，则无法判断，故本选项符合题意；
C.能够利用“角角边”证明和全等，从而得到，故本选项不符合题意；
D.能够利用“角边角”证明和全等，从而得到，然后同，故本选项不符合题意；
故选：．
4.【答案】
【解析】因为与之间的距离为，，所以说法错误；
因为是平行四边形，所以，故B说法正确
因为与之间的距离为，所以说法正确；
因为是长方形，所以，故D说法正确．
故选A．
5.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了平行四边形的判定，关键是考虑各种情况，正确画出图形．分别以、、为对角线画平行四边形，再分别写出各点的坐标，即可选出答案．
【解答】
解：如图所示：
以为对角线，可以画出 ，；
以为对角线，可以画出 ，；
以为对角线，可以画出 ，；
故选B

6.【答案】
【解析】解：如图，过点作，于，交于，
，
，
是的平分线，，，，
，
是的平分线，，，
，
，
即与之间的距离是．
故答案为：．
过点作，于，求出，则的长度是和之间的距离；然后根据角平分线的性质，分别求出、的长度是多少，再把它们求和即可．
此题主要考查了角平分线的性质和平行线之间的距离；熟练掌握角平分线的性质定理是解决问题的关键．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
根据三角形中位线定理、线段中点的概念计算，得到答案．
【解答】
解：点，，分别是边，，的中点，
，，、是的中位线，
，，
四边形的周长，
故选C．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了三角形中位线定理，三角形的面积的计算，勾股定理，平行线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
过作于，根据已知条件得到，求得，求得，根据三角形的面积公式得到，得到，求得负值舍去，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】
解：过作于，
是的中点，
，
，
，
，
，
，，
，
，
的面积为，
，
，
，
，
，
，
，
负值舍去，
，
．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：连接，过点作于，
则是的中位线，
因此；
，，
，
．
图中阴影部分的三个三角形的底长都是，且高的和为；
因此．
故选：．
连接，根据中位线定理，可得出；图中阴影部分的面积就是图中三个三角形的面积，由图可知，这三个三角形的底相等都是，这三个三角形的高之和是从点到的垂线段的长，利用勾股定理可求得高的值，据此可求出图中阴影部分的面积．
本题主要考查了中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：点，分别是，的中点，连接，，
是的中位线，则，
四边形是平行四边形，
，
故选：．
根据已知条件可以得到是的中位线，则，再利用平行四边形的性质得出即可．
本题考查了三角形的中位线定理，解答本题需要用到：平行四边形的对角线互相平分，三角形中位线的判定定理及性质．
11.【答案】
【解析】解：将一个圆形纸片连续对折三次之后形成的多边形是八边形，其内角和为：，
故选：．
根据将一个圆形纸片连续对折三次之后形成的多边形是八边形解答即可．
此题考查剪纸问题，关键是根据将一个圆形纸片连续对折三次之后形成的多边形是八边形解答．
12.【答案】
【解析】解：设这个多边形是边形，
根据题意得，，
解得．
故选：．
根据多边形的内角和公式与外角和定理列出方程，然后求解即可．
本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是．
13.【答案】
【解析】解：是平行四边形，
，
，
．
的周长，
平行四边形的周长是．
故答案为．
根据题意，垂直平分，所以，因此的周长，可得平行四边形的周长．
此题考查了平行四边形的性质及周长的计算，根据线段垂直平分线的性质，证得是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：，，
，
四边形是平行四边形．
，
，
，
，
．
故答案为：．
先根据等腰三角形的性质得出的度数，再根据平行四边形的性质得出的度数，再根据等腰三角形的性质得出的度数，从而求解．
本题考查了等腰三角形的性质及平行四边形的性质，根据题意得出的度数是解答此题的关键．
15.【答案】
【解析】解：的周长是，
，
、、分别是的中位线，
，，，
的周长，
故答案为：．
根据三角形的周长公式、三角形中位线定理解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：这个五边形由正五边形的任意四个顶点及正五边形的中心构成，
根据正五边形的性质可得，，
≌≌，
，，
正五边形每个角的度数为：，
，
，
，
，
，
故答案为：．
先证明≌≌，得出，，然后求出正五边形每个角的度数为，从而可得，，可计算出，根据，即可求出．
本题考查了正多边形的内角，正多边形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，求出是解题关键．
17.【答案】解：，
，
多边形是五边形，，
，
平分，平分，
，
．
【解析】本题考查的是平行线的性质及多边形内角和定理，熟知多边形的内角和定理是解答此题的关键．
先根据平行线的性质求出的度数，再根据多边形内角和定理求出的度数，由平分，平分求出的度数，再根据多边形内角和定理即可得出结论．
18.【答案】解：设这个多边形的边数为，
由题意得，，
解得，，
答：这个多边形的边数为；
此多边形的对角线条数．
【解析】根据多边形的内角和、外角和公式列出方程，解方程即可；
根据多边形的对角线的条数的计算公式计算即可．
本题考查的是多边形的内角与外角、多边形的对角线的条数，掌握多边形内角和定理：、多边形的外角和等于度是解题的关键．
19.【答案】解：原式；
四边形是平行四边形，
，，
将沿折叠后，点恰好落在的延长线上的点处，
，，，
是等边三角形，
，
的周长．
【解析】根据零指数幂，负整数指数幂，进行实数的运算即可；
由平行四边形的性质可得，，与折叠的性质可得，，，可证是等边三角形，可得，即可求解．
本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，掌握折叠的性质是本题的关键．
20.【答案】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
≌，
，
，
；
，
当时，四边形是平行四边形，
即，
，
当为秒时，四边形是平行四边形；
，
如图，
中，，，
，
，
，
，
，
，
，
是的垂直平分线，
，，
由勾股定理得：，
，
或舍，
当秒时，点在线段的垂直平分线上．
【解析】先证明≌，可得出，则即可用表示；
由题意知，根据，列出方程即可得解；
如图，先求出和的长，若在线段的垂直平分线上，则，在中，根据勾股定理得：，列方程可得的值．
本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题．
21.【答案】
【解析】解：证明：，是的中线，
是的中位线．
，且．
、分别是、的中点，
是的中位线．
，且．
且．
四边形是平行四边形．
为的中线，的面积为
四边形是平行四边形，是的中点，
，
四边形的面积为．
故答案为：．
由题意可知和分别是和的中位线，从而，且；，且，由平行四边形的判定定理可得结论；
由平行四边形及等底同高三角形可求得答案．
本题考查了平行四边形的判定定理与性质定理、三角形的中位线定理及等高三角形等几何知识点，具有一定的综合性，难度中等．
22.【答案】解：、、、分别是、、、上的中点，，．
，，，，
同理，，
四边形为平行四边形，
四边形的周长．
【解析】根据、、、分别是、、、上的中点，可得出，，同理，，则四边形为平行四边形，由三角形的中位线定理得出，，从而求出四边形的周长．
本题考查了三角形的中位线定理以及平行四边形的判定和性质，是基础知识要熟练掌握．
23.【答案】解：设这个多边形的边数为，
由题意得，
解得，，
答：这个多边形的边数为；
此多边形的对角线条数．
【解析】本题考查的是多边形的内角与外角、多边形的对角线，掌握多边形的内角和定理、多边形的对角线的条数的计算公式是解题的关键．
设这个多边形的边数为，根据多边形的内角和、外角和定理列出方程，解方程即可；
根据多边形的对角线的条数的计算公式计算．
24.【答案】探究一：；
探究二：；
探究三：；
探究四：；
探究五：；
；
不一定存在，当，即时，
，不存在．
【解析】
【分析】
本题考查的是多边形内角与外角，三角形内角和定理，三角形的外角性质．
探究一：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，，再根据三角形内角和定理整理即可得解；
探究二：根据角平分线的定义可得，，然后根据三角形内角和定理列式整理即可得解；
探究三：根据四边形的内角和定理表示出，然后同理探究二解答即可；
探究四：根据六边形的内角和公式表示出，然后同理探究二解答即可；
探究五：根据四边形的内角和定理表示出，再表示出，然后根据角平分线的定义可得，，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，然后整理即可得解；
根据角平分线的定义可得，，由三角形的外角性质得，，即，有四边形内角和知，代入即可；
根据的表示，为时不存在．
【解答】
解：探究一：，
，
，
故答案为；
探究二：、分别平分和，
，，
，
故答案为；
探究三：根据题意可知：，、分别平分和，
，，
，
故答案为；
探究四：六边形的内角和为：，
，、分别平分和，
，，
即，
故答案为；
探究五：由四边形内角和定理得，
，
，
由三角形的外角性质得，
，
，
、分别是和的平分线，
，，
，
，，
，
故答案为；如图，
、分别是和的平分线，
，，
由题可知，，由三角形的外角性质得，，
，
，，
，
故答案为；
见答案．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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