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2022年八年级下册《勾股定理》练习题
一．选择题（共10小题）
1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，DE垂直平分AC交AB于点E，则DE的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．下列四组数，是勾股数的是（　　）
A．0.3，0.4，0.5 B．3，4，5
C．6，7，8 D．32，42，52
3．2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，则（a+b）2的值为（　　）
A．25 B．19 C．13 D．169
4．如图，分别以直角三角形各边为一边向三角形外部作正方形，其中两个正方形的面积分别为26和10，则正方形A的边长是（　　）
A．4 B．8 C．16 D．36
5．下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是（　　）
A．7，24，25 B．，4，5 C．3，4，5 D．4，5，6
6．在西方，人们称为毕达哥拉斯定理，在我国把它称为勾股定理，其具体内容指的是（　　）
A．如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2＝c2
B．如果直角三角形的三边分别为a，b，c，那么a2+b2＝c2
C．如果三角形的三边分别为a，b，c，那么a2+b2＝c2
D．如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形
7．如图，数轴上点A对应的数是﹣1，点C对应的数是﹣3，BC⊥AC，垂足为C，且BC＝1，以A为圆心，AB长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为（　　）
A．﹣1+ B． C．﹣1+ D．
8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝7，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，连接CE，则CE的长为（　　）
A．15 B．16 C．17 D．18
9．如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要（　　）
A．4米 B．5米 C．6米 D．7米
10．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，腰上的高BE＝4.8，则底边上的中线AD的长为（　　）
A．3.6 B．4 C．4.2 D．4.5
二．填空题（共6小题）
11．如图，一根树在离地面6米处断裂，树的顶部落在离底部8米处，树折断之前有　 　米．
12．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝4，∠A＝60°，BC＝，CD＝8，则四边形ABCD的面积为　 　．
13．如图，△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，AH⊥BC于点H，若AB＝5，BH＝1，则BC＝　 　．
14．如图，在△ABC中，∠B＝45°，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E（BE＞CE），点F是AC的中点，连接AE、EF，若BC＝7，AC＝5，则△CEF的周长为 　 　．
15．如图所示是一个圆柱形饮料罐，底面半径为5cm，高为12cm，上底面中心有一个小圆孔，将一根长24cm的直吸管从小圆孔插入，直到接触到饮料罐的底部，直吸管在罐外的长度hcm（罐的厚度和小圆孔的大小忽略不计），则h的取值范围是　 　．
16．如图，BD和AC为四边形ABCD的对角线，AB⊥BD，∠CBD＝60°，BD＝2BC，AD＝8，则AC的最大值为 　 　．
三．解答题（共6小题）
17．如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C是小正方形的顶点．
（1）求AB和BC；
（2）求∠ABC的度数．
18．某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，∠ABC＝90°，BC＝6m，AB＝8m，AD＝26m，CD＝24m．
（1）求出空地ABCD的面积．
（2）若每种植1平方米草皮需要100元，问总共需投入多少元？
19．甲、乙两船同时从港口A出发，甲船以30海里/时的速度沿北偏东35°方向航行，乙船沿南偏东55°向航行，2小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C，B两岛相距100海里，问乙船的速度是每小时多少海里？
20．如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA＝3：4：5，且周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，问过3秒时，△BPQ的面积为多少？
21．一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4米到A′，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
22．如图，△ABC中，AB＝BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD＝45°，AD与BE交于点F，连接CF．
（1）求证：BF＝2AE；
（2）若CD＝3，求AD的长．
2022年八年级下册《第17章 勾股定理》练习题
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，DE垂直平分AC交AB于点E，则DE的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，
由勾股定理得：BC＝，
∵DE垂直平分AC，
∴AD＝，∠ADE＝90°，
∴DE＝BC=3．
故选：A．
2．下列四组数，是勾股数的是（　　）
A．0.3，0.4，0.5 B．3，4，5
C．6，7，8 D．32，42，52
【解答】解：A．0.3，0.4，0.5不是整数，不是勾股数；
B．∵32+42＝25＝52，∴3、4、5是勾股数；
C．∵62+72＝78≠82，∴6、7、8不是是勾股数；
D．（32）2+（42）2＝337≠（52）2，∴32，42，52不是勾股数；
故选：B．
3．2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，则（a+b）2的值为（　　）
A．25 B．19 C．13 D．169
【解答】解：由条件可得：，
即a2+b2＝13，2ab＝12，
则（a+b）2＝a2+b2+2ab＝12+13＝25，
故选：A．
4．如图，分别以直角三角形各边为一边向三角形外部作正方形，其中两个正方形的面积分别为26和10，则正方形A的边长是（　　）
A．4 B．8 C．16 D．36
【解答】解：由题意知，BD2＝26，BC2＝10，且∠DCB＝90°，
∴CD2＝26﹣10＝16．
∴正方形A的面积为CD2＝16．
∴正方形A的边长是4．
故选：A．
5．下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是（　　）
A．7，24，25 B．，4，5 C．3，4，5 D．4，5，6
【解答】解：A、72+242＝252，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、42+52＝（）2，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、32+42＝52，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、52+42≠62，不能构成直角三角形，故此选项符合题意．
故选：D．
6．在西方，人们称为毕达哥拉斯定理，在我国把它称为勾股定理，其具体内容指的是（　　）
A．如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2＝c2
B．如果直角三角形的三边分别为a，b，c，那么a2+b2＝c2
C．如果三角形的三边分别为a，b，c，那么a2+b2＝c2
D．如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形
【解答】解：A、如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2＝c2，故符合题意；
B、如果直角三角形的三边分别为a，b，c，不一定得到a2+b2＝c2，故不符合题意；
C、如果三角形的三边分别为a，b，c，则得不到a2+b2＝c2，如三角形的三边分别为2，2，2，则22+22≠22，故不符合题意；
D、如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形，这是勾股定理的逆定理，故不符合题意；
故选：A．
7．如图，数轴上点A对应的数是﹣1，点C对应的数是﹣3，BC⊥AC，垂足为C，且BC＝1，以A为圆心，AB长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为（　　）
A．﹣1+ B． C．﹣1+ D．
【解答】解：∵BC⊥AC，
∴∠BCA＝90°，
∴AB＝，
∵以A为圆心，AB为半径画弧，交数轴于点D，
∴AD＝AB＝，
∴点D表示的数是：﹣1，
故选：C．
8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝7，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，连接CE，则CE的长为（　　）
A．15 B．16 C．17 D．18
【解答】解：过E作EF⊥AC，交CA的延长线于F，
∵四边形ABDE为正方形，
∴∠BAE＝90°，AE＝AB，
∵∠EAF+∠AEF＝90°，∠EAF+∠BAC＝90°，
∴∠AEF＝∠BAC，
在△AEF和△BAC中，
，
∴△AEF≌△BAC（AAS），
∴EF＝AC＝8，AF＝BC＝7，
在Rt△ECF中，EF＝8，FC＝FA+AC＝8+7＝15，
根据勾股定理得：CE＝＝17．
故选：C．
9．如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要（　　）
A．4米 B．5米 C．6米 D．7米
【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝＝4米，
故可得地毯长度＝AC+BC＝7米，
故选：D．
10．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，腰上的高BE＝4.8，则底边上的中线AD的长为（　　）
A．3.6 B．4 C．4.2 D．4.5
【解答】解：方法1：如图，∵在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD是底边上的中线，
∴AD⊥BC，且BD＝CD＝3，
在直角△ABD中，由勾股定理得到：AD＝＝＝4．
方法2：依题意有：BC AD＝AC BE，
即×6AD＝×5×4.8，
解得AD＝4．
故选：B．
二．填空题（共6小题）
11．如图，一根树在离地面6米处断裂，树的顶部落在离底部8米处，树折断之前有　16　米．
【解答】解：因为AB＝6米，AC＝8米，
根据勾股定理得BC＝（米），
于是折断前树的高度是10+6＝16（米）．
故答案为：16．
12．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝4，∠A＝60°，BC＝，CD＝8，则四边形ABCD的面积为　4+16　．
【解答】解：连接BD．
∵AD＝AB＝4，∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AD＝4，
∵BC＝4，CD＝8，
∴BC2＝BD2+CD2，
∴∠BDC＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BDC＝×42+×4×8＝4+16，
故答案为4+16．
13．如图，△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，AH⊥BC于点H，若AB＝5，BH＝1，则BC＝　7　．
【解答】解：截取线段HD＝HB，点D在线段BC上，如右图所示，
则HD＝HB＝1，
∵AH⊥BC，
∴∠AHB＝∠AHD，
在△AHB和△AHD中，
，
∴△AHB≌△AHD（SAS），
∴AB＝AD，∠ABH＝∠ADH，
∵AB＝5，
∴AD＝5，
又∵∠ABC＝2∠ACB，∠ADB＝∠DAC+∠C，
∴∠ADB＝2∠ACB，
∴∠DAC＝∠C，
∴AD＝CD，
∴CD＝5，
∴BC＝HB+HD+CD＝1+1+5＝7，
故答案为：7．
14．如图，在△ABC中，∠B＝45°，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E（BE＞CE），点F是AC的中点，连接AE、EF，若BC＝7，AC＝5，则△CEF的周长为 　8　．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴∠BAE＝∠ABE＝45°，BE＝AE，
∴∠BEA＝90°，
∵BC＝7，
∴BE+CE＝7，
∴AE+CE＝7，AE＝7﹣CE，
又∵AC＝5，
在△AEC中，AE2+CE2＝AC2，（7﹣CE）2+CE2＝52，
解得：CE＝3，
又∵点F是AC的中点，
∴，
∴△CEF的周长＝CF+CE+FE＝．
故答案为：8．
15．如图所示是一个圆柱形饮料罐，底面半径为5cm，高为12cm，上底面中心有一个小圆孔，将一根长24cm的直吸管从小圆孔插入，直到接触到饮料罐的底部，直吸管在罐外的长度hcm（罐的厚度和小圆孔的大小忽略不计），则h的取值范围是　11≤h≤12　．
【解答】解：如图，当吸管底部在O点时吸管在罐内部分最短，
此时罐内部分就是圆柱形的高，
罐外部分a＝24﹣12＝12（cm）；
当吸管底部在A点时吸管在罐内部分最长，
即线段AB的长，
在Rt△ABO中，
AB＝＝＝13（cm），
罐外部分a＝24﹣13＝11（cm），
所以11≤h≤12．
故答案是：11≤h≤12．
16．如图，BD和AC为四边形ABCD的对角线，AB⊥BD，∠CBD＝60°，BD＝2BC，AD＝8，则AC的最大值为 　2　．
【解答】解：取AD的中点为O，连接BO，作Rt△ODG，使∠DGO＝90°，∠ODG＝30°，连接CG，
过点D作DC'⊥BC于C'，
∵∠CBD＝60°，
∴BD＝2BC'，
∵BD＝2BC，
∴点C与C'重合，
∴∠BCD＝90°，
∴∠BDC＝∠ODG＝30°，
∴∠GDC＝∠BDO，，
∴△CDG∽△BDO，
∴，
∴BO＝，
∴，
连接AG，过点G作GH⊥OD于H，
∵OG＝，
在Rt△HOG中，∠HOG＝60°，
∴OH＝1，GH＝，
∴AH＝5，
在Rt△AHG中，由勾股定理得：
∴AG＝，
∴AC≤AG+CG，
∴AC≤2+2，
∴AC的最大值为：2+2，
故答案为：2+2．
三．解答题（共6小题）
17．如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C是小正方形的顶点．
（1）求AB和BC；
（2）求∠ABC的度数．
【解答】解：（1）连接AC．
根据勾股定理可以得到：AB2＝12+32＝10，BC2＝12+22＝5，
∴AB＝，BC＝；
（2）∵AB2＝12+32＝10，AC2＝BC2＝12+22＝5，
∵5+5＝10，即AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°．
18．某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，∠ABC＝90°，BC＝6m，AB＝8m，AD＝26m，CD＝24m．
（1）求出空地ABCD的面积．
（2）若每种植1平方米草皮需要100元，问总共需投入多少元？
【解答】解：（1）如图，连接AC，
在直角三角形ABC中，
∵∠ABC＝90°，BC＝6m，AB＝8m，
∴AC＝＝10m，
∵AC2+CD2＝102+242＝676＝AD2，
∴∠ACD＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝，
答：空地ABCD的面积是144m2．
（2）144×100＝14400（元），
答：总共需投入14400元．
19．甲、乙两船同时从港口A出发，甲船以30海里/时的速度沿北偏东35°方向航行，乙船沿南偏东55°向航行，2小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C，B两岛相距100海里，问乙船的速度是每小时多少海里？
【解答】解：∵甲的速度是30海里/时，时间是2小时，
∴AC＝60海里．
∵∠EAC＝35°，∠FAB＝55°，
∴∠CAB＝90°．
∵BC＝100海里，
∴AB＝海里．
∵乙船也用2小时，
∴乙船的速度是40海里/时．
20．如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA＝3：4：5，且周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，问过3秒时，△BPQ的面积为多少？
【解答】解：设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，
∵周长为36cm，
AB+BC+AC＝36cm，
∴3x+4x+5x＝36，
得x＝3，
∴AB＝9cm，BC＝12cm，AC＝15cm，
∵AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，
过3秒时，BP＝9﹣3×1＝6（cm），BQ＝2×3＝6（cm），
∴S△PBQ＝BP BQ＝×6×6＝18（cm2）．
故过3秒时，△BPQ的面积为18cm2．
21．一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4米到A′，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
【解答】解：（1）由题意得：AC＝25米，BC＝7米，
AB＝＝24（米），
答：这个梯子的顶端距地面有24米；
（2）由题意得：BA′＝20米，
BC′＝＝15（米），
则：CC′＝15﹣7＝8（米），
答：梯子的底端在水平方向滑动了8米．
22．如图，△ABC中，AB＝BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD＝45°，AD与BE交于点F，连接CF．
（1）求证：BF＝2AE；
（2）若CD＝3，求AD的长．
【解答】解：（1）证明：∵AD⊥BC，∠BAD＝45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AD＝BD，
∵BE⊥AC，AD⊥BC，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°，
∴∠CAD+∠ACD＝90°，
∠CBE+∠ACD＝90°，
∴∠CAD＝∠CBE，
在△ADC和△BDF中，
，
∴△ADC≌△BDF（ASA），
∴BF＝AC，
∵AB＝BC，BE⊥AC，
∴AC＝2AE，
∴BF＝2AE；
（2）解：∵△ADC≌△BDF，
∴DF＝CD＝3，
在Rt△CDF中，CF＝＝＝3，
∵BE⊥AC，AE＝EC，
∴AF＝CF＝3，
∴AD＝AF+DF＝3+3．：40
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