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第三章 函数 （浙江省专用）
第14节 二次函数图象与性质
【考试要求】
1.理解二次函数的意义，掌握二次函数的表达式，熟练应用待定系数法求二次函数的表达式；
2.会画二次函数的图象，掌握二次函数的性质
【考情预测】
二次函数是非常重要的函数，年年都会考查,总分值为18~20分，预计2022年各地中考还会考，它经常以一个压轴题独立出现，有的地区也会考察二次函数的应用题，小题的考察主要是二次函数的图象和性质及或与几何图形结合来考查。
【考点梳理】
1．二次函数的定义：
一般地，形如 y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数．
2．二次函数的三种表达式：
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)．
(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a，h，k是常数，a≠0)，顶点坐标是(h，k)．
(3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a，x1，x2是常数，a≠0)，其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，图象的对称轴为直线 x＝．
3．二次函数的图象与性质：
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，当a＞0时，抛物线的开口向上，这时当x≤－时，y随x的增大而减小；当x≥－时，y随x的增大而增大；当x＝－时，y有最小值．当a＜0时，抛物线开口向下，这时当x≤－时，y随x的增大而增大；当x≥－时，y随x的增大而减小；当x＝－时，y有最大值．该抛物线的对称轴是直线x＝－，顶点坐标是．
4．二次函数的图象的平移：
平移规律：左右平移由h值决定：左加右减；上下平移由k值决定：上加下减．
5.对于二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：
①△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
②△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
③△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点.
【重难点突破】
考向1.二次函数的概念与表达式
【典例精析】
【例】（2021·安徽·淮北市中考模拟）若是关于x的二次函数，则m=_______．
【答案】1
【分析】根据二次函数的定义列出方程，解方程后综合考虑取值即可．
【详解】解：∵是关于x的二次函数，
∴，解得：，∴．故答案为：1．
【点睛】此题考查了二次函数定义，解题的关键是熟练掌握二次函数定义．二次函数定义：一般地，把形如（a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．x为自变量，y为因变量．
【变式训练】
变式1-1．（2021·甘肃兰州·中考真题）二次函数的图象的对称轴是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将二次函数写成顶点式，进而可得对称轴．
【详解】解：．二次函数的图象的对称轴是．故选A．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，将一般式转化为顶点式是解题的关键．
变式1-2．（2021 下城区期末）已知二次函数y＝ax2+4x+c，当x等于﹣2时，函数值是﹣1；当x＝1时，函数值是5．则此二次函数的表达式为（　　）
A．y＝2x2+4x﹣1 B．y＝x2+4x﹣2 C．y＝﹣2x2+4x+1 D．y＝2x2+4x+1
【思路点拨】把两组对应值代入y＝ax2+4x+c得到关于a、c的方程组，然后解方程组即可．
【答案】解：根据题意得，解得，
所以抛物线解析式为y＝2x2+4x﹣1．故选：A．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
变式1-3．（2021 瓯海区二模）已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝﹣1，且过点（﹣3，0），（0，﹣3）．（1）求抛物线的表达式．（2）已知点（m，k）和点（n，k）在此抛物线上，其中m≠n，请判断关于t的方程t2+mt+n＝0是否有实数根，并说明理由．
【思路点拨】（1）将已知点的坐标代入二次函数列出方程组，解之即可；
（2）因为（m，k），（n，k）是关于直线x＝﹣1的对称点，所以＝﹣1 即m＝﹣n﹣2，于是 b2﹣4ac＝m2﹣4n＝（﹣n﹣2）2﹣4n＝n2+4＞0，所以此方程有两个不相等的实数根．
【答案】解：（1）抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝﹣1，且过点（﹣3，0），（0，3）
解得a＝1，b＝2，c＝﹣3∴抛物线y＝x2+2x﹣3；
（2）∵点（m，k），（n，k）在此抛物线上，∴（m，k），（n，k）是关于直线x＝﹣1的对称点，
∴＝﹣1 即m＝﹣n﹣2 b2﹣4ac＝m2﹣4n＝（﹣n﹣2）2﹣4n＝n2+4＞0
∴此方程有两个不相等的实数根．
【点睛】本题考查了二次函数，熟练掌握二次函数的性质与二次函数上点的坐标特征是解题的关键．
【考点巩固训练】
1．（2020·江苏无锡·中考真题）请写出一个函数表达式，使其图象的对称轴为轴：__________．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据二次函数的图象和性质，对称轴为轴，即b=0，写出满足条件的函数解析式即可.
【解析】解：设函数的表达式为y=ax2+bx+c，
∵图象的对称轴为y轴，∴对称轴为x==0，∴b=0，
∴满足条件的函数可以是：.（答案不唯一）故答案是：y=x2（答案不唯一）
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.
2．（2021 龙湾区期中）下列各式中，y是关于x的二次函数的是（　　）
A．y＝2x+3 B． C．y＝3x2﹣1 D．y＝（x﹣1）2﹣x2
【思路点拨】根据二次函数的定义，可得答案．
【答案】解：A、是一次函数，故A错误；B、二次函数都是整式，故B错误；
C、是二次函数，故C正确；D、是一次函数，故D错误；故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，函数y＝ax2+bx+c （a≠0）是二次函数．
3．（2021 杭州）在“探索函数y＝ax2+bx+c的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：A（0，2），B（1，0），C（3，1），D（2，3）．同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a的值最大为（　　）
A． B． C． D．
【分析】比较任意三个点组成的二次函数，比较开口方向，开口向下，则a＜0，只需把开口向上的二次函数解析式求出即可．
【详解】解：由图象知，A、B、D组成的点开口向上，a＞0；
A、B、C组成的二次函数开口向上，a＞0；B、C、D三点组成的二次函数开口向下，a＜0；
A、D、C三点组成的二次函数开口向下，a＜0；
即只需比较A、B、D组成的二次函数和A、B、C组成的二次函数即可．
设A、B、C组成的二次函数为y1＝a1x2+b1x+c1，
把A（0，2），B（1，0），C（3，1）代入上式得，，解得a1；
设A、B、D组成的二次函数为y＝ax2+bx+c，
把A（0，2），B（1，0），D（2，3）代入上式得，
，解得a，即a最大的值为，故选：A．
4．（2021 绍兴）关于二次函数y＝2（x﹣4）2+6的最大值或最小值，下列说法正确的是（　　）
A．有最大值4 B．有最小值4 C．有最大值6 D．有最小值6
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到该函数有最小值，最小值为6，然后即可判断哪个选项是正确的．
【详解】解：∵二次函数y＝2（x﹣4）2+6，a＝2＞0，
∴该函数图象开口向上，有最小值，当x＝2取得最小值6，故选：D．
考向2.二次函数的图象及系数的关系
【典例精析】
【例】（2021·湖北襄阳市·中考真题）一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据一次函数图像经过的象限以及与坐标轴的交点可知：，由此可知二次函数开口方向，坐标轴情况，依此判断即可．
【详解】解：观察一次函数图像可知，
∴二次函数开口向下，对称轴，故选：D．
【点睛】本题主要考查一次函数的图像以及二次函数的图像，根据一次函数图像经过的象限以及与坐标轴的交点情况判断a、b的正负是解题的关键．
【变式训练】
变式2-1. （2021·江西中考真题）在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ）
A． B．C．D．
【答案】D
【分析】根据二次函数与一次函数的图象可知，，，从而判断出二次函数的图象．
【详解】解：∵二次函数的图象开口向上，∴，
∵次函数的图象经过一、三、四象限，∴，，
对于二次函数的图象，∵，开口向上，排除A、B选项；
∵，，∴对称轴，∴D选项符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，根据二次函数的图象和一次函数图象经过的象限，找出，，是解题的关键．
变式2-2. （2021·山东日照·中考真题）抛物线的对称轴是直线，其图象如图所示．下列结论：①；②；③若和是抛物线上的两点，则当时，；④抛物线的顶点坐标为，则关于的方程无实数根．其中正确结论的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】①由图象开口方向，对称轴位置，与轴交点位置判断，，符号．②把分别代入函数解析式，结合图象可得的结果符号为负．③由抛物线开口向上，距离对称轴距离越远的点值越大．④由抛物线顶点纵坐标为可得，从而进行判断无实数根．
【详解】解：①抛物线图象开口向上，，对称轴在直线轴左侧，，同号，，
抛物线与轴交点在轴下方，，，故①正确．
②，当时，由图象可得，
当时，，由图象可得，
，即，故②正确．
③，，，
点，到对称轴的距离大于点，到对称轴的距离，，故③错误．
④抛物线的顶点坐标为，，，无实数根．故④正确，
综上所述，①②④正确，故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图象的性质，解题关键是熟练掌握二次函数中，，与函数图象的关系．
变式2-3. （2021·湖北黄冈市·中考真题）如图，为矩形的对角线，已知，．点P沿折线以每秒1个单位长度的速度运动（运动到D点停止），过点P作于点E，则的面积y与点P运动的路程x间的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据矩形的性质、勾股定理可得，再分和两种情况，解直角三角形分别求出的长，利用直角三角形的面积公式可得与间的函数关系式，由此即可得出答案．
【详解】解：四边形是矩形，，，
，，由题意，分以下两种情况：
（1）当点在上，即时，
在中，，在中，，，
，；
（2）如图，当点在上，即时，
四边形是矩形，，四边形是矩形，
，，
综上，与间的函数关系式为，
观察四个选项可知，只有选项D的图象符合，故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、解直角三角形、二次函数与一次函数的图象，正确分两种情况讨论是解题关键．
【考点巩固训练】
1．（2021·山东聊城市·中考真题）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一次函数y＝bx＋c的图象和反比例函数y＝的图象在同一坐标系中大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先通过二次函数的图像确定a、b、c的正负，再利用x=1代入解析式，得到a+b+c的正负即可判定两个函数的图像所在的象限，即可得出正确选项．
【详解】解：由图像可知：图像开口向下，对称轴位于y轴左侧，与y轴正半轴交于一点，
可得： 又由于当x=1时，
因此一次函数的图像经过一、二、四三个象限，反比例函数的图像位于二、四象限；故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质以及反比例函数的图像与性质，解决本题的关键是能读懂题干中的二次函数图像，能根据图像确定解析式中各系数的正负，再通过各项系数的正负判定另外两个函数的图像所在的象限，本题蕴含了数形结合的思想方法等．
2．（2021·四川遂宁市·中考真题）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④（）；⑤若方程＝1有四个根，则这四个根的和为2，其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【分析】根据抛物线的开口向下，对称轴方程以及图象与y轴的交点得到a，b，c的取值，于是可对①进行判断；根据抛物线与x轴的交点的个数可对②进行判断；根据对称轴可得，则，根据可得，代入变形可对③进行判断；当时，的值最大，即当时，即>，则可对④进行判断；由于方程ax2+bx+c=1有2个根，方程ax2+bx+c=-1有2个根，则利用根与系数的关系可对⑤进行判断．
【详解】解：①∵抛物线开口方向向下，∴a＜0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，
∵对称轴在y轴右侧，∴b＞0，∴abc＜0，①错误；
②∵抛物线与x轴有两个交点∴>0∴，故②错误；
③∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴，∴
由图象得，当时，，∴∴，故③正确；
④当时，的值最大，∴当时，>，
∴（），∵b＞0，∴（），故④正确；
⑤∵方程|ax2+bx+c|=1有四个根，∴方程ax2+bx+c=1有2个根，方程ax2+bx+c=-1有2个根，
∴所有根之和为2×（-）=2×=4，所以⑤错误．∴正确的结论是③④，故选：A
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
3．（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真题）如图，已知二次函数的图象与轴交于，顶点是，则以下结论：①；②；③若，则或；④．其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据开口方向、对称轴，判断a、b的符号及数量关系，根据抛物线与y轴的交点判断c的符号，根据图象与轴交于和对称轴判断抛物线与x轴的另一个交点，则可判断x=2时y的正负，取x=1，x=-1时，函数的表达式，进行相关计算即可证明的正确性．
【详解】解：∵抛物线开口向上，∴，∵对称轴为直线，∴，
∵抛物线与y轴的交点在负半轴，∴，∴，故①错误；
∵抛物线与x轴交于，对称轴为，∴抛物线与x轴的另一个交点为，
当x=2时，位于x轴上方，∴，故②正确；
若，当y=c时，x=-2或0，根据二次函数对称性，则或，故③正确；
当时，① ，当时，② ，①+②得：，
∵对称轴为直线，∴，∴，∴，故④错误；
综上：②③正确，故选：B．
【点睛】本题主要考查二次函数图像的性质，根据开口方向，对称轴，与坐标轴的交点坐标等判断所给式子的正确性，解题关键是熟悉函数图像与解析式的对应关系．
4．（2021·黑龙江齐齐哈尔市·中考真题）如图，二次函数图象的一部分与x轴的一个交点坐标为，对称轴为，结合图象给出下列结论：
①；②；③关于x的一元二次方程的两根分别为-3和1；④若点，，均在二次函数图象上，则；
⑤（m为任意实数）．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据二次函数的图像及性质逐项分析即可判断．
【详解】解：∵二次函数图象的一部分与x轴的一个交点坐标为，
∴当x=1时，，故结论①正确；根据函数图像可知，
当，即，对称轴为，即，根据抛物线开口向上，得，
∴，∴，即，故结论②正确；
根据抛物线与x轴的一个交点为，对称轴为可知：抛物线与x轴的另一个交点为(-3，0)，
∴关于x的一元二次方程的两根分别为-3和1，故结论③正确；
根据函数图像可知：，故结论④错误；当时，，
∴当时，，即，故结论⑤错误，
综上：①②③正确，故选：C．
【点睛】本题主要考查二次函数图像与系数的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，正确理解二次函数与方程的关系．
5．（2019 舟山）小飞研究二次函数y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m为常数）性质时得到如下结论：
①这个函数图象的顶点始终在直线y＝﹣x+1上；
②存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形；
③点A（x1，y1）与点B（x2，y2）在函数图象上，若x1＜x2，x1+x2＞2m，则y1＜y2；
④当﹣1＜x＜2时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为m≥2．
其中错误结论的序号是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
【分析】据函数解析式，结合函数图象的顶点坐标、对称轴以及增减性依次对4个结论作出判断即可．
【详解】解：二次函数y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m为常数）
①∵顶点坐标为（m，﹣m+1）且当x＝m时，y＝﹣m+1
∴这个函数图象的顶点始终在直线y＝﹣x+1上故结论①正确；
②假设存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形
令y＝0，得﹣（x﹣m）2﹣m+1＝0，其中m≤1
解得：x1＝m，x2＝m
∵顶点坐标为（m，﹣m+1），且顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形
∴|﹣m+1|＝|m﹣（m）|解得：m＝0或1，
当m＝1时，二次函数y＝﹣（x﹣1）2，此时顶点为（1，0），与x轴的交点也为（1，0），不成三角形，舍去；∴存在m＝0，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形
故结论②正确；
③∵x1+x2＞2m∴∵二次函数y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m为常数）的对称轴为直线x＝m
∴点A离对称轴的距离小于点B离对称轴的距离 ∵x1＜x2，且a＝﹣1＜0∴y1＞y2故结论③错误；
④当﹣1＜x＜2时，y随x的增大而增大，且a＝﹣1＜0
∴m的取值范围为m≥2．故结论④正确．故选：C．
6．（2021·辽宁盘锦·中考真题）如图，四边形ABCD是菱形，BC＝2，∠ABC＝60°，对角线AC与BD相交于点O，线段BD沿射线AD方向平移，平移后的线段记为PQ，射线PQ与射线AC交于点M，连结PC，设OM长为，△PMC面积为．下列图象能正确反映出与的函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由四边形ABCD是菱形，BC＝2，∠ABC＝60°，可求出AC、AO、OC的长，再设OM＝x，利用解直角三角形表示出PM，分点M在线段OC上（不含点O）时和当点在线段OC延长线上时两种情况分别表示出y再结合函数图象即可判断出正确答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BC＝2，∠BAD＝180° ∠ABC＝120°，
∴∠DAO＝∠BAD＝60°，∴△DAC是等边三角形，∴AD＝AC＝2，∴AO＝CO＝AC＝1，
设OM＝x，∵AC⊥BD，PQ为BD平移而来，∴∠AOD＝∠AMP＝90°，∴△AMP为直角三角形，
∴PM＝AM tan∠PAM＝（1＋x），
①当点M在线段OC上（不含点O）时，即0≤x＜1，此时CM＝1 x，
则y＝（1 x）×（1＋x）＝ ，∴0≤x＜1，函数图象开口应朝下，故B、C不符合题意，
②当点在线段OC延长线上时，即x＞1，如图所示：此时C＝x 1，则y＝（x 1）×(x＋1)＝，∴只有D选项符合题意，故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形面积，解直角三角形，二次函数图象等知识，熟练掌握上述知识并能分点M在线段OC上（不含点O）时和当点在线段OC延长线上时两种情况分别表示出y再结合函数图象进行判断是解题的关键．
考向3.二次函数的性质
【典例精析】
【例】（2020 温州）已知（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是抛物线y＝﹣3x2﹣12x+m上的点，则（　　）
A．y3＜y2＜y1 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y1＜y3＜y2
【分析】求出抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可．
【详解】解：抛物线的对称轴为直线x2，∵a＝﹣3＜0，∴x＝﹣2时，函数值最大，
又∵﹣3到﹣2的距离比1到﹣2的距离小，∴y3＜y1＜y2．故选：B．
【变式训练】
变式3-1. （2021·内蒙古赤峰市·中考真题）已知抛物线上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：
x … -1 0 1 2 3 …
y … 3 0 -1 m 3 …
以下结论正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下 B．当时，y随x增大而增大
C．方程的根为0和2 D．当时，x的取值范围是
【答案】C
【分析】利用表中数据求出抛物线的解析式，根据解析式依次进行判断．
【详解】解：将代入抛物线的解析式得；
，解得：，
所以抛物线的解析式为：，
A、，抛物线开口向上，故选项错误，不符合题；
B、抛物线的对称轴为直线，在时，y随x增大而增大，故选项错误，不符合题意；
C、方程的根为0和2，故选项正确，符合题意；
D、当时，x的取值范围是或，故选项错误，不符合题意；故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的解析式的求法和函数的图象与性质，解题的关键是：利用待定系数法求出解析式，然后利用函数的图象及性质解答．
变式3-2. （2021·山东中考真题）在直角坐标系中,若三点A（1,﹣2）,B（2,﹣2）,C（2,0）中恰有两点在抛物线y＝ax2+bx﹣2（a＞0且a,b均为常数）的图象上,则下列结论正确是_______．
A．抛物线的对称轴是直线
B．抛物线与x轴的交点坐标是（﹣,0）和（2,0）
C．当t＞时,关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2＝t有两个不相等的实数根
D．若P（m,n）和Q（m+4,h）都是抛物线上的点且n＜0,则 ．
【答案】ACD
【分析】利用待定系数法将各点坐标两两组合代入,求得抛物线解析式为 ,再根据对称轴直线 求解即可得到A选项是正确答案,由抛物线解析式为,令 ,求解即可得到抛物线与x轴的交点坐标（-1,0）和（2,0）,从而判断出B选项不正确,令关于x的一元二次方程 的根的判别式当,解得 ,从而得到C选项正确,根据抛物线图象的性质由 ,推出 ,从而推出 ,得到D选项正确．
【详解】当抛物线图象经过点A和点B时,将A（1,-2）和B（2,-2）分别代入,
得,解得 ,不符合题意,
当抛物线图象经过点B和点C时,将B（2,-2）和C（2,0）分别代入,
得,此时无解,
当抛物线图象经过点A和点C时,将A（1,-2）和C（2,0）分别代入得,解得,因此,抛物线经过点A和点C,其解析式为,抛物线的对称轴为直线 ,故A选项正确,
因为,所以 ,抛物线与x轴的交点坐标是（-1,0）和（2,0）,故B选项不正确,
由得,方程根的判别式 当 , 时, ,当时,即,解得 ,此时关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,故C选项正确,
因为抛物线与x轴交于点（-1,0）和（2,0）,且其图象开口向上,若P（m,n）和Q（m+4,h）都是抛物线上的点,且n<0,得 ,又得 ,
所以h＞0,故D选项正确． 故答案为:ACD．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点 根的判别式 二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用数形结合思想，充分掌握求二次函数的对称轴及交点坐标的解答方法．
变式3-3. （2020 嘉兴）已知二次函数y＝x2，当a≤x≤b时m≤y≤n，则下列说法正确的是（　　）
A．当n﹣m＝1时，b﹣a有最小值 B．当n﹣m＝1时，b﹣a有最大值
C．当b﹣a＝1时，n﹣m无最小值 D．当b﹣a＝1时，n﹣m有最大值
【分析】方法1、①当b﹣a＝1时，当a，b同号时，先判断出四边形BCDE是矩形，得出BC＝DE＝b﹣a＝1，CD＝BE＝m，进而得出AC＝n﹣m，即tan∠ABC＝n﹣m，再判断出45°≤∠ABC＜90°，即可得出n﹣m的范围，当a，b异号时，m＝0，当a，b时，n最小，即可得出n﹣m的范围；②当n﹣m＝1时，当a，b同号时，同①的方法得出NH＝PQ＝b﹣a，HQ＝PN＝m，进而得出MH＝n﹣m＝1，而tan∠MHN，再判断出45°≤∠MNH＜90°，当a，b异号时，m＝0，则n＝1，即可求出a，b，即可得出结论．
方法2、根据抛物线的性质判断，即可得出结论．
【详解】解：方法1、①当b﹣a＝1时，当a，b同号时，如图1，
过点B作BC⊥AD于C，∴∠BCD＝90°，
∵∠ADE＝∠BED＝90°，∴∠ADE＝∠BCD＝∠BED＝90°，
∴四边形BCDE是矩形，∴BC＝DE＝b﹣a＝1，CD＝BE＝m，∴AC＝AD﹣CD＝n﹣m，
在Rt△ACB中，tan∠ABCn﹣m，
∵点A，B在抛物线y＝x2上，且a，b同号，
∴45°≤∠ABC＜90°，∴tan∠ABC≥1，∴n﹣m≥1，
当a，b异号时，m＝0，
当a，b时，n，此时，n﹣m，∴n﹣m＜1，即n﹣m，
即n﹣m无最大值，有最小值，最小值为，故选项C，D都错误；
②当n﹣m＝1时，如图2，
当a，b同号时，过点N作NH⊥MQ于H，
同①的方法得，NH＝PQ＝b﹣a，HQ＝PN＝m，
∴MH＝MQ﹣HQ＝n﹣m＝1，在Rt△MHN中，tan∠MNH，
∵点M，N在抛物线y＝x2上，∴m≥0，当m＝0时，n＝1，
∴点N（0，0），M（1，1），∴NH＝1，此时，∠MNH＝45°，
∴45°≤∠MNH＜90°，∴tan∠MNH≥1，∴1，
当a，b异号时，m＝0，∴n＝1，∴a＝﹣1，b＝1，即b﹣a＝2，
∴b﹣a无最小值，有最大值，最大值为2，故选项A错误；故选：B．
方法2、当n﹣m＝1时，
当a，b在y轴同侧时，a，b都越大时，a﹣b越接近于0，但不能取0，即b﹣a没有最小值，
当a，b异号时，当a＝﹣1，b＝1时，b﹣a＝2最大，
当b﹣a＝1时，当a，b在y轴同侧时，a，b离y轴越远，n﹣m越大，但取不到最大，
当a，b在y轴两侧时，当a，b时，n﹣m取到最小，最小值为，
因此，只有选项B正确，故选：B．
【考点巩固训练】
1．（2021 湖州）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点为A（1，0）和B（3，0），点P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线上不同于A，B的两个点，记△P1AB的面积为S1，△P2AB的面积为S2，有下列结论：①当x1＞x2+2时，S1＞S2；②当x1＜2﹣x2时，S1＜S2；③当|x1﹣2|＞|x2﹣2|＞1时，S1＞S2；④当|x1﹣2|＞|x2+2|＞1时，S1＜S2．其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】不妨假设a＞0，利用图象法一一判断即可．
【详解】解：不妨假设a＞0．①如图1中，P1，P2满足x1＞x2+2，
∵P1P2∥AB，∴S1＝S2，故①错误．
②当x1＝﹣2,x2＝﹣1,满足x1＜2﹣x2，则S1＞S2，故②错误，
③∵|x1﹣2|＞|x2﹣2|＞1，∴P1，P2在x轴的上方，且P1离x轴的距离比P2离x轴的距离大，
∴S1＞S2，故③正确，
④如图1中，P1，P2满足|x1﹣2|＞|x2+2|＞1，但是S1＝S2，故④错误．故选：A．
2．（2020 杭州）设函数y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是实数，a≠0），当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8，（　　）
A．若h＝4，则a＜0 B．若h＝5，则a＞0 C．若h＝6，则a＜0 D．若h＝7，则a＞0
【分析】当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8；代入函数式整理得a（9﹣2h）＝1，将h的值分别代入即可得出结果．
【详解】解：当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8；代入函数式得：，
∴a（8﹣h）2﹣a（1﹣h）2＝7，整理得：a（9﹣2h）＝1，
若h＝4，则a＝1，故A错误；若h＝5，则a＝﹣1，故B错误；
若h＝6，则a，故C正确；若h＝7，则a，故D错误；故选：C．
3．（2021 舟山）小飞研究二次函数y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m为常数）性质时如下结论：
①这个函数图象的顶点始终在直线y＝﹣x+1上；
②存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形；
③点A（x1，y1）与点B（x2，y2）在函数图象上，若x1＜x2，x1+x2＞2m，则y1＜y2；
④当﹣1＜x＜2时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为m≥2．
其中错误结论的序号是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
【思路点拨】根据函数解析式，结合函数图象的顶点坐标、对称轴以及增减性依次对4个结论作出判断即可．
【答案】解：二次函数y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m为常数）
①∵顶点坐标为（m，﹣m+1）且当x＝m时，y＝﹣m+1
∴这个函数图象的顶点始终在直线y＝﹣x+1上故结论①正确；
②假设存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形
令y＝0，得﹣（x﹣m）2﹣m+1＝0，其中m≤1解得：x1＝m﹣，x2＝m+
∵顶点坐标为（m，﹣m+1），且顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形
∴|﹣m+1|＝|m﹣（m﹣）|解得：m＝0或1，
当m＝1时，二次函数y＝﹣（x﹣12，此时顶点为（1，0），与x轴的交点也为（1，0），不构成三角形，舍去；
∴存在m＝0，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形故结论②正确；
③∵x1+x2＞2m∴∵二次函数y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m为常数）的对称轴为直线x＝m
∴点A离对称轴的距离小于点B离对称轴的距离∵x1＜x2，且﹣1＜0∴y1＞y2故结论③错误；
④当﹣1＜x＜2时，y随x的增大而增大，且﹣1＜0∴m的取值范围为m≥2．故结论④正确．选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与二次函数的系数的关系，是一道综合性比较强的题目，需要利用数形结合思想解决本题．
4．（2021 平阳县一模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝2，与x轴的另一个交点坐标为（4，0），其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线过原点；②4a+2b+c＝0；③a﹣b+c＜0；④抛物线的顶点坐标为（2，b）；⑤当x＜2时，y随x增大而减小．其中结论正确的是（　　）
A．①②③ B．③④⑤ C．①②④ D．①④⑤
【思路点拨】①由抛物线的对称轴结合抛物线与x轴的一个交点坐标，可求出另一交点坐标，结论①正确；②由抛物线对称轴为2以及抛物线过原点，即可得出b＝﹣4a、c＝0，即4a+b+c＝0，结论②正确；③根据抛物线的对称性结合当x＝5时y＞0，即可得出a﹣b+c＞0，结论③错误；④将x＝2代入二次函数解析式中结合4a+b+c＝0，即可求出抛物线的顶点坐标，结论④正确；⑤观察函数图象可知，当x＜2时，y随x增大而减小，结论⑤错误．综上即可得出结论．
【答案】解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点坐标为（4，0），∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（0，0），结论①正确；
②∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝2，且抛物线过原点，
∴﹣＝2，c＝0，∴b＝﹣4a，c＝0，∴4a+b+c＝0，结论②错误；
③∵当x＝﹣1和x＝5时，y值相同，且均为正，∴a﹣b+c＞0，结论③错误；
④当x＝2时，y＝ax2+bx+c＝4a+2b+c＝（4a+b+c）+b＝b，
∴抛物线的顶点坐标为（2，b），结论④正确；
⑤观察函数图象可知：当x＜2时，y随x增大而减小，结论⑤正确．
综上所述，正确的结论有：①④⑤．故选：D．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，逐一分析五条结论的正误是解题的关键．
5．（2021 宁波）如图，已知二次函数y＝x2+ax+3的图象经过点P（﹣2，3）．
（1）求a的值和图象的顶点坐标．（2）点Q（m，n）在该二次函数图象上．①当m＝2时，求n的值；②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围．
【思路点拨】（1）把点P（﹣2，3）代入y＝x2+ax+3中，即可求出a；
（2）①把m＝2代入解析式即可求n的值；②由点Q到y轴的距离小于2，可得﹣2＜m＜2，在此范围内求n即可；
【答案】解：（1）把点P（﹣2，3）代入y＝x2+ax+3中，
∴a＝2，∴y＝x2+2x+3，∴顶点坐标为（﹣1，2）；
（2）①当m＝2时，n＝11，②点Q到y轴的距离小于2，∴|m|＜2∴﹣2＜m＜2，∴2≤n＜11；
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征是解题的关键．
考向4. 二次函数的图象变换
【典例精析】
【例】（2020 衢州）二次函数y＝x2的图象平移后经过点（2，0），则下列平移方法正确的是（　　）
A．向左平移2个单位，向下平移2个单位 B．向左平移1个单位，向上平移2个单位
C．向右平移1个单位，向下平移1个单位 D．向右平移2个单位，向上平移1个单位
【分析】求出平移后的抛物线的解析式，利用待定系数法解决问题即可．
【详解】解：A、平移后的解析式为y＝（x+2）2﹣2，当x＝2时，y＝14，本选项不符合题意．
B、平移后的解析式为y＝（x+1）2+2，当x＝2时，y＝11，本选项不符合题意．
C、平移后的解析式为y＝（x﹣1）2﹣1，当x＝2时，y＝0，函数图象经过（2，0），本选项符合题意．D、平移后的解析式为y＝（x﹣2）2+1，当x＝2时，y＝1，本选项不符合题意．故选：C．
【变式训练】
变式4-1. （2021 绍兴）在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x+5）（x﹣3）经变换后得到抛物线y＝（x+3）（x﹣5），则这个变换可以是（　　）
A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位
C．向左平移8个单位 D．向右平移8个单位
【分析】根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律．
【详解】解：y＝（x+5）（x﹣3）＝（x+1）2﹣16，顶点坐标是（﹣1，﹣16）．
y＝（x+3）（x﹣5）＝（x﹣1）2﹣16，顶点坐标是（1，﹣16）．
所以将抛物线y＝（x+5）（x﹣3）向右平移2个单位长度得到抛物线y＝（x+3）（x﹣5），故选：B．
变式4-2. （2021·山西中考真题）抛物线的函数表达式为，若将轴向上平移2个单位长度，将轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将题意中的平移方式转换成函数图像的平移，再求解析式即可．
【详解】解：若将轴向上平移2个单位长度，相当于将函数图像向下平移2个单位长度，
将轴向左平移3个单位长度，相当于将函数图像向右平移3个单位长度，
则平移以后的函数解析式为：化简得：，故选：C．
【点睛】本题主要考查二次函数图像平移，将题意中的平移方式转换为函数图像的平移是解决本题的关键．
变式4-3. （2021 宁波）如图，二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）的图象的对称轴为直线x＝2．（1）求a的值．（2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．
【分析】（1）根据抛物线解析式得到抛物线与x轴的交点横坐标，结合抛物线的轴对称性质求得a的值即可．（2）将a的值代入，结合抛物线解析式求平移后图象所对应的二次函数的表达式．
【详解】解：（1）由二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）知，该抛物线与x轴的交点坐标是（1，0）和（a，0）．∵对称轴为直线x＝2，∴2．解得a＝3；
（2）由（1）知，a＝3，则该抛物线解析式是：y＝x ﹣4x+3．
∴抛物线向下平移3个单位后经过原点．
∴平移后图象所对应的二次函数的表达式是y＝x ﹣4x．
【考点巩固训练】
1．（2021·江苏苏州市·中考真题）已知抛物线的对称轴在轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则的值是（ ）
A．或2 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．
【详解】解：函数向右平移3个单位，得：；
再向上平移1个单位，得：+1， ∵得到的抛物线正好经过坐标原点
∴+1即 解得：或
∵抛物线的对称轴在轴右侧∴＞0∴＜0∴故选：B．
【点睛】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
2．（2021·西藏·中考真题）将抛物线y＝（x﹣1）2＋2向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度所得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝x2﹣8x＋22 B．y＝x2﹣8x＋14 C．y＝x2＋4x＋10 D．y＝x2＋4x＋2
【答案】D
【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可．
【详解】解：将抛物线y＝（x﹣1）2＋2向左平移3个单位长度所得抛物线解析式为：y＝（x﹣1＋3）2＋2，即y＝（x＋2）2＋2；再向下平移4个单位为：y＝（x＋2）2＋2﹣4，即y＝（x＋2）2﹣2＝x2＋4x＋2．故选：D．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．
3．（2021 越城区一模）二次函数y＝x2+bx+c的图象沿x轴向左平移2个单位，再沿y轴向上平移3个单位，得到的图象的函数解析式为y＝x2﹣2x+1，则b+c的值为（　　）
A．16 B．6 C．0 D．﹣12
【思路点拨】先把y＝x2﹣2x+1配方得到y＝（x﹣1）2，根据题意反向平移，即把y＝（x﹣1）2沿x轴向右平移2个单位，再沿y轴向下平移3个单位得到抛物线的解析式为y＝（x﹣3）2﹣3＝x2﹣6x+6，则可确定b与c的值．
【答案】解：y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
把y＝（x﹣1）2沿x轴向右平移2个单位，再沿y轴向下平移3个单位得到抛物线的解析式为y＝（x﹣3）2﹣3＝x2﹣6x+6，所以b＝﹣6，c＝6，所以b+c＝0．故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
4．（2021 温岭市一模）将抛物线y＝x2﹣2x﹣3沿x轴折得到的新抛物线的解析式为（　　）
A．y＝﹣x2+2x+3 B．y＝﹣x2﹣2x﹣3 C．y＝x2+2x﹣3 D．y＝x2﹣2x+3
【思路点拨】抛物线线上的点沿x轴折得到的新抛物线的坐标与原坐标的横坐标相同，纵坐标互为相反数．
【答案】解：将抛物线y＝x2﹣2x﹣3沿x轴折得到的新抛物线的解析式为：﹣y＝x2﹣2x﹣3，即y＝﹣x2+2x+3．故选：A．
【点睛】考查了二次函数图象与几何变换，将抛物线y＝x2﹣2x﹣3沿x轴折得到的新抛物线的开口方向与原抛物线的开口方向相反．
5．（2021·江苏盐城市·中考真题）已知抛物线经过点和．（1）求、的值；（2）将该抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到新的抛物线，直接写出新的抛物线相应的函数表达式．
【答案】（1），；（2）
【分析】（1）将点和，代入解析式求解即可；（2）将，按题要求平移即可．
【详解】（1）将点和代入抛物线得：
解得：∴，
（2）原函数的表达式为:，
向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得：
平移后的新函数表达式为:即
【点睛】本题考查了待定系数法确定解析式，顶点式的函数平移，口诀：“左加右减，上加下减”，正确的计算和牢记口诀是解题的关键．
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第三章 函数 （浙江省专用）
第14节 二次函数图象与性质
【考场演练】
一、选择题
1．（2021 衢州）二次函数y＝（x﹣1）2+3图象的顶点坐标是（　　）
A．（1，3） B．（1，﹣3） C．（﹣1，3） D．（﹣1，﹣3）
【分析】由抛物线顶点式可求得答案．
【详解】解：∵y＝（x﹣1）2+3，∴顶点坐标为（1，3），故选：A．
2．（2021 温州）已知二次函数y＝x2﹣4x+2，关于该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（　　）
A．有最大值﹣1，有最小值﹣2 B．有最大值0，有最小值﹣1
C．有最大值7，有最小值﹣1 D．有最大值7，有最小值﹣2
【分析】把函数解析式整理成顶点式解析式的形式，然后根据二次函数的最值问题解答．
【详解】解：∵y＝x2﹣4x+2＝（x﹣2）2﹣2，
∴在﹣1≤x≤3的取值范围内，当x＝2时，有最小值﹣2，
当x＝﹣1时，有最大值为y＝9﹣2＝7．故选：D．
3．（2021·贵州·峰林学校九年级期中）已知二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象开口向上 B．图象的顶点坐标为
C．图象的对称轴是直线 D．有最大值，为－3
【答案】D
【分析】首先根据二次函数的定义得到解方程求出m的值，根据二次项系数的正负判断开口方向，根据二次函数表达式即可得出顶点坐标和对称轴以及最大值．
【详解】解：∵二次函数，∴，解得：，
∴，∴二次函数，
∵，∴图象开口向下，∴A选项错误，不符合题意；
顶点坐标为（0，-3），∴B选项错误，不符合题意；对称轴为直线，∴C选项错误，不符合题意；
∵图象开口向下，顶点坐标为（0，-3），∴有最大值，为－3，∴D选项正确，符合题意．故选：D．
【点睛】此题考查了二次函数的定义，二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的定义，二次函数的图像和性质．
4．（2021·湖南张家界市·中考真题）若二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一个坐标系内的大致图象为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据抛物线的开口方向确定a＜0，对称轴可确定b的正负，与y轴的交点可知c＞0，然后逐项排查即可．
【详解】解：∵抛物线开口方向向下∴a＜0，∵抛物线对称轴 ∴b＞0
∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴∴c＞0
∴的图像过二、一、四象限，的图象在二、四象限∴D选项满足题意．故选D．
【点睛】本题主要考查了二次函数的特征、一次函数、反比例函数的图象，牢记各种函数图象的特点成为解答本题的关键．
5．（2021·四川巴中·中考真题）已知二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的部分对应值见表格，则下列结论：①c＝2；②b2﹣4ac＞0；③方程ax2+bx＝0的两根为x1＝﹣2，x2＝0；④7a+c＜0．其中正确的有（　　）
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 …
y … 1.875 3 m 1.875 0 …
A．①④ B．②③ C．③④ D．②④
【答案】B
【分析】由表格可以得到二次函数图象经过点点（-3，1.875）和点（1，1.875），这两点关于对称轴对称，由此得到对称轴直线，设出二次函数顶点式，代入两点，求解出二次函数解析式，得到a，b，c的值，依次代入到①②③④中进行判断即可解决．
【详解】解：由表格可以得到，二次函数图象经过点和点，
点与点是关于二次函数对称轴对称的，
二次函数的对称轴为直线，设二次函数解析式为，
代入点，得，，解得，二次函数的解析式为：，
，，①是错误的，，②是正确的，
方程为，即为，，，③是正确的，
，④是错误的，②③是正确的，故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数系数特征和二次函数解析式求法，利用待定系数法求解函数解析式是通法，由表格提炼出对称轴的信息，是解题的突破口，此题，也可以通过二次函数系数特征来解决．
6．（2021·江苏常州市·中考真题）已知二次函数，当时，y随x增大而增大，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次函数的性质，可知二次函数的开口向上，进而即可求解．
【详解】∵二次函数的对称轴为y轴，当时，y随x增大而增大，
∴二次函数的图像开口向上，∴a-1＞0，即：，故选B．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的开口方向与二次项系数的关系，是解题的关键．
7．（2021·江苏徐州市·中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数的图像向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出平移后抛物线的顶点坐标，进而即可得到答案．
【详解】解：∵的顶点坐标为（0，0）∴将二次函数的图像向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的顶点坐标为（-2，1），
∴所得抛物线对应的函数表达式为，故选B
【点睛】本题主要考查二次函数的平移规律，找出平移后二次函数图像的顶点坐标或掌握“左加右减，上加下减”，是解题的关键．
8．（2021·江苏苏州市·中考真题）如图，线段，点、在上，．已知点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着向点移动，到达点后停止移动，在点移动过程中作如下操作：先以点为圆心，、的长为半径分别作两个圆心角均为60°的扇形，再将两个扇形分别围成两个圆锥的侧面．设点的移动时间为（秒）．两个圆锥的底面面积之和为．则关于的函数图像大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意，先求出，，然后利用再求出圆锥的底面积进行计算，即可求出函数表达式，然后进行判断即可．
【详解】解：根据题意，∵，，且已知点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着向点移动，到达点后停止移动，则，
∴，∴，
由的长为半径的扇形的弧长为：
∴用的长为半径的扇形围成的圆锥的底面半径为∴其底面的面积为
由的长为半径的扇形的弧长为：
∴用的长为半径的扇形围成的圆锥的底面半径为∴其底面的面积为
∴两者的面积和
∴图像为开后向上的抛物线，且当时有最小值；故选：D．
【点睛】本题考查了扇形的面积公式，二次函数的最值，二次函数的性质，线段的动点问题，解题的关键是熟练掌握扇所学的知识，正确的求出函数的表达式．
9．（2021·福建中考真题）二次函数的图象过四个点，下列说法一定正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【分析】求出抛物线的对称轴，根据抛物线的开口方向和增减性，根据横坐标的值，可判断出各点纵坐标值的大小关系，从而可以求解．
【详解】解：二次函数的对称轴为：
，且开口向上，距离对称轴越近，函数值越小，，
A，若，则不一定成立，故选项错误，不符合题意；
B,若，则不一定成立，故选项错误，不符合题意；
C，若，所以，则一定成立，故选项正确，符合题意；
D，若，则不一定成立，故选项错误，不符合题意；故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质及不等式，解题的关键是：根据二次函数的对称轴及开口方向，确定各点纵坐标值的大小关系，再进行分论讨论判断即可．
10．（2021·山东济南·中考真题）新定义：在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足时，；时，，则称点是点的限变点．例如：点的限变点是，点的限变点是．若点在二次函数的图象上，则当时，其限变点的纵坐标的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，当时，的图象向下平移4个单位，当时，，的图象关于轴对称，据此即可求得其限变点的纵坐标的取值范围，作出函数图像，直观的观察可得到的取值范围
【详解】点在二次函数的图象上，则当时，其限变点的图像即为图中虚线部分，如图，
当时，的图象向下平移4个单位，当时，的图象关于轴对称，从图可知函数的最大值是当时，取得最大值3，
最小值是当时，取得最小值，．故选D．
【点睛】本题考查了新定义，二次函数的最值问题，分段讨论函数的最值，可以通过函数图像辅助求解，理解新定义，画出函数图像是解题的关键．
二、填空题
11．（2021·黑龙江中考真题）二次函数的最小值为________．
【答案】-2
【分析】由二次函数可直接求解．
【详解】解：由二次函数可得：开口向上，有最小值，
∴二次函数的最小值为-2；故答案为-2．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
12．（2021·青海西宁·中考真题）从，-1，1，2，-5中任取一个数作为a，则抛物线的开口向上的概率是______．
【答案】
【分析】根据概率计算公式，可得事件总的可能结果数5，事件发生的可能结果数2，问题即可解决．
【详解】从5个数中任取一个的可能结果数为5，使抛物线的开口向上的a值有2个，分别为1和2，则所求的概率为；故答案为：．
【点睛】本题考查了简单事件的概率的计算，二次函数的性质，求出事件总的可能结果数及事件发生的可能结果数是关键．
13．（2021·江苏泰州市·中考真题）在函数中,当x＞1时,y随x的增大而 ___．（填“增大”或“减小”）
【答案】增大
【分析】根据其顶点式函数可知,抛物线开口向上,对称轴为 ,在对称轴右侧y随x的增大而增大,可得到答案．
【详解】由题意可知: 函数,开口向上,在对称轴右侧y随x的增大而增大,又∵对称轴为,
∴当时,y随的增大而增大,故答案为:增大．
【点睛】本题主要考查了二次函数的对称轴及增减性,掌握当二次函数开口向上时,在对称轴的右侧y随x的增大而增大,在对称轴的左侧y随x的增大而减小是解题的关键．
14．（2021 吴兴区校级一模）当﹣2≤x≤1时，抛物线y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有ymax＝4，则m＝　　
【思路点拨】根据题意和二次函数的性质，利用分类讨论的方法可以求得m的值，本题得以解决．
【答案】解：∵当﹣2≤x≤1时，抛物线y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有ymax＝4，
∴当m＞1时，x＝1时，函数取得最大值，即4＝﹣（1﹣m）2+m2+1，解得，m＝2；
当m＜﹣2时，x＝﹣2时，函数取得最大值，即4＝﹣（﹣2﹣m）2+m2+1，
解得，m＝＞﹣2（舍去）；
当﹣2≤m≤1时，x＝m时，函数取得最大值，4＝﹣（m﹣m）2+m2+1，
解得，m1＝，m2＝（舍去）；由上可得，m的值是2或﹣，故答案为：2或﹣．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和分类讨论的方法解答．
15．（2021·山东菏泽市·中考真题）定义：为二次函数（）的特征数，下面给出特征数为的二次函数的一些结论：①当时，函数图象的对称轴是轴；②当时，函数图象过原点；③当时，函数有最小值；④如果，当时，随的增大而减小，其中所有正确结论的序号是______．
【答案】①②③．
【分析】利用二次函数的性质根据特征数，以及的取值，逐一代入函数关系式，然判断后即可确定正确的答案．
【详解】解：当时，把代入，可得特征数为
∴，，，∴函数解析式为，函数图象的对称轴是轴，故①正确；
当时，把代入，可得特征数为
∴，，，∴函数解析式为，
当时，，函数图象过原点，故②正确；函数
当时，函数图像开口向上，有最小值，故③正确；
当时，函数图像开口向下，对称轴为：
∴时，可能在函数对称轴的左侧，也可能在对称轴的右侧，故不能判断其增减性，故④错误；
综上所述，正确的是①②③，故答案是：①②③．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数的对称轴等知识点，牢记二次函数的基本性质是解题的关键．
16．（2021·安徽中考真题）设抛物线，其中a为实数．（1）若抛物线经过点，则______；（2）将抛物线向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是______．
【答案】0 2
【分析】（1）直接将点代入计算即可（2）先根据平移得出新的抛物线的解析式，再根据抛物线顶点坐标得出顶点坐标的纵坐标，再通过配方得出最值
【详解】解：（1）将代入得：故答案为：0
（2）根据题意可得新的函数解析式为： 由抛物线顶点坐标
得新抛物线顶点的纵坐标为：
∵ ∴当a=1时，有最大值为8，
∴所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是故答案为：2
【点睛】本题考查将抛物线的顶点坐标、将点代入代入函数解析式、利用配方法求最值是常用的方法
17．（2021·四川德阳·中考真题）已知函数y的图象如图所示，若直线y＝kx﹣3与该图象有公共点，则k的最大值与最小值的和为 _____．
【答案】17
【分析】根据题意可知，当直线经过点（1，12）时，直线y=kx-3与该图象有公共点；当直线与抛物线只有一个交点时，（x-5）2+8=kx-3，可得出k的最大值是15，最小值是2，即可得它们的和为17．
【详解】解：当直线经过点（1，12）时，12=k-3，解得k=15；
当直线与抛物线只有一个交点时，（x-5）2+8=kx-3，整理得x2-（10+k）x+36=0，
∴10+k=±12，解得k=2或k=-22（舍去），∴k的最大值是15，最小值是2，
∴k的最大值与最小值的和为15+2=17．故答案为：17．
【点睛】本题考查分段函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标特征，结合图象求出k的最大值和最小值是解题的关键．
18．（2021·四川巴中·中考真题）y与x之间的函数关系可记为y＝f（x）．例如：函数y＝x2可记为f（x）＝x2．若对于自变量取值范围内的任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），则f（x）是偶函数；若对于自变量取值范围内的任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），则f（x）是奇函数．例如：f（x）＝x2是偶函数，f（x）是奇函数．若f（x）＝ax2+（a﹣5）x+1是偶函数，则实数a＝__________．
【答案】5
【分析】由f（x）=ax2+（a-5）x+1是偶函数，得a（-x）2+（a-5） （-x）+1=ax2+（a-5）x+1，解得a=5．
【详解】解：∵f（x）=ax2+（a-5）x+1是偶函数，
∴对于自变量取值范围内的任意一个x，都有f（-x）=f（x），即a（-x）2+（a-5） （-x）+1=ax2+（a-5）x+1，∴（10-2a）x=0，可知10-2a=0，∴a=5，故答案为：5．
【点睛】本题考查新定义：偶函数与奇函数，解题的关键是理解偶函数定义，列出a（-x）2+（a-5） （-x）+1=ax2+（a-5）x+1．
三、解答题
19．（2021 湖州）如图，已知经过原点的抛物线y＝2x2+mx与x轴交于另一点A（2，0）．
（1）求m的值和抛物线顶点M的坐标；（2）求直线AM的解析式．
【分析】（1）将A（2，0）代入抛物线解析式即可求出m的值，然后将关系式化为顶点式即可得出顶点坐标；（2）设直线AM的解析式为y＝kx+b（k≠0），将点A，M的坐标代入即可．
【详解】解：（1）∵抛物线y＝2x2+mx与x轴交于另一点A（2，0），
∴2×22+2m＝0，∴m＝﹣4，
∴y＝2x2﹣4x＝2（x﹣1）2﹣2，
∴顶点M的坐标为（1，﹣2），
（2）设直线AM的解析式为y＝kx+b（k≠0），
∵图象过A（2，0），M（1，﹣2），
∴，解得，∴直线AM的解析式为y＝2x﹣4．
20．（2020 温州）已知抛物线y＝ax2+bx+1经过点（1，﹣2），（﹣2，13）．
（1）求a，b的值．（2）若（5，y1），（m，y2）是抛物线上不同的两点，且y2＝12﹣y1，求m的值．
【分析】（1）把点（1，﹣2），（﹣2，13）代入y＝ax2+bx+1解方程组即可得到结论；
（2）把x＝5代入y＝x2﹣4x+1得到y1＝6，于是得到y1＝y2，即可得到结论．
【详解】解：（1）把点（1，﹣2），（﹣2，13）代入y＝ax2+bx+1得，，
解得：；
（2）由（1）得函数解析式为y＝x2﹣4x+1，
把x＝5代入y＝x2﹣4x+1得，y1＝6，∴y2＝12﹣y1＝6，
∵y1＝y2，且对称轴为直线x＝2，∴m＝4﹣5＝﹣1．
21．（2021·北京中考真题）在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上．（1）若，求该抛物线的对称轴；（2）已知点在该抛物线上．若，比较的大小，并说明理由．
【答案】（1）；（2），理由见解析
【分析】（1）由题意易得点和点，然后代入抛物线解析式进行求解，最后根据对称轴公式进行求解即可；（2）由题意可分当时和当时，然后根据二次函数的性质进行分类求解即可．
【详解】解：（1）当时，则有点和点，代入二次函数得：
，解得：，∴抛物线解析式为，∴抛物线的对称轴为；
（2）由题意得：抛物线始终过定点，则由可得：
①当时，由抛物线始终过定点可得此时的抛物线开口向下，即，与矛盾；
②当时，∵抛物线始终过定点，
∴此时抛物线的对称轴的范围为，∵点在该抛物线上，
∴它们离抛物线对称轴的距离的范围分别为，
∵，开口向上，∴由抛物线的性质可知离对称轴越近越小，∴．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
22．（2021 宁波）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点（1，0），（0，）．
（1）求该抛物线的函数表达式；（2）将抛物线y＝﹣x2+bx+c平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式．
【思路点拨】（1）把已知点的坐标代入抛物线解析式求出b与c的值即可；
（2）指出满足题意的平移方法，并写出平移后的解析式即可．
【答案】解：（1）把（1，0），（0，）代入抛物线解析式得：，解得：，
则抛物线解析式为y＝﹣x2﹣x+；
（2）抛物线解析式为y＝﹣x2﹣x+＝﹣（x+1）2+2，
将抛物线向右平移一个单位，向下平移2个单位，解析式变为y＝﹣x2．
【点睛】此题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，以及待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键
23．（2021 温州）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣8（a≠0）经过点（﹣2，0）．
（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标．（2）直线l交抛物线于点A（﹣4，m），B（n，7），n为正数．若点P在抛物线上且在直线l下方（不与点A，B重合），分别求出点P横坐标与纵坐标的取值范围．
【分析】（1）将点（﹣2，0）代入求解．
（2）分别求出点A,B坐标，根据图象开口方向及顶点坐标求解．
【详解】解：（1）把（﹣2，0）代入y＝ax2﹣2ax﹣8得0＝4a+4a﹣8，解得a＝1，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣8，
∵y＝x2﹣2x﹣8＝（x﹣1）2﹣9,∴抛物线顶点坐标为（1，﹣9）．
（2）把x＝﹣4代入y＝x2﹣2x﹣8得y＝（﹣4）2﹣2×（﹣4）﹣8＝16，∴m＝16，
把y＝7代入函数解析式得7＝x2﹣2x﹣8，解得n＝5或n＝﹣3，
∵n为正数，∴n＝5，∴点A坐标为（﹣4，16），点B坐标为（5，7）．
∵抛物线开口向上，顶点坐标为（1，﹣9），∴抛物线顶点在AB下方，∴﹣4＜xP＜5,﹣9≤yP＜16．
24．（2021 杭州）在直角坐标系中，设函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a≠0）．
（1）若该函数的图象经过（1，0）和（2，1）两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；
（2）已知a＝b＝1，当x＝p，q（p，q是实数，p≠q）时，该函数对应的函数值分别为P，Q．若p+q＝2，求证：P+Q＞6．
【分析】（1）考查使用待定系数法求二次函数解析式，属于基础题，将两点坐标代入，解二元一次方程组即可；（2）已知a＝b＝1,则y＝x2+x+1．容易得到P+Q＝p2+p+1+q2+q+1，利用p+q＝2，即p＝2﹣q代入对代数式P+Q进行化简，并配方得出P+Q＝2(q﹣1)2+6≥6．最后注意利用p≠q条件判断q≠1，得证．
【详解】解：（1）由题意，得,解得,
所以，该函数表达式为y＝x2﹣2x+1．并且该函数图象的顶点坐标为（1,0）．
（2）由题意，得P＝p2+p+1,Q＝q2+q+1,
所以 P+Q＝p2+p+1+q2+q+1＝p2+q2+4＝(2﹣q)2+q2+4＝2(q﹣1)2+6≥6，
由条件p≠q，知q≠1．所以 P+Q＞6，得证．
25．（2021·新疆中考真题）已知抛物线．（1）求抛物线的对称轴；（2）把抛物线沿y轴向下平移个单位，若抛物线的顶点落在x轴上，求a的值；（3）设点，在抛物线上，若，求a的取值范围．
【答案】（1）直线；（2）或；（3）
【分析】（1）直接根据抛物线的对称轴公式求解即可；（2）先求出原抛物线的顶点坐标，然后求出平移后新抛物线的顶点坐标，再根据题意建立方程分情况讨论即可；（3）分别讨论a的情况，根据二次函数中利用对称性比较函数值大小的方法建立关于a的不等式求解即可．
【详解】（1）根据抛物线对称轴公式：，∴，∴原抛物线的对称轴为：直线；
（2）将代入解析式得：，∴原抛物线的顶点坐标为：，
把抛物线沿y轴向下平移个单位，则平移后新抛物线的顶点坐标为，
∵平移后抛物线的顶点落在x轴上，∴，
若，则，解得：，
若，则，解得：，∴或；
（3）若，则原抛物线开口向上，
要使得，则应使得点P到对称轴的距离大于点Q到对称轴的距离，
即：，即：，∴或，解得：或，
∵，∴；若，则原抛物线开口向下，
要使得，则应使得点P到对称轴的距离小于点Q到对称轴的距离，
即：，即：，∴，
解得：，与矛盾，故不成立，∴a的取值范围为．
【点睛】本题考查二次函数的性质以及平移问题，熟记二次函数中的基本性质和结论是解题关键．
26．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）已知二次函数．
（1）求二次函数图象的顶点坐标；（2）当时，函数的最大值和最小值分别为多少？
（3）当时，函数的最大值为，最小值为，m-n=3求的值．
【答案】（1）；（2）函数的最大值为4，最小值为0；（3）或．
【分析】（1）把二次函数配成顶点式即可得出结论；
（2）利用二次函数的图象和性质确定函数的最大值和最小值．
（3）分t＜0；；三种情况，根据二次函数的性质和m-n=3列出关于t的方程，解之即可．
【详解】（1）∵，∴顶点坐标为．
（2）∵顶点坐标为，∴当时，，
∵当时，随着的增大而增大，∴当时，．
∵当时，随着的增大而减小，∴当时，．
∴当时，函数的最大值为4，最小值为0．
（3）当时，对进行分类讨论．
①当时，即，，随着的增大而增大．
当时，．∴．
∴，解得（不合题意，舍去）．
②当时，顶点的横坐标在取值范围内，∴．
i）当时，在时，，∴．
∴，解得，（不合题意，舍去）．
ii）当时在时，，∴．
∴，解得，，（不合题意舍去）．
③当时，随着的增大而减小，当时，，
当时，，
∴∴，解得（不合题意，舍去）．
综上所述，或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查抛物线的性质以及最值问题，有难度，并学会利用参数解决问题是解题的关键，属于中考常考题型．
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第三章 函数 （浙江省专用）
第14节 二次函数图象与性质
【考场演练】
一、选择题
1．（2021 衢州）二次函数y＝（x﹣1）2+3图象的顶点坐标是（　　）
A．（1，3） B．（1，﹣3） C．（﹣1，3） D．（﹣1，﹣3）
2．（2021 温州）已知二次函数y＝x2﹣4x+2，关于该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（　　）
A．有最大值﹣1，有最小值﹣2 B．有最大值0，有最小值﹣1
C．有最大值7，有最小值﹣1 D．有最大值7，有最小值﹣2
3．（2021·贵州·峰林学校九年级期中）已知二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象开口向上 B．图象的顶点坐标为
C．图象的对称轴是直线 D．有最大值，为－3
4．（2021·湖南张家界市·中考真题）若二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一个坐标系内的大致图象为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·四川巴中·中考真题）已知二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的部分对应值见表格，则下列结论：①c＝2；②b2﹣4ac＞0；③方程ax2+bx＝0的两根为x1＝﹣2，x2＝0；④7a+c＜0．其中正确的有（　　）
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 …
y … 1.875 3 m 1.875 0 …
A．①④ B．②③ C．③④ D．②④
6．（2021·江苏常州市·中考真题）已知二次函数，当时，y随x增大而增大，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·江苏徐州市·中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数的图像向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·江苏苏州市·中考真题）如图，线段，点、在上，．已知点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着向点移动，到达点后停止移动，在点移动过程中作如下操作：先以点为圆心，、的长为半径分别作两个圆心角均为60°的扇形，再将两个扇形分别围成两个圆锥的侧面．设点的移动时间为（秒）．两个圆锥的底面面积之和为．则关于的函数图像大致是（ ）
A．B．C．D．
9．（2021·福建中考真题）二次函数的图象过四个点，下列说法一定正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．（2021·山东济南·中考真题）新定义：在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足时，；时，，则称点是点的限变点．例如：点的限变点是，点的限变点是．若点在二次函数的图象上，则当时，其限变点的纵坐标的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2021·黑龙江中考真题）二次函数的最小值为________．
12．（2021·青海西宁·中考真题）从，-1，1，2，-5中任取一个数作为a，则抛物线的开口向上的概率是______．
13．（2021·江苏泰州市·中考真题）在函数中,当x＞1时,y随x的增大而 ___．（填“增大”或“减小”）
14．（2021 吴兴区校级一模）当﹣2≤x≤1时，抛物线y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有ymax＝4，则m＝　　
15．（2021·山东菏泽市·中考真题）定义：为二次函数（）的特征数，下面给出特征数为的二次函数的一些结论：①当时，函数图象的对称轴是轴；②当时，函数图象过原点；③当时，函数有最小值；④如果，当时，随的增大而减小，其中所有正确结论的序号是______．
16．（2021·安徽中考真题）设抛物线，其中a为实数．（1）若抛物线经过点，则______；（2）将抛物线向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是______．
17．（2021·四川德阳·中考真题）已知函数y的图象如图所示，若直线y＝kx﹣3与该图象有公共点，则k的最大值与最小值的和为 _____．
18．（2021·四川巴中·中考真题）y与x之间的函数关系可记为y＝f（x）．例如：函数y＝x2可记为f（x）＝x2．若对于自变量取值范围内的任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），则f（x）是偶函数；若对于自变量取值范围内的任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），则f（x）是奇函数．例如：f（x）＝x2是偶函数，f（x）是奇函数．若f（x）＝ax2+（a﹣5）x+1是偶函数，则实数a＝__________．
三、解答题
19．（2021 湖州）如图，已知经过原点的抛物线y＝2x2+mx与x轴交于另一点A（2，0）．
（1）求m的值和抛物线顶点M的坐标；（2）求直线AM的解析式．
20．（2020 温州）已知抛物线y＝ax2+bx+1经过点（1，﹣2），（﹣2，13）．
（1）求a，b的值．（2）若（5，y1），（m，y2）是抛物线上不同的两点，且y2＝12﹣y1，求m的值．
21．（2021·北京中考真题）在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上．（1）若，求该抛物线的对称轴；（2）已知点在该抛物线上．若，比较的大小，并说明理由．
22．（2021 宁波）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点（1，0），（0，）．
（1）求该抛物线的函数表达式；（2）将抛物线y＝﹣x2+bx+c平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式．
23．（2021 温州）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣8（a≠0）经过点（﹣2，0）．
（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标．（2）直线l交抛物线于点A（﹣4，m），B（n，7），n为正数．若点P在抛物线上且在直线l下方（不与点A，B重合），分别求出点P横坐标与纵坐标的取值范围．
24．（2021 杭州）在直角坐标系中，设函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a≠0）．
（1）若该函数的图象经过（1，0）和（2，1）两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；
（2）已知a＝b＝1，当x＝p，q（p，q是实数，p≠q）时，该函数对应的函数值分别为P，Q．若p+q＝2，求证：P+Q＞6．
25．（2021·新疆中考真题）已知抛物线．（1）求抛物线的对称轴；（2）把抛物线沿y轴向下平移个单位，若抛物线的顶点落在x轴上，求a的值；（3）设点，在抛物线上，若，求a的取值范围．
26．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）已知二次函数．
（1）求二次函数图象的顶点坐标；（2）当时，函数的最大值和最小值分别为多少？
（3）当时，函数的最大值为，最小值为，m-n=3求的值．
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第三章 函数 （浙江省专用）
第14节 二次函数图象与性质
【考试要求】
1.理解二次函数的意义，掌握二次函数的表达式，熟练应用待定系数法求二次函数的表达式；
2.会画二次函数的图象，掌握二次函数的性质
【考情预测】
二次函数是非常重要的函数，年年都会考查,总分值为18~20分，预计2022年各地中考还会考，它经常以一个压轴题独立出现，有的地区也会考察二次函数的应用题，小题的考察主要是二次函数的图象和性质及或与几何图形结合来考查。
【考点梳理】
1．二次函数的定义：
一般地，形如 y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数．
2．二次函数的三种表达式：
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)．
(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a，h，k是常数，a≠0)，顶点坐标是(h，k)．
(3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a，x1，x2是常数，a≠0)，其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，图象的对称轴为直线 x＝．
3．二次函数的图象与性质：
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，当a＞0时，抛物线的开口向上，这时当x≤－时，y随x的增大而减小；当x≥－时，y随x的增大而增大；当x＝－时，y有最小值．当a＜0时，抛物线开口向下，这时当x≤－时，y随x的增大而增大；当x≥－时，y随x的增大而减小；当x＝－时，y有最大值．该抛物线的对称轴是直线x＝－，顶点坐标是．
4．二次函数的图象的平移：
平移规律：左右平移由h值决定：左加右减；上下平移由k值决定：上加下减．
5.对于二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：
①△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
②△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
③△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点.
【重难点突破】
考向1.二次函数的概念与表达式
【典例精析】
【例】（2021·安徽·淮北市中考模拟）若是关于x的二次函数，则m=_______．
【变式训练】
变式1-1．（2021·甘肃兰州·中考真题）二次函数的图象的对称轴是（ ）
A． B． C． D．
变式1-2．（2021 下城区期末）已知二次函数y＝ax2+4x+c，当x等于﹣2时，函数值是﹣1；当x＝1时，函数值是5．则此二次函数的表达式为（　　）
A．y＝2x2+4x﹣1 B．y＝x2+4x﹣2 C．y＝﹣2x2+4x+1 D．y＝2x2+4x+1
变式1-3．（2021 瓯海区二模）已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝﹣1，且过点（﹣3，0），（0，﹣3）．（1）求抛物线的表达式．（2）已知点（m，k）和点（n，k）在此抛物线上，其中m≠n，请判断关于t的方程t2+mt+n＝0是否有实数根，并说明理由．
【考点巩固训练】
1．（2020·江苏无锡·中考真题）请写出一个函数表达式，使其图象的对称轴为轴：__________．
2．（2021 龙湾区期中）下列各式中，y是关于x的二次函数的是（　　）
A．y＝2x+3 B． C．y＝3x2﹣1 D．y＝（x﹣1）2﹣x2
3．（2021 杭州）在“探索函数y＝ax2+bx+c的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：A（0，2），B（1，0），C（3，1），D（2，3）．同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a的值最大为（　　）
A． B． C． D．
4．（2021 绍兴）关于二次函数y＝2（x﹣4）2+6的最大值或最小值，下列说法正确的是（　　）
A．有最大值4 B．有最小值4 C．有最大值6 D．有最小值6
考向2.二次函数的图象及系数的关系
【典例精析】
【例】（2021·湖北襄阳市·中考真题）一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
变式2-1. （2021·江西中考真题）在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ）
A． B．C．D．
变式2-2. （2021·山东日照·中考真题）抛物线的对称轴是直线，其图象如图所示．下列结论：①；②；③若和是抛物线上的两点，则当时，；④抛物线的顶点坐标为，则关于的方程无实数根．其中正确结论的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
变式2-3. （2021·湖北黄冈市·中考真题）如图，为矩形的对角线，已知，．点P沿折线以每秒1个单位长度的速度运动（运动到D点停止），过点P作于点E，则的面积y与点P运动的路程x间的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【考点巩固训练】
1．（2021·山东聊城市·中考真题）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一次函数y＝bx＋c的图象和反比例函数y＝的图象在同一坐标系中大致为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·四川遂宁市·中考真题）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④（）；⑤若方程＝1有四个根，则这四个根的和为2，其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真题）如图，已知二次函数的图象与轴交于，顶点是，则以下结论：①；②；③若，则或；④．其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2021·黑龙江齐齐哈尔市·中考真题）如图，二次函数图象的一部分与x轴的一个交点坐标为，对称轴为，结合图象给出下列结论：
①；②；③关于x的一元二次方程的两根分别为-3和1；④若点，，均在二次函数图象上，则；
⑤（m为任意实数）．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2019 舟山）小飞研究二次函数y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m为常数）性质时得到如下结论：
①这个函数图象的顶点始终在直线y＝﹣x+1上；
②存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形；
③点A（x1，y1）与点B（x2，y2）在函数图象上，若x1＜x2，x1+x2＞2m，则y1＜y2；
④当﹣1＜x＜2时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为m≥2．
其中错误结论的序号是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
6．（2021·辽宁盘锦·中考真题）如图，四边形ABCD是菱形，BC＝2，∠ABC＝60°，对角线AC与BD相交于点O，线段BD沿射线AD方向平移，平移后的线段记为PQ，射线PQ与射线AC交于点M，连结PC，设OM长为，△PMC面积为．下列图象能正确反映出与的函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
考向3.二次函数的性质
【典例精析】
【例】（2020 温州）已知（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是抛物线y＝﹣3x2﹣12x+m上的点，则（　　）
A．y3＜y2＜y1 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y1＜y3＜y2
【变式训练】
变式3-1. （2021·内蒙古赤峰市·中考真题）已知抛物线上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：
x … -1 0 1 2 3 …
y … 3 0 -1 m 3 …
以下结论正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下 B．当时，y随x增大而增大
C．方程的根为0和2 D．当时，x的取值范围是
变式3-2. （2021·山东中考真题）在直角坐标系中,若三点A（1,﹣2）,B（2,﹣2）,C（2,0）中恰有两点在抛物线y＝ax2+bx﹣2（a＞0且a,b均为常数）的图象上,则下列结论正确是_______．
A．抛物线的对称轴是直线
B．抛物线与x轴的交点坐标是（﹣,0）和（2,0）
C．当t＞时,关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2＝t有两个不相等的实数根
D．若P（m,n）和Q（m+4,h）都是抛物线上的点且n＜0,则 ．
变式3-3. （2020 嘉兴）已知二次函数y＝x2，当a≤x≤b时m≤y≤n，则下列说法正确的是（　　）
A．当n﹣m＝1时，b﹣a有最小值 B．当n﹣m＝1时，b﹣a有最大值
C．当b﹣a＝1时，n﹣m无最小值 D．当b﹣a＝1时，n﹣m有最大值
【考点巩固训练】
1．（2021 湖州）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点为A（1，0）和B（3，0），点P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线上不同于A，B的两个点，记△P1AB的面积为S1，△P2AB的面积为S2，有下列结论：①当x1＞x2+2时，S1＞S2；②当x1＜2﹣x2时，S1＜S2；③当|x1﹣2|＞|x2﹣2|＞1时，S1＞S2；④当|x1﹣2|＞|x2+2|＞1时，S1＜S2．其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2020 杭州）设函数y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是实数，a≠0），当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8，（　　）
A．若h＝4，则a＜0 B．若h＝5，则a＞0 C．若h＝6，则a＜0 D．若h＝7，则a＞0
3．（2021 舟山）小飞研究二次函数y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m为常数）性质时如下结论：①这个函数图象的顶点始终在直线y＝﹣x+1上；
②存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形；
③点A（x1，y1）与点B（x2，y2）在函数图象上，若x1＜x2，x1+x2＞2m，则y1＜y2；
④当﹣1＜x＜2时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为m≥2．
其中错误结论的序号是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
4．（2021 平阳县一模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝2，与x轴的另一个交点坐标为（4，0），其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线过原点；②4a+2b+c＝0；③a﹣b+c＜0；④抛物线的顶点坐标为（2，b）；⑤当x＜2时，y随x增大而减小．其中结论正确的是（　　）
A．①②③ B．③④⑤ C．①②④ D．①④⑤
5．（2021 宁波）如图，已知二次函数y＝x2+ax+3的图象经过点P（﹣2，3）．
（1）求a的值和图象的顶点坐标．（2）点Q（m，n）在该二次函数图象上．①当m＝2时，求n的值；②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围．
考向4. 二次函数的图象变换
【典例精析】
【例】（2020 衢州）二次函数y＝x2的图象平移后经过点（2，0），则下列平移方法正确的是（　　）
A．向左平移2个单位，向下平移2个单位 B．向左平移1个单位，向上平移2个单位
C．向右平移1个单位，向下平移1个单位 D．向右平移2个单位，向上平移1个单位
【变式训练】
变式4-1. （2021 绍兴）在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x+5）（x﹣3）经变换后得到抛物线y＝（x+3）（x﹣5），则这个变换可以是（　　）
A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位
C．向左平移8个单位 D．向右平移8个单位
变式4-2. （2021·山西中考真题）抛物线的函数表达式为，若将轴向上平移2个单位长度，将轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
变式4-3. （2021 宁波）如图，二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）的图象的对称轴为直线x＝2．（1）求a的值．（2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．
【考点巩固训练】
1．（2021·江苏苏州市·中考真题）已知抛物线的对称轴在轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则的值是（ ）
A．或2 B． C．2 D．
2．（2021·西藏·中考真题）将抛物线y＝（x﹣1）2＋2向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度所得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝x2﹣8x＋22 B．y＝x2﹣8x＋14 C．y＝x2＋4x＋10 D．y＝x2＋4x＋2
3．（2021 越城区一模）二次函数y＝x2+bx+c的图象沿x轴向左平移2个单位，再沿y轴向上平移3个单位，得到的图象的函数解析式为y＝x2﹣2x+1，则b+c的值为（　　）
A．16 B．6 C．0 D．﹣12
4．（2021 温岭市一模）将抛物线y＝x2﹣2x﹣3沿x轴折得到的新抛物线的解析式为（　　）
A．y＝﹣x2+2x+3 B．y＝﹣x2﹣2x﹣3 C．y＝x2+2x﹣3 D．y＝x2﹣2x+3
5．（2021·江苏盐城市·中考真题）已知抛物线经过点和．（1）求、的值；（2）将该抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到新的抛物线，直接写出新的抛物线相应的函数表达式．
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