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第三章 函数 （浙江省专用）
第12节 一次函数的应用及综合问题
【考试要求】
1.理解一次函数与方程（组）的关系，能利用一次函数求方程（组）的解；
2.理解一次函数与不等式（组）的关系，会利用一次函数的图象、性质解决不等式的有关问题；
3.会利用一次函数的性质解决实际问题.
4.一次函数与其他知识的综合运用
【考情预测】
一次函数的应用在浙江中考中年年考查，总分值为10分左右，预计2022年各地中考一定还会考，一般小题的形式考察一次函数与方程（不等式）的关系，大题主要以应用题或一次函数与几何图形综合。.
【考点梳理】
1．一元一次方程kx＋b＝0与一次函数y＝kx＋b的关系：一元一次方程kx＋b＝0的解是一次函数y＝kx＋b在y＝0时所对应的x的值．
2．一元一次不等式kx＋b>0(或kx＋b<0)与一次函数y＝kx＋b的关系：一元一次不等式kx＋b>0(或kx＋b<0)的解即为一次函数y＝kx＋b在y>0(或y<0)时所对应的x的取值范围．
3．二元一次方程组与一次函数图象的关系：二元一次方程组的解即为一次函数y＝k1x＋b1与一次函数y＝k2x＋b2的图象的交点坐标．
4.一次函数在现实生活中有着广泛的应用，在解答一次函数的应用题时，应从给定的信息中抽象出一次函数关系，理清哪个是自变量，哪个是自变量的函数，确定出一次函数，再利用一次函数的图象与性质求解，同时要注意自变量的取值范围．解题时常用到建模思想和函数思想．
【重难点突破】
考向1. 一次函数与方程（组）
【典例精析】
【例】（2021·广西梧州·中考真题）如图，在同一平面直角坐标系中，直线l1：yx与直线l2：y＝kx+3相交于点A，则方程组的解为 ___．
【答案】
【分析】由题意，两直线的交点坐标就是这两条直线组成的方程组的解，即可得到答案．
【详解】解：根据题意，∵直线l1：yx与直线l2：y＝kx+3相交于点A（2，1），
∴方程组的解为；故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题的关键是掌握两直线的交点坐标就是这两条直线组成的方程组的解．
【变式训练】
变式1-1．（2020 湖州 中考真题）已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+2和直线yx+2分别交x轴于点A和点B．则下列直线中，与x轴的交点不在线段AB上的直线是（　　）
A．y＝x+2 B．yx+2 C．y＝4x+2 D．yx+2
【分析】求得A、B的坐标，然后分别求得各个直线与x的交点，进行比较即可得出结论．
【详解】解：∵直线y＝2x+2和直线yx+2分别交x轴于点A和点B．∴A（﹣1，0），B（﹣3，0）
A、y＝x+2与x轴的交点为（﹣2，0）；故直线y＝x+2与x轴的交点在线段AB上；
B、yx+2与x轴的交点为（，0）；故直线yx+2与x轴的交点在线段AB上；
C、y＝4x+2与x轴的交点为（，0）；故直线y＝4x+2与x轴的交点不在线段AB上；
D、yx+2与x轴的交点为（，0）；故直线yx+2与x轴的交点在线段AB上；选：C．
变式1-2．（2021 衢州中考模拟）已知一次函数y1＝2x+m与y2＝2x+n（m≠n）的图象如图所示，则关于x与y的二元一次方程组的解的个数为（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
【思路点拨】由图象可知，一次函数y1＝2x+m与y2＝2x+n（m≠n）是两条互相平行的直线，所以关于x与y的二元一次方程组无解．
【答案】解：∵一次函数y1＝2x+m与y2＝2x+n（m≠n）是两条互相平行的直线，
∴关于x与y的二元一次方程组无解．故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
变式1-3．（2021 乐清市期中）在直角坐标系中，横纵坐标都是整数的点称为整点，设k为整数，当直线y＝x﹣3与y＝kx+k的交点为整数时，k的值可以取（　　）
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
【思路点拨】让这两条直线的解析式组成方程组，求得整数解即可．
【答案】解：由题意得：，解得：，∴，
∵交点为整数，∴k可取的整数解有0，2，3，5，﹣1，﹣3共6个．故选：C．
【点睛】本题考查了两条直线相交或者平行问题，难度一般，解决本题的难点是根据分数的形式得到相应的整数解．
【考点巩固训练】
1．（2021 鹿城区模拟）如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴相交于点（﹣2，0），与y轴相交于点（0，3），则关于x的方程kx＝b的解是　 　．
【思路点拨】依据待定系数法即可得到k和b的值，进而得出关于x的方程kx＝b的解．
【答案】解：∵一次函数y＝kx+b的图象与x轴相交于点（﹣2，0），与y轴相交于点（0，3），
∴，解得，∴关于x的方程kx＝b即为：x＝3，解得x＝2，故答案为：x＝2．
【点睛】本题主要考查了待定系数法的应用，任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0 （a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y＝ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值．
2．（2021·山西·模拟预测）如图是一次函数的图象，根据图象可直接写出方程的解为，这种解题方法体现的数学思想是（ ）
A．数形结合思想 B．转化思想 C．分类讨论思想 D．函数思想
【答案】A
【分析】根据图像与x轴交点可得方程的解，体现的是数形结合的思想．
【详解】由图像可知y=0时，与x轴交于(2,0)点，故的解为，这种解题方法体现的是数形结合的数学思想．
【点睛】本题主要考查根据函数图像求方程的解，正确理解函数图像各点的含义是解题关键．
3．（2020·山东济宁·中考真题）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线y=x+5和直线y=ax+b,相交于点P ,根据图象可知，方程x+5=ax+b的解是（ ）
A．x=20 B．x=5 C．x=25 D．x=15
【答案】A
【分析】两直线的交点坐标为两直线解析式所组成的方程组的解．
【详解】解：由图可知：直线y=x+5和直线y=ax+b交于点P（20，25），
∴方程x+5=ax+b的解为x=20．故选：A．
【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程：任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0 （a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值．
4．（2021·广西贺州市·中考真题）直线（）过点，，则关于的方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】关于的方程的解为函数的图象与x轴的交点的横坐标，由于直线过点A(2,0)，即当x=2时，函数的函数值为0，从而可得结论．
【详解】直线（）过点，表明当x=2时，函数的函数值为0，即方程的解为x=2． 故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，即一元一次方程的解是一次函数的图象与x轴交点的横坐标，要从数与形两个方面来理解这种关系．
5.（2021 苍南县一模）一次函数y1＝x+1与y2＝﹣2x+4图象交点的横坐标是（　　）
A．4 B．2 C．1 D．0
【点拨】求两个一次函数的交点的横坐标，应该x+1＝﹣2x+4就可求得．
【解析】解：根据题意可得：x+1＝﹣2x+4，解得x＝1故选：C．
【点睛】本题考查的是一次函数和一元一次方程相结合的知识点．用函数观点看方程（组）的问题．
6．（2021 西湖区一模）过（﹣3，0），（0，﹣5）的直线与以下直线的交点在第三象限的是（　　）
A．x＝4 B．x＝﹣4 C．y＝4 D．y＝﹣4
【思路点拨】根据已知两点判断符合条件的x、y的范围，﹣3＜x＜0，﹣5＜y＜0，结合答案即可；
【答案】解：过（﹣3，0），（0，﹣5）的直线，与它交点在第三象限，
∴﹣3＜x＜0，﹣5＜y＜0，只有y＝﹣4符合条件，故选：D．
【点睛】本题考查平面内点的坐标的特点；能够由两点判断出所要求的x、y的范围是解题的关键．
考向2. 一次函数与不等式（组）
【典例精析】
【例】（2021·福建中考真题）如图，一次函数的图象过点，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先平移该一次函数图像，得到一次函数的图像，再由图像即可以判断出 的解集．
【详解】解：如图所示，将直线向右平移1个单位得到 ，该图像经过原点，由图像可知，在y轴右侧，直线位于x轴上方，即y>0，
因此，当x>0时，，故选：C．
【点睛】本题综合考查了函数图像的平移和利用一次函数图像求对应一元一次不等式的解集等，解决本题的关键是牢记一次函数的图像与一元一次不等式之间的关系，能从图像中得到对应部分的解集，本题蕴含了数形结合的思想方法等．
【变式训练】
变式2-1. （2021 杭州期末）如图，函数y1＝mx和y2＝x+3的图象相交于点A（﹣1，2），则关于x的不等式mx＞x+3的解集是（　　）
A．x＜﹣1 B．x＞﹣1 C．x＜﹣2 D．x＞﹣2
【思路点拨】以交点为分界，结合图象写出不等式mx＞x+3的解集即可．
【答案】解：∵函数y1＝mx和y2＝x+3的图象相交于点A（﹣1，2），
∴不等式mx＞x+3的解集为x＜﹣1．故选：A．
【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是以交点为分界．
变式2-2. （2021·广东·深圳市南山外国语学校（集团）一模）如图，直线与交点的横坐标为．则关于的不等式的解集为______．
【答案】
【分析】求出直线与轴的交点，利用图象法即可解决问题；
【详解】解：直线与的交点的横坐标为，
关于的不等式的解集为，时，，
不等式的解集为．故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式等知识，解题的关键是学会利用图象法解不等式问题．
变式2-3. 4（2021 余杭区期末）已知一次函数y1＝kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象过A（﹣1，3），B（2，0）．（1）求y1函数的表达式，并在图中画出该函数图象．（2）若函数y＝mx+n（m，n是常数，m＞0）的图象过B（2，0），求当y1＜y2时x的取值范围．
【思路点拨】（1）利用待定系数法，即可得到y1函数的表达式，并在图中画出该函数图象．
（2）依据函数图象，即可得到当y1＜y2时x的取值范围．
【答案】解：（1）将（﹣1，3），（2，0）代入y＝kx+b，得，解得，∴y＝﹣x+2，
图象如图所示：
（2）根据图象可知，当x＞2时，y1＜y2．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．
【考点巩固训练】
1．（2021·湖南娄底市·中考真题）如图，直线和与x轴分别相交于点，点，则解集为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】A
【分析】根据图像以及两交点，点的坐标得出即可．
【详解】解：∵直线和与x轴分别相交于点，点，
∴观察图像可知解集为，故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式组，能根据图像和交点坐标得出答案是解此题的关键．
2．（2021·湖北鄂州市·中考真题）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线与直线相交于点．根据图象可知，关于的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据一次函数图像的交点直接判断即可．
【详解】解：由题意可知，当时，直线的图像位于直线图像的上方，
即关于的不等式的解集为：．故选：C．
【点睛】本题考查一次函数与不等式的关系，明确函数图像上各交点坐标代表的意义是解决本题的关键．
3．（2021 吴兴区期末）如图，直线y＝kx+b与直线y＝3x﹣2相交于点（，﹣），则不等式3x﹣2＜kx+b的解为（　　）
A．x＞ B．x＜ C．x＞﹣ D．x＜﹣
【思路点拨】结合函数图象，写出直线y＝kx+b在直线y＝3x﹣2上方所对应的自变量的范围即可．
【答案】解：不等式3x﹣2＜kx+b的解集为x＜．故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
4．（2021 海曙区期末）如图，直线y1＝kx+b过点A（0，3），且与直线y2＝mx交于点P（1，m），则不等式组mx＞kx+b＞mx﹣2的解集是（　　）
A． B． C． D．1＜x＜2
【思路点拨】先把A点代入y＝kx+b得b＝3，再把P（1，m）代入y＝kx+3得k＝m﹣3，接着解（m﹣3）x+3＞mx﹣2得x＜，然后利用函数图象可得不等式组mx＞kx+b＞mx﹣2的解集．
【答案】解：∵直线y1＝kx+b过点A（0，3），∴b＝3，
把P（1，m）代入y＝kx+3得k+3＝m，解得k＝m﹣3，解（m﹣3）x+3＞mx﹣2得x＜，
所以不等式组mx＞kx+b＞mx﹣2的解集是1＜x＜．故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
5．（2021 秀洲区期末）观察图，可以得出不等式组的解集是 （　　）
A．x＜4 B．x＜﹣1 C．﹣1＜x＜0 D．﹣1＜x＜4
【思路点拨】根据直线y＝ax+b交x轴于点（4，0），直线y＝cx+d交x轴于点（﹣1，0），再结合图象即可得出两不等式的解集，进而得出答案．
【答案】解：∵直线y＝ax+b交x轴于点（4，0），∴ax+b＞0的解集为：x＜4，
∵直线y＝cx+d交x轴于点（﹣1，0），∴cx+d＜0的解集为：x＜﹣1，
∴不等式组的解集是：x＜﹣1．故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，属于基础题，关键是正确根据图象解题．
考向3. 一次函数的实际应用
【典例精析】
【例】（2021 丽水）李师傅将容量为60升的货车油箱加满后，从工厂出发运送一批物资到某地．行驶过程中，货车离目的地的路程s（千米）与行驶时间t（小时）的关系如图所示（中途休息、加油的时间不计）．当油箱中剩余油量为10升时，货车会自动显示加油提醒．设货车平均耗油量为0.1升/千米，请根据图象解答下列问题：（1）直接写出工厂离目的地的路程；（2）求s关于t的函数表达式；（3）当货车显示加油提醒后，问行驶时间t在怎样的范围内货车应进站加油？
【分析】（1）由图象直接求出工厂离目的地的路程；（2）用待定系数法求出函数解析式即可；
（3）当油箱中剩余油量为10升时和当油箱中剩余油量为0升时，求出t的取值即可．
【详解】解：（1）由图象，得t＝0时，s＝880，∴工厂离目的地的路程为880千米，
答：工厂离目的地的路程为880千米；
（2）设s＝kt+b（k≠0），将（0，880）和（4，560）代入s＝kt+b得，
，解得：，∴s关于t的函数表达式：s＝﹣80t+880（0≤t≤11），
答：s关于t的函数表达式：s＝﹣80t+880（0≤t≤11）；
（3）当油箱中剩余油量为10升时，s＝880﹣（60﹣10）÷0.1＝380（千米），
∴380＝﹣80t+880，解得：t（小时），
当油箱中剩余油量为0升时，s＝880﹣60÷0.1＝280（千米），
∴280＝﹣80t+880，解得：t（小时），
∵k＝﹣80＜0，∴s随t的增大而减小，∴t的取值范围是t．
【变式训练】
变式3-1.（2021 绍兴）Ⅰ号无人机从海拔10m处出发，以10m/min的速度匀速上升，Ⅱ号无人机从海拔30m处同时出发，以a（m/min）的速度匀速上升，经过5min两架无人机位于同一海拔高度b（m）．无人机海拔高度y（m）与时间x（min）的关系如图．两架无人机都上升了15min．
（1）求b的值及Ⅱ号无人机海拔高度y（m）与时间x（min）的关系式；
（2）问无人机上升了多少时间，Ⅰ号无人机比Ⅱ号无人机高28米．
【分析】（1）由题意得：b＝10+10×5＝60；再用待定系数法求出函数表达式即可；
（2）由题意得：（10z+10）﹣（6x+30）＝28，即可求解．
【详解】解：（1）b＝10+10×5＝60，设函数的表达式为y＝kx+t，
将（0,30）、（5,60）代入上式得，解得，
故函数表达式为y＝6x+30（0≤x≤15）；
（2）由题意得：（10z+10）﹣（6x+30）＝28，解得x＝12＜5，
故无人机上升12min，Ⅰ号无人机比Ⅱ号无人机高28米．
变式3-2.（2021 温州）某公司生产的一种营养品信息如表．已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克．
营养品信息表
营养成份 每千克含铁42毫克
配料表 原料 每千克含铁
甲食材 50毫克
乙食材 10毫克
规格 每包食材含量 每包单价
A包装 1千克 45元
B包装 0.25千克 12元
（1）问甲、乙两种食材每千克进价分别是多少元？（2）该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完．①问每日购进甲、乙两种食材各多少千克？②已知每日其他费用为2000元，且生产的营养品当日全部售出．若A的数量不低于B的数量，则A为多少包时，每日所获总利润最大？最大总利润为多少元？
【分析】（1）设乙食材每千克进价为a元，则甲食材每千克进价为2a元，根据“用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克”列分式方程解答即可；（2）①设每日购进甲食材x千克，乙食材y千克，根据（1）的结论以及“每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完”列方程组解答即可；②设A为m包，则B为包，根据“A的数量不低于B的数量”求出m的取值范围；设总利润为W元，根据题意求出W与x的函数关系式，再根据一次函数的性质，即可得到获利最大的进货方案，并求出最大利润．
【详解】解：（1）设乙食材每千克进价为a元，则甲食材每千克进价为2a元，
由题意得，解得a＝20，经检验，a＝20是所列方程的根，且符合题意，∴2a＝40（元），
答：甲食材每千克进价为40元，乙食材每千克进价为20元；
（2）①设每日购进甲食材x千克，乙食材y千克，
由题意得，解得，
答：每日购进甲食材400千克，乙食材100千克；
②设A为m包，则B为(2000﹣4m)包，
∵A的数量不低于B的数量，∴m≥2000﹣4m，∴m≥400，
设总利润为W元，根据题意得：W＝45m+12(2000﹣4m)﹣18000﹣2000＝﹣3m+4000，
∵k＝﹣3＜0，∴W随m的增大而减小，∴当m＝400时，W的最大值为2800,
答：当A为400包时，总利润最大，最大总利润为2800元．
变式3-3.（2020 金华）某地区山峰的高度每增加1百米，气温大约降低0.6℃，气温T（℃）和高度h（百米）的函数关系如图所示．请根据图象解决下列问题：（1）求高度为5百米时的气温；（2）求T关于h的函数表达式；（3）测得山顶的气温为6℃，求该山峰的高度．
【分析】（1）根据高度每增加1百米，气温大约降低0.6℃，由3百米时温度为13.2℃，即可得出高度为5百米时的气温；（2）应用待定系数法解答即可；（3）根据（2）的结论解答即可．
【详解】解：（1）由题意得，高度增加2百米，则气温降低2×0.6＝1.2（℃），
∴13.2﹣1.2＝12（℃），∴高度为5百米时的气温大约是12℃；
（2）设T关于h的函数表达式为T＝kh+b，则：，解得，
∴T关于h的函数表达式为T＝﹣0.6h+15（h＞0）；
（3）当T＝6时，6＝﹣0.6h+15，解得h＝15．∴该山峰的高度大约为15百米，即1500米．
【考点巩固训练】
1．（2019 衢州 中考真题）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB的中点，点P从点E出发，沿E→A→D→C移动至终点C．设P点经过的路径长为x，△CPE的面积为y，则下列图象能大致反映y与x函数关系的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据题意分类讨论，随着点P位置的变化，△CPE的面积的变化趋势．
【详解】解：通过已知条件可知，当点P与点E重合时，△CPE的面积为0；
当点P在EA上运动时，△CPE的高BC不变，则其面积是x的一次函数，面积随x增大而增大，
当x＝2时有最大面积为4，
当P在AD边上运动时，△CPE的底边EC不变，则其面积是x的一次函数，面积随x增大而增大，
当x＝6时，有最大面积为8，当点P在DC边上运动时，△CPE的底边EC不变，则其面积是x的一次函数，面积随x增大而减小，最小面积为0；故选：C．
2．（2020 宁波）A，B两地相距200千米．早上8：00货车甲从A地出发将一批物资运往B地，行驶一段路程后出现故障，即刻停车与B地联系．B地收到消息后立即派货车乙从B地出发去接运甲车上的物资．货车乙遇到甲后，用了18分钟将物资从货车甲搬运到货车乙上，随后开往B地．两辆货车离开各自出发地的路程y（千米）与时间x（小时）的函数关系如图所示．（通话等其他时间忽略不计）（1）求货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程y关于x的函数表达式．（2）因实际需要，要求货车乙到达B地的时间比货车甲按原来的速度正常到达B地的时间最多晚1个小时，问货车乙返回B地的速度至少为每小时多少千米？
【分析】（1）由待定系数法可求出函数解析式；（2）根据图中的信息求出乙返回B地所需的时间，由题意可列出不等式1.6v≥120，解不等式即可得出答案．
【详解】解：（1）设函数表达式为y＝kx+b（k≠0），
把（1.6，0），（2.6，80）代入y＝kx+b，得，解得：，
∴y关于x的函数表达式为y＝80x﹣128；
由图可知200﹣80＝120（千米），120÷80＝1.5（小时），1.6+1.5＝3.1（小时），
∴x的取值范围是1.6≤x＜3.1．
∴货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程y关于x的函数表达式为y＝80x﹣128（1.6≤x＜3.1）；
（2）当y＝200﹣80＝120时，120＝80x﹣128，解得x＝3.1，
由图可知，甲的速度为50（千米/小时），
货车甲正常到达B地的时间为200÷50＝4（小时），
18÷60＝0.3（小时），4+1＝5（小时），5﹣3.1﹣0.3＝1.6（小时），
设货车乙返回B地的车速为v千米/小时，∴1.6v≥120，解得v≥75．
答：货车乙返回B地的车速至少为75千米/小时．
3．（2020 温州）某经销商3月份用18000元购进一批T恤衫售完后，4月份用39000元购进一批相同的T恤衫，数量是3月份的2倍，但每件进价涨了10元．（1）4月份进了这批T恤衫多少件？
（2）4月份，经销商将这批T恤衫平均分给甲、乙两家分店销售，每件标价180元．甲店按标价卖出a件以后，剩余的按标价八折全部售出；乙店同样按标价卖出a件，然后将b件按标价九折售出，再将剩余的按标价七折全部售出，结果利润与甲店相同．①用含a的代数式表示b．②已知乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量，请你求出乙店利润的最大值．
【分析】（1）根据4月份用39000元购进一批相同的T恤衫，数量是3月份的2倍，可以得到相应的分式方程，从而可以求得4月份进了这批T恤衫多少件；（2）①根据甲乙两店的利润相同，可以得到关于a、b的方程，然后化简，即可用含a的代数式表示b；②根据题意，可以得到利润与a的函数关系式，再根据乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量，可以得到a的取值范围，从而可以求得乙店利润的最大值．
【详解】解：（1）设3月份购进x件T恤衫，
，解得，x＝150，经检验，x＝150是原分式方程的解，则2x＝300，
答：4月份进了这批T恤衫300件；
（2）①每件T恤衫的进价为：39000÷300＝130（元），
（180﹣130）a+（180×0.8﹣130）（150﹣a）＝（180﹣130）a+（180×0.9﹣130）b+（180×0.7﹣130）（150﹣a﹣b）化简，得b；
②设乙店的利润为w元，
w＝（180﹣130）a+（180×0.9﹣130）b+（180×0.7﹣130）（150﹣a﹣b）＝54a+36b﹣600＝54a+36600＝36a+2100，
∵乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量，∴a≤b，即a，解得，a≤50，
∴当a＝50时，w取得最大值，此时w＝3900，答：乙店利润的最大值是3900元．
4．（2021 绍兴）如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量y（千瓦时）关于已行驶路程x（千米）的函数图象．（1）根据图象，直接写出蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶的路程．当0≤x≤150时，求1千瓦时的电量汽车能行驶的路程．（2）当150≤x≤200时，求y关于x的函数表达式，并计算当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量．
【分析】（1）由图象可知，蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶了150千米，据此即可求出1千瓦时的电量汽车能行驶的路程；（2）运用待定系数法求出y关于x的函数表达式，再把x＝180代入即可求出当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量．
【详解】解：（1）由图象可知，蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶了150千米．
1千瓦时的电量汽车能行驶的路程为：千米；
（2）设y＝kx+b（k≠0），把点（150，35），（200，10）代入，
得，∴，∴y＝﹣0.5x+110，
当x＝180时，y＝﹣0.5×180+110＝20，
答：当150≤x≤200时，函数表达式为y＝﹣0.5x+110，当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量为20千瓦时．
5．（2021 台州）如图1，某商场在一楼到二楼之间设有上、下行自动扶梯和步行楼梯．甲、乙两人从二楼同时下行，甲乘自动扶梯，乙走步行楼梯，甲离一楼地面的高度h（单位：m）与下行时间x（单位：s）之间具有函数关系hx+6，乙离一楼地面的高度y（单位：m）与下行时间x（单位：s）的函数关系如图2所示．（1）求y关于x的函数解析式；（2）请通过计算说明甲、乙两人谁先到达一楼地面．
【分析】（1）根据函数图象中的数据可以得到y关于x的函数解析式；
（2）分别令h＝0和y＝0求出相应的x的值，然后比较大小即可解答本题．
【详解】解：（1）设y关于x的函数解析式是y＝kx+b，
，解得，，∴yx+6，∴当y＝0时，x＝30，
即y关于x的函数解析式是yx+6（0≤x≤30）；
（2）当h＝0时，0x+6，得x＝20，当y＝0时，0x+6，得x＝30，
∵20＜30，∴甲先到达地面．
考向4. 一次函数的综合问题
【典例精析】
【例】（2021 上虞区期末）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，其坐标为（0，4），x轴上的一动点P从原点O出发，沿x轴正半轴方向运动，速度为每秒1个单位长度，以P为直角顶点在第一象限内作等腰Rt△APB．设P点的运动时间为t秒．（1）填空：当t＝2时，点B的坐标为　　．
（2）在P点的运动过程中，当AB∥x轴时，求t的值；（3）通过探索，发现无论P点运动到何处，点B始终在一直线上，试求出该直线的函数解析式．
【思路点拨】（1）将点P的坐标向右平移2个单位到达点O，此时，点A的坐标为：（﹣2，4），将点A围绕点O顺时针旋转90°，此时点B的坐标为：（4，2），将点B的坐标向右平移2个单位，即为此时的点B（6，2），即可求解；（2）过点B作BC⊥x轴于点C，如图所示．证明四边形ABCO为长方形，则AO＝BC＝4，则△APB为等腰直角三角形，即可求解；（3）证明△PAO≌△BPC（AAS）．则AP＝BP，AO＝PC，BC＝PO．点A（0，4），点P（t，0），点B（x，y），则PC＝AO＝4，BC＝PO＝t＝y，CO＝PC+PO＝4+y＝x，即可求解．
【答案】解：（1）将点P的坐标向右平移2个单位到达点O，此时，点A的坐标为：（﹣2，4），
将点A围绕点O顺时针旋转90°，此时点B的坐标为：（4，2），
将点B的坐标向右平移2个单位，即为此时的点B（6，2），故答案为：（6，2）；
（2）过点B作BC⊥x轴于点C，如图所示．
∵AO⊥x轴，BC⊥x轴，且AB∥x轴，∴四边形ABCO为长方形，∴AO＝BC＝4．
∵△APB为等腰直角三角形，∴AP＝BP，∠PAB＝∠PBA＝45°，∴∠OAP＝90°﹣∠PAB＝45°，
∴△AOP为等腰直角三角形，∴OA＝OP＝4，t＝4÷1＝4（秒）；
（3）∵△APB为等腰直角三角形，∴∠APO+∠BPC＝180°﹣90°＝90°．
又∵∠PAO+∠APO＝90°，∴∠PAO＝∠BPC．∠PAO＝∠BPC，
在△PAO和△BPC中，∠AOP＝∠PCB＝90°，∴△PAO≌△BPC（AAS）．
AP＝BP，∴AO＝PC，BC＝PO．∵点A（0，4），点P（t，0），点B（x，y），
∴PC＝AO＝4，BC＝PO＝t＝y，CO＝PC+PO＝4+y＝x，∴y＝x﹣4．
【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到正方形的性质、图形的旋转、三角形全等等，其中（1），利用旋转的观点比较容易．
【变式训练】
变式4-1. （2021·山东聊城市·中考真题）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A，C分别在x轴，y轴上，B，D两点坐标分别为B（﹣4，6），D（0，4），线段EF在边OA上移动，保持EF＝3，当四边形BDEF的周长最小时，点E的坐标为__________．
【答案】
【分析】先得出D点关于x轴的对称点坐标为H（0，-4），再通过转化，将求四边形BDEF的周长的最小值转化为求FG+BF的最小值，再利用两点之间线段最短得到当F、G、B三点共线时FG+BF的值最小，用待定系数法求出直线BG的解析式后，令y=0，即可求出点F的坐标，最后得到点E的坐标．
【详解】解：如图所示，∵D（0，4），∴D点关于x轴的对称点坐标为H（0，-4），∴ED=EH，
将点H向左平移3个单位，得到点G（-3，-4），∴EF=HG，EF∥HG，
∴四边形EFGH是平行四边形，∴EH=FG，∴FG =ED，
∵B（-4，6），∴BD=，
又∵EF＝3，∴四边形BDEF的周长=BD+DE+EF+BF=+FG+3+BF,
要使四边形BDEF的周长最小，则应使FG+BF的值最小，
而当F、G、B三点共线时FG+BF的值最小，设直线BG的解析式为：
∵B（-4，6），G（-3，-4），∴，∴，∴，
当y=0时，，∴，∴故答案为：．
【点睛】本题综合考查了轴对称的性质、最短路径问题、平移的性质、用待定系数法求一次函数的解析式等知识，解决问题的关键是“转化”，即将不同的线段之间通过转化建立相等关系，将求四边形的周长的最小值问题转化为三点共线和最短的问题等，本题蕴含了数形结合与转化的思想方法等．
变式4-2. （2021 鄞州区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+m过点A（5，﹣2）且分别与x轴、y轴交于点B、C，过点A画AD∥x轴，交y轴于点D．（1）求点B、C的坐标；
（2）在线段AD上存在点P，使BP+CP最小，求点P的坐标．
【思路点拨】（1）根据题意列方程即可得到结论；（2）过C作直线AD对称点Q，可得Q（0，﹣7），连结BQ，交AD与点P求得直线BQ的解析式，于是得到结论．
【答案】解：（1）∵y＝﹣x+m过点A（5，﹣2），
∴﹣2＝﹣5+m，∴m＝3，∴y＝﹣x+3，
令y＝0，∴x＝3，∴B（3，0），令x＝0，∴y＝3，∴C（0，3）；
（2）过C作直线AD对称点Q，可得Q（0，﹣7），连结BQ，交AD与点P
可得直线BQ：，令y′＝﹣2，∴，∴．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
变式4-3.（2021·辽宁沈阳·中考真题）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线经过点，与x轴交于点A，与y轴交于点B．线段平行于x轴，交直线于点D，连接，．（1）填空： __________．点A的坐标是（__________，__________）；（2）求证：四边形是平行四边形；（3）动点P从点O出发，沿对角线以每秒1个单位长度的速度向点D运动，直到点D为止；动点Q同时从点D出发，沿对角线以每秒1个单位长度的速度向点O运动，直到点O为止．设两个点的运动时间均为t秒．①当时，的面积是_______．②当点P，Q运动至四边形为矩形时，请直接写出此时t的值．
【答案】（1），5，0；（2）见解析；（3）①12；②或．
【分析】（1）代入点坐标即可得出值确定直线的解析式，进而求出点坐标即可；
（2）求出点坐标，根据，，即可证四边形是平行四边形；
（3）①作于，设出点的坐标，根据勾股定理计算出的长度，根据运动时间求出的长度即可确定的面积；
②根据对角线相等确定的长度，再根据、的位置分情况计算出值即可．
【详解】解：（1）直线经过点，，解得，
即直线的解析式为，当时，，，
（2）线段平行于轴，点的纵坐标与点一样，
又点在直线上，当时，，即，，
，，又，四边形是平行四边形；
（3）①作于，
点在直线上，设点的坐标为，
，，由勾股定理，得，
即，整理得或8（舍去），，
，当时，，，
②，当时，，当时，，
当点，运动至四边形为矩形时，，，
当时，，解得，
当时，，解得，
综上，当点，运动至四边形为矩形时的值为或．
【点睛】本题主要考查一次函数的性质，熟练掌握待定系数法求解析式，平行四边形的性质和矩形的性质是解题的关键．
【考点巩固训练】
1．（2021·江苏·二模）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（-m，m）（m＞0），过点P的直线AB与x轴负半轴交于点A，与直线y＝－x交于点B．若点A的坐标是（－6，0），且2AP＝3PB，则直线AB的函数表达式为______．
【答案】y＝
【分析】过点B作BE⊥OA于点E，过点P作PQ⊥OA于Q，由2AP=3PB得出AQ：QE=AP：PB=3：2，PQ：BE=PA：AB=3：5，求出OE、QE、AQ，利用OA=OE+QE+AQ=6即可求解．
【详解】解：过点B作BE⊥OA于点E，过点P作PQ⊥OA于Q，
由题意得：∠AOB=60°，∵PQ∥BE，∴AQ：QE=AP：PB=3：2，PQ：BE=PA：AB=3：5，
∵PQ=m，OQ=，∴BE=，在Rt△OBC中，OE=，
∴∴ ，解得：
∴，设直线AB的解析式为y=kx+b，
把A（-6，0），代入得，解得，
∴直线AB的解析式为y＝，故答案为y＝．
【点睛】本题主要考查的是一次函数图象与系数的关系、一次函数的性质，涉及到解直角三角形、平行线分线段成比例等知识点，综合性强，由一定的难度．
2．（2021·江苏姑苏·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．
（1）求的长和点C的坐标；（2）求直线的解析式．
【答案】（1）AB=5，C(8，0)；（2）
【分析】（1）先根据A、B两点是直线与两坐标轴的交点求出两点坐标，再由勾股定理求出AB的长，由图形翻折变换的性质得出AC=AB，故可得出C点坐标；（2）设点D的坐标为D(0，m)，由图形翻折变换的性质可知CD=BD，在Rt△OCD中由勾股定理可求出m的值，进而得出D点坐标，利用待定系数法即可求出直线CD的解析式．
【详解】解：（1）当x=0时，， B点的坐标为（0，4），OB=4，
当y=0,则，解得x=3，A点的坐标为（3，0），OA=3，AB =，
△DAB沿直线AD折叠，，，；
（2）设点，则，∴，
在中，，即，解得，，
设直线 的解析式为，则，解得，直线 的解析式为．
【点睛】本题考查了一次函数，勾股定理，折叠；熟知待定系数法求一次函数的解析式、勾股定理、折叠的性质，是解题的关键．
3．（2020·重庆中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线过点且与轴交于点，把点向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到点.过点且与平行的直线交轴于点.
（1）求直线的解析式；（2）直线与交于点，将直线沿方向平移，平移到经过点的位置结束，求直线在平移过程中与轴交点的横坐标的取值范围.
【答案】（1）（2）
【分析】（1）由题意先求出点A的坐标，再根据平移求得点C的坐标，由直线CD与y=2x平行，可设直线CD的解析式为y=2x+b，代入点C坐标利用待定系数法即可得；
（2）先求得点B坐标，根据直线平移后经过点B，可得平移后的解析式为y=2x+3，分别求得直线CD、直线BF与x轴的交点坐标即可得到平移过程中与x轴交点横坐标的取值范围.
【解析】（1）点在直线上， ，，
又点向左平移2个单位，又向上平移4个单位得到点， ，
直线与平行，设直线的解析式为，
又直线过点，∴2=6+b，解得b=-4，直线的解析式为；
（2）将代入中，得，即，
故平移之后的直线的解析式为，令，得，即，
将代入中，得，即，
平移过程中与轴交点的取值范围是：.
【点评】本题主要考查了一次函数的平移，待定系数法等，明确直线平移k值不变是解题的关键.
4．（2021·河北·石家庄市第二十八中学三模）已知直线：经过点与轴交于点，且与直线：的图象相交于点．（1）直接写出的值：（2）求直线的表达式；
（3）在轴上存在点，使得的面积为6，求点坐标．（4）过动点且垂直于轴的直线与、的交点分别为，．当点总在点上方时，直接写出的取值范围．
【答案】（1）2；（2）；（3）或；（4）
【分析】（1）将点C坐标代入求解即可；（2）利用待定系数法求解直线表达式即可；
（3）先求出点B坐标，再利用三角形的面积公式求出BD长，进而求解即可；
（4）由题意及直线、的表达式表示出点E、F的坐标，再由E的纵坐标大于F的纵坐标列出不等式，进而求解即可．
【详解】解：（1）由题意，将C代入得：=2，∴；
（2）将C，A代入得：，解得： ，∴直线表达式为：；
（3）当x=0时，y=0﹣2=﹣2，∴B（0，﹣2），
∵，∴，∴或；
（4）∵过动点且垂直于轴的直线与、的交点分别为E、F，∴，，
∵点E总在点F上方，∴，解得：．
【点睛】本题考查待定系数法求直线表达式、坐标与图形、解二元一次方程组、解一元一次不等式、求三角形的面积公式，熟练掌握待定系数法求函数表达式的方法，会利用数形结合思想解决问题是解答的关键．
5．（2021 柯桥区模拟）如图，在平面直角坐标系中，O是原点，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的正半轴上，tan∠BAO＝，且线段OB的长是方程x2﹣2x﹣8＝0的根．（1）求直线AB的函数表达式．（2）点E在y轴负半轴上，直线EC⊥AB，交线段AB于点C，交x轴于点D，S△DOE＝16．点F是直线CE上一点，分别过点E，F作x轴和y轴的平行线交于点G，将△EFG沿EF折叠，使点G的对应点落在坐标轴上，求点F的坐标．（3）在（2）的条件下，点M是DO的中点，点N，P，Q在直线BD或y轴上，是否存在点P，使四边形MNPQ是矩形？若存在，请画出示意图并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】（1）解方程求出OB，解直角三角形求出OA，可得A（﹣8，0），B（0，4），再利用待定系数法即可解决问题．（2）如图1中，设G的对应点为H，过点H作y轴的平行线IR，分别过E，F作x轴平行线与IR交于点I，R．可证△FHI∽△HER，推出＝＝＝2，设ER＝m，则IH＝2m，可得F（m﹣16，2m），再利用待定系数法即可解决问题．（3）分三种种情形分别求解：①如图3﹣1，当四边形MNPQ是矩形时．②如图3﹣2，当四边形MNPQ是矩形时，点N与原点重合．③如图3﹣3，当四边形MNPQ是矩形时．
【答案】解：（1）∵线段OB的长是方程x2﹣2x﹣8＝0的根，∴OB＝4，
又tan∠BAO＝＝，∴OA＝8，∴A（﹣8，0）．B（0，4），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，则有，解得∴直线AB：y＝x+4．
（2）如图1中，设G的对应点为H，过点H作y轴的平行线IR，分别过E，F作x轴平行线与IR交于点I，R．
∵直线EC⊥AB，S△DOE＝16，∴OD＝4，OE＝8，可得直线DE：y＝﹣2x﹣8，
∵∠GFE＝∠DEO，∴GE：GF＝EH：HF＝1：2
∵∠FHE＝∠I＝∠R＝90°，可证△FHI∽△HER，∴＝＝＝2，
设ER＝m，则IH＝2m，∴F（m﹣16，2m），
把点F坐标代入y＝﹣2x﹣8，得到：2m＝﹣2（m﹣16）﹣8，∴m＝6，∴F（﹣10，12）．
（3）如图3﹣1，当四边形MNPQ是矩形时，
∵OD＝OB＝4，∴∠OBD＝∠ODB＝45°，∴∠PNB＝∠ONM＝45°，
∴OM＝DM＝ON＝2，∴BN＝2，PB＝PN＝，∴P（﹣1，3）．
如图3﹣2，当四边形MNPQ是矩形时，点N与原点重合，
易证△DMQ是等腰直角三角形，OP＝MQ＝DM＝2，∴P（0，2）．
如图3﹣3，当四边形MNPQ是矩形时，
设PM交BD于R，则R（﹣1，3），∴P（0，6）．
如图3﹣4中，当QN是对角线时，P（2，6）．
综上所述，满足条件的点P坐标为（﹣1，3）或（0，2）或（0，6）或（2，6）．
【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了待定系数法，矩形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想解决问题，属于中考压轴题．
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第三章 函数 （浙江省专用）
第12节 一次函数的应用及综合问题
【考场演练】
一、选择题
1．（2020 台州中考真题）如图1，小球从左侧的斜坡滚下，到达底端后又沿着右侧斜坡向上滚，在这个过程中，小球的运动速度v（单位：m/s）与运动时间t（单位：s）的函数图象如图2，则该小球的运动路程y（单位：m）与运动时间t（单位：s）之间的函数图象大致是（　　）
A． B． C． D．
【分析】小球从左侧的斜坡滚下是匀变速运动，运动的路程y是t的二次函数，图象是先缓后陡，由此即可判断．
【详解】解：由题意小球在左侧时，V＝kt，∴y tkt2，
∴小球从左侧的斜坡滚下是匀变速运动，运动的路程y是t的二次函数，图象是先缓后陡，
在右侧上升时，情形与左侧相反，故选：C．
2．（2021 历城区期末）如图，一次函数y＝kx+b与y＝x+2的图象相交于点P（m，4），则关于x，y的二元一次方程组的解是（　　）
A． B．. C． D．
【思路点拨】先利用y＝x+2确定P点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断．
【答案】解：把P（m，4）代入y＝x+2得m+2＝4，解得m＝2，所以P点坐标为（2，4），
所以关于x，y的二元一次方程组的解是．故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
3．（2021·四川德阳·中考真题）关于x，y的方程组的解为，若点P（a，b）总在直线y＝x上方，那么k的取值范围是（　　）
A．k＞1 B．k＞﹣1 C．k＜1 D．k＜﹣1
【答案】B
【分析】将k看作常数，解方程组得到x，y的值，根据P在直线上方可得到b＞a，列出不等式求解即可．
【详解】解：解方程组可得，，
∵点P（a，b）总在直线y=x上方，∴b＞a，∴，解得k＞-1，故选：B．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，一次函数上点的坐标特征，解本题的关键是将k看作常数，根据点在一次函数上方列出不等式求解．
4．（2021·安徽瑶海·二模）若是关于的方程的解，则一次函数的图象与轴的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直线y=mx+n与x轴的交点的横坐标就是函数值为0时的方程的解，根据题意得到一次函数y=mx+n的图象与x轴的交点为（2，0），进而得到一次函数y=-mx-n的图象与x轴的交点为（2，0），由于一次函数y=-mx-n的图象向右平移一个单位得到y=-m（x-1）-n，即可求得一次函数y=-m（x-1）-n的图象与x轴的交点坐标．
【详解】解：∵方程的解为x=2，∴当x=2时mx+n=0；
∴一次函数y=mx+n的图象与x轴的交点为（2，0），∴一次函数y=-mx-n的图象与x轴的交点为（2，0），
∵一次函数y=-mx-n的图象向右平移一个单位得到y=-m（x-1）-n，
∴一次函数y=-m（x-1）-n的图象与x轴的交点坐标是（3，0），故选：B．
【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0 （a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值．
5．（2020·湖南湘潭·中考真题）如图，直线经过点，当时，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将代入，可得,再将变形整理，得，求解即可．
【详解】解：由题意将代入，可得，即，
整理得，，∴，由图像可知，∴，∴，故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数的图像和性质，解题关键在于灵活应用待定系数法和不等式的性质．
6．（2021·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测）平面直角坐标系中，已知直线与直线的交点在第二象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意易得，则有，然后根据交点在第二象限可进行分类求解．
【详解】解：由题意可联立直线与直线得：，解得：，
∵交点在第二象限∴，当，即，则，，∴与题意矛盾，
当且，即，则，∴与题意矛盾；
当，即，则有，，∴，符合题意；综上所述：；故选A．
【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质及分类讨论思想，熟练掌握一次函数的图象与性质及分类讨论思想是解题的关键．
7．（2021·广西·南宁市天桃实验学校三模）如图，在平面直角坐标系中，若折线与直线交（）有且仅有一个交点，则的取值范围是（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】B
【分析】先求出折线的最高点的坐标，然后直线经过最高点时，此时恰好有一个交点，然后分析直线与折线的那部分图像的交点问题即可得到答案.
【详解】解：∵直线的解析式为，∴直线经过点（-2，0），
∵折线的解析式为，∴折线的最高点坐标为（2，1）
∴当直线恰好经过（2，1）时，此时只有一个交点，∴，解得，
当时，直线与折线在的那部分图像平行，此时没有交点，
∴当时直线与折线在的那部分图像有一个交点，∴综上所述或，故选D.
【点睛】本题主要考查了一次函数图像的性质，解题的关键在于能够利用数形结合的思想进行求解.
8．（2021·湖南中考真题）如图，已知的面积为4，点P在边上从左向右运动（不含端点），设的面积为x，的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】过点作于点，先根据平行四边形的面积公式可得，从而可得的面积为2，再利用的面积减去的面积可得的值，然后根据求出的取值范围，最后根据一次函数的图象与性质即可得．
【详解】解：如图，过点作于点，
的面积为4，，的面积为，，即，
点在边上从左向右运动（不含端点），，即，解得，
则关于的函数图象大致是在内的一条线段，且随的增大而减小，故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的面积公式、一次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握平行四边形的面积公式是解题关键．
9．（2021 南浔区一模）已知A，B两地相距300千米，甲骑摩托车从A地出发匀速驶向B地．当甲行驶1h后，乙骑自行车以20km/h的速度从B地出发匀速驶向A地，甲到达B地后马上以原速按原路返回，直至甲追上乙．在此过程中，甲、乙两人之间的距离y（km）与甲行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示．下列说法：①甲最终追上乙时，乙骑行了7小时；②点P的纵坐标为240；③线段QM所在直线的解析式为y＝40x﹣160；④当x＝，，时，甲、乙两人之间相距60千米．其中说法正确的序号是（　　）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【思路点拨】由图可知Q点为迎面相遇点；点M处甲到达终点．从而先求出相遇时乙走的路程，然后用全程300千米减去乙走的路程，得甲走的路程，再除以甲走的时间，从而得甲的速度，从而可知点P坐标，从而排除选项A和B，再求出QM的解析式，从而排除C，得正确答案为D．
【答案】解：由图可知Q点为迎面相遇点，坐标为（4，0），从而此时甲走了4小时，乙走了3小时，则乙走了20×3＝60（千米），甲走了300﹣60＝240（千米），
∴甲的速度为：240÷4＝60（千米/时），300﹣60＝（240千米）
∴点P坐标为（1，240）故②正确，排除选项A、B；
由图象可知点M处甲到达终点，300÷60＝5（小时），20×4＝80（千米），故点M坐标：（5，80）；
设QM解析式为：y＝kx+b，把点Q（4，0）和M（5，80）代入得：
解得∴y＝80x﹣320，故③错误．故排除C．综上所述，只有D正确．故选：D．
【点睛】本题主要考查一次函数的实际应用能力，根据题意弄清图象的实际意义是解题的基础和关键．分析出点Q点M为什么位置至关重要．
10．（2021 婺城区一模）从甲地到乙地，先是一段平路，然后是一段上坡路，小明骑车从甲地出发，到达乙地后立即返回甲地，途中休息了一段时间，假设小明骑车在平路、上坡、下坡时分别保持匀速前进，已知小明骑车上坡的速度比在平路上的速度每小时少5km，下坡的速度比在平路上的速度每小时多5km．设小明出发xh后，到达离甲地ykm的地方，图中的折线OABCDE表示y与x之间的函数关系．①小明骑车在平路上的速度为15km/h;②小明途中休息了0.1h；③小明从甲地去乙地来回过程中，两次经过距离甲地5.5km的地方的时间间隔为0.15h.则以上说法中正确的个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【思路点拨】①由函数图象可知平路路段的路程为4.5千米，行驶的时间为0.3小时，从而可求得行驶的速度；②由速度＝路程÷时间就可以求出小明在平路上的速度，就可以求出返回的时间，进而得出途中休息的时间；③两次的时间间隔就是：去乙地时距离甲地5.5千米剩下的路程的时间加上返回时到达距离甲地5.5km时用的时间，根据路程和速度算出时间即可．
【答案】解：①小明骑车在平路上的速度为：4.5÷0.3＝15（km/h），故①正确；
②小明骑车在上坡路的速度为：15﹣5＝10（km/h），
小明骑车在下坡路的速度为：15+5＝20（km/h）．
∴小明在AB段上坡的时间为：（6.5﹣4.5）÷10＝0.2（h），
BC段下坡的时间为：（6.5﹣4.5）÷20＝0.1（h），
DE段平路的时间和OA段平路的时间相等为0.3h，
∴小明途中休息的时间为：1﹣0.3﹣0.2﹣0.1﹣0.3＝0.1（h），故②正确；
③小明第一次经过距离甲地5.5km的地方时是上坡，其距离乙地还需骑车：（6.5﹣5.5）÷10＝0.1h，
小明第二次经过距离甲地5.5km的地方时是下坡：（6.5﹣5.5）÷20＝0.05h，
则两次的时间间隔是：0.1+0.05＝0.15h，故③正确；综上所述：①②③都正确；故选：D．
【点睛】本题考查一次函数图象的实际应用，解题的关键是能够根据函数图象还原出实际的行程问题．
二、填空题
11．（2021·天津和平·二模）直线与轴交点坐标为__________．
【答案】
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，令y=0，求x，即为直线与x轴的交点坐标．
【详解】解：当y=0时，，解得：∴直线与轴交点坐标为故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合思想解题是关键．
12．（2020·贵州遵义·中考真题）如图，直线y＝kx+b（k、b是常数k≠0）与直线y＝2交于点A（4，2），则关于x的不等式kx+b＜2的解集为_____．
【答案】x＜4
【分析】结合函数图象，写出直线在直线y＝2下方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：∵直线y＝kx+b与直线y＝2交于点A（4，2），∴x＜4时，y＜2，
∴关于x的不等式kx+b＜2的解集为：x＜4．故答案为：x＜4．
【点睛】本题考查的是利用函数图像解不等式，理解函数图像上的点的纵坐标的大小对图像的影响是解题的关键．
13．（2021·广西贺州市·中考真题）如图，一次函数与坐标轴分别交于，两点，点，分别是线段，上的点，且，，则点的标为________．
【答案】
【分析】过P作PD⊥OC于D，先求出A，B 的坐标，得∠ABO=∠OAB=45°，再证明△PCB≌△OPA，从而求出BD＝2，OD＝4 2，进而即可求解．
【详解】如图所示，过P作PD⊥OC于D，∵一次函数与坐标轴分别交于A，两点，
∴A(-4，0)，B(0，4)，即：OA=OB，∴∠ABO=∠OAB=45°，∴△BDP是等腰直角三角形，
∵∠PBC＝∠CPO＝∠OAP＝45°，∴∠PCB＋∠BPC＝135°＝∠OPA＋∠BPC，∴∠PCB＝∠OPA，
又∵PC＝OP，∴△PCB≌△OPA（AAS），∴AO＝BP＝4，
∴Rt△BDP中，BD＝PD＝BP÷＝2，∴OD＝OB BD＝4 2，
∴P（-2，4 2）．故答案是：P（-2，4 2）．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及等腰三角形的性质，结合等腰三角形的性质，判定全等三角形是解决问题的关键．
14．（2021·湖南永州市·中考真题）如图，A，B两点的坐标分别为，在x轴上找一点P，使线段的值最小，则点P的坐标是_______________．
【答案】
【分析】连接点A，B交轴于点P，则 PA+PB的值最小，此时点P即为所求．
【详解】解：连接点A，B，设直线AB的解析式为
点，点解得直线AB的解析式为
当时，则解得故答案为：
【点睛】本题考查了两线段之和的最值问题，待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点等知识，熟练掌握解题方法是解题关键．
15．（2021·江苏·一模）已知都在一次函数的图像上，把函数图像平移一段距离后，若线段扫过的面积为12，则此时新图像对应的函数表达式是_____．
【答案】或
【分析】求得A、B的坐标，设平移的距离为h，线段AB扫过的面积为(xB-xA) h=12或(yB-yA) h=12，求得h的值即可求解．
【详解】解：∵A（a，2）、B（4，b）都在一次函数y=x+3的图象上，
∴2=a+3，b=×4+3，∴a=-2，b=5，∴A（-2，2），B（4，5），
设平移的距离为h，∵线段AB扫过的面积为12，
当沿y轴平移时，(xB-xA) =12，即(4+2) =12，解得h=2；
∴此时，新图象对应的函数表达式是y=x+1或y=x+5；
当沿x轴平移时，(yB-yA) =12，即(5-2) =12，解得h=4；
∴此时，新图象对应的函数表达式是y=x±4)+3，即y=x+1或y=x+5；故答案为：y=x+1或y=x+5．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象与几何变换，根据已知得出平移的距离是解题关键．
16．（2021·山西太原·二模）已知点在直线上，点在直线上，与关于轴对称．则和的交点坐标为__________．
【答案】
【分析】先求出点（2，0）关于y轴对称点，由对称性可知点（-2，0）在直线上，利用待定系数法求出直线表达式为，求出y轴交点坐标即可．
【详解】解： 点（2，0）关于y轴对称点为点（-2，0），
∵点在直线上，与关于轴对称，∴点（-2，0）在直线上，
又点在直线上，设直线表达式为，
代入点的坐标得，解方程组得，∴直线表达式为，
∵轴是与对称轴，∴和的交点在y轴上，∴当x=0时，，
∴和的交点坐标为（0，3）．故答案为：（0，3）．
【点睛】本题考查轴对称性质，关于y轴对称点的坐标求法，待定系数法求直线表达式，函数与坐标轴的交点坐标求法，掌握轴对称性质，关于y轴对称点的坐标求法，待定系数法求直线表达式，函数与坐标轴的交点坐标求法是解题关键．
17．（2021·湖北鄂州市·中考模拟）在平面直角坐标系中，点到直线的距离公式为：，则点到直线的距离为_____．
【答案】
【分析】根据题目中的距离公式即可求解．
【详解】解：∵，∴，
∴点到直线的距离为：，故答案为．
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
18．（2021·内蒙古呼伦贝尔市·中考真题）如图，点在直线上，点的横坐标为2，过点作轴，垂足为，以为边向右作正方形，延长交直线l于点；以为边向右作正方形，延长交直线l于点；……；按照这个规律进行下去，点的坐标为___________．
【答案】
【分析】由题意分别求出A1、A2、A3、A4……An、B1、B2、B3、B4……Bn、的坐标，根据规律进而可求解．
【详解】解：∵点在直线上，点的横坐标为2，过点作轴，垂足为，
∴，，∴A1B1=1，根据题意，OA2=2+1=3，∴，，
同理，，，，……
由此规律，可得：，，∴即，
故答案为：．
【点睛】本题考查一次函数的应用、正方形的性质、点的坐标规律，理解题意，结合图象和正方形的性质，探索点的坐标规律是解答的关键．
三、解答题
19．（2021·北京·101中学三模）在平面直角坐标系中，直线l1：y1＝2x与直线l2：y2＝ax+b（ab≠0）相交于点P（m，2）．（1）求m的值；（2）已知直线l3：y3＝bx+a．
①判断点P是否在直线l3上，并说明理由；②若a＜0，直接写出当y2＞y3时，x的取值范围．
【答案】（1）1；（2）①点P在直线l3上，理由见解析；②．
【分析】（1）把点代入，即可求得m的值；
（2）①由点在直线l2：上，得到，即可得到，把P的坐标代入即可判断；②由，即可得到，求得．
【详解】解：（1）∵点在直线l1：上，∴，解得：．
（2）①点P在直线l3上，理由如下：
∵点在直线l2：上∴，∴，
∴，∴，当x＝1时，y＝2﹣a+a＝2，故点P在直线y3上；
②∵，∴，＝，
∵，∴，∴．∴．P．
【点睛】本题考查的是知道一次函数解析式，判断点是否在直线上，以及点在直线上的意义、根据直线关系判断自变量的取值范围等，能够理解交点的意义等是解题的重点．
20．（2021·河北中考真题）下图是某机场监控屏显示两飞机的飞行图象，1号指挥机（看成点）始终以的速度在离地面高的上空匀速向右飞行，2号试飞机（看成点）一直保持在1号机的正下方，2号机从原点处沿仰角爬升，到高的处便立刻转为水平飞行，再过到达处开始沿直线降落，要求后到达处．
（1）求的关于的函数解析式，并直接写出2号机的爬升速度；
（2）求的关于的函数解析式，并预计2号机着陆点的坐标；
（3）通过计算说明两机距离不超过的时长是多少．
（注：（1）及（2）中不必写的取值范围）
【答案】（1）， （km/min）（2），（3）min
【分析】（1）根据图象分析得知，解析式为正比例函数，根据角度判断k值，即可求得．
（2）根据B、C两点坐标，待定系数法求表达式即可，着陆点令,求解即可．
（3）根据点Q的位置，观察图象，找到满足题意的范围，分类讨论计算即可．
【详解】解：（1）设线段OA所在直线的函数解析式为:
∵2号机从原点处沿仰角爬升∴ 又∵1号机飞到A点正上方的时候，飞行时间（min）
∴2号机的飞行速度为：（km/min）
（2） 设线段BC所在直线的函数表达式为：
∵2号机水平飞行时间为1min,同时1号机的水平飞行为1min,
点B的横坐标为：；点B的纵坐标为：4，即,
将,代入中，得： 解得：
∴令 ,解得： ∴2号机的着陆点坐标为
（3）当点Ｑ在时，要保证 ，则：；
当点Q在上时，,此时，满足题意,时长为（min）；
当点Q在上时，令 ，解得：，此时（min），
∴当时，时长为：（min）
【点睛】本题考查变量之间的关系、待定系数法求一次函数解析式，根据实际问题，数形结合讨论是解题的关键.
21．（2020 衢州）2020年5月16日，“钱塘江诗路”航道全线开通．一艘游轮从杭州出发前往衢州，线路如图1所示．当游轮到达建德境内的“七里扬帆”景点时，一艘货轮沿着同样的线路从杭州出发前往衢州．已知游轮的速度为20km/h，游轮行驶的时间记为t（h），两艘轮船距离杭州的路程s（km）关于t（h）的图象如图2所示（游轮在停靠前后的行驶速度不变）．
（1）写出图2中C点横坐标的实际意义，并求出游轮在“七里扬帆”停靠的时长．（2）若货轮比游轮早36分钟到达衢州．问：①货轮出发后几小时追上游轮？②游轮与货轮何时相距12km？
【分析】（1）根据图中信息解答即可．（2）①求出B，C，D，E的坐标，利用待定系数法求解即可．
②分三种情形种情形分别构建方程求解即可．
【详解】解：（1）C点横坐标的实际意义是游轮从杭州出发前往衢州共用了23h．
∴游轮在“七里扬帆”停靠的时长＝23﹣（420÷20）＝23﹣21＝2（h）．
（2）①280÷20＝14h，∴点A（14，280），点B（16，280），
∵36÷60＝0.6（h），23﹣0.6＝22.4，∴点E（22.4，420），
设BC的解析式为s＝20t+b，把B（16，280）代入s＝20t+b，可得b＝﹣40，
∴s＝20t﹣40（16≤t≤23），
同理由D（14，0），E（22.4，420）可得DE的解析式为s＝50t﹣700（14≤t≤22.4），
由题意：20t﹣40＝50t﹣700，解得t＝22，
∵22﹣14＝8（h），∴货轮出发后8小时追上游轮．
②相遇之前相距12km时，20t﹣40﹣（50t﹣700）＝12，解得t＝21.6．
相遇之后相距12km时，50t﹣700﹣（20t﹣40）＝12，解得t＝22.4，
当游轮在刚离开杭州12km时，此时根据图象可知货轮就在杭州，游轮距离杭州12km，所以此时两船应该也是相距12km，即在0.6h的时候，两船也相距12km
∴0.6h或21.6h或22.4h时游轮与货轮相距12km．
22．（2021·西藏·中考真题）已知第一象限点P(x，y)在直线y＝﹣x＋5上，点A的坐标为(4，0)，设△AOP的面积为S．
（1）当点P的横坐标为2时，求△AOP的面积；（2）当S＝4时，求点P的坐标；
（3）求S关于x的函数解析式，写出x的取值范围，并在图中画出函数S的图象．
【答案】（1）6；（2）(3，2)；（3）S＝﹣2x＋10（0＜x＜5），图见解析．
【分析】（1）求出点P坐标，再根据三角形面积公式进行计算即可；
（2）当S＝4时求出点P的纵坐标，进而确定其横坐标；
（3）根据三角形的面积计算方法以及一次函数关系式得出答案．
【详解】解：（1）把点P的横坐标为2代入得，y＝﹣2＋5＝3，∴点P（2，3），
∵点A的坐标为（4，0），∴，∴S△AOP＝×4×3＝6；
（2）当S＝4时，即×4×y＝4，∴y＝2，当y＝2时，即2＝﹣x＋5，解得x＝3，∴点P（3，2）；
（3）由题意得，S＝OA y＝2y＝2（﹣x＋5）＝﹣2x＋10，
当y＞0时，即0＜x＜5时，S＝2（﹣x＋5）＝﹣2x＋10，
∴S关于x的函数解析式为S＝﹣2x＋10（0＜x＜5），画出的图象如图所示．
【点睛】本题考查待定系数法求一次函数关系式，一次函数图象上点的坐标特征，将坐标转化为线段的长，利用三角形的面积公式得出关系式是解决问题的关键．
23．（2021·重庆中考模拟）函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，下面我们就一类特殊的函数展开探索．画函数的图象，经历分析解析式、列表、描点、连线过程得到函数图象如图所示；经历同样的过程画函数和的图象如图所示．
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
y … ﹣6 ﹣4 ﹣2 0 ﹣2 ﹣4 ﹣6 …
（1）观察发现：三个函数的图象都是由两条射线组成的轴对称图形；三个函数解折式中绝对值前面的系数相同，则图象的开口方向和形状完全相同，只有最高点和对称轴发生了变化．写出点A，B的坐标和函数的对称轴．
（2）探索思考：平移函数的图象可以得到函数和的图象，分别写出平移的方向和距离．
（3）拓展应用：在所给的平面直角坐标系内画出函数的图象．若点和在该函数图象上，且，比较，的大小．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.
【分析】（1）根据图形即可得到结论；（2）根据函数图形平移的规律即可得到结论；
（3）根据函数关系式可知将函数的图象向上平移1个单位，再向右平移3个单位得到函数的图象．根据函数的性质即可得到结论．
【详解】解：（1），，函数的对称轴为；
（2）将函数的图象向上平移2个单位得到函数的图象；
将函数的图象向左平移2个单位得到函数的图象；
（3）将函数的图象向上平移1个单位，再向右平移3个单位得到函数的图象．
所画图象如图所示，当时，．
【点睛】本题考查了一次函数与几何变换，一次函数的图象，一次函数的性质，平移的性质，正确的作出图形是解题的关键．
24．（2021 宁波）某风景区内的公路如图1所示，景区内有免费的班车，从入口处出发，沿该公路开往草甸，途中停靠塔林（上下车时间忽略不计）．第一班车上午8点发车，以后每隔10分钟有一班车从入口处发车．小聪周末到该风景区游玩，上午7：40到达入口处，因还没到班车发车时间，于是从景区入口处出发，沿该公路步行25分钟后到达塔林．离入口处的路程y（米）与时间x（分）的函数关系如图2所示．（1）求第一班车离入口处的路程y（米）与时间x（分）的函数表达式．
（2）求第一班车从入口处到达塔林所需的时间．（3）小聪在塔林游玩40分钟后，想坐班车到草甸，则小聪最早能够坐上第几班车？如果他坐这班车到草甸，比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了几分钟？（假设每一班车速度均相同，小聪步行速度不变）
【分析】（1）设y＝kx+b，运用待定系数法求解即可；（2）把y＝1500代入（1）的结论即可；
（3）设小聪坐上了第n班车，30﹣25+10（n﹣1）≥40，解得n≥4.5，可得小聪坐上了第5班车，再根据“路程、速度与时间的关系”解答即可．
【详解】解：（1）由题意得，可设函数表达式为：y＝kx+b（k≠0），
把（20，0），（38，2700）代入y＝kx+b，得，解得，
∴第一班车离入口处的路程y（米）与时间x（分）的函数表达为y＝150x﹣3000（20≤x≤38）；
（2）把y＝1500代入y＝150x﹣3000，解得x＝30，
30﹣20＝10（分），∴第一班车从入口处到达塔林所需时间10分钟；
（3）设小聪坐上了第n班车，则30﹣25+10（n﹣1）≥40，解得n≥4.5，∴小聪坐上了第5班车，
等车的时间为5分钟，坐班车所需时间为：1200÷150＝8（分），
步行所需时间：1200÷（1500÷25）＝20（分），20﹣（8+5）＝7（分），
∴比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了7分钟．
25．（2021·江苏常州市·中考真题）在平面直角坐标系中，对于A、两点，若在y轴上存在点T，使得，且，则称A、两点互相关联，把其中一个点叫做另一个点的关联点．已知点、，点在一次函数的图像上．
（1）①如图，在点、、中，点M的关联点是_______（填“B”、“C”或“D”）；
②若在线段上存在点的关联点，则点的坐标是_______；
（2）若在线段上存在点Q的关联点，求实数m的取值范围；
（3）分别以点、Q为圆心，1为半径作、．若对上的任意一点G，在上总存在点，使得G、两点互相关联，请直接写出点Q的坐标．
【答案】（1）①B；②；（2）或；（3）或．
【分析】由材料可知关联点的实质就是将点A绕y轴上点T顺时针或逆时针旋转90度的得到点．故先找到旋转90°坐标变化规律，再根据规律解答即可，（1）①根据关联点坐标变化规律列方程求解点T坐标，有解则是关联点；无解则不是；②关联点的纵坐标等于0，根据关联点坐标变化规律列方程求解即可；
（2）根据关联点坐标变化规律得出关联点，列不等式求解即可；
（3）根据关联点的变化规律可知圆心是互相关联点，由点E坐标求出点Q坐标即可．
【详解】解：在平面直角坐标系中，设，点，关联点，
将点A、点、点T向下平移个单位，点T对应点与原点重合，此时点A、点对应点、，
∵绕原点旋转90度的坐标变化规律为：点（x，y）顺时针旋转，对应点坐标为（y，-x）；逆时针旋转对应点坐标为（-y，x），∴绕原点旋转90度的坐标对应点坐标为或，
即顺时针旋转时，解得：，即关联点，
或逆时针旋转时，，解得：，即关联点，
即：在平面直角坐标系中，设，点，关联点坐标为或，
（1）①由关联点坐标变化规律可知，点关于在y轴上点的关联点坐标为：或，
若点是关联点，则或，解得：，即y轴上点或，故点是关联点；
若点是关联点，则或，无解，故点不是关联点；
若点是关联点，则或，无解，故点不是关联点；
故答案为：B；
②由关联点坐标变化规律可知，点关于点的关联点的坐标为或，
若，解得：，此时即点，不在线段上；
若，解得：，此时即点，在线段上；
综上所述：若在线段上存在点的关联点，则点
故答案为：；
（2）设点与点是关于点关联点，则点坐标为或，
又因为点在一次函数的图像上，即：，
点在线段上，点、，
当∴，∴，∴，
或，∴，当；
综上所述：当或时，在线段上存在点Q的关联点．
（3）对上的任意一点G，在上总存在点，使得G、两点互相关联，
故点E与点Q也是关于同一点的关联，设该点，则
设点与点是关于点关联点，则点坐标为或，
又因为在一次函数的图像上，即：，
∵点，若，解得：，即点，
若，解得：，即点，
综上所述：或．
【点睛】本题主要考查了坐标的旋转变换和一次函数图像上点的特征，解题关键是总结出绕点旋转90°的点坐标变化规律，再由规律列出方程或不等式求解．
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第三章 函数 （浙江省专用）
第12节 一次函数的应用及综合问题
【考场演练】
一、选择题
1．（2020 台州中考真题）如图1，小球从左侧的斜坡滚下，到达底端后又沿着右侧斜坡向上滚，在这个过程中，小球的运动速度v（单位：m/s）与运动时间t（单位：s）的函数图象如图2，则该小球的运动路程y（单位：m）与运动时间t（单位：s）之间的函数图象大致是（　　）
A． B． C． D．
2．（2021 历城区期末）如图，一次函数y＝kx+b与y＝x+2的图象相交于点P（m，4），则关于x，y的二元一次方程组的解是（　　）
A． B．. C． D．
3．（2021·四川德阳·中考真题）关于x，y的方程组的解为，若点P（a，b）总在直线y＝x上方，那么k的取值范围是（　　）
A．k＞1 B．k＞﹣1 C．k＜1 D．k＜﹣1
4．（2021·安徽瑶海·二模）若是关于的方程的解，则一次函数的图象与轴的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．（2020·湖南湘潭·中考真题）如图，直线经过点，当时，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测）平面直角坐标系中，已知直线与直线的交点在第二象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·广西·南宁市天桃实验学校三模）如图，在平面直角坐标系中，若折线与直线交（）有且仅有一个交点，则的取值范围是（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
8．（2021·湖南中考真题）如图，已知的面积为4，点P在边上从左向右运动（不含端点），设的面积为x，的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A．B．C．D．
9．（2021 南浔区一模）已知A，B两地相距300千米，甲骑摩托车从A地出发匀速驶向B地．当甲行驶1h后，乙骑自行车以20km/h的速度从B地出发匀速驶向A地，甲到达B地后马上以原速按原路返回，直至甲追上乙．在此过程中，甲、乙两人之间的距离y（km）与甲行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示．下列说法：①甲最终追上乙时，乙骑行了7小时；②点P的纵坐标为240；③线段QM所在直线的解析式为y＝40x﹣160；④当x＝，，时，甲、乙两人之间相距60千米．其中说法正确的序号是（　　）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
10．（2021 婺城区一模）从甲地到乙地，先是一段平路，然后是一段上坡路，小明骑车从甲地出发，到达乙地后立即返回甲地，途中休息了一段时间，假设小明骑车在平路、上坡、下坡时分别保持匀速前进，已知小明骑车上坡的速度比在平路上的速度每小时少5km，下坡的速度比在平路上的速度每小时多5km．设小明出发xh后，到达离甲地ykm的地方，图中的折线OABCDE表示y与x之间的函数关系．①小明骑车在平路上的速度为15km/h;②小明途中休息了0.1h；③小明从甲地去乙地来回过程中，两次经过距离甲地5.5km的地方的时间间隔为0.15h.则以上说法中正确的个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
11．（2021·天津和平·二模）直线与轴交点坐标为__________．
12．（2020·贵州遵义·中考真题）如图，直线y＝kx+b（k、b是常数k≠0）与直线y＝2交于点A（4，2），则关于x的不等式kx+b＜2的解集为_____．
13．（2021·广西贺州市·中考真题）如图，一次函数与坐标轴分别交于，两点，点，分别是线段，上的点，且，，则点的标为________．
14．（2021·湖南永州市·中考真题）如图，A，B两点的坐标分别为，在x轴上找一点P，使线段的值最小，则点P的坐标是_______________．
15．（2021·江苏·一模）已知都在一次函数的图像上，把函数图像平移一段距离后，若线段扫过的面积为12，则此时新图像对应的函数表达式是_____．
16．（2021·山西太原·二模）已知点在直线上，点在直线上，与关于轴对称．则和的交点坐标为__________．
17．（2021·湖北鄂州市·中考模拟）在平面直角坐标系中，点到直线的距离公式为：，则点到直线的距离为_____．
18．（2021·内蒙古呼伦贝尔市·中考真题）如图，点在直线上，点的横坐标为2，过点作轴，垂足为，以为边向右作正方形，延长交直线l于点；以为边向右作正方形，延长交直线l于点；……；按照这个规律进行下去，点的坐标为___________．
三、解答题
19．（2021·北京·101中学三模）在平面直角坐标系中，直线l1：y1＝2x与直线l2：y2＝ax+b（ab≠0）相交于点P（m，2）．（1）求m的值；（2）已知直线l3：y3＝bx+a．
①判断点P是否在直线l3上，并说明理由；②若a＜0，直接写出当y2＞y3时，x的取值范围．
20．（2021·河北中考真题）下图是某机场监控屏显示两飞机的飞行图象，1号指挥机（看成点）始终以的速度在离地面高的上空匀速向右飞行，2号试飞机（看成点）一直保持在1号机的正下方，2号机从原点处沿仰角爬升，到高的处便立刻转为水平飞行，再过到达处开始沿直线降落，要求后到达处．
（1）求的关于的函数解析式，并直接写出2号机的爬升速度；
（2）求的关于的函数解析式，并预计2号机着陆点的坐标；
（3）通过计算说明两机距离不超过的时长是多少．
（注：（1）及（2）中不必写的取值范围）
21．（2020 衢州）2020年5月16日，“钱塘江诗路”航道全线开通．一艘游轮从杭州出发前往衢州，线路如图1所示．当游轮到达建德境内的“七里扬帆”景点时，一艘货轮沿着同样的线路从杭州出发前往衢州．已知游轮的速度为20km/h，游轮行驶的时间记为t（h），两艘轮船距离杭州的路程s（km）关于t（h）的图象如图2所示（游轮在停靠前后的行驶速度不变）．
（1）写出图2中C点横坐标的实际意义，并求出游轮在“七里扬帆”停靠的时长．（2）若货轮比游轮早36分钟到达衢州．问：①货轮出发后几小时追上游轮？②游轮与货轮何时相距12km？
22．（2021·西藏·中考真题）已知第一象限点P(x，y)在直线y＝﹣x＋5上，点A的坐标为(4，0)，设△AOP的面积为S．
（1）当点P的横坐标为2时，求△AOP的面积；（2）当S＝4时，求点P的坐标；
（3）求S关于x的函数解析式，写出x的取值范围，并在图中画出函数S的图象．
23．（2021·重庆中考模拟）函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，下面我们就一类特殊的函数展开探索．画函数的图象，经历分析解析式、列表、描点、连线过程得到函数图象如图所示；经历同样的过程画函数和的图象如图所示．
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
y … ﹣6 ﹣4 ﹣2 0 ﹣2 ﹣4 ﹣6 …
（1）观察发现：三个函数的图象都是由两条射线组成的轴对称图形；三个函数解折式中绝对值前面的系数相同，则图象的开口方向和形状完全相同，只有最高点和对称轴发生了变化．写出点A，B的坐标和函数的对称轴．
（2）探索思考：平移函数的图象可以得到函数和的图象，分别写出平移的方向和距离．
（3）拓展应用：在所给的平面直角坐标系内画出函数的图象．若点和在该函数图象上，且，比较，的大小．
24．（2021 宁波）某风景区内的公路如图1所示，景区内有免费的班车，从入口处出发，沿该公路开往草甸，途中停靠塔林（上下车时间忽略不计）．第一班车上午8点发车，以后每隔10分钟有一班车从入口处发车．小聪周末到该风景区游玩，上午7：40到达入口处，因还没到班车发车时间，于是从景区入口处出发，沿该公路步行25分钟后到达塔林．离入口处的路程y（米）与时间x（分）的函数关系如图2所示．（1）求第一班车离入口处的路程y（米）与时间x（分）的函数表达式．
（2）求第一班车从入口处到达塔林所需的时间．（3）小聪在塔林游玩40分钟后，想坐班车到草甸，则小聪最早能够坐上第几班车？如果他坐这班车到草甸，比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了几分钟？（假设每一班车速度均相同，小聪步行速度不变）
25．（2021·江苏常州市·中考真题）在平面直角坐标系中，对于A、两点，若在y轴上存在点T，使得，且，则称A、两点互相关联，把其中一个点叫做另一个点的关联点．已知点、，点在一次函数的图像上．
（1）①如图，在点、、中，点M的关联点是_______（填“B”、“C”或“D”）；
②若在线段上存在点的关联点，则点的坐标是_______；
（2）若在线段上存在点Q的关联点，求实数m的取值范围；
（3）分别以点、Q为圆心，1为半径作、．若对上的任意一点G，在上总存在点，使得G、两点互相关联，请直接写出点Q的坐标．
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第三章 函数 （浙江省专用）
第12节 一次函数的应用及综合问题
【考试要求】
1.理解一次函数与方程（组）的关系，能利用一次函数求方程（组）的解；
2.理解一次函数与不等式（组）的关系，会利用一次函数的图象、性质解决不等式的有关问题；
3.会利用一次函数的性质解决实际问题.
4.一次函数与其他知识的综合运用
【考情预测】
一次函数的应用在浙江中考中年年考查，总分值为10分左右，预计2022年各地中考一定还会考，一般小题的形式考察一次函数与方程（不等式）的关系，大题主要以应用题或一次函数与几何图形综合。.
【考点梳理】
1．一元一次方程kx＋b＝0与一次函数y＝kx＋b的关系：一元一次方程kx＋b＝0的解是一次函数y＝kx＋b在y＝0时所对应的x的值．
2．一元一次不等式kx＋b>0(或kx＋b<0)与一次函数y＝kx＋b的关系：一元一次不等式kx＋b>0(或kx＋b<0)的解即为一次函数y＝kx＋b在y>0(或y<0)时所对应的x的取值范围．
3．二元一次方程组与一次函数图象的关系：二元一次方程组的解即为一次函数y＝k1x＋b1与一次函数y＝k2x＋b2的图象的交点坐标．
4.一次函数在现实生活中有着广泛的应用，在解答一次函数的应用题时，应从给定的信息中抽象出一次函数关系，理清哪个是自变量，哪个是自变量的函数，确定出一次函数，再利用一次函数的图象与性质求解，同时要注意自变量的取值范围．解题时常用到建模思想和函数思想．
【重难点突破】
考向1. 一次函数与方程（组）
【典例精析】
【例】（2021·广西梧州·中考真题）如图，在同一平面直角坐标系中，直线l1：yx与直线l2：y＝kx+3相交于点A，则方程组的解为 ___．
【变式训练】
变式1-1．（2020 湖州 中考真题）已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+2和直线yx+2分别交x轴于点A和点B．则下列直线中，与x轴的交点不在线段AB上的直线是（　　）
A．y＝x+2 B．yx+2 C．y＝4x+2 D．yx+2
变式1-2．（2021 衢州中考模拟）已知一次函数y1＝2x+m与y2＝2x+n（m≠n）的图象如图所示，则关于x与y的二元一次方程组的解的个数为（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
变式1-3．（2021 乐清市期中）在直角坐标系中，横纵坐标都是整数的点称为整点，设k为整数，当直线y＝x﹣3与y＝kx+k的交点为整数时，k的值可以取（　　）
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
【考点巩固训练】
1．（2021 鹿城区模拟）如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴相交于点（﹣2，0），与y轴相交于点（0，3），则关于x的方程kx＝b的解是　 　．
2．（2021·山西·模拟预测）如图是一次函数的图象，根据图象可直接写出方程的解为，这种解题方法体现的数学思想是（ ）
A．数形结合思想 B．转化思想 C．分类讨论思想 D．函数思想
3．（2020·山东济宁·中考真题）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线y=x+5和直线y=ax+b,相交于点P ,根据图象可知，方程x+5=ax+b的解是（ ）
A．x=20 B．x=5 C．x=25 D．x=15
4．（2021·广西贺州市·中考真题）直线（）过点，，则关于的方程的解为（ ）
A． B． C． D．
5.（2021 苍南县一模）一次函数y1＝x+1与y2＝﹣2x+4图象交点的横坐标是（　　）
A．4 B．2 C．1 D．0
6．（2021 西湖区一模）过（﹣3，0），（0，﹣5）的直线与以下直线的交点在第三象限的是（　　）
A．x＝4 B．x＝﹣4 C．y＝4 D．y＝﹣4
考向2. 一次函数与不等式（组）
【典例精析】
【例】（2021·福建中考真题）如图，一次函数的图象过点，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
变式2-1. （2021 杭州期末）如图，函数y1＝mx和y2＝x+3的图象相交于点A（﹣1，2），则关于x的不等式mx＞x+3的解集是（　　）
A．x＜﹣1 B．x＞﹣1 C．x＜﹣2 D．x＞﹣2
变式2-2. （2021·广东·深圳市南山外国语学校（集团）一模）如图，直线与交点的横坐标为．则关于的不等式的解集为______．
变式2-3. 4（2021 余杭区期末）已知一次函数y1＝kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象过A（﹣1，3），B（2，0）．（1）求y1函数的表达式，并在图中画出该函数图象．（2）若函数y＝mx+n（m，n是常数，m＞0）的图象过B（2，0），求当y1＜y2时x的取值范围．
【考点巩固训练】
1．（2021·湖南娄底市·中考真题）如图，直线和与x轴分别相交于点，点，则解集为（ ）
A． B． C． D．或
2．（2021·湖北鄂州市·中考真题）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线与直线相交于点．根据图象可知，关于的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021 吴兴区期末）如图，直线y＝kx+b与直线y＝3x﹣2相交于点（，﹣），则不等式3x﹣2＜kx+b的解为（　　）
A．x＞ B．x＜ C．x＞﹣ D．x＜﹣
4．（2021 海曙区期末）如图，直线y1＝kx+b过点A（0，3），且与直线y2＝mx交于点P（1，m），则不等式组mx＞kx+b＞mx﹣2的解集是（　　）
A． B． C． D．1＜x＜2
5．（2021 秀洲区期末）观察图，可以得出不等式组的解集是 （　　）
A．x＜4 B．x＜﹣1 C．﹣1＜x＜0 D．﹣1＜x＜4
考向3. 一次函数的实际应用
【典例精析】
【例】（2021 丽水）李师傅将容量为60升的货车油箱加满后，从工厂出发运送一批物资到某地．行驶过程中，货车离目的地的路程s（千米）与行驶时间t（小时）的关系如图所示（中途休息、加油的时间不计）．当油箱中剩余油量为10升时，货车会自动显示加油提醒．设货车平均耗油量为0.1升/千米，请根据图象解答下列问题：（1）直接写出工厂离目的地的路程；（2）求s关于t的函数表达式；（3）当货车显示加油提醒后，问行驶时间t在怎样的范围内货车应进站加油？
【变式训练】
变式3-1.（2021 绍兴）Ⅰ号无人机从海拔10m处出发，以10m/min的速度匀速上升，Ⅱ号无人机从海拔30m处同时出发，以a（m/min）的速度匀速上升，经过5min两架无人机位于同一海拔高度b（m）．无人机海拔高度y（m）与时间x（min）的关系如图．两架无人机都上升了15min．（1）求b的值及Ⅱ号无人机海拔高度y（m）与时间x（min）的关系式；
（2）问无人机上升了多少时间，Ⅰ号无人机比Ⅱ号无人机高28米．
变式3-2.（2021 温州）某公司生产的一种营养品信息如表．已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克．
营养品信息表
营养成份 每千克含铁42毫克
配料表 原料 每千克含铁
甲食材 50毫克
乙食材 10毫克
规格 每包食材含量 每包单价
A包装 1千克 45元
B包装 0.25千克 12元
（1）问甲、乙两种食材每千克进价分别是多少元？（2）该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完．①问每日购进甲、乙两种食材各多少千克？②已知每日其他费用为2000元，且生产的营养品当日全部售出．若A的数量不低于B的数量，则A为多少包时，每日所获总利润最大？最大总利润为多少元？
变式3-3.（2020 金华）某地区山峰的高度每增加1百米，气温大约降低0.6℃，气温T（℃）和高度h（百米）的函数关系如图所示．请根据图象解决下列问题：（1）求高度为5百米时的气温；（2）求T关于h的函数表达式；（3）测得山顶的气温为6℃，求该山峰的高度．
【考点巩固训练】
1．（2019 衢州 中考真题）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB的中点，点P从点E出发，沿E→A→D→C移动至终点C．设P点经过的路径长为x，△CPE的面积为y，则下列图象能大致反映y与x函数关系的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2020 宁波）A，B两地相距200千米．早上8：00货车甲从A地出发将一批物资运往B地，行驶一段路程后出现故障，即刻停车与B地联系．B地收到消息后立即派货车乙从B地出发去接运甲车上的物资．货车乙遇到甲后，用了18分钟将物资从货车甲搬运到货车乙上，随后开往B地．两辆货车离开各自出发地的路程y（千米）与时间x（小时）的函数关系如图所示．（通话等其他时间忽略不计）（1）求货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程y关于x的函数表达式．（2）因实际需要，要求货车乙到达B地的时间比货车甲按原来的速度正常到达B地的时间最多晚1个小时，问货车乙返回B地的速度至少为每小时多少千米？
3．（2020 温州）某经销商3月份用18000元购进一批T恤衫售完后，4月份用39000元购进一批相同的T恤衫，数量是3月份的2倍，但每件进价涨了10元．（1）4月份进了这批T恤衫多少件？
（2）4月份，经销商将这批T恤衫平均分给甲、乙两家分店销售，每件标价180元．甲店按标价卖出a件以后，剩余的按标价八折全部售出；乙店同样按标价卖出a件，然后将b件按标价九折售出，再将剩余的按标价七折全部售出，结果利润与甲店相同．①用含a的代数式表示b．②已知乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量，请你求出乙店利润的最大值．
4．（2021 绍兴）如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量y（千瓦时）关于已行驶路程x（千米）的函数图象．（1）根据图象，直接写出蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶的路程．当0≤x≤150时，求1千瓦时的电量汽车能行驶的路程．（2）当150≤x≤200时，求y关于x的函数表达式，并计算当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量．
5．（2021 台州）如图1，某商场在一楼到二楼之间设有上、下行自动扶梯和步行楼梯．甲、乙两人从二楼同时下行，甲乘自动扶梯，乙走步行楼梯，甲离一楼地面的高度h（单位：m）与下行时间x（单位：s）之间具有函数关系hx+6，乙离一楼地面的高度y（单位：m）与下行时间x（单位：s）的函数关系如图2所示．（1）求y关于x的函数解析式；（2）请通过计算说明甲、乙两人谁先到达一楼地面．
考向4. 一次函数的综合问题
【典例精析】
【例】（2021 上虞区期末）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，其坐标为（0，4），x轴上的一动点P从原点O出发，沿x轴正半轴方向运动，速度为每秒1个单位长度，以P为直角顶点在第一象限内作等腰Rt△APB．设P点的运动时间为t秒．（1）填空：当t＝2时，点B的坐标为　　．
（2）在P点的运动过程中，当AB∥x轴时，求t的值；（3）通过探索，发现无论P点运动到何处，点B始终在一直线上，试求出该直线的函数解析式．
【变式训练】
变式4-1. （2021·山东聊城市·中考真题）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A，C分别在x轴，y轴上，B，D两点坐标分别为B（﹣4，6），D（0，4），线段EF在边OA上移动，保持EF＝3，当四边形BDEF的周长最小时，点E的坐标为__________．
变式4-2. （2021 鄞州区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+m过点A（5，﹣2）且分别与x轴、y轴交于点B、C，过点A画AD∥x轴，交y轴于点D．（1）求点B、C的坐标；
（2）在线段AD上存在点P，使BP+CP最小，求点P的坐标．
变式4-3.（2021·辽宁沈阳·中考真题）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线经过点，与x轴交于点A，与y轴交于点B．线段平行于x轴，交直线于点D，连接，．（1）填空： __________．点A的坐标是（__________，__________）；（2）求证：四边形是平行四边形；（3）动点P从点O出发，沿对角线以每秒1个单位长度的速度向点D运动，直到点D为止；动点Q同时从点D出发，沿对角线以每秒1个单位长度的速度向点O运动，直到点O为止．设两个点的运动时间均为t秒．①当时，的面积是_______．②当点P，Q运动至四边形为矩形时，请直接写出此时t的值．
【考点巩固训练】
1．（2021·江苏·二模）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（-m，m）（m＞0），过点P的直线AB与x轴负半轴交于点A，与直线y＝－x交于点B．若点A的坐标是（－6，0），且2AP＝3PB，则直线AB的函数表达式为______．
2．（2021·江苏姑苏·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．（1）求的长和点C的坐标；（2）求直线的解析式．
3．（2020·重庆中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线过点且与轴交于点，把点向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到点.过点且与平行的直线交轴于点.（1）求直线的解析式；（2）直线与交于点，将直线沿方向平移，平移到经过点的位置结束，求直线在平移过程中与轴交点的横坐标的取值范围.
4．（2021·河北·石家庄市第二十八中学三模）已知直线：经过点与轴交于点，且与直线：的图象相交于点．（1）直接写出的值：（2）求直线的表达式；
（3）在轴上存在点，使得的面积为6，求点坐标．（4）过动点且垂直于轴的直线与、的交点分别为，．当点总在点上方时，直接写出的取值范围．
5．（2021 柯桥区模拟）如图，在平面直角坐标系中，O是原点，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的正半轴上，tan∠BAO＝，且线段OB的长是方程x2﹣2x﹣8＝0的根．（1）求直线AB的函数表达式．（2）点E在y轴负半轴上，直线EC⊥AB，交线段AB于点C，交x轴于点D，S△DOE＝16．点F是直线CE上一点，分别过点E，F作x轴和y轴的平行线交于点G，将△EFG沿EF折叠，使点G的对应点落在坐标轴上，求点F的坐标．（3）在（2）的条件下，点M是DO的中点，点N，P，Q在直线BD或y轴上，是否存在点P，使四边形MNPQ是矩形？若存在，请画出示意图并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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