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第三章 函数 （浙江省专用）
第13节 反比例函数及其应用
【考试要求】
1.理解反比例函数的定义，掌握反比例函数的表达式，能根据条件确定反比例函数的表达式；
2.能画出反比例函数的图象，并根据图象理解反比例函数的性质；
3.能利用反比例函数模型解决生活实际问题.
4.会解决反比例函数与一次函数的综合题
【考情预测】
反比例函数也是非常重要的函数，年年都会考，总分值为15分左右，预计2022年各地中考一定还会考，反比例函数与一次函数结合出现在解答题中是各地中考必考的一个解答题，反比例函数的图象与性质和平面几何的知识结合、反比例函数中|k|的几何意义等也会是小题考察的重点。
【考点梳理】
1．反比例函数的概念：我们把形如y＝(k为常数，k≠0)的函数叫做反比例函数．自变量x≠0．
反比例函数有三种表达形式：①y＝(k为常数，k≠0)；②y＝kx－1(k为常数，k≠0)；③xy＝k(k为常数，k≠0)．
2．反比例函数的图象：反比例函数的图象是由两个分支组成的曲线，且不与两坐标轴相交．
3．反比例函数的性质：
(1)当k＞0时，图象的两个分支位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小．
(2)当k＜0时，图象的两个分支位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．
(3)其图象既是关于原点对称的中心对称图形，又是轴对称图形．
4、反比例函数中|k|的几何意义
1）反比例函数图象中有关图形的面积
5、反比例函数与一次函数的综合
1）涉及自变量取值范围型：当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标。针对时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围.例如，如下图，当时，x的取值范围为或；同理，当时，x的取值范围为或．
2）求一次函数与反比例函数的交点坐标
（1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定.
①k值同号，两个函数必有两个交点；②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点；
（2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况．
6、反比例函数的实际应用
解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，特别注意自变量的取值范围．
【重难点突破】
考向1. 反比例函数的定义及表达式
【典例精析】
【例】（2021 温州 中考模拟）验光师测得一组关于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）的对应数据如下表，根据表中数据，可得y关于x的函数表达式为（　　）
近视眼镜的度数y（度） 200 250 400 500 1000
镜片焦距x（米） 0.50 0.40 0.25 0.20 0.10
A．y B．y C．y D．y
【分析】直接利用已知数据可得xy＝100，进而得出答案．
【详解】解：由表格中数据可得：xy＝100，故y关于x的函数表达式为：y．故选：A．
【变式训练】
变式1-1．（2021 嘉兴期末）下列y关于x的函数中，属于反比例函数的是（　　）
A．y＝﹣3x B．y＝ C．y＝ D．y＝
【思路点拨】反比例函数的一般形式是（k≠0）．
【答案】解：A、该函数属于正比例函数，故本选项错误．
B、该函数属于正比例函数，故本选项错误．
C、该函数是y关于x+1的函数，故本选项错误．
D、该函数属于反比例函数，故本选项正确．故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，注意区分：正比例函数的一般形式是y＝kx（k≠0），反比例函数的一般形式是（k≠0）．
变式1-2．（2021 余杭区期末）已知一个函数的图象与反比例函数y＝的图象关于y轴对称，则这个函数的表达式是　 　．
【思路点拨】直接根据平面直角坐标系中，点关于x轴、y轴轴对称的特点得出答案．
【答案】解：反比例函数y＝的图象关于y轴对称的函数x互为相反数，y不变．得y＝＝﹣．
故答案为y＝﹣．
【点睛】本题考查根据反比例函数的图象的变换求双曲线的解析式．
变式1-3．（2021 长兴县期末）已知x与y成反比例，且当x＝﹣时，y＝
（1）求y关于x的函数表达式；（2）当x＝﹣时，y的值是多少？
【思路点拨】（1）设xy＝k（k为常数，k≠0），把x与y的值代入求出k的值，即可确定出解析式；
（2）把x的值代入解析式求出y的值即可．
【答案】解：（1）∵x与y成反比例，∴可设xy＝k（k为常数，k≠0），
∵当x＝﹣时，y＝，∴解得k＝﹣1，所以y关于x的表达式y＝﹣；
（2）当x＝﹣时，y＝．
【点睛】此题考查了待定系数法求反比例解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
【考点巩固训练】
1．（2021·湖北宜昌市·中考真题）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（单位：）是气体体积（单位：）的反比例函数：，能够反映两个变量和函数关系的图象是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据实际意义以及函数的解析式，根据函数的类型，以及自变量的取值范围即可进行判断．
【详解】解：当m一定时，与V之间成反比例函数，则函数图象是双曲线，同时自变量是正数．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．
2．（2021·上海市实验学校二模）下列函数中，为反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据反比例函数的定义即可得出答案.
【详解】根据反比例函数解析式的三种形式：，，，其中；
A. 为正比例函数，错误；B. 为正比例函数，错误；
C. 不是反比例函数，错误；D. 是反比例函数，正确；故答案选D.
【点睛】本题考查反比例函数的判断，熟练掌握函数解析式的三种形式是本题解题关键.
3．（2021·广东·西关外国语学校一模）反比例函数的图象上有一点P（2，n），将点P向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到点Q，若点Q也在该函数的图象上，则k＝___．
【答案】2
【分析】先利用点平移的坐标变换规律确定Q（1，n+1），再根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k＝2n＝n+1，然后求出n即可得到k的值．
【详解】解：∵点P（2，n），将点P向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到点Q，∴Q（1，n+1），
∴P（2，n），Q（1，n+1）都在反比例函数y＝的图象上，∴k＝2n＝n+1，解得n＝1，∴k＝2．
故答案为2．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数为常数，的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值，即．也考查了平移．
4．（2021·陕西白水·中考模拟）已知，，，都在反比例函数的图象上．若，则的值为___．
【答案】-9．
【分析】根据反比例函数上点的特征得到、分别与、的关系，再把它们相乘，最后把代入即可．
【详解】将点A和B代入反比例函数得：，，所以．答案：-9
【点睛】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征，图像为双曲线，图像上点的横、纵坐标的积是定值．
考向2. 反比例函数的图象与性质
【典例精析】
【例】（2021 嘉兴 中考真题）已知三个点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）在反比例函数y的图象上，其中x1＜x2＜0＜x3，下列结论中正确的是（　　）
A．y2＜y1＜0＜y3 B．y1＜y2＜0＜y3 C．y3＜0＜y2＜y1 D．y3＜0＜y1＜y2
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据x1＜x2＜0＜x3即可得出结论
【详解】解：∵反比例函数y中，k＝2＞0，
∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小．
∵x1＜x2＜0＜x3，∴点（x1，y1），（x2，y2）两点在第三象限，点（x3，y3）在第一象限，
∴y2＜y1＜0＜y3．故选：A．
【变式训练】
变式2-1. （2021 富阳区期末）已知反比例函数y＝，则下列结论正确的是（　　）
A．其图象分别位于第一、三象限 B．当x＞0时，y随x的增大而减小
C．若点P（m，n）在它的图象上，则点Q（n，m）也在它的图象上
D．若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在该函数图象上，且x1＜x2，则y1＜y2
【思路点拨】根据反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质解答．
【答案】解：∵k＝﹣4＜0时∵图象在二、四象限，所以A错误；
∵k＝﹣4＜0，图象在二、四象限，当x＞0时，y随x的增大而增大，所以B错误；
∵y＝，∴﹣4＝xy，∵点P（m，n）在它的图象上，∴﹣4＝mn，
又∵点Q（n，m）的横纵坐标值的乘积nm＝mn＝﹣4，∴点Q也在函数图象上，故C正确
∵k＝﹣4＜0时，反比例函数图象在各象限内y随x的增大而增大，而D选项中的点A（x1，y1），B（x2，y2）并不确定是否在同一象限内，所以y1、y2的大小不能粗糙的决定．故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟悉反比例函数的性质是解题的关键．
变式2-2. （2021 鄞州区期末）已知反比例函数y＝﹣，利用图象可知当y≤4时自变量x的取值范围是（　　）
A．x＜﹣3 B．x≥﹣3 C．x≤﹣3或x＞0 D．x≥3或x＜0
【思路点拨】根据函数解析式中的系数推知函数图象经过第二、四象限，结合函数图象求得当y≤4时自变量x的取值范围．
【答案】解：∵反比例函数y＝﹣的大致图象如图所示，
∴当y≤4时自变量x的取值范围是x≤﹣3或x＞0．故选：C．
【点睛】考查了反比例函数的性质，解题时，要注意自变量x的取值范围有两部分组成．
变式2-3. （2021 金华 中考真题）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数y的图象上．若x1＜0＜x2，则（　　）
A．y1＜0＜y2 B．y2＜0＜y1 C．y1＜y2＜0 D．y2＜y1＜0
【分析】由k＜0，双曲线在第二，四象限，根据x1＜0＜x2即可判断点A在第二象限，点B在第四象限，从而判定y2＜0＜y1．
【详解】解：∵k＝﹣12＜0，∴双曲线在第二，四象限，
∵x1＜0＜x2，∴点A在第二象限，点B在第四象限，∴y2＜0＜y1；故选：B．
【考点巩固训练】
1．（2020 金华 中考真题）已知点（﹣2，a），（2，b），（3，c）在函数y（k＞0）的图象上，则下列判断正确的是（　　）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．c＜b＜a
【分析】根据反比例函数的性质得到函数y（k＞0）的图象分布在第一、三象限，在每一象限，y随x的增大而减小，则b＞c＞0，a＜0．
【详解】解：∵k＞0，
∴函数y（k＞0）的图象分布在第一、三象限，在每一象限，y随x的增大而减小，
∵﹣2＜0＜2＜3，∴b＞c＞0，a＜0，∴a＜c＜b．故选：C．
2．（2021 萧山区期中）已知点A（1，m），B（2，m﹣n）（n＞0）在同一个函数的图象上，则这个函数可能是（　　）
A．y＝x B．y＝﹣ C．y＝x2 D．y＝﹣x2
【思路点拨】由B（1，m），C（2，m﹣n）可知，在y轴的右侧，y随x的增大而减小，据此判断即可．
【答案】解：∵点A（1，m），B（2，m﹣n）（n＞0）在同一个函数的图象上，
∴在y轴的右侧，y随x的增大而减小，A、对于函数y＝x，y随x的增大而增大，故不可能；
B、对于函数y＝﹣，图象位于二、四象限，每个象限内y随x的增大而增大，故不可能；
C、对于函数y＝x2，当x＞0时，y随x的增大而增大，故不可能；
D、对于函数y＝﹣x2，当x＞0时，y随x的增大而减小，故有可能；故选：D．
【点睛】考查正比例函数、反比例函数、二次函数的图象和性质，可以采用排除法，直接法得出答案．
3．（2021 萧山区期末）已知反比例函数（k为常数且k≠0）的图象经过点（3，4），则该函数图象必不经过点（　　）
A．（2，6） B．（﹣1，﹣12） C．（，24） D．（﹣3，8）
【思路点拨】将（3，4）代入，求出k的值，再根据k＝xy对各项进行逐一检验即可．
【答案】解：∵反比例函数（k为常数且k≠0）的图象经过点（3，4），∴k＝3×4＝12，
∵2×6＝12，﹣1×（﹣12）＝12，＝12，﹣3×8＝﹣24≠12
∴该函数图象必不经过点D．故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上．
4．（2021 临海市期末）若反比例函数的图象经过点（2，﹣2），（m，1），则m＝　 　．
【思路点拨】根据反比例函数图象上点的坐标特征解答．
【答案】解：设反比例函数的图象为y＝，把点（2，﹣2）代入得k＝﹣4，
则反比例函数的图象为y＝﹣，把（m，1）代入得m＝﹣4．故答案为﹣4．
【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．
5．（2020·湖北武汉市·中考真题）若点，在反比例函数的图象上，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】B
【分析】由反比例函数，可知图象经过第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，由此分三种情况①若点A、点B在同在第二或第四象限；②若点A在第二象限且点B在第四象限；③若点A在第四象限且点B在第二象限讨论即可．
【详解】∵反比例函数，∴图象经过第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，
①若点A、点B同在第二或第四象限，∵，∴a-1＞a+1，此不等式无解；
②若点A在第二象限且点B在第四象限，∵，∴，解得：；
③由y1＞y2，可知点A在第四象限且点B在第二象限这种情况不可能．
综上，的取值范围是．故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键，注意要分情况讨论，不要遗漏．
6．（2020·广西中考真题）反比例函数y＝（x＜0）的图象如图所示，下列关于该函数图象的四个结论：①k＞0；②当x＜0时，y随x的增大而增大；③该函数图象关于直线y＝﹣x对称；④若点（﹣2，3）在该反比例函数图象上，则点（﹣1，6）也在该函数的图象上．其中正确结论的个数有_____个．
【答案】3
【分析】观察反比例函数y＝（x＜0）的图象可得，图象过第二象限，可得k＜0，然后根据反比例函数的图象和性质即可进行判断．
【详解】观察反比例函数y＝（x＜0）的图象可知：图象过第二象限，∴k＜0，所以①错误；
因为当x＜0时，y随x的增大而增大，所以②正确；
因为该函数图象关于直线y＝﹣x对称，所以③正确；
因为点（﹣2，3）在该反比例函数图象上，所以k＝﹣6，则点（﹣1，6）也在该函数的图象上，所以④正确．所以其中正确结论的个数为3个．故答案为：3．
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握图象和性质是解题的关键．
考向3. 反比例函数中k的几何意义
【典例精析】
【例】（2020 湖州 中考真题）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，Rt△OAB的直角顶点B在x轴的正半轴上，点A在第一象限，反比例函数y（x＞0）的图象经过OA的中点C．交AB于点D，连接CD．若△ACD的面积是2，则k的值是　　．
【分析】作辅助线，构建直角三角形，利用反比例函数k的几何意义得到S△OCE＝S△OBDk，根据OA的中点C，利用△OCE∽△OAB得到面积比为1：4，代入可得结论．
【详解】解：连接OD，过C作CE∥AB，交x轴于E，
∵∠ABO＝90°，反比例函数y（x＞0）的图象经过OA的中点C，
∴S△COE＝S△BOD，S△ACD＝S△OCD＝2，
∵CE∥AB，∴△OCE∽△OAB，∴，∴4S△OCE＝S△OAB，
∴4k＝2+2k，∴k，故答案为：．
【变式训练】
变式3-1. （2021 绍兴 中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在x轴正半轴上，顶点B，C在第一象限，顶点D的坐标（，2）．反比例函数y（常数k＞0，x＞0）的图象恰好经过正方形ABCD的两个顶点，则k的值是　 　．
【分析】作DM⊥x轴于M，BN⊥轴于N，过C点作x轴的平行线，交DM于E，交BN于F，通过证得三角形全等表示出B、C的坐标，然后根据反比例函数系数k＝xy即可求得结果．
【详解】解：作DM⊥x轴于M，BN⊥轴于N，过C点作x轴的平行线，交DM于E，交BN于F，
正方形ABCD中，∠BAD＝90°，∴∠DAM+∠BAN＝90°，
∵∠ADM+∠DAM＝90°，∴∠ADM＝∠BAN，
在△ADM和△BAN中，，∴△ADM≌△BAN（AAS），∴AM＝BN，DM＝AN，
∵顶点D的坐标（，2）．∴OM，DM＝2，同理：△ADM≌△DCE，
∴AM
＝DE，CE＝DM，∴AM＝BN＝DE，DM＝AN＝CE＝2，
设AM＝BN＝DE＝m，∴ONm+2＝4.5+m，∴B（4.5+m，m），C（4.5，2+m），
当反比例函数y（常数k＞0，x＞0）的图象经过点B、D时，则k2＝5；
当反比例函数y（常数k＞0，x＞0）的图象经过点B、C时，则k＝（4.5+m） m＝4.5 （2+m），
解得m＝3，∴k＝4.5×（2+3）＝22.5，故答案为5或22.5．
变式3-2. （2021 温州 中考真题）如图，点A，B在反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象上，AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，BE⊥y轴于点E，连结AE．若OE＝1，OCOD，AC＝AE，则k的值为（　　）
A．2 B． C． D．2
【分析】据题意求得B（k，1），进而求得A（k，），然后根据勾股定理得到∴（）2＝（k）2+（）2，解方程即可求得k的值．
【详解】解：∵BD⊥x轴于点D，BE⊥y轴于点E，∴四边形BDOE是矩形，∴BD＝OE＝1，
把y＝1代入y，求得x＝k，∴B（k，1），∴OD＝k，
∵OCOD，∴OCk，∵AC⊥x轴于点C，把xk代入y得，y，∴AE＝AC，
∵OC＝EFk，AF1，在Rt△AEF中，AE2＝EF2+AF2，
∴（）2＝（k）2+（）2，解得k＝±，∵在第一象限，∴k，故选：B．
变式3-3. （2019 湖州 中考真题）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线yx﹣1分别交x轴，y轴于点A和点B，分别交反比例函数y1（k＞0，x＞0），y2（x＜0）的图象于点C和点D，过点C作CE⊥x轴于点E，连接OC，OD．若△COE的面积与△DOB的面积相等，则k的值是　　．
【分析】求出直线yx﹣1与y轴的交点B的坐标和直线yx﹣1与y2（x＜0）的交点D的坐标，再由△COE的面积与△DOB的面积相等，列出k的方程，便可求得k的值．
【详解】解：令x＝0，得yx﹣1＝﹣1，∴B（0，﹣1），∴OB＝1，
把yx﹣1代入y2（x＜0）中得，x﹣1（x＜0），解得，x＝1，
∴，∴，
∵CE⊥x轴，∴，∵△COE的面积与△DOB的面积相等，
∴，∴k＝2，或k＝0（舍去）．
经检验，k＝2是原方程的解．故答案为：2．
【考点巩固训练】
1．（2019 衢州 中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点， ABCD的边AB在x轴上，顶点D在y轴的正半轴上，点C在第一象限，将△AOD沿y轴翻折，使点A落在x轴上的点E处，点B恰好为OE的中点，DE与BC交于点F．若y（k≠0）图象经过点C，且S△BEF＝1，则k的值为　　．
【分析】连接OC，BD，根据折叠的性质得到OA＝OE，得到OE＝2OB，求得OA＝2OB，设OB＝BE＝x，则OA＝2x，根据平行四边形的性质得到CD＝AB＝3x，根据相似三角形的性质得到，求得S△BDF＝3，S△CDF＝9，于是得到结论．
【详解】解：连接OC，BD，
∵将△AOD沿y轴翻折，使点A落在x轴上的点E处，∴OA＝OE，
∵点B恰好为OE的中点，∴OE＝2OB，∴OA＝2OB，
设OB＝BE＝x，则OA＝2x，∴AB＝3x，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝3x，
∵CD∥AB，∴△CDF∽△BEF，∴，
∵S△BEF＝1，∴S△BDF＝3，S△CDF＝9，∴S△BCD＝12，
∴S△CDO＝S△BDC＝12，∴k的值＝2S△CDO＝24．
2．（2020 温州 中考真题）点P，Q，R在反比例函数y（常数k＞0，x＞0）图象上的位置如图所示，分别过这三个点作x轴、y轴的平行线．图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为S1，S2，S3．若OE＝ED＝DC，S1+S3＝27，则S2的值为　　．
【分析】设CD＝DE＝OE＝a，则P（，3a），Q（，2a），R（，a），推出CP，DQ，ER，推出OG＝AG，OF＝2FG，OFGA，推出S1S3＝2S2，根据S1+S3＝27，求出S1，S3，S2即可．
【详解】解：∵CD＝DE＝OE，∴可以假设CD＝DE＝OE＝a，
则P（，3a），Q（，2a），R（，a），∴CP，DQ，ER，
∴OG＝AG，OF＝2FG，OFGA，∴S1S3＝2S2，
∵S1+S3＝27，∴S3，S1，S2，
解法二：∵CD＝DE＝OE，∴S1，S四边形OGQD＝k，
∴S2（k2），S3＝kkkk，
∴kk＝27，∴k，∴S2．故答案为．
3．（2020 衢州 中考真题）如图，将一把矩形直尺ABCD和一块含30°角的三角板EFG摆放在平面直角坐标系中，AB在x轴上，点G与点A重合，点F在AD上，三角板的直角边EF交BC于点M，反比例函数y（x＞0）的图象恰好经过点F，M．若直尺的宽CD＝3，三角板的斜边FG＝8，则k＝　．
【分析】通过作辅助线，构造直角三角形，求出MN，FN，进而求出AN、MB，表示出点F、点M的坐标，利用反比例函数k的意义，确定点F的坐标，进而确定k的值即可．
【详解】解：过点M作MN⊥AD，垂足为N，则MN＝CD＝3，
在Rt△FMN中，∠MFN＝30°，∴FNMN＝3，∴AN＝MB＝835，
设OA＝x，则OB＝x+3，∴F（x，8），M（x+3，5），
又∵点F、M都在反比例函数的图象上，∴8x＝（x+3）×5，解得，x＝5，
∴F（5，8），∴k＝5×840．故答案为：40．
4．（2020 宁波 中考真题）如图，经过原点O的直线与反比例函数y（a＞0）的图象交于A，D两点（点A在第一象限），点B，C，E在反比例函数y（b＜0）的图象上，AB∥y轴，AE∥CD∥x轴，五边形ABCDE的面积为56，四边形ABCD的面积为32，则a﹣b的值为　 　，的值为　　．
【分析】如图，连接AC，OE，OC，OB，延长AB交DC的延长线于T，设AB交x轴于K．求出证明四边形ACDE是平行四边形，推出S△ADE＝S△ADC＝S五边形ABCDE﹣S四边形ABCD＝56﹣32＝24，推出S△AOE＝S△DEO＝12，可得ab＝12，推出a﹣b＝24．再证明BC∥AD，证明AD＝3BC，推出AT＝3BT，再证明AK＝3BK即可解决问题．
【详解】解：如图，连接AC，OE，OC，OB，延长AB交DC的延长线于T，设AB交x轴于K．
由题意A，D关于原点对称，∴A，D的纵坐标的绝对值相等，
∵AE∥CD，∴E，C的纵坐标的绝对值相等，
∵E，C在反比例函数y的图象上，∴E，C关于原点对称，∴E，O，C共线，
∵OE＝OC，OA＝OD，∴四边形ACDE是平行四边形，
∴S△ADE＝S△ADC＝S五边形ABCDE﹣S四边形ABCD＝56﹣32＝24，∴S△AOE＝S△DEO＝12，
∴ab＝12，∴a﹣b＝24，∵S△AOC＝S△AOB＝12，∴BC∥AD，∴，
∵S△ACB＝32﹣24＝8，∴S△ADC：S△ABC＝24：8＝3：1，∴BC：AD＝1：3，
∴TB：TA＝1：3，设BT＝m，则AT＝3m，AK＝TK＝1.5m，BK＝0.5m，
∴AK：BK＝3：1，∴3，∴3，即，
解法二：设A（m，），B（m，），则E（，），D（﹣m，），C（，），
由题意，a﹣b＝24，2a﹣（m）（）32，
化简可得，．故答案为24，．
5．（2021 龙湾区二模）如图，已知点A，点C在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，连结OC交AB于点D，若CD＝2OD，则△BDC与△ADO的面积比为（　　）
A． B． C． D．
【思路点拨】过C作CE⊥x轴于E，依据AB⊥x轴于点B，即可得出S△AOD＝S四边形BDCE，设△BDO的面积为S，即可得到△BDC的面积为2S，△BOC的面积为3S，进而得到四边形BDCE的面积为6S+2S＝8S，即△AOD的面积为8S，即可得出△BDC与△ADO的面积比．
【答案】解：如图所示，过C作CE⊥x轴于E，
∵AB⊥x轴于点B，∴S△AOB＝S△COE，∴S△AOD＝S四边形BDCE，
设△BDO的面积为S，∵CD＝2OD，∴△BDC的面积为2S，△BOC的面积为3S，
∵BD∥CE，∴BE＝2OB，∴△BCE的面积为6S，∴四边形BDCE的面积为6S+2S＝8S，
即△AOD的面积为8S，∴△BDC与△ADO的面积比为2：8＝1：4，故选：B．
【点睛】此题考查了反比例函数k的几何意义，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解本题的关键．
考向4. 反比例函数与一次函数综合题
【典例精析】
【例】（2021 湖州 中考真题）已知在平面直角坐标系xOy中，点A是反比例函数y（x＞0）图象上的一个动点，连结AO，AO的延长线交反比例函数y（k＞0，x＜0）的图象于点B，过点A作AE⊥y轴于点E．（1）如图1，过点B作BF⊥x轴，于点F，连接EF．①若k＝1，求证：四边形AEFO是平行四边形；②连结BE，若k＝4，求△BOE的面积．（2）如图2，过点E作EP∥AB，交反比例函数y（k＞0，x＜0）的图象于点P，连结OP．试探究：对于确定的实数k，动点A在运动过程中，△POE的面积是否会发生变化？请说明理由．
【分析】（1）①设点A的坐标为（a，），则当点k＝1时，点B的坐标为（﹣a，），得出AE＝OF，AE∥OF，由平行四边形的判定可得出结论；②过点B作BD⊥y轴于点D，如图1，证明△AEO∽△BDO，由相似三角形的性质得出，则可得出答案；（2）过点P作PH⊥x轴于点H，PE与x轴交于点G，设点A的坐标为（a，），点P的坐标为（b，），则AE＝a，OE，PH，证明△AEO∽△GHP，由相似三角形的性质得出，解方程得出，由三角形面积公式可得出答案．
【详解】（1）①证明：设点A的坐标为（a，），则当点k＝1时，点B的坐标为（﹣a，），
∴AE＝OF＝a，∵AE⊥y轴，∴AE∥OF，∴四边形AEFO是平行四边形；
②解：过点B作BD⊥y轴于点D，如图1，
∵AE⊥y轴，∴AE∥BD，∴△AEO∽△BDO，∴，
∴当k＝4时，，即，∴S△BOE＝2S△AOE＝1；
（2）不改变．理由如下：过点P作PH⊥x轴于点H，PE与x轴交于点G，
设点A的坐标为（a，），点P的坐标为（b，），则AE＝a，OE，PH，
∵四边形AEGO是平行四边形，∴∠EAO＝∠EGO，AE＝OG，
∵∠EGO＝∠PGH，∴∠EAO＝∠PGH，
又∵∠PHG＝∠AEO，∴△AEO∽△GHP，∴，
∵GH＝OH﹣OG＝﹣b﹣a，∴，∴k＝0，解得，
∵a，b异号，k＞0，∴，
∴S△POEOE×（﹣b）（﹣b），
∴对于确定的实数k，动点A在运动过程中，△POE的面积不会发生变化．
【变式训练】
变式4-1. （2021 宁波 中考真题）如图，正比例函数y1＝k1x（k1＜0）的图象与反比例函数y2（k2＜0）的图象相交于A，B两点，点B的横坐标为2，当y1＞y2时，x的取值范围是（　　）
A．x＜﹣2或x＞2 B．﹣2＜x＜0或x＞2 C．x＜﹣2或0＜x＜2 D．﹣2＜x＜0或0＜x＜2
【分析】先根据点A与B关于原点对称，得出A横坐标，再找出正比例函数落在反比例函数图象上方的部分对应的自变量的取值范围即可．
【详解】解：由反比例函数与一次函数相交于点A、B，可得点A坐标与点B坐标关于原点对称．
故点A的横坐标为﹣2．当y1＞y2时，即正比例函数图象在反比例图象上方，
观察图象可得，当x＜﹣2或0＜x＜2时满足题意．故选：C．
变式4-2. （2021 杭州 中考真题）在直角坐标系中，设函数y1（k1是常数，k1＞0，x＞0）与函数y2＝k2x（k2是常数，k2≠0）的图象交于点A，点A关于y轴的对称点为点B．
（1）若点B的坐标为（﹣1，2），①求k1，k2的值；②当y1＜y2时，直接写出x的取值范围；
（2）若点B在函数y3（k3是常数，k3≠0）的图象上，求k1+k3的值．
【分析】（1）①由题意得，点A的坐标是（1，2），分别代入y1（k1是常数，k1＞0，x＞0），y2＝k2x（k2是常数，k2≠0）即可求得k1，k2的值；②根据图象即可求得；
（2）设点A的坐标是（x0，y），则点B的坐标是（﹣x0，y），根据待定系数法即可求得k1＝x0 y,k3＝﹣x0 y，即可求得k1+k3＝0．
【详解】解：（1）①由题意得，点A的坐标是（1，2），
∵函数y1（k1是常数，k1＞0，x＞0）与函数y2＝k2x（k2是常数，k2≠0）的图象交于点A，
∴2,2＝k2,，∴k1＝2，k2＝2；
②由图象可知，当y1＜y2时，x的取值范围是x＞1；
（2）设点A的坐标是（x0，y），则点B的坐标是（﹣x0，y），
∴k1＝x0 y,k3＝﹣x0 y，∴k1+k3＝0．
变式4-3.（2019 宁波 中考真题）如图，过原点的直线与反比例函数y（k＞0）的图象交于A，B两点，点A在第一象限．点C在x轴正半轴上，连接AC交反比例函数图象于点D．AE为∠BAC的平分线，过点B作AE的垂线，垂足为E，连接DE．若AC＝3DC，△ADE的面积为8，则k的值为　　．
【分析】连接OE，CE，过点A作AF⊥x轴，过点D作DH⊥x轴，过点D作DG⊥AF；由AB经过原点，则A与B关于原点对称，再由BE⊥AE，AE为∠BAC的平分线，
可得AD∥OE，进而可得S△ACE＝S△AOC；设点A（m，），由已知条件AC＝3DC，DH∥AF，可得3DH＝AF，则点D（3m，），证明△DHC∽△AGD，得到S△HDCS△ADG，所以S△AOC＝S△AOF+S梯形AFHD+S△HDCk12；即可求解；
【详解】解：连接OE，CE，过点A作AF⊥x轴，过点D作DH⊥x轴，过点D作DG⊥AF，
∵过原点的直线与反比例函数y（k＞0）的图象交于A，B两点，
∴A与B关于原点对称，∴O是AB的中点，
∵BE⊥AE，∴OE＝OA，∴∠OAE＝∠AEO，
∵AE为∠BAC的平分线，∴∠DAE＝∠AEO，∴AD∥OE，∴S△ACE＝S△AOC，
∵AC＝3DC，△ADE的面积为8，∴S△ACE＝S△AOC＝12，
设点A（m，），∵AC＝3DC，DH∥AF，∴3DH＝AF，∴D（3m，），
∵CH∥GD，AG∥DH，∴△DHC∽△AGD，∴S△HDCS△ADG，
∵S△AOC＝S△AOF+S梯形AFHD+S△HDCk（DH+AF）×FH+S△HDCk2mk12，
∴2k＝12，∴k＝6；故答案为6；
（另解）连接OE，由题意可知OE∥AC，∴S△OAD＝S△EAD＝8，
易知△OAD的面积＝梯形AFHD的面积，设A的纵坐标为3a，则D的纵坐标为a，
∴（3a+a）（）＝16，解得k＝6．
【考点巩固训练】
1．（2021 杭州 中考真题）已知y1和y2均是以x为自变量的函数，当x＝m时，函数值分别是M1和M2，若存在实数m，使得M1+M2＝0，则称函数y1和y2具有性质P．以下函数y1和y2具有性质P的是（　　）
A．y1＝x2+2x和y2＝﹣x﹣1 B．y1＝x2+2x和y2＝﹣x+1
C．y1和y2＝﹣x﹣1 D．y1和y2＝﹣x+1
【分析】据题干信息可知，直接令y1+y2＝0，若方程有解，则具有性质P，若无解，则不具有性质P．
【详解】解：A．令y1+y2＝0，则x2+2x﹣x﹣1＝0，解得x或x，即函数y1和y2具有性质P，符合题意；
B．令y1+y2＝0，则x2+2x﹣x+1＝0，整理得，x2+x+1＝0，方程无解，即函数y1和y2不具有有性质P，不符合题意；
C．令y1+y2＝0，则x﹣1＝0，整理得，x2+x+1＝0，方程无解，即函数y1和y2不具有有性质P，不符合题意；
D．令y1+y2＝0，则x+1＝0，整理得，x2﹣x+1＝0，方程无解，即函数y1和y2不具有有性质P，不符合题意；故选：A．
2．（2019 绍兴 中考真题）如图，矩形ABCD的两边分别与坐标轴平行，顶点A，C都在双曲线y（常数k＞0，x＞0）上，若顶点D的坐标为（5，3），则直线BD的函数表达式是　　．
【分析】利用矩形的性质和反比例函数图象上点的坐标特征得到A（，3），C（5，），所以B（，），然后利用待定系数法求直线BD的解析式．
【详解】解：∵D（5，3），∴A（，3），C（5，），∴B（，），
设直线BD的解析式为y＝mx+n，把D（5，3），B（，）代入得，解得，
∴直线BD的解析式为yx．故答案为yx．
3．（2021 临海市期末）如图，正比例函数y＝x与反比例函数y＝的图象相交于A，C两点．AB⊥x轴于B，CD⊥x轴于D，当四边形ABCD的面积为6时，则k的值是（　　）
A．6 B．3 C．2 D．
【思路点拨】根据反比例函数的对称性可知：OB＝OD，AB＝CD，再由反比例函数y＝中k的几何意义，即可得到结论．
【答案】解：∵正比例函数y＝x与反比例函数y＝的图象相交于A，C两点，AB⊥x轴于B，CD⊥x轴于D，∴AB＝OB＝OD＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，
∴k＝2S△AOB＝2×＝3，故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是理解反比例函数与一次函数的图形的交点坐标是其解析式联立而成的方程组的解．
4．（2021 富阳区期末）在平面直角坐标系中，正比例函数y1＝x与反比例函数y2＝的图象交于点A（A，﹣2），则k＝　　．
【思路点拨】先据y1＝x求得A的坐标，再把点A的坐标代入反比例函数的解析式即可求出k的值．
【答案】解：∵点A（a，﹣2）在正比例函数y1＝x的图象上，
∴﹣2＝a，解得a＝﹣4，∴A（﹣4，﹣2）
∵点A（﹣4，﹣2）在反比例函数y2＝的图象，
∴k＝﹣4×（﹣2）＝8，故答案为8．
【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数中k＝xy的知识是解答此题的关键．
5．（2021 越城区期末）如图，如果一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A（m，6），B（n，3）两点，那么不等式kx+b＞的解集为：　　．
【思路点拨】首先求出A、B两点坐标，然后观察图象，一次函数的图象在反比例函数的图象上方，写出x的取值范围即可．
【答案】解：∵点A（m，6）、B（n，3）在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴m＝1，n＝2，∴A点坐标是（1，6），B点坐标是（2，3），
观察图象可知，不等式kx+b＞的解集是1＜x＜2，故答案为1＜x＜2．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的交点、反比例函数图象上点的坐标特征、一元一次不等式等知识，解题的关键是学会利用图象解决问题，属于中考常考题型．
考向5. 反比例函数的实际应用
【典例精析】
【例】（2021 台州 中考真题）电子体重科读数直观又便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R1，R1与踏板上人的质量m之间的函数关系式为R1＝km+b（其中k，b为常数，0≤m≤120），其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻R0的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为U0，该读数可以换算为人的质量m，
温馨提示：①导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流I，满足关系式I；
②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压
（1）求k，b的值；（2）求R1关于U0的函数解析式；（3）用含U0的代数式表示m；
（4）若电压表量程为0~6伏，为保护电压表，请确定该电子体重秤可称的最大质量．
【分析】（1）待定系数法求出k，b；（2）通过串联电路中电流处处相等和可以列出等量关系，然后再化简为R1关于U0的函数解析式；（3）把第（1）问求出的R1与m的函数解析式代入第（2）中的R1与U0的关系式中消去R1，然后变形；（4）利用第（3）问中U0与m的关系式，结合0≤U0≤6和m关于U0的增减性，得出电子体重秤可称的最大质量m．
【详解】解：（1）将（0，240），（120，0）代入R1＝km+b，
得：，解得：．∴R1＝﹣2m+240（0≤m≤120）．
(2)由题意得：可变电阻两端的电压＝电源电压﹣电表电压，即：可变电阻电压＝8﹣U0，
∵I，可变电阻和定值电阻的电流大小相等，∴．化简得：R1,
∵R0＝30,∴,
(3)将R1＝﹣2m+240（0≤m≤120）代入，得：﹣2m+240,
化简得：m（0≤m≤120）．
(4)∵m中k＝﹣120＜0，且0≤U0≤6，∴m随U0的增大而增大，
∴U0取最大值6的时候，mmax115．
【变式训练】
变式5-1.（2021 诸暨市期末）为预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”，已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与燃烧时间x（分钟）成正比例；燃烧后，y与x成反比例（如图所示）．现测得药物10分钟燃烧完，此时教室内每立方米空气含药量为6mg．研究表明当每立方米空气中含药量低于1.2mg时，对人体方能无毒害作用，那么从消毒开始，至少需要经过　50　分钟后，学生才能回到教室．
【思路点拨】先求得反比例函数的解析式，然后把y＝1.2代入反比例函数解析式，求出相应的x即可；
【答案】解：设药物燃烧后y与x之间的解析式y＝，把点（10，6）代入得6＝，解得k＝60，
∴y关于x的函数式为：y＝；
当y＝1.2时，由y＝；得x＝50，所以50分钟后学生才可进入教室；故答案为：50．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
变式5-2. （2020 台州 中考真题）小明同学训练某种运算技能，每次训练完成相同数量的题目，各次训练题目难度相当．当训练次数不超过15次时，完成一次训练所需要的时间y（单位：秒）与训练次数x（单位：次）之间满足如图所示的反比例函数关系．完成第3次训练所需时间为400秒．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当x的值为6，8，10时，对应的函数值分别为y1，y2，y3，比较（y1﹣y2）与（y2﹣y3）的大小：y1﹣y2　 　y2﹣y3．
【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为：y，把（3，400）代入y即可得到结论，
（2）把x＝6，8，10分别代入y得到求得y1，y2，y3值，即可得到结论．
【详解】解：（1）设y与x之间的函数关系式为：y（k≠0，x＞0），
把（3，400）代入y得，400，解得：k＝1200，
∴y与x之间的函数关系式为y（x＞0）；
（2）把x＝6，8，10分别代入y得，y1200，y2150，y3120，
∵y1﹣y2＝200﹣150＝50，y2﹣y3＝150﹣120＝30，
∵50＞30，∴y1﹣y2＞y2﹣y3，故答案为：＞．
变式5-3. （2019 杭州 中考真题）方方驾驶小汽车匀速地从A地行驶到B地，行驶里程为480千米，设小汽车的行驶时间为t（单位：小时），行驶速度为v（单位：千米/小时），且全程速度限定为不超过120千米/小时．（1）求v关于t的函数表达式；（2）方方上午8点驾驶小汽车从A地出发．
①方方需在当天12点48分至14点（含12点48分和14点）间到达B地，求小汽车行驶速度v的范围．②方方能否在当天11点30分前到达B地？说明理由．
【分析】（1）由速度乘以时间等于路程，变形即可得速度等于路程比时间，从而得解；
（2）①8点至12点48分时间长为小时，8点至14点时间长为6小时，将它们分别代入v关于t的函数表达式，即可得小汽车行驶的速度范围；②8点至11点30分时间长为小时，将其代入v关于t的函数表达式，可得速度大于120千米/时，从而得答案．
【详解】解：（1）∵vt＝480，且全程速度限定为不超过120千米/小时，
∴v关于t的函数表达式为：v，（t≥4）．
（2）①8点至12点48分时间长为小时，8点至14点时间长为6小时
将t＝6代入v得v＝80；将t代入v得v＝100．
∴小汽车行驶速度v的范围为：80≤v≤100．
②方方不能在当天11点30分前到达B地．理由如下：
8点至11点30分时间长为小时，将t代入v得v120千米/小时，超速了．
故方方不能在当天11点30分前到达B地．
【考点巩固训练】
1．（2021 金华一模）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强，如下表：则可以反映y与x之间的关系的式子是（　　）
体积x（mL） 100 80 60 40 20
压强y（kPa） 60 75 100 150 300
A．y＝3 000x B．y＝6 000x C．y＝ D．y＝
【思路点拨】利用表格中数据得出函数关系，进而求出即可．
【答案】解：由表格数据可得：此函数是反比例函数，设解析式为：y＝，则xy＝k＝6000，
故y与x之间的关系的式子是y＝，故选：D．
【点睛】此题主要考查了根据实际问题列反比例函数关系式，得出正确的函数关系是解题关键．
2．（2021 余杭区二模）如果某蓄水池的进水管每小时进水8m3，那么6小时可将空水池蓄满水．
（1）求将空水池蓄满水所需的时间y关于每小时进水量x的函数表达式；
（2）如果准备在5小时内将空水池蓄满水，那么每小时的进水量至少为多少？
【思路点拨】（1）根据题意可以得到y与x的函数关系式，本题得以解决；
（2）将y＝5代入（1）中的函数解析式，即可解答本题．
【答案】解：（1）由题意可得，y＝，
即将空水池蓄满水所需的时间y关于每小时进水量x的函数表达式是y＝；
（2）当y＝5时，5＝，得x＝9.6，即每小时的进水量至少9.6m3．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
3．（2021 拱墅区二模）A，B两地相距200千米，一辆汽车匀速从A地驶往B地，速度为v（单位：千米/小时），驶完全程的时间为t（单位：小时）．（1）v关于t的函数表达式，并写出自变量t取值范围．（2）若速度每小时不超过60千米，那么从A地行驶到B地至少要行驶多少小时？
【思路点拨】（1）根据速度＝路程÷时间即可得出v关于t的函数表达式，进而写出自变量t取值范围；（2）根据速度每小时不超过60千米列出不等式，即可求解．
【答案】解：（1）由题意，可得v＝（t＞0）；
（2）∵v≤60，∴≤60，解得t≥．即从A地行驶到B地至少要行驶小时．
4．（2021 金华 中考真题）背景：点A在反比例函数y（k＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，分别在射线AC，BO上取点D，E，使得四边形ABED为正方形．如图1，点A在第一象限内，当AC＝4时，小李测得CD＝3．
探究：通过改变点A的位置，小李发现点D，A的横坐标之间存在函数关系．请帮助小李解决下列问题．（1）求k的值．（2）设点A，D的横坐标分别为x，z，将z关于x的函数称为“Z函数”．如图2，小李画出了x＞0时“Z函数”的图象．①求这个“Z函数”的表达式．②补画x＜0时“Z函数”的图象，并写出这个函数的性质（两条即可）．③过点（3，2）作一直线，与这个“Z函数”图象仅有一个交点，求该交点的横坐标．
【分析】（1）求出点A的坐标，利用待定系数法求出k即可．
（2）①求出点A的坐标，再代入反比例函数的解析式即可．
②描点法在车上的图象，根据函数图象可得结论（答案不唯一）．
③由题意可知直线的解析式为y＝kx+2﹣3k,构建方程组，利用△＝0，求出k可得结论，另外直线x＝3也符合题意．
【详解】解：（1）∵AC＝4,CD＝3,∴AD＝AC﹣CD＝1,
∵四边形ABED是正方形，∴AB＝1,
∵AC⊥y轴，AB⊥x轴，∴∠ACO＝∠COB＝∠OBA＝90°,
∴四边形ABOC是矩形，∴OB＝AC＝4,∴A(4,1),∴k＝4．
(2)①由题意，A(x,x﹣z),∴x(x﹣z)＝4,∴z＝x．
②图象如图所示．
性质1：x＞0时，y随x的增大而增大．性质2：x＜0时，y随x的增大而增大．
③设直线的解析式为y＝kx+b,
把（3,2）代入得到，2＝3k+b,∴b＝2﹣3k,∴直线的解析式为y＝kx+2﹣3k,
由,消去y得到，（k﹣1）x2+(2﹣3k)x+4＝0,
当△＝0时，(2﹣3k)2﹣4(k﹣1)×4＝0,解得k或2，
当k时，方程为x2x+4＝0,解得x＝6．
当k＝2时，方程为x2﹣4x+4＝0,解得x＝2．
另外直线x＝3,也符合题意，此时交点的横坐标为3，
综上所述，满足条件的交点的横坐标为2或3或6．
5．（2021·四川乐山市·中考真题）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标随时间（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分．（1）求点对应的指标值；（2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由．
【答案】（1）20；（2）能，见解析
【分析】（1）先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再将x=45代入，即可得出A对应的指标值
（2）先用待定系数法写出一次函数的解析式，再根据注意力指标都不低于36得出，得出自变量的取值范围，即可得出结论
【详解】解：（1）令反比例函数为，由图可知点在的图象上，
∴， ∴．将x=45代入得：点对应的指标值为．
（2）设直线的解析式为，将、代入中，
得，解得．∴直线的解析式为．
由题得，解得．∵，∴张老师经过适当的安排，能使学生在听综合题的讲解时，注意力指标都不低于36.
【点睛】本题考查一次函数的解析式、反比例函数的解析式、不等式组的解集、利用函数图像解决实际问题是中考的常考题型。
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第三章 函数 （浙江省专用）
第13节 反比例函数及其应用
【考场演练】
一、选择题
1．（2021·辽宁抚顺·三模）下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据反比例函数的一般形式即可判断．
【详解】解：A、不符合反比例函数的一般形式y=，（k≠0）的形式，故该选项不符合题意；
B、是一次函数，故该选项不符合题意；C、符合反比例函数的一般形式y=，（k≠0）的形式，故该选项符合题意；D、是正比例函数，故该选项不符合题意；故选：C
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，熟记一般式y=（k≠0）是解题的关键．
2．（2021 丽水 中考真题）一杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长固定不变．甲、乙、丙、丁四位同学分别在杆的另一端竖直向下施加压力F甲、F乙、F丙、F丁，将相同重量的水桶吊起同样的高度，若F乙＜F丙＜F甲＜F丁，则这四位同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远的是（　　）
A．甲同学 B．乙同学 C．丙同学 D．丁同学
【分析】根据杠杆平衡原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂，以及水桶的拉力和水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长乘积是定值即可判断．
【详解】解：根据杠杆平衡原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂可得，
∵阻力×阻力臂是个定值，即水桶的重力和水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长固定不变，
∴动力越小，动力臂越大，即拉力越小，压力的作用点到支点的距离最远，
∵F乙最小，∴乙同学到支点的距离最远．故选：B．
3．（2021·江苏连云港市·中考真题）关于某个函数表达式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征．甲：函数图像经过点；乙：函数图像经过第四象限；
丙：当时，y随x的增大而增大．则这个函数表达式可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据所给函数的性质逐一判断即可．
【详解】解：A.对于，当x=-1时，y=1，故函数图像经过点；函数图象经过二、四象限；当时，y随x的增大而减小．故选项A不符合题意；
B.对于，当x=-1时，y=-1，故函数图像不经过点；函数图象分布在一、三象限；当时，y随x的增大而减小．故选项B不符合题意；
C.对于，当x=-1时，y=1，故函数图像经过点；函数图象分布在一、二象限；当时，y随x的增大而增大．故选项C不符合题意；
D.对于，当x=-1时，y=1，故函数图像经过点；函数图象经过二、四象限；当时，y随x的增大而增大．故选项D符合题意；故选：D
【点睛】本题考查的是一次函数、二次函数以及反比例函数性质，熟知相关函数的性质是解答此题的关键．
4．（2021·四川自贡市·中考真题）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流O（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是（ ）
A．函数解析式为 B．蓄电池的电压是18V
C．当时， D．当时，
【答案】C
【分析】将将代入求出U的值，即可判断A，B，D，利用反比例函数的增减性可判断C．
【详解】解：设，将代入可得，故A错误；
∴蓄电池的电压是36V，故B错误；当时，，该项正确；
当当时，，故D错误，故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数的实际应用，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
5．（2021·山东威海市·中考真题）一次函数与反比例函数的图象交于点，点．当时，x的取值范围是（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】D
【分析】先确定一次函数和反比例函数解析式，然后画出图象，再根据图象确定x的取值范围即可．
【详解】解：∵两函数图象交于点，点
∴ ，，解得：，k2=2∴，画出函数图象如下图：
由函数图象可得的解集为：0＜x＜2或x＜-1．故填D．
【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求函数解析式以及根据函数图象确定不等式的解集，根据题意确定函数解析式成为解答本题的关键．
6．（2021·四川达州市·中考真题）在反比例函数（为常数）上有三点，，，若，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据k>0判断出反比例函数的增减性，再根据其坐标特点解答即可．
【详解】解：∵，
∴反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，
∵B（x2，y2），C（x3，y3）是双曲线上的两点，且，∴点B、C在第一象限，0＜y3＜y2，
∵A（x1，y1）在第三象限，∵y1＜0，∴．故选：C．
【点睛】本题考查由反比例函数图象的性质判断函数图象上点的坐标特征，理解基本性质是解题关键．
7．（2021·辽宁大连市·中考真题）下列说法正确的是（　　）
①反比例函数中自变量x的取值范围是；②点在反比例函数的图象上；
③反比例函数的图象，在每一个象限内，y随x的增大而增大．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【分析】根据反比例函数的图象与性质可直接进行判断求解．
【详解】解：①反比例函数中自变量x的取值范围是，正确；
②把代入反比例函数得：，
∴点在反比例函数的图象上，正确；
③由反比例函数可得，则有在每一个象限内，y随x的增大而减小，错误；
∴说法正确的有①②；故选A．
【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
8．（2020·山东威海·中考真题）一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据一次函数与反比例函数图象的性质进行判断即可得解．
【解析】当时，，则一次函数经过一、三、四象限，反比例函数经过一 、三象限，故排除A，C选项；
当时，，则一次函数经过一、二、四象限，反比例函数经过二、四象限，故排除B选项，故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数图像的性质，熟练掌握相关性质与函数图像的关系是解决本题的关键．
9．（2021 东阳市模拟）如图直线y＝mx与双曲线交于点A、B，过A作AM⊥x轴于M点，连接BM，若S△AMB＝2，则k的值是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路点拨】此题可根据反比例函数图象的对称性得到A、B两点关于原点对称，再由S△ABM＝2S△AOM并结合反比例函数系数k的几何意义得到k的值．
【答案】解：由题意得：S△ABM＝2S△AOM＝2，S△AOM＝|k|＝1，
则k＝±2．又由于反比例函数图象位于一三象限，k＞0，所以k＝2．故选：B．
【点睛】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点．
10．（2021 瑞安市三模）如图，A，B是反比例函数y＝（x＞0）图象上的两点，分别过A，B两点向x轴，y轴作垂线段，AD，BE两垂线段交于点G．若图中阴影部分的面积为3，则△OAB的面积为（　　）
A．9 B．10 C．11 D．12
【思路点拨】首先根据反比例函数图象上的点与坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的矩形面积等于|k|，利用阴影部分的面积为3，推导出线段比例关系，比例关系转化为求矩形OFPK的面积，用割补法可求△OAB的面积．
【答案】解：
设FB与KA的延长线相交于点P，HM垂直平分EK，
∵A，B是反比例函数y＝（x＞0）图象上的两点，A点向x轴，y轴作垂线段分别是AD、AK
∴s矩形ODAK＝|k|＝9同理：s矩形OFBE＝9∵s矩形ODGE＝3∴s矩形DFBG＝s矩形EGAK＝9﹣3＝6
∵HM垂直平分EK∴OE＝EH＝HK∴s矩形OFPK＝3s矩形OFBE＝3×9＝27
且s矩形AGBP＝2s△ABP＝12即s△ABP＝6
∴s△AOB＝＝27﹣6﹣9＝12故选：D．
【点睛】主要考查了反比例函数中k的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的矩形面积为|k|，利用割补法求解比较容易．
二、填空题
11．（2021·江苏无锡市·中考真题）请写出一个函数表达式，使其图象在第二、四象限且关于原点对称：________．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据反比例函数图像和性质，直接写出答案即可．
【详解】解：∵函数图象在第二、四象限且关于原点对称，∴函数可以是反比例函数且比例系数小于0，
∴函数表达式可以是：（答案不唯一）．故答案是：（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查反比例函数的图像和性质，掌握反比例函数图像是中心对称图形，是解题的关键．
12．（2021·湖南株洲市·中考真题）点、是反比例函数图像上的两点，满足：当时，均有，则的取值范围是__________．
【答案】k<0
【分析】先分析该两点所在的图像的象限和增减性，最后确定k的取值范围即可．
【详解】解：因为当时，，说明A、B两点同时位于第一或第四象限，
∵当时，均有，∴在该图像上，y随x的增大而增大，
∴A、B两点同时位于第四象限，所以k<0，故答案为：k<0．
【点睛】本题考查了反比例函数的图像和性质，解决本题的关键是理解并牢记反比例函数的图像和性质，能根据点的坐标情况分析其图像特点等，涉及了数形结合的思想方法．
13．（2021·内蒙古通辽市·中考真题）如图，，，…，都是斜边在x轴上的等腰直角三角形，点，，，…，都在x轴上，点，，，…，都在反比例函数的图象上，则点的坐标为__________．（用含有正整数n的式子表示）
【答案】
【分析】根据等腰直角三角形的性质，得到的横，纵坐标相等，在结合反比例函数解析式求得该点的坐标，再根据等腰三角形的性质和反比例函数的解析式首先求得各个点的坐标，发现其中的规律，从而得到答案．
【详解】为等腰三角形直线的解析式为
由题意得：解得
为等腰三角形设直线的解析式为，解得
直线的解析式为解得
点
为等腰三角形设直线的解析式为解得
直线的解析式为解得
综上可得：点，点，点
总结规律可得坐标为：故答案为：
【点睛】本题综合考查了等腰直角三角形的性质以及结合反比例函数的解析式求得点的坐标，解答本题的关键是找出其中的规律求出坐标．
14．（2020·江苏南通市·中考真题）将双曲线y＝向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新双曲线与直线y＝kx﹣2﹣k（k＞0）相交于两点，其中一个点的横坐标为a，另一个点的纵坐标为b，则（a﹣1）（b+2）＝_____．
【答案】-3
【分析】由于一次函数y＝kx 2 k（k＞0）的图象过定点P（1， 2），而点P（1， 2）恰好是原点（0，0）向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的，因此将双曲线y＝向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新双曲线与直线y＝kx 2 k（k＞0）相交于两点，在平移之前是关于原点对称的，表示出这两点坐标，根据中心对称两点坐标之间的关系求出答案．
【详解】解：一次函数y＝kx﹣2﹣k（k＞0）的图象过定点P（1，﹣2），而点P（1，﹣2）恰好是原点（0，0）向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的，
因此将双曲线y＝向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新双曲线与直线y＝kx﹣2﹣k（k＞0）相交于两点，在没平移前是关于原点对称的，
平移前，这两个点的坐标为为（a﹣1，），（，b+2），
∴a﹣1＝﹣，∴（a﹣1）（b+2）＝﹣3，故答案为：﹣3．
【点睛】本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，理解平移之前，相应的两点关于原点对称是解决问题的关键．
15．（2020·广西玉林市·中考真题）已知函数与函数的部分图像如图所示，有以下结论：①当时，都随x的增大而增大；②当时， ；③的图像的两个交点之间的距离是2；④函数的最小值为2；则所有正确的结论是_________．
【答案】②③④
【分析】先补充完整两个函数的图象，再根据函数图象的增减性、对称性、交点问题可判断结论①②③，然后根据完全平方公式、偶次方的非负性可判断结论④．
【详解】当时，， 当时，，
画出两个函数的图象如下所示：则当时，随x的增大而减小；随x的增大而增大，结论①错误
当时，函数的图象位于函数的图象的上方，则，结论②正确
当时， 即的图象位于第一象限的交点坐标为
由对称性可知，的图象位于第二象限的交点坐标为
因此，的图象的两个交点之间的距离是，结论③正确
又，当且仅当，即时，等号成立
即函数的最小值为2，结论④正确
综上，所有正确的结论是②③④故答案为：②③④．
【点睛】本题考查了正比例函数与反比例函数的综合、完全平方公式、偶次方的非负性等知识点，熟练掌握正比例函数与反比例函数的图象与性质是解题关键．
16．（2021·辽宁本溪市·中考真题）如图，是半圆的直径，C为半圆的中点，，，反比例函数的图象经过点C，则k的值为________．
【答案】
【分析】连接CD，并延长交x轴于点P，分别求出PD，PO，CD和PC的长，过点C作CF⊥x轴于点F，求出PF，CF的长，进一步得出点C的坐标，从而可得出结论．
【详解】解：连接CD，并延长交x轴于点P，如图，
∵C为半圆的中点，∴CP⊥AB，即∠ADP=90°
又∠AOB=90°∴∠APD=∠ABO∵A（2，0），B（0，1）∴AO=2，OB=1
∴ ∴
又 ∴ ∴
∴ ∴
过点C作CF⊥x轴于点F，∴
∴ ∴
∴ ∴点C的坐标为（，）
∵点C在反比例函数的图象上∴，故答案为：
【点睛】本题考查反比例函数的解析式，解题的关键是利用过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式；求出点C坐标是关键．
17.（2021 宁波 中考真题）在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意臥点A（x，y），我们把点B（，）称为点A的“倒数点”．如图，矩形OCDE的顶点C为（3，0），顶点E在y轴上，函数y（x＞0）的图象与DE交于点A．若点B是点A的“倒数点”，且点B在矩形OCDE的一边上，则△OBC的面积为 　　．
【分析】设点A的坐标为（m，），由“倒数点”的定义，得点B坐标为（，），分析出点B在某个反比例函数上，分两种情况：①点B在ED上，由ED∥x轴，得，解出m＝±2，（﹣2舍去），得点B纵坐标为1，此时，S△OBC3×1；②点B在DC上，得点B横坐标为3，即3，求出点B纵坐标为：，此时，S△OBC3．
【详解】解：设点A的坐标为（m,）,∵点B是点A的“倒数点”，∴点B坐标为（,）,
∵点B的横纵坐标满足,∴点B在某个反比例函数上，∴点B不可能在OE,OC上，
分两种情况：①点B在ED上，由ED∥x轴，
∴点B、点A的纵坐标相等，即，∴m＝±2，（﹣2舍去），∴点B纵坐标为1，
此时，S△OBC3×1；
②点B在DC上，∴点B横坐标为3，即3，∴点B纵坐标为：，
此时，S△OBC3；故答案为：或．
18．（2021 湖州）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x﹣1分别交x轴，y轴于点A和点B，分别交反比例函数y1＝（k＞0，x＞0），y2＝（x＜0）的图象于点C和点D，过点C作CE⊥x轴于点E，连结OC，OD．若△COE的面积与△DOB的面积相等，则k的值是　　．
【思路点拨】求出直线y＝x﹣1与y轴的交点B的坐标和直线y＝x﹣1与y2＝（x＜0）的交点D的坐标，再由△COE的面积与△DOB的面积相等，列出k的方程，便可求得k的值．
【答案】解：令x＝0，得y＝x﹣1＝﹣1，∴B（0，﹣1），∴OB＝1，
把y＝x﹣1代入y2＝（x＜0）中得，x﹣1＝（x＜0），解得，x＝1﹣，
∴，∴，
∵CE⊥x轴，∴，∵△COE的面积与△DOB的面积相等，
∴，∴k＝2，或k＝0（舍去）．故答案为：2．
【点睛】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，主要考查了一次函数和反比例函数的图象与性质，反比例函数“k“的几何意义，一次函数图象与反比例函数图象的交点问题，关键是根据两个三角形的面积相等列出k的方程．
三、解答题
19．（2021·湖南张家界市·中考真题）阅读下面的材料：
如果函数满足：对于自变量取值范围内的任意，，
（1）若，都有，则称是增函数；
（2）若，都有，则称是减函数．
例题：证明函数是增函数．
证明：任取，且，
则
∵且，
∴，
∴，即，
∴函数是增函数．
根据以上材料解答下列问题：
（1）函数，，，_______，_______；
（2）猜想是函数_________（填“增”或“减”），并证明你的猜想．
【答案】（1），；（2）减，证明见解析
【分析】（1）根据题目中函数解析式可以解答本题；（2）根据题目中例子的证明方法可以证明(1) 中的猜想成立．
【详解】解：（1），
（2）猜想：是减函数；
证明：任取，，，则
∵且，∴，
∴，即 ∴函数是减函数．
【点睛】本题考查反比例函数图象上的坐标特征、反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质解答．
20．（2020 杭州 中考真题）设函数y1，y2（k＞0）．（1）当2≤x≤3时，函数y1的最大值是a，函数y2的最小值是a﹣4，求a和k的值．（2）设m≠0，且m≠﹣1，当x＝m时，y1＝p；当x＝m+1时，y1＝q．圆圆说：“p一定大于q”．你认为圆圆的说法正确吗？为什么？
【分析】（1）由反比例函数的性质可得，①；a﹣4，②；可求a的值和k的值；
（2）设m＝m0，且﹣1＜m0＜0，将x＝m0，x＝m0+1，代入解析式，可求p和q，即可判断．
【详解】解：（1）∵k＞0，2≤x≤3，∴y1随x的增大而减小，y2随x的增大而增大，
∴当x＝2时，y1最大值为，①；当x＝2时，y2最小值为a﹣4，②；
由①，②得：a＝2，k＝4；
（2）圆圆的说法不正确，理由如下：设m＝m0，且﹣1＜m0＜0，则m0＜0，m0+1＞0，
∴当x＝m0时，p＝y1，当x＝m0+1时，q＝y10，
∴p＜0＜q，∴圆圆的说法不正确．
方法二、当x＝m时，p＝y1，当x＝m+1时，q＝y1，
∴p﹣q，∴当m＜﹣1时，则p﹣q0，∴p＞q，
当﹣1＜m＜0时，则p﹣q0，∴p＜q，当m＞0时，则p﹣q0，
∴p＞q，∴圆圆的说法不正确．
21．（2019 金华 中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF的对称中心P在反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象上，边CD在x轴上，点B在y轴上，已知CD＝2．
（1）点A是否在该反比例函数的图象上？请说明理由；（2）若该反比例函数图象与DE交于点Q，求点Q的横坐标；（3）平移正六边形ABCDEF，使其一边的两个端点恰好都落在该反比例函数的图象上，试描述平移过程．
【分析】（1过点P作x轴垂线PG，连接BP，可得BP＝2，G是CD的中点，所以P（2，）；
（2）易求D（3，0），E（4，），待定系数法求出DE的解析式为yx﹣3，联立反比例函数与一次函数即可求点Q；
（3）E（4，），F（3，2），将正六边形向左平移两个单位后，E（2，），F（1，2），则点E与F都在反比例函数图象上；
【详解】解：（1）过点P作x轴垂线PG，连接BP，
∵P是正六边形ABCDEF的对称中心，CD＝2，
∴BP＝2，G是CD的中点，∴PG，∴P（2，），
∵P在反比例函数y上，∴k＝2，∴y，
由正六边形的性质，A（1，2），∴点A在反比例函数图象上；
（2）D（3，0），E（4，），
设DE的解析式为y＝mx+b，∴，∴，∴yx﹣3，
联立方程解得x，∴Q点横坐标为；
（3）A（1，2），B（0，），C（1，0），D（3，0），E（4，），F（3，2），
设正六边形向左平移m个单位，向上平移n个单位，则平移后点的坐标分别为
∴A（1﹣m，2n），B（﹣m，n），C（1﹣m，n），D（3﹣m，n），E（4﹣m，n），F（3﹣m，2n），
①将正六边形向左平移两个单位后，E（2，），F（1，2）；
则点E与F都在反比例函数图象上；
②将正六边形向右平移一个单位，再向上平移个单位后，C（2，），B（1，2）
则点B与C都在反比例函数图象上；
22．（2019 舟山 中考真题）如图，在直角坐标系中，已知点B（4，0），等边三角形OAB的顶点A在反比例函数y的图象上．（1）求反比例函数的表达式．（2）把△OAB向右平移a个单位长度，对应得到△O'A'B'当这个函数图象经过△O'A'B'一边的中点时，求a的值．
【分析】（1）过点A作AC⊥OB于点C，根据等边三角形的性质得出点A坐标，用待定系数法求得反比例函数的解析式即可；（2）分两种情况讨论：①反比例函数图象过AB的中点；②反比例函数图象过AO的中点．分别过中点作x轴的垂线，再根据30°角所对的直角边是斜边的一半得出中点的纵坐标，代入反比例函数的解析式得出中点坐标，再根据平移的法则得出a的值即可．
【详解】解：（1）过点A作AC⊥OB于点C，
∵△OAB是等边三角形，∴∠AOB＝60°，OCOB，
∵B（4，0），∴OB＝OA＝4，∴OC＝2，AC＝2．
把点A（2，2）代入y，得k＝4．∴反比例函数的解析式为y；
（2）分两种情况讨论：
①点D是A′B′的中点，过点D作DE⊥x轴于点E．
由题意得A′B′＝4，∠A′B′E＝60°，在Rt△DEB′中，B′D＝2，DE，B′E＝1．
∴O′E＝3，把y代入y，得x＝4，∴OE＝4，∴a＝OO′＝1；
②如图3，点F是A′O′的中点，过点F作FH⊥x轴于点H．
由题意得A′O′＝4，∠A′O′B′＝60°，在Rt△FO′H中，FH，O′H＝1．
把y代入y，得x＝4，∴OH＝4，∴a＝OO′＝3，
综上所述，a的值为1或3．
23．（2021·四川雅安市·中考真题）已知反比例函数的图象经过点．
（1）求该反比例函数的表达式；（2）如图，在反比例函数的图象上点A的右侧取点C，作CH⊥x轴于H，过点A作y轴的垂线AG交直线于点D．①过点A，点C分别作x轴，y轴的垂线，交于B，垂足分别为为F、E，连结OB，BD，求证：O，B，D三点共线；②若，求证：．
【答案】（1）反比例函数的表达式为；（2）①证明见详解；②证明见详解．
【分析】（1）根据反比例函数的图象经过点，可得即可；
（2）①利用锐角三角函数值tan∠EBO=，tan∠DBC=相等，可证∠EBO=∠DBC，利用平角定义∠DBC+∠OBC=∠EBO+∠OBC=180°即可；②设AC与OD交于K，先证四边形ABCD为矩形，可得∠KAD=∠KDA，KA=KC=，由，可得AO=AK，由∠AKO为△AKD的外角，可得∠AKO=2∠ADK，由AD∥OH 性质，可得∠DOH=∠ADK即可．
【详解】解：（1）∵反比例函数的图象经过点，∴，
∴该反比例函数的表达式为；
（2）①设点C（），则B（2，），D（），∴OE=，BE=2，CD=3-，BC=，
∴tan∠EBO=，tan∠DBC=，∴∠EBO=∠DBC，
∵∠DBC+∠OBC=∠EBO+∠OBC=180°，∴点O，点B，点D三点共线；
②设AC与OD交于K，∵AD⊥y轴，CB⊥y轴，∴AD∥BC∥x轴，
∵AF⊥x轴，DH⊥x轴，∴AB∥DC，∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AF⊥x轴，AD∥x轴，∴AF⊥AD，∴∠BAD=90°，
∴四边形ABCD为矩形，∴∠KAD=∠KDA，KA=KC=，
∵，∴AO=AK，∴∠AOD=∠AKO，
又∵∠AKO为△AKD的外角，∴∠AKO=∠KAD+∠KDA=2∠ADK，
∵AD∥OH ，∴∠DOH=∠ADK，∴∠AOD=2∠DOH．
【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，锐角三角函数，平角定义，矩形判定与性质，等腰三角形判定与性质，三角形外角性质，平行线性质，掌握待定系数法求反比例函数解析式，锐角三角函数，平角定义，矩形判定与性质，等腰三角形判定与性质，三角形外角性质，平行线性质是解题关键．
24．（2021·湖北恩施·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的斜边在轴上，坐标原点是的中点，，，双曲线经过点．
（1）求；（2）直线与双曲线在第四象限交于点．求的面积．
【答案】（1）；（2）的面积
【分析】（1）过点A作AE⊥x轴于点E，由题意易得，进而可得，然后可得点，最后问题可求解；（2）由（1）可先求出直线AC的解析式为，然后联立直线AC的解析式与反比例函数，进而可得点D的坐标，最后利用割补法求解三角形的面积即可．
【详解】解：（1）过点A作AE⊥x轴于点E，如图所示：
∵，，，
∴，，∴，∴，
∴在Rt△AEC中，，
∵点O是BC的中点，∴OC=2，∴OE=1，∴，∴；
（2）由（1）可得：，，
∴设直线AC的解析式为，则把点A、C代入得：，解得：，
∴直线AC的解析式为，
联立与反比例函数可得：，
解得：（不符合题意，舍去），∴点，
∴．
【点睛】本题主要考查反比例函数与几何的综合及含30°直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握反比例函数与几何的综合及含30°直角三角形的性质、勾股定理是解题的关键．
25．（2020·湖南郴州市·中考真题）为了探索函数的图象与性质，我们参照学习函数的过程与方法．列表：
描点：在平面直角坐标系中，以自变量的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示：
（1）如图，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象；
（2）已知点在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题：
若，则 ；若，则 ；若，则 （填“>”，“=”，“<”）．
（3）某农户要建造一个图所示的长方体形无盖水池，其底面积为平方米，深为米．已知底面造价为千元/平方米，侧面造价为千元/平方米，设水池底面一边的长为米，水池总造价为千元．①请写出与的函数关系式；②若该农户预算不超过千元，则水池底面一边的长应控制在什么范围内
【答案】（1）见解析；（2）＞；＜；＝；（3）①；②．
【分析】（1）用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象即可；
（2）观察函数图象可以看出有最低点，即函数有最小值，结合表格提供的信息即可解决问题；
（3）①根据底面面积可求出底面另一条边长，进而可求出水池的侧面积，分别表示出底面和侧面的造价，从而可表示出与的函数关系式；②根据函数关系式结合表格可得出x的控制范围．
【详解】（1）如图1所示；
（2）根据图象和表格可知，当时，＞；当，则＜；当，则＝；（3）①∵底面面积为1平方米，一边长为x米，∴与之相邻的另一边长为米，
∴水池侧面面积的和为：
∵底面造价为千元/平方米，侧面造价为千元/平方米，
∴ 即：与的函数关系式为：；
②∵该农户预算不超过千元，即y≤3.5∴∴，
根据图象或表格可知，当2≤y≤2.5时，，
因此，该农户预算不超过千元，则水池底面一边的长应控制在．
【点睛】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
26．（2021·浙江中考真题）已知在平面直角坐标系中，点是反比例函数图象上的一个动点，连结的延长线交反比例函数的图象于点，过点作轴于点．
（1）如图1，过点作轴于点，连结．①若，求证：四边形是平行四边形；
②连结，若，求的面积．（2）如图2，过点作，交反比例函数的图象于点，连结．试探究：对于确定的实数，动点在运动过程中，的面积是否会发生变化？请说明理由．
【答案】（1）①证明见解析，②1；（2）不改变，见解析
【分析】（1）①计算得出，利用平行四边形的判定方法即可证明结论；
②证明，利用反比例函数的几何意义求得，即可求解；
（2）点的坐标为，点的坐标为，可知四边形是平行四边形，由，利用相似三角形的性质得到关于的一元二次方程，利用三角形的面积公式即可求解．
【详解】（1）①证明：设点的坐标为，
则当时，点的坐标为，，
轴，，∴四边形是平行四边形；
②解：过点作轴于点，
轴，，， ，
∴当时，则，即．；
（2）解 不改变． 理由如下：
过点作轴于点与轴交于点，设点的坐标为，点的坐标为，
则，OH=b，由题意，可知四边形是平行四边形，
∴OG=AE=a，∠HPG=∠OEG=∠EOA，且∠PHG=∠OEA=90°，
∴， ，即，
∴，，解得，
异号，，，．
∴对于确定的实数，动点在运动过程中，的面积不会发生变化．
．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
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第三章 函数 （浙江省专用）
第13节 反比例函数及其应用
【考场演练】
一、选择题
1．（2021·辽宁抚顺·三模）下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021 丽水 中考真题）一杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长固定不变．甲、乙、丙、丁四位同学分别在杆的另一端竖直向下施加压力F甲、F乙、F丙、F丁，将相同重量的水桶吊起同样的高度，若F乙＜F丙＜F甲＜F丁，则这四位同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远的是（　　）
A．甲同学 B．乙同学 C．丙同学 D．丁同学
3．（2021·江苏连云港市·中考真题）关于某个函数表达式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征．甲：函数图像经过点；乙：函数图像经过第四象限；
丙：当时，y随x的增大而增大．则这个函数表达式可能是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·四川自贡市·中考真题）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流O（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是（ ）
A．函数解析式为 B．蓄电池的电压是18V
C．当时， D．当时，
5．（2021·山东威海市·中考真题）一次函数与反比例函数的图象交于点，点．当时，x的取值范围是（ ）
A． B．或 C． D．或
6．（2021·四川达州市·中考真题）在反比例函数（为常数）上有三点，，，若，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·辽宁大连市·中考真题）下列说法正确的是（　　）
①反比例函数中自变量x的取值范围是；②点在反比例函数的图象上；
③反比例函数的图象，在每一个象限内，y随x的增大而增大．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
8．（2020·山东威海·中考真题）一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
9．（2021 东阳市模拟）如图直线y＝mx与双曲线交于点A、B，过A作AM⊥x轴于M点，连接BM，若S△AMB＝2，则k的值是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2021 瑞安市三模）如图，A，B是反比例函数y＝（x＞0）图象上的两点，分别过A，B两点向x轴，y轴作垂线段，AD，BE两垂线段交于点G．若图中阴影部分的面积为3，则△OAB的面积为（　　）
A．9 B．10 C．11 D．12
二、填空题
11．（2021·江苏无锡市·中考真题）请写出一个函数表达式，使其图象在第二、四象限且关于原点对称：________．
12．（2021·湖南株洲市·中考真题）点、是反比例函数图像上的两点，满足：当时，均有，则的取值范围是__________．
13．（2021·内蒙古通辽市·中考真题）如图，，，…，都是斜边在x轴上的等腰直角三角形，点，，，…，都在x轴上，点，，，…，都在反比例函数的图象上，则点的坐标为__________．（用含有正整数n的式子表示）
14．（2020·江苏南通市·中考真题）将双曲线y＝向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新双曲线与直线y＝kx﹣2﹣k（k＞0）相交于两点，其中一个点的横坐标为a，另一个点的纵坐标为b，则（a﹣1）（b+2）＝_____．
15．（2020·广西玉林市·中考真题）已知函数与函数的部分图像如图所示，有以下结论：①当时，都随x的增大而增大；②当时， ；③的图像的两个交点之间的距离是2；④函数的最小值为2；则所有正确的结论是_________．
16．（2021·辽宁本溪市·中考真题）如图，是半圆的直径，C为半圆的中点，，，反比例函数的图象经过点C，则k的值为________．
17.（2021 宁波 中考真题）在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意臥点A（x，y），我们把点B（，）称为点A的“倒数点”．如图，矩形OCDE的顶点C为（3，0），顶点E在y轴上，函数y（x＞0）的图象与DE交于点A．若点B是点A的“倒数点”，且点B在矩形OCDE的一边上，则△OBC的面积为 　　．
18．（2021 湖州）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x﹣1分别交x轴，y轴于点A和点B，分别交反比例函数y1＝（k＞0，x＞0），y2＝（x＜0）的图象于点C和点D，过点C作CE⊥x轴于点E，连结OC，OD．若△COE的面积与△DOB的面积相等，则k的值是　　．
三、解答题
19．（2021·湖南张家界市·中考真题）阅读下面的材料：
如果函数满足：对于自变量取值范围内的任意，，
（1）若，都有，则称是增函数；
（2）若，都有，则称是减函数．
例题：证明函数是增函数．
证明：任取，且，
则
∵且，
∴，
∴，即，
∴函数是增函数．
根据以上材料解答下列问题：
（1）函数，，，_______，_______；
（2）猜想是函数_________（填“增”或“减”），并证明你的猜想．
20．（2020 杭州 中考真题）设函数y1，y2（k＞0）．（1）当2≤x≤3时，函数y1的最大值是a，函数y2的最小值是a﹣4，求a和k的值．（2）设m≠0，且m≠﹣1，当x＝m时，y1＝p；当x＝m+1时，y1＝q．圆圆说：“p一定大于q”．你认为圆圆的说法正确吗？为什么？
21．（2019 金华 中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF的对称中心P在反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象上，边CD在x轴上，点B在y轴上，已知CD＝2．
（1）点A是否在该反比例函数的图象上？请说明理由；（2）若该反比例函数图象与DE交于点Q，求点Q的横坐标；（3）平移正六边形ABCDEF，使其一边的两个端点恰好都落在该反比例函数的图象上，试描述平移过程．
22．（2019 舟山 中考真题）如图，在直角坐标系中，已知点B（4，0），等边三角形OAB的顶点A在反比例函数y的图象上．（1）求反比例函数的表达式．（2）把△OAB向右平移a个单位长度，对应得到△O'A'B'当这个函数图象经过△O'A'B'一边的中点时，求a的值．
23．（2021·四川雅安市·中考真题）已知反比例函数的图象经过点．
（1）求该反比例函数的表达式；（2）如图，在反比例函数的图象上点A的右侧取点C，作CH⊥x轴于H，过点A作y轴的垂线AG交直线于点D．①过点A，点C分别作x轴，y轴的垂线，交于B，垂足分别为为F、E，连结OB，BD，求证：O，B，D三点共线；②若，求证：．
24．（2021·湖北恩施·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的斜边在轴上，坐标原点是的中点，，，双曲线经过点．
（1）求；（2）直线与双曲线在第四象限交于点．求的面积．
25．（2020·湖南郴州市·中考真题）为了探索函数的图象与性质，我们参照学习函数的过程与方法．列表：
描点：在平面直角坐标系中，以自变量的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示：
（1）如图，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象；
（2）已知点在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题：
若，则 ；若，则 ；若，则 （填“>”，“=”，“<”）．
（3）某农户要建造一个图所示的长方体形无盖水池，其底面积为平方米，深为米．已知底面造价为千元/平方米，侧面造价为千元/平方米，设水池底面一边的长为米，水池总造价为千元．①请写出与的函数关系式；②若该农户预算不超过千元，则水池底面一边的长应控制在什么范围内
26．（2021·浙江中考真题）已知在平面直角坐标系中，点是反比例函数图象上的一个动点，连结的延长线交反比例函数的图象于点，过点作轴于点．
（1）如图1，过点作轴于点，连结．①若，求证：四边形是平行四边形；②连结，若，求的面积．（2）如图2，过点作，交反比例函数的图象于点，连结．试探究：对于确定的实数，动点在运动过程中，的面积是否会发生变化？请说明理由．
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第三章 函数 （浙江省专用）
第13节 反比例函数及其应用
【考试要求】
1.理解反比例函数的定义，掌握反比例函数的表达式，能根据条件确定反比例函数的表达式；
2.能画出反比例函数的图象，并根据图象理解反比例函数的性质；
3.能利用反比例函数模型解决生活实际问题.
4.会解决反比例函数与一次函数的综合题
【考情预测】
反比例函数也是非常重要的函数，年年都会考，总分值为15分左右，预计2022年各地中考一定还会考，反比例函数与一次函数结合出现在解答题中是各地中考必考的一个解答题，反比例函数的图象与性质和平面几何的知识结合、反比例函数中|k|的几何意义等也会是小题考察的重点。
【考点梳理】
1．反比例函数的概念：我们把形如y＝(k为常数，k≠0)的函数叫做反比例函数．自变量x≠0．
反比例函数有三种表达形式：①y＝(k为常数，k≠0)；②y＝kx－1(k为常数，k≠0)；③xy＝k(k为常数，k≠0)．
2．反比例函数的图象：反比例函数的图象是由两个分支组成的曲线，且不与两坐标轴相交．
3．反比例函数的性质：
(1)当k＞0时，图象的两个分支位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小．
(2)当k＜0时，图象的两个分支位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．
(3)其图象既是关于原点对称的中心对称图形，又是轴对称图形．
4、反比例函数中|k|的几何意义
1）反比例函数图象中有关图形的面积
5、反比例函数与一次函数的综合
1）涉及自变量取值范围型：当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标。针对时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围.例如，如下图，当时，x的取值范围为或；同理，当时，x的取值范围为或．
2）求一次函数与反比例函数的交点坐标
（1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定.
①k值同号，两个函数必有两个交点；②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点；
（2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况．
6、反比例函数的实际应用
解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，特别注意自变量的取值范围．
【重难点突破】
考向1. 反比例函数的定义及表达式
【典例精析】
【例】（2021 温州 中考模拟）验光师测得一组关于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）的对应数据如下表，根据表中数据，可得y关于x的函数表达式为（　　）
近视眼镜的度数y（度） 200 250 400 500 1000
镜片焦距x（米） 0.50 0.40 0.25 0.20 0.10
A．y B．y C．y D．y
\【变式训练】
变式1-1．（2021 嘉兴期末）下列y关于x的函数中，属于反比例函数的是（　　）
A．y＝﹣3x B．y＝ C．y＝ D．y＝
变式1-2．（2021 余杭区期末）已知一个函数的图象与反比例函数y＝的图象关于y轴对称，则这个函数的表达式是　 　．
变式1-3．（2021 长兴县期末）已知x与y成反比例，且当x＝﹣时，y＝
（1）求y关于x的函数表达式；（2）当x＝﹣时，y的值是多少？
【考点巩固训练】
1．（2021·湖北宜昌市·中考真题）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（单位：）是气体体积（单位：）的反比例函数：，能够反映两个变量和函数关系的图象是（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·上海市实验学校二模）下列函数中，为反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·广东·西关外国语学校一模）反比例函数的图象上有一点P（2，n），将点P向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到点Q，若点Q也在该函数的图象上，则k＝___．
4．（2021·陕西白水·中考模拟）已知，，，都在反比例函数的图象上．若，则的值为___．
考向2. 反比例函数的图象与性质
【典例精析】
【例】（2021 嘉兴 中考真题）已知三个点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）在反比例函数y的图象上，其中x1＜x2＜0＜x3，下列结论中正确的是（　　）
A．y2＜y1＜0＜y3 B．y1＜y2＜0＜y3 C．y3＜0＜y2＜y1 D．y3＜0＜y1＜y2
【变式训练】
变式2-1. （2021 富阳区期末）已知反比例函数y＝，则下列结论正确的是（　　）
A．其图象分别位于第一、三象限 B．当x＞0时，y随x的增大而减小
C．若点P（m，n）在它的图象上，则点Q（n，m）也在它的图象上
D．若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在该函数图象上，且x1＜x2，则y1＜y2
变式2-2. （2021 鄞州区期末）已知反比例函数y＝﹣，利用图象可知当y≤4时自变量x的取值范围是（　　）
A．x＜﹣3 B．x≥﹣3 C．x≤﹣3或x＞0 D．x≥3或x＜0
变式2-3. （2021 金华 中考真题）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数y的图象上．若x1＜0＜x2，则（　　）
A．y1＜0＜y2 B．y2＜0＜y1 C．y1＜y2＜0 D．y2＜y1＜0
【考点巩固训练】
1．（2020 金华 中考真题）已知点（﹣2，a），（2，b），（3，c）在函数y（k＞0）的图象上，则下列判断正确的是（　　）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．c＜b＜a
2．（2021 萧山区期中）已知点A（1，m），B（2，m﹣n）（n＞0）在同一个函数的图象上，则这个函数可能是（　　）
A．y＝x B．y＝﹣ C．y＝x2 D．y＝﹣x2
3．（2021 萧山区期末）已知反比例函数（k为常数且k≠0）的图象经过点（3，4），则该函数图象必不经过点（　　）
A．（2，6） B．（﹣1，﹣12） C．（，24） D．（﹣3，8）
4．（2021 临海市期末）若反比例函数的图象经过点（2，﹣2），（m，1），则m＝　 　．
5．（2020·湖北武汉市·中考真题）若点，在反比例函数的图象上，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
6．（2020·广西中考真题）反比例函数y＝（x＜0）的图象如图所示，下列关于该函数图象的四个结论：①k＞0；②当x＜0时，y随x的增大而增大；③该函数图象关于直线y＝﹣x对称；④若点（﹣2，3）在该反比例函数图象上，则点（﹣1，6）也在该函数的图象上．其中正确结论的个数有___个．
考向3. 反比例函数中k的几何意义
【典例精析】
【例】（2020 湖州 中考真题）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，Rt△OAB的直角顶点B在x轴的正半轴上，点A在第一象限，反比例函数y（x＞0）的图象经过OA的中点C．交AB于点D，连接CD．若△ACD的面积是2，则k的值是　　．
【变式训练】
变式3-1. （2021 绍兴 中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在x轴正半轴上，顶点B，C在第一象限，顶点D的坐标（，2）．反比例函数y（常数k＞0，x＞0）的图象恰好经过正方形ABCD的两个顶点，则k的值是　 　．
变式3-2. （2021 温州 中考真题）如图，点A，B在反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象上，AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，BE⊥y轴于点E，连结AE．若OE＝1，OCOD，AC＝AE，则k的值为（　　）
A．2 B． C． D．2
变式3-3. （2019 湖州 中考真题）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线yx﹣1分别交x轴，y轴于点A和点B，分别交反比例函数y1（k＞0，x＞0），y2（x＜0）的图象于点C和点D，过点C作CE⊥x轴于点E，连接OC，OD．若△COE的面积与△DOB的面积相等，则k的值是　　．
【考点巩固训练】
1．（2019 衢州 中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点， ABCD的边AB在x轴上，顶点D在y轴的正半轴上，点C在第一象限，将△AOD沿y轴翻折，使点A落在x轴上的点E处，点B恰好为OE的中点，DE与BC交于点F．若y（k≠0）图象经过点C，且S△BEF＝1，则k的值为　　．
2．（2020 温州 中考真题）点P，Q，R在反比例函数y（常数k＞0，x＞0）图象上的位置如图所示，分别过这三个点作x轴、y轴的平行线．图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为S1，S2，S3．若OE＝ED＝DC，S1+S3＝27，则S2的值为　　．
3．（2020 衢州 中考真题）如图，将一把矩形直尺ABCD和一块含30°角的三角板EFG摆放在平面直角坐标系中，AB在x轴上，点G与点A重合，点F在AD上，三角板的直角边EF交BC于点M，反比例函数y（x＞0）的图象恰好经过点F，M．若直尺的宽CD＝3，三角板的斜边FG＝8，则k＝　．
4．（2020 宁波 中考真题）如图，经过原点O的直线与反比例函数y（a＞0）的图象交于A，D两点（点A在第一象限），点B，C，E在反比例函数y（b＜0）的图象上，AB∥y轴，AE∥CD∥x轴，五边形ABCDE的面积为56，四边形ABCD的面积为32，则a﹣b的值为　 　，的值为　　．
5．（2021 龙湾区二模）如图，已知点A，点C在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，连结OC交AB于点D，若CD＝2OD，则△BDC与△ADO的面积比为（　　）
A． B． C． D．
考向4. 反比例函数与一次函数综合题
【典例精析】
【例】（2021 湖州 中考真题）已知在平面直角坐标系xOy中，点A是反比例函数y（x＞0）图象上的一个动点，连结AO，AO的延长线交反比例函数y（k＞0，x＜0）的图象于点B，过点A作AE⊥y轴于点E．（1）如图1，过点B作BF⊥x轴，于点F，连接EF．①若k＝1，求证：四边形AEFO是平行四边形；②连结BE，若k＝4，求△BOE的面积．（2）如图2，过点E作EP∥AB，交反比例函数y（k＞0，x＜0）的图象于点P，连结OP．试探究：对于确定的实数k，动点A在运动过程中，△POE的面积是否会发生变化？请说明理由．
【变式训练】
变式4-1. （2021 宁波 中考真题）如图，正比例函数y1＝k1x（k1＜0）的图象与反比例函数y2（k2＜0）的图象相交于A，B两点，点B的横坐标为2，当y1＞y2时，x的取值范围是（　　）
A．x＜﹣2或x＞2 B．﹣2＜x＜0或x＞2 C．x＜﹣2或0＜x＜2 D．﹣2＜x＜0或0＜x＜2
变式4-2. （2021 杭州 中考真题）在直角坐标系中，设函数y1（k1是常数，k1＞0，x＞0）与函数y2＝k2x（k2是常数，k2≠0）的图象交于点A，点A关于y轴的对称点为点B．
（1）若点B的坐标为（﹣1，2），①求k1，k2的值；②当y1＜y2时，直接写出x的取值范围；
（2）若点B在函数y3（k3是常数，k3≠0）的图象上，求k1+k3的值．
变式4-3.（2019 宁波 中考真题）如图，过原点的直线与反比例函数y（k＞0）的图象交于A，B两点，点A在第一象限．点C在x轴正半轴上，连接AC交反比例函数图象于点D．AE为∠BAC的平分线，过点B作AE的垂线，垂足为E，连接DE．若AC＝3DC，△ADE的面积为8，则k的值为　　．
【考点巩固训练】
1．（2021 杭州 中考真题）已知y1和y2均是以x为自变量的函数，当x＝m时，函数值分别是M1和M2，若存在实数m，使得M1+M2＝0，则称函数y1和y2具有性质P．以下函数y1和y2具有性质P的是（　　）
A．y1＝x2+2x和y2＝﹣x﹣1 B．y1＝x2+2x和y2＝﹣x+1
C．y1和y2＝﹣x﹣1 D．y1和y2＝﹣x+1
2．（2019 绍兴 中考真题）如图，矩形ABCD的两边分别与坐标轴平行，顶点A，C都在双曲线y（常数k＞0，x＞0）上，若顶点D的坐标为（5，3），则直线BD的函数表达式是　　．
3．（2021 临海市期末）如图，正比例函数y＝x与反比例函数y＝的图象相交于A，C两点．AB⊥x轴于B，CD⊥x轴于D，当四边形ABCD的面积为6时，则k的值是（　　）
A．6 B．3 C．2 D．
4．（2021 富阳区期末）在平面直角坐标系中，正比例函数y1＝x与反比例函数y2＝的图象交于点A（A，﹣2），则k＝　　．
5．（2021 越城区期末）如图，如果一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A（m，6），B（n，3）两点，那么不等式kx+b＞的解集为：　　．
考向5. 反比例函数的实际应用
【典例精析】
【例】（2021 台州 中考真题）电子体重科读数直观又便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R1，R1与踏板上人的质量m之间的函数关系式为R1＝km+b（其中k，b为常数，0≤m≤120），其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻R0的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为U0，该读数可以换算为人的质量m，
温馨提示：①导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流I，满足关系式I；
②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压
（1）求k，b的值；（2）求R1关于U0的函数解析式；（3）用含U0的代数式表示m；
（4）若电压表量程为0~6伏，为保护电压表，请确定该电子体重秤可称的最大质量．
【变式训练】
变式5-1.（2021 诸暨市期末）为预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”，已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与燃烧时间x（分钟）成正比例；燃烧后，y与x成反比例（如图所示）．现测得药物10分钟燃烧完，此时教室内每立方米空气含药量为6mg．研究表明当每立方米空气中含药量低于1.2mg时，对人体方能无毒害作用，那么从消毒开始，至少需要经过　50　分钟后，学生才能回到教室．
变式5-2. （2020 台州 中考真题）小明同学训练某种运算技能，每次训练完成相同数量的题目，各次训练题目难度相当．当训练次数不超过15次时，完成一次训练所需要的时间y（单位：秒）与训练次数x（单位：次）之间满足如图所示的反比例函数关系．完成第3次训练所需时间为400秒．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当x的值为6，8，10时，对应的函数值分别为y1，y2，y3，比较（y1﹣y2）与（y2﹣y3）的大小：y1﹣y2　 　y2﹣y3．
变式5-3. （2019 杭州 中考真题）方方驾驶小汽车匀速地从A地行驶到B地，行驶里程为480千米，设小汽车的行驶时间为t（单位：小时），行驶速度为v（单位：千米/小时），且全程速度限定为不超过120千米/小时．（1）求v关于t的函数表达式；（2）方方上午8点驾驶小汽车从A地出发．
①方方需在当天12点48分至14点（含12点48分和14点）间到达B地，求小汽车行驶速度v的范围．②方方能否在当天11点30分前到达B地？说明理由．
【考点巩固训练】
1．（2021 金华一模）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强，如下表：则可以反映y与x之间的关系的式子是（　　）
体积x（mL） 100 80 60 40 20
压强y（kPa） 60 75 100 150 300
A．y＝3 000x B．y＝6 000x C．y＝ D．y＝
2．（2021 余杭区二模）如果某蓄水池的进水管每小时进水8m3，那么6小时可将空水池蓄满水．
（1）求将空水池蓄满水所需的时间y关于每小时进水量x的函数表达式；
（2）如果准备在5小时内将空水池蓄满水，那么每小时的进水量至少为多少？
3．（2021 拱墅区二模）A，B两地相距200千米，一辆汽车匀速从A地驶往B地，速度为v（单位：千米/小时），驶完全程的时间为t（单位：小时）．（1）v关于t的函数表达式，并写出自变量t取值范围．（2）若速度每小时不超过60千米，那么从A地行驶到B地至少要行驶多少小时？
4．（2021 金华 中考真题）背景：点A在反比例函数y（k＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，分别在射线AC，BO上取点D，E，使得四边形ABED为正方形．如图1，点A在第一象限内，当AC＝4时，小李测得CD＝3．
探究：通过改变点A的位置，小李发现点D，A的横坐标之间存在函数关系．请帮助小李解决下列问题．（1）求k的值．（2）设点A，D的横坐标分别为x，z，将z关于x的函数称为“Z函数”．如图2，小李画出了x＞0时“Z函数”的图象．①求这个“Z函数”的表达式．②补画x＜0时“Z函数”的图象，并写出这个函数的性质（两条即可）．③过点（3，2）作一直线，与这个“Z函数”图象仅有一个交点，求该交点的横坐标．
5．（2021·四川乐山市·中考真题）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标随时间（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分．（1）求点对应的指标值；（2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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