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2021-2022学年广东省肇庆市封开县九年级第一学期期末数学试卷（一模）
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项涂在答题卡上。
1．下列各数中，相反数最大的是（　　）
A．﹣5 B．﹣2 C．﹣1 D．0
2．习近平总书记提出了五年“精准扶贫”的战略构想，意味着每年要减贫约11600000人，将数据11600000用科学记数法表示为（　　）
A．1.16×106 B．1.16×107 C．1.16×108 D．11.6×106
3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A．等腰三角形 B．平行四边形 C．正三角形 D．圆
4．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠ABC＝70°，则∠AOC的度数等于（　　）
A．140° B．130° C．120° D．110°
5．抛物线y＝﹣2x2+1的对称轴是（　　）
A．直线x＝ B．y轴 C．直线x＝2 D．直线x＝﹣
6．反比例函数y＝的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是（　　）
A．k≥1 B．k＞1 C．k＜1 D．k≤1
7．已知实数x，y满足|x﹣4|+（y﹣8）2＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（　　）
A．20或16 B．20
C．16 D．以上答案均不对
8．某校人工智能科普社团有12名成员，成员的年龄情况统计如表：
年龄（岁） 12 13 14 15 16
人数 1 4 3 2 2
则这12名成员的平均年龄是（　　）
A．13岁 B．14岁 C．15岁 D．16岁
9．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：
①4ac＜b2；
②方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3；
③3a+c＞0
④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3
⑤当x＜0时，y随x增大而增大
其中结论正确的个数是（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．如图，已知EB是半圆⊙O的直径，A是BE延长线上一点，AC切半圆⊙O于点D，BC⊥AC于点C，DF⊥EB于点F，若BC＝2DF＝6，则⊙O的半径为（　　）
A．3.5 B．4 C．2 D．3.75
二、填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上。
11．计算：（）0﹣（）﹣1+＝　 　．
12．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 　 　．
13．在平面直角坐标系中，点A（﹣5，b）关于原点对称的点为B（a，6），则（a+b）2022＝　 　．
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝22°，PQ垂直平分AB，垂足为Q，交BC于点P．按以下步骤作图：以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边AC，AB于点D，E；分别以点D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F；作射线AF．射线AF与直线PQ相交于点G，则∠AGQ的度数为 　 　度．
15．如图，反比例函数的图象与一次函数y＝﹣2x+3的图象相交于点P，点P到y轴的距离是1，则这个反比例函数的解析式是 　 　．
16．现有一圆心角为120°，半径为6cm的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计）．则该圆锥底面圆的半径为　 　cm．
17．如图，将△ABC沿其中位线DE翻折，点A落在BC边上的A'处．若BA'：A'C＝2：1，且△DBA′的面积为4，则△ABC的面积为　 　．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
18．解不等式组：．
19．如图，在Rt△ABC，∠ABC＝90°，D、E分别是边BC，AC的中点，连接ED并延长到点F，使DF＝ED，连接BE、BF、CF、AD．求证：四边形BFCE是菱形．
20．化简求值：÷（x﹣），其中x＝．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
21．为庆祝中国共产党成立100周年，某校举行党史知识竞赛活动，赛后随机抽取了部分学生的成绩，按得分划分为A，B，C，D[A等级（0≤x≤100），B等级（80≤x＜90），C等级（70≤x＜80），D等级（x＜70）]四个等级，并绘制了不完整的统计表和统计图．
根据图表信息，回答下列问题：
（1）表中a＝　 　；扇形统计图中，C等级所占的百分比是 　 　；D等级对应的扇形圆心角为 　 　度；若全校共有1800名学生参加了此次知识竞赛活动，请估计成绩为A等级的学生共有 　 　人．
（2）若95分以上的学生有4人，其中甲、乙两人来自同一班级，学校将从这4人中随机选出两人参加市级比赛，请用列表或树状图法求甲、乙两人至少有1人被选中的概率．
22．如图，在矩形OABC中，AB＝4，BC＝8，点D是边AB的中点，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点D，交BC边于点E．
（1）求反比例函数y＝（x＞0）的解析式和E点坐标；
（2）连结DE，在y轴上找一点P，使△PDE的周长最小，求出此时P的坐标．
23．某商场计划购进A、B两种新型台灯共80盏，它们的进价与售价如表所示：
价格类型 进价（元/盏） 售价（元/盏）
A型 30 45
B型 50 70
（1）若商场预计进货款为2900元，则这两种台灯各购进多少盏？
（2）若商场规定B型台灯的进货数量不超过A型台灯进货数量的4倍，应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时获利最多？此时利润为多少元？（设利润＝售价﹣进价）
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）
24．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，P为AB延长线上一点，∠BCP＝∠BAC．∠ACB的平分线交⊙O于点D，交AB于点E，
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）求证：△PEC是等腰三角形；
（3）若AC+BC＝2时，求CD的长．
25．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，OA＝1，OB＝OC＝3．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点D为第一象限抛物线上一动点，连接DC，DB，BC，设点D的横坐标为m，△BCD的面积为S，求S的最大值；
（3）如图2，点P（0，n）是线段OC上一点（不与点O、C重合），连接PB，将线段PB以点P为中心，旋转90°得到线段PQ，是否存在n的值，使点Q落在抛物线上？若存在，请求出满足条件的n的值，若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项涂在答题卡上。
1．下列各数中，相反数最大的是（　　）
A．﹣5 B．﹣2 C．﹣1 D．0
【分析】分别求出各数的相反数，再根据“负数＜0＜正数”，两个负数比较大小，绝对值大的反而小判断即可．
解：﹣5的相反数是5，﹣2的相反数是2，﹣1的相反数是1，0的相反数是0，
5＞2＞1＞0，
∴相反数最大的是﹣5．
故选：A．
2．习近平总书记提出了五年“精准扶贫”的战略构想，意味着每年要减贫约11600000人，将数据11600000用科学记数法表示为（　　）
A．1.16×106 B．1.16×107 C．1.16×108 D．11.6×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
解：11600000＝1.16×107．
故选：B．
3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A．等腰三角形 B．平行四边形 C．正三角形 D．圆
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念和等腰三角形、平行四边形、正三角形、圆的性质进行解答．
解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
4．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠ABC＝70°，则∠AOC的度数等于（　　）
A．140° B．130° C．120° D．110°
【分析】欲求∠AOC，又已知一圆周角，可利用圆周角与圆心角的关系求解．
解：∵∠AOC和∠ABC是同弧所对的圆心角和圆周角，
∴∠AOC＝2∠ABC＝140°；
故选：A．
5．抛物线y＝﹣2x2+1的对称轴是（　　）
A．直线x＝ B．y轴 C．直线x＝2 D．直线x＝﹣
【分析】根据对称轴的公式求出对称轴即可．
解：∵y＝﹣2x2+1是抛物线的顶点式，
∴抛物线y＝﹣2x2+1的对称轴是直线x＝0，或y轴，
故选：B．
6．反比例函数y＝的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是（　　）
A．k≥1 B．k＞1 C．k＜1 D．k≤1
【分析】先根据反比例函数y＝的图象位于第二、四象限得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．
解：∵反比例函数y＝的图象位于第二、四象限，
∴k﹣1＜0，
解得k＜1．
故选：C．
7．已知实数x，y满足|x﹣4|+（y﹣8）2＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（　　）
A．20或16 B．20
C．16 D．以上答案均不对
【分析】先根据非负数的性质列式求出x、y的值，再分4是腰长与底边两种情况讨论求解．
解：根据题意得，x﹣4＝0，y﹣8＝0，
解得x＝4，y＝8，
①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、8，
∵4+4＝8，
∴不能组成三角形；
②4是底边时，三角形的三边分别为4、8、8，
能组成三角形，周长＝4+8+8＝20．
所以，三角形的周长为20．
故选：B．
8．某校人工智能科普社团有12名成员，成员的年龄情况统计如表：
年龄（岁） 12 13 14 15 16
人数 1 4 3 2 2
则这12名成员的平均年龄是（　　）
A．13岁 B．14岁 C．15岁 D．16岁
【分析】根据平均数求法所有数据的和除以总个数即可．
解：这12名成员的平均年龄是：＝14（岁）．
故选：B．
9．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：
①4ac＜b2；
②方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3；
③3a+c＞0
④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3
⑤当x＜0时，y随x增大而增大
其中结论正确的个数是（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），则可对②进行判断；由对称轴方程得到b＝﹣2a，然后根据x＝﹣1时函数值为0可得到3a+c＝0，则可对③进行判断；根据抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围可对④进行判断；根据二次函数的性质对⑤进行判断．
解：∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2﹣4ac＞0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
而点（﹣1，0）关于直线x＝1的对称点的坐标为（3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3，所以②正确；
∵x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，
而x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0，
∴a+2a+c＝0，所以③错误；
∵抛物线与x轴的两点坐标为（﹣1，0），（3，0），
∴当﹣1＜x＜3时，y＞0，所以④错误；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴当x＜1时，y随x增大而增大，所以⑤正确．
故选：B．
10．如图，已知EB是半圆⊙O的直径，A是BE延长线上一点，AC切半圆⊙O于点D，BC⊥AC于点C，DF⊥EB于点F，若BC＝2DF＝6，则⊙O的半径为（　　）
A．3.5 B．4 C．2 D．3.75
【分析】连接OD，过点O作OH⊥BC，得到四边形OHCD是矩形，根据矩形的性质判定△OBH≌△DOF，根据全等三角形的性质及勾股定理求解即可．
解：连接OD，过点O作OH⊥BC，
∵AC切半圆⊙O于点D，
∴OD⊥AC，
∵BC⊥AC，
∴OD∥BC，∠ODC＝∠C＝90°，
∵OH⊥BC，
∴∠OHC＝90°，
∴四边形OHCD是矩形，
∴CH＝OD，∠DOH＝90°，
∵DF⊥EB，
∴∠FDO+∠FOD＝90°，
∵∠HOB+∠FOD＝90°，
∴∠HOB＝∠FDO，
在△OBH和△DOF中，
，
∴△OBH≌△DOF（AAS），
∴OH＝DF，
∴BC＝2DF＝6，
∴OH＝DF＝3，
设OB＝OD＝r，则BH＝6﹣r，
在Rt△OBH中，OB2＝BH2+OH2，
∴r2＝（6﹣r）2+32，
解得，r＝＝3.75，
故选：D．
二、填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上。
11．计算：（）0﹣（）﹣1+＝　1　．
【分析】先计算零次幂、负整数指数幂和二次根式，再计算加减运算．
解：（）0﹣（）﹣1+
＝1﹣2+2
＝1，
故答案为：1．
12．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 　k＜1　．
【分析】根据根的判别式的意义得到（﹣2）2﹣4k＞0，然后解不等式即可．
解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4×k＞0，
解得k＜1．
故答案为：k＜1．
13．在平面直角坐标系中，点A（﹣5，b）关于原点对称的点为B（a，6），则（a+b）2022＝　1　．
【分析】直接利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，进而得出a，b的值，再利用有理数的乘方运算法则计算得出答案．
解：∵点A（﹣5，b）关于原点对称的点为B（a，6），
∴a＝5，b＝﹣6，
则（a+b）2022＝（5﹣6）2022＝1．
故答案为：1．
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝22°，PQ垂直平分AB，垂足为Q，交BC于点P．按以下步骤作图：以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边AC，AB于点D，E；分别以点D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F；作射线AF．射线AF与直线PQ相交于点G，则∠AGQ的度数为 　56　度．
【分析】根据直角三角形两锐角互余得∠BAC＝68°，由角平分线的定义得∠BAG＝34°，由线段垂直平分线可得△AQG是直角三角形，根据直角三角形两锐角互余即可求出∠AGQ．
解：如图，
∵△ABC是直角三角形，∠C＝90°，
∴∠B+∠BAC＝90°，
∵∠B＝22°，
∴∠BAC＝90°﹣∠B＝90°﹣22°＝68°，
由作法可知，AG是∠BAC的平分线，
∴∠BAG＝BAC＝34°，
∵PQ是AB的垂直平分线，
∴△AGQ是直角三角形，
∴∠AGQ+∠BAG＝90°，
∴∠AGQ＝90°﹣∠BAG＝90°﹣34°＝56°，
故答案为：56．
15．如图，反比例函数的图象与一次函数y＝﹣2x+3的图象相交于点P，点P到y轴的距离是1，则这个反比例函数的解析式是 　y＝﹣　．
【分析】先将x＝﹣1代入一次函数解析式求出点P坐标，再通过待定系数法求解．
解：把x＝﹣1代入y＝﹣2x+3得y＝5，
∴点P坐标为（﹣1，5），
设反比例函数解析式为y＝，
把（﹣1，5）代入y＝得5＝﹣k，
解得k＝﹣5，
∴y＝﹣．
故答案为：y＝﹣．
16．现有一圆心角为120°，半径为6cm的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计）．则该圆锥底面圆的半径为　2　cm．
【分析】根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长，利用扇形的弧长公式即可求得圆锥的底面周长，然后根据圆的周长公式即可求解．
解：圆锥的底面周长是：．
设圆锥底面圆的半径是r，则2πr＝．
解得：r＝2．
故答案是：2．
17．如图，将△ABC沿其中位线DE翻折，点A落在BC边上的A'处．若BA'：A'C＝2：1，且△DBA′的面积为4，则△ABC的面积为　12　．
【分析】由翻折及DE为中位线可得S△ADE：S△ABC＝1：4，由BA'：A'C＝2：1且△DBA′的面积为4可得△EA'C的面积为2．设S△ADE＝x，根据S△ADE：S△ABC＝1：4求解．
解：∵DE为△ABC中位线，
∴△ADE∽△ABC，
S△ADE：S△ABC＝1：4，
∴DE∥BC，△BDA'与△EA'C和△EA'E为等高三角形，
∴S△DBA'：S△EA'C＝BA'：A'C＝2：1，
∴S△EA'C＝S△DBA'＝2，
设S△ADE＝x，
则＝，
解得x＝3，
∴S△ABC＝3+3+4+2＝12．
故答案为：12．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
18．解不等式组：．
【分析】先分别求出各不等式的解集，再求其公共解集即可．
解：，
由①得x＞1，
由②得x≤3，
故不等式组的解集为1＜x≤3．
19．如图，在Rt△ABC，∠ABC＝90°，D、E分别是边BC，AC的中点，连接ED并延长到点F，使DF＝ED，连接BE、BF、CF、AD．求证：四边形BFCE是菱形．
【分析】根据平行线的判定定理得到四边形BFCE是平行四边形，根据直角三角形的性质得到BE＝CE，于是得到四边形BFCE是菱形．
【解答】证明：∵D是边BC的中点，
∴BD＝CD，
∵DF＝ED，
∴四边形BFCE是平行四边形，
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，E是边AC的中点，
∴BE＝CE，
∴四边形BFCE是菱形．
20．化简求值：÷（x﹣），其中x＝．
【分析】先根据分式的减法法则算括号内的减法，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．
解：÷（x﹣）
＝÷
＝
＝，
当x＝时，原式＝＝＝﹣1．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
21．为庆祝中国共产党成立100周年，某校举行党史知识竞赛活动，赛后随机抽取了部分学生的成绩，按得分划分为A，B，C，D[A等级（0≤x≤100），B等级（80≤x＜90），C等级（70≤x＜80），D等级（x＜70）]四个等级，并绘制了不完整的统计表和统计图．
根据图表信息，回答下列问题：
（1）表中a＝　20　；扇形统计图中，C等级所占的百分比是 　30%　；D等级对应的扇形圆心角为 　42　度；若全校共有1800名学生参加了此次知识竞赛活动，请估计成绩为A等级的学生共有 　450　人．
（2）若95分以上的学生有4人，其中甲、乙两人来自同一班级，学校将从这4人中随机选出两人参加市级比赛，请用列表或树状图法求甲、乙两人至少有1人被选中的概率．
【分析】（1）由A等级的人数和所对应的圆心角的度数求出抽取的学生人数，即可解决问题；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，甲、乙两人至少有1人被选中的结果有10种，再由概率公式求解即可．
解：（1）∵被调查的总人数为15÷＝60（人），
∴a＝60﹣（15+18+7）＝20，
扇形统计图中，C等级所占的百分比是×100%＝30%，
D等级对应的扇形圆心角为360°×＝42°，
若全校共有1800名学生参加了此次知识竞赛活动，估计成绩为A等级的学生共有1800×＝450（人），
故答案为：20、30%、42、450；
（2）95分以上的学生有4人，其中甲、乙两人来自同一班级，其他两人记为丙、丁，
画树状图如图：
共有12种等可能的结果，甲、乙两人至少有1人被选中的结果有10种，
∴甲、乙两人至少有1人被选中的概率为＝．
22．如图，在矩形OABC中，AB＝4，BC＝8，点D是边AB的中点，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点D，交BC边于点E．
（1）求反比例函数y＝（x＞0）的解析式和E点坐标；
（2）连结DE，在y轴上找一点P，使△PDE的周长最小，求出此时P的坐标．
【分析】（1）根据线段中点的定义和矩形的性质得到D（2，8），利用待定系数法求函数的解析式；
（2）作点D关于y轴的对称点D′，连接D′E交y轴于P，连接PD，此时，△PDE的周长最小，求得直线D′E的解析式为y＝﹣x+，于是得到结论．
解：（1）∵点D是边AB的中点，AB＝4，
∴AD＝2，
∵四边形OABC是矩形，BC＝8，
∴D（2，8），
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点D，
∴k＝2×8＝16，
∴反比例函数的解析式为y＝（x＞0），
当x＝4时，y＝4，
∴E（4，4）．
（2）如图，作点D关于y轴的对称点D′，连接D′E交y轴于P，连接PD，
此时，△PDE的周长最小，
∵点D的坐标为（2，8），
∴点D′的坐标为（﹣2，8），
设直线D′E的解析式为y＝ax+b，
∴，
解得：，
∴直线D′E的解析式为y＝﹣x+，
令x＝0，得y＝，
∴点P的坐标为（0，）．
23．某商场计划购进A、B两种新型台灯共80盏，它们的进价与售价如表所示：
价格类型 进价（元/盏） 售价（元/盏）
A型 30 45
B型 50 70
（1）若商场预计进货款为2900元，则这两种台灯各购进多少盏？
（2）若商场规定B型台灯的进货数量不超过A型台灯进货数量的4倍，应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时获利最多？此时利润为多少元？（设利润＝售价﹣进价）
【分析】（1）设A型台灯购进x盏，B型台灯购进y盏，根据两种台灯的进货总价为2900元建立方程组求出其解即可；
（2）设购进A型台灯a台，则购进B型台灯（80﹣a）台，根据题意得出a的取值范围，设总利润为W元，由总利润＝A型灯的利润+B型灯的利润求出W与a之间的函数关系式，由一次函数的性质就可以求出结论．
解：（1）设A型台灯购进x盏，B型台灯购进y盏，由题意，得：
，
解得：，
答：A型台灯购进55盏，B型台灯购进25盏；
（2）设购进A型台灯a台，则购进B型台灯（80﹣a）台，根据题意得：
80﹣a≤4a，
解得a≥16，
设总利润为W元，由题意，得：
W＝（45﹣30）a+（70﹣50）（80﹣a）
＝15a+1600﹣20a
＝﹣5a+1600，
∵k＝﹣5＜0，
∴W随a的增大而减小
∴a取最小值为16时，W增大＝﹣5×16+1600＝1520．
此时购进A型台灯16台，B型台灯64台，
答：当购进A型灯购进16台，B型台灯64台时获利最多，此时利润为1520元．
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）
24．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，P为AB延长线上一点，∠BCP＝∠BAC．∠ACB的平分线交⊙O于点D，交AB于点E，
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）求证：△PEC是等腰三角形；
（3）若AC+BC＝2时，求CD的长．
【分析】（1）连接OC，根据AB为直径，得∠ACB＝90°，则∠ACO+∠OCB＝90°，从而得出∠BCP+∠OCB＝90°，即可证明结论；
（2）根据∠PCE＝∠PCB+∠BCD，∠PEC＝∠BAC+∠ACD，得∠PEC＝∠PCE，则有PC＝PE；
（3）DM⊥AC于M，DN⊥CB交CB的延长线于N，根据CD平分∠ACB，DM⊥∠AC，DN⊥CB，得DM＝DN，，再利用HL证明Rt△AMD≌Rt△BND，得AM＝BN，AC+BC＝CM+AB+CB＝2CN，且矩形CMDN为正方形，则CN＝，从而得出答案．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACO+∠OCB＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠BAC＝∠ACO，
∠BCP＝∠BAC，
∴∠BCP＝∠ACO，
∴∠BCP+∠OCB＝90°，
∴∠OCP＝90°，
∴OC⊥PC，
∵OC为半径，
∴PC是⊙O的切线；
（2）证明：∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，
∴∠ACD＝∠BCD，
∵∠PCE＝∠PCB+∠BCD，∠PEC＝∠BAC+∠ACD，
∴∠PEC＝∠PCE，
∴△PEC是等腰三角形；
（3）解：作DM⊥AC于M，DN⊥CB交CB的延长线于N，
∵CD平分∠ACB，DM⊥∠AC，DN⊥CB，
∴DM＝DN，，
∵∠AMD＝∠BND＝90°，
∴Rt△AMD≌Rt△BND（HL），
∴AM＝BN，
∵∠DMC＝∠MCN＝∠CND＝90°，
∴四边形CMDN为矩形，
∵DM＝DN，
∴矩形CMDN为正方形，
∴CN＝，
∵AC+BC＝CM+AB+CB＝2CN，
∴AC+BC＝CD，
∵AC+BC＝2，
∴CD＝．
25．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，OA＝1，OB＝OC＝3．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点D为第一象限抛物线上一动点，连接DC，DB，BC，设点D的横坐标为m，△BCD的面积为S，求S的最大值；
（3）如图2，点P（0，n）是线段OC上一点（不与点O、C重合），连接PB，将线段PB以点P为中心，旋转90°得到线段PQ，是否存在n的值，使点Q落在抛物线上？若存在，请求出满足条件的n的值，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据OA＝1，OB＝OC＝3得A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），再由待定系数法即可求出解析式；
（2）作DF⊥x轴于点F，交BC于点E，根据S＝S△ADE+S△BDE＝DE OF+DE BF＝DE OB，表示出DE，再配方即可求得S最大值；
（3）过点P作PB的垂线，交抛物线于点Q1和Q2，作Q1M⊥y轴于点M，Q2N⊥y轴于点N．先证明△Q1PM≌△PBO，△Q1PM≌△PBO，进而得MQ1＝OP＝n，MP＝OB＝3，表示出Q1、Q2的坐标，代入抛物线即可求得N．
解：（1）∵OA＝1，OB＝OC＝3．
∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），
∴设y＝a（x+1）（x﹣3），
把C（0，3）代入得0＝a×1×（﹣3），
解得a＝﹣1，
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）如图，作DF⊥x轴于点F，交BC于点E，
设直线BC关系式为y＝kx+3，
代入B（3，0），
得3k+3＝0，
解得k＝﹣1，
∴直线BC：y＝﹣x+3．
∵点D的横坐标为m，则DF＝﹣m2+2m+3，EF＝﹣m+3，
∴DE＝﹣m2+3m，
∴S＝S△ADE+S△BDE＝DE OF+DE BF，
＝DE OB＝（﹣m2+3m）
＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴S的最大值是；
（3）如图，过点P作PB的垂线，交抛物线于点Q1和Q2，作Q1M⊥y轴于点M，Q2N⊥y轴于点N．
∴∠Q1MP＝∠Q2NP＝∠BOP＝90°，
∵∠Q1PM+∠PQ1M＝90°，∠Q1PM+∠BPO＝90°，
∴∠PQ1M＝∠BPO，
又BP＝PQ1，
∴△Q1PM≌△PBO（AAS），
∴MQ1＝OP＝n，MP＝OB＝3，
∴Q1（n，n+3），
代入抛物线，得n+3＝﹣n2+2n+3，
解得n＝1或n＝0，
同理，△Q2PN≌△PBO（AAS），
∴Q2（﹣n，n﹣3），
代入抛物线，得n﹣3＝﹣n2﹣2n+3，
解得n＝或，
综上，存在n 且n＝1或n＝．

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