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三角函数中常见的三种换元类型
在三角恒等变换中，我们常常把一个复杂的角或者三角函数式看成一个整体，这个方法又称保角或保式变换，事实上若引进新的变量，即利用换元法可以使计算简单，下面通过具体例子总结一下三角函数中常见的换元类型.
一、角换元：
例1、已知，求的值.
分析：一般地，我们直接把凑为只含有的形式，但是并不引进新的变量，事实上，若设，可以化“凑”为“算”，使解题思路变得更加简单.
解：令，则，
于是原式
.
例2、已知，，
求的值.
解：令，则，又，
所以，而，所以，
于是原式
.
二、三角式换元：
例3、已知，
是否存在常数使得的值域为？
若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
分析：把看成一个整体，并设为一个新元，有利于书写简单，
有利于发现与之间的函数关系.
解：设，则，
又∴，
∴.令，
（1）当 时，，不合题意.
（2）当时，在是减函数，
∴ 且，即，
解得（舍去）.
当时，在是增函数，
∴ 且，即，
解得，符合题意.
综上，存在有理数满足条件.
例4、求函数的值域.
分析：这是一个很典型的三角换元类型，若设，，那么是关于的一次式，而是关于的二次式，根据用“低次”表示“高次”的思想，可设为一个新元.
解：设 ，两边平方得：，
，
又∴.
，
的对称轴为，
因此其值域为，即，
∴的值域为.
三、利用换元：
例5、已知椭圆，直线.求上一点到的最小距离.
分析：
一般地，我们利用平移与椭圆相切的办法，
若注意到具有的形式，于是可以利用三角换元法.
解：，因此令，
于是上一点可以设为，到的距离
，其中，
所以

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