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第七章万有引力与宇宙航行
第3节万有引力理论的成就
1.了解万有引力定律在天文学上的重要应用.
2.掌握计算天体的质量和密度的方法．
3.掌握解决天体运动问题的基本思路．
知识点一、解决天体运动问题的基本思路
1．解决天体运动问题的基本思路
一般行星或卫星的运动可看做匀速圆周运动，所需要的向心力都由中心天体对它的万有引力提供，所以研究天体时可建立基本关系式：G＝ma，式中a是向心加速度．
2．四个重要结论
项目 推导式 关系式 结论
v与r的关系 G＝m v＝ r越大，v越小
ω与r的关系 G＝mrω2 ω＝ r越大，ω越小
T与r的关系 G＝mr2 T＝2π r越大，T越大
a与r的关系 G＝ma a＝ r越大，a越小
知识点二、计算天体的质量和密度
1．地球质量的计算
(1)依据：地球表面的物体，若不考虑地球自转，物体的重力等于地球对物体的万有引力，即mg＝G.
(2)结论：M＝，只要知道g、R的值，就可计算出地球的质量．
2．太阳质量的计算
(1)依据：质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力充当向心力，即G＝.
(2)结论：M＝，只要知道行星绕太阳运动的周期T和半径r，就可以计算出太阳的质量．
3．其他行星质量的计算
(1)依据：绕行星做匀速圆周运动的卫星，同样满足G＝(M为行星质量，m为卫星质量)．
(2)结论：M＝，只要知道卫星绕行星运动的周期T和半径r，就可以计算出行星的质量．
【探讨】
1969年7月21日，美国宇航员阿姆斯特朗在月球上烙下了人类第一只脚印(如图6 4 2)，迈出了人类征服宇宙的一大步．
图6 4 2
探讨1：宇航员在月球上用弹簧秤测出质量为m的物体重力为F.怎样利用这个条件估测月球的质量？
【提示】设月球质量为M.半径为R，则F＝G，故M＝.
探讨2：宇航员驾驶指令舱绕月球表面飞行一周的时间为T，怎样利用这个条件估测月球质量？
【提示】设月球质量为M，半径为R，由万有引力提供向心力，G＝mR
M＝.
【点睛】
1．计算地球质量的两种方法
(1)若已知地球的半径R和地球表面的重力加速度g，根据物体的重力近似等于地球对物体的引力，得mg＝G
解得地球质量为M地＝.
(2)若已知月球绕地球做匀速圆周运动的周期为T，半径为r，根据万有引力等于向心力，即
＝m月2r
可求得地球质量M地＝.
2．计算天体的密度
若天体的半径为R，则天体的密度ρ＝
将M＝代入上式得ρ＝.
特别地，当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，则ρ＝.
知识点三、预言哈雷彗星回归
1.哈雷彗星的周期：哈雷彗星的轨道半长轴约为地球公转半径的18倍，则由=，得
2.哈雷彗星的下次回归将在2061年左右。
知识点四、处理天体运动问题常见思维误区
混淆“中心天体”和“环绕天体”
思维解读：在运用万有引力定律和牛顿第二定理以及匀速圆周运动知识计算未知天体的质量时，能计算中心天体的质量，而不能求出环绕天体的质量。这一点，在题目的判断过程中十分重要。
混淆“天体半径”和“轨道半径”
思维解读：一般我们用r表示环绕天体做圆周运动的轨道半径，用R表示中心天体的半径。向心力中的r都是轨道半径；计算天体密度时，中的R是中心天体的半径。
混淆“轨道半径”和“引力距离”
思维解读：万有引力中的r为引力距离，大多数情况下引力距离和轨道半径相同，但双星问题、多星问题中二者不同。
1．1970年4月24日，我国的第一颗人造地球卫星发射成功，自2016年起，将每年的4月24日设为“中国航天日”。现测得一颗人造卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为T，速度为v，引力常量为G，由此可推知地球的质量为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
由可知
由万有引力提供向心力有
联立解得
故选D。
2．为了探测某星球，载着登陆舱的探测飞船在以该星球中心为圆心，半径为的圆轨道上运动，周期为，总质量为，随后登陆舱脱离飞船，变轨到离星球更近的半径为的圆轨道上运动，登陆舱的质量为，则（　　）
A．该星球的质量为
B．该星球表面的重力加速度为
C．登陆舱在半径为r1与半径为r2的轨道上运动时的速度大小之比为
D．登陆舱在半径为r2的轨道上做圆周运动的周期为
【答案】D
【详解】
A．设该星球的质量为M，由题意根据牛顿第二定律有
解得
故A错误；
B．设该星球的半径为R，则该星球表面的重力加速度为
故B错误；
C．设登陆舱质量为m，它在半径为r的圆轨道上运动时的速度大小为v，根据牛顿第二定律有
解得
所以
故C错误；
D．根据开普勒第三定律可得
解得
故D正确。
故选D。
1．假设某星球可视为质量均匀分布的球体，已知该星球表面的重力加速度在两极的大小为g1，在赤道的大小为g2，星球自转的周期为T，引力常量为G，则该星球的密度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
设地球的半径为R，质量为m的物体，在两极点时，有
在赤道时，有
又地球的密度
由以上各式联立得
故选C。
2．美国的“卡西尼”号探测器经过长达7年的“艰苦”旅行，进入绕土星飞行的轨道，若“卡西尼”号探测器在半径为的土星上空离土星表面高的圆形轨道上绕土星飞行，环绕周飞行时间为，已知引力常量为，则下列关于土星质量和平均密度的表达式正确的是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【详解】
由题意知“卡西尼”号探测器离土星表面高的圆形轨道上绕土星飞行得周期
由万有引力提供向心力
联立解得
由
又
联立得
故D正确，ABC错误。
故选D。
3．2021年5月15日，我国发射的“祝融号”火星探测器顺利着陆火星，标志着我国星际探索达到新高度，该探测器在距火星表面高度为h的轨道上绕火星做周期为T的匀速圆周运动，再经多次变轨后成功着陆，着陆后测得火星表面的重力加速度为g，已知火星的半径为R，万有引力常量为G，忽略火星自转及其他星球对探测器的影响，以下说法正确的是（　　）
A．火星的质量为 B．火星的质量为
C．火星的密度为 D．火星的密度为
【答案】D
【详解】
AB．探测器绕火星做周期为T的匀速圆周运动，有
得火星的质量为
AB错误；
CD．由
及得
再由密度公式得火星的密度为
C错误，D正确。
故选D。
4．我国将在今年择机执行“天问1号”火星探测任务。质量为的着陆器在着陆火星前，会在火星表面附近经历一个时长为、速度由减速到零的过程。已知火星的质量约为地球的倍，半径约为地球的倍，地球表面的重力加速度大小为，忽略火星大气阻力。若该减速过程可视为一个竖直向下的匀减速直线运动，此过程中着陆器受到的制动力大小约为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
根据万有引力提重力有
解得
所以火星表面的重力加速为
着陆器受到的制动力大小F，则有
联立解得
所以A正确；BCD错误；
故选A。
5．2021年5月15日，我国科研团队根据“祝融号”火星车发回的遥感信号确认，天问一号着陆巡视器成功着陆预定区域，我国首次火星探测任务取得圆满成功.已知火星的质量和半径分别约为地球的和，地球表面的重力加速度为g，则火星表面的重力加速度约为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
在地球表面重力等于万有引力
在火星表面重力等于万有引力
结合题意联立可得
故C正确，ABD错误。
故选C。
6．月球上一宇航员，他已经知道引力常量和月球半径，想利用已知质量的钩码来大致测出月球的质量，下列宇航员的操作正确且合理的是（　　）
A．用已知长度的细绳拴住钩码，使其在水平面内做匀速圆周运动，测得其做圆周运动的周期
B．竖直向上抛出钩码，测出钩码从抛出到落回抛出点的时间
C．用弹簧秤测出钩码在月球表面处的重力
D．沿月球表面水平抛出钩码，使钩码绕月球表面做匀速圆周运动，测出圆周运动的周期
【答案】C
【详解】
A．要测得周期为月球表面附近绕月球做匀速圆周运动的周期能求出月球的质量，用已知长度的细绳拴住钩码，使其在水平面内做匀速圆周运动，测得其做圆周运动的周期，无法求出月球的质量，故A错误；
B．竖直向上抛出钩码，测出钩码从抛出到落回抛出点的时间，不知道抛出时钩码的速度，无法求出月球上的重力加速度，所以无法求出月球的质量，故B错误；
C．用弹簧秤测出钩码在月球表面处的重力，忽略月球自转，由万有引力提供重力有
可求得月球的质量
故C正确；
D．沿月球表面水平抛出钩码，使钩码绕月球表面做匀速圆周运动，测出圆周运动的周期，根据
能求出月球的质量，但该方法宇航员做不到，不符合实际情况，故D错误。
故选C。
7．科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为（太阳到地球的距离为）的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞。这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖。若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出该黑洞质量约为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
可以近似把S2看成匀速圆周运动，由图可知，S2绕黑洞的周期T=16年，地球的公转周期T0=1年，S2绕黑洞做圆周运动的半径r与地球绕太阳做圆周运动的半径R关系是
地球绕太阳的向心力由太阳对地球的引力提供，由向心力公式可知
解得太阳的质量为
同理S2绕黑洞的向心力由黑洞对它的万有引力提供，由向心力公式可知
解得黑洞的质量为
综上可得
故选B。
8．2020年12月3日23时10分，“嫦娥五号”上升器月面点火，3 000 N发动机工作约6 min后，顺利将携带月壤的上升器送入到预定环月轨道，成功实现中国首次地外天体起飞。已知月球的质量约为地球的，半径约为地球的，地球上第一宇宙速度约为7.9 km/s，则“嫦娥五号”最小的“起飞”速度约为（　　）
A．1.8 km/s B．2.6 km/s
C．3.9 km/s D．4.5 km/s
【答案】A
【详解】
设地球的质量和半径分别为M1、R1，月球的质量和半径分别为M2、R2，根据题意，则有
M1∶M2=81∶1
R1∶R2=4∶1
物体绕星体表面做匀速圆周运动的速度为第一宇宙速度，有
=
可得第一宇宙速度为
v=
故地球与月球的第一宇宙速度之比为
又地球第一宇宙速度为 v1=7.9 km/s，故月球第一宇宙速度v2=1.8 km/s。
故选A。

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