资源简介

2021年甘肃省陇南市武都区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项）
1．（3分）在0，﹣1，2，﹣3这四个数中，绝对值最小的数是（　　）
A．0 B．﹣1 C．2 D．﹣3
2．（3分）如图，AB∥CD，∠B＝75°，∠E＝27°，则∠D的度数为（　　）
A．45° B．48° C．50° D．58°
3．（3分）如图所示，A、B、C、D是一个外角为40°的正多边形的顶点．若O为正多边形的中心，则∠OAD的度数为（　　）
A．14° B．40° C．30° D．15°
4．（3分）如图所示几何体的左视图为（　　）
A． B． C． D．
5．（3分）下列各运算中，计算正确的是（　　）
A．a2+2a2＝3a4 B．b10÷b2＝b5
C．（m+n）2＝m2+m2 D．（﹣2x2）3＝﹣8x6
6．（3分）如图的正五角星中，与的关系是（　　）
A．相等 B． C． D．不能确定
7．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2kx+k＝4有实数根，则k的取值范围为（　　）
A．k≥0 B．k≥0且k≠2 C．k D．k且k≠2
8．（3分）如图，将 ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，交BC于点F，若∠ABD＝48°，∠CFD＝40°，则∠E为（　　）
A．102° B．112° C．122° D．92°
9．（3分）如图所示，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EB，若AB＝4，CD＝1，则△ABE的周长为（　　）
A．12 B．13 C．14 D．10
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D．设运动的路程为x，△ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（4分）若m+1与﹣2互为相反数，则m的值为 　 　．
12．（4分）分解因式：b2+c2+2bc﹣a2＝　 　．
13．（4分）根据图中提供的信息，可知一个杯子的价格是 　 　元．
14．（4分）若分式的值为零，则x的值是　 　．
15．（4分）现有两个不透明的袋子，一个装有2个红球、1个白球，另一个装有1个黄球、2个红球，这些球除颜色外其他完全相同．从两个袋子中各随机摸出1个球，摸出的两个球颜色相同的概率是 　 　．
16．（4分）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，将△ABC沿射线BC方向平移2个单位后得到△DEF，连接DC，则DC的长为　 　．
17．（4分）如图所示，矩形纸片ABCD中，AD＝6cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为　 　．
18．（4分）如图，平面直角坐标系xOy内，动点P按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点（0，1）运动到点（1，0），第二次运动到点（2，﹣2），第3次运动到点（3，0），…按这样的运动规律，动点P第2021次运动到的点的坐标是　 　．
三、解答题（一）（本大题共5小题，共38分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）计算：|2|﹣6﹣3（2021﹣2020）0．
20．（6分）解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得　 　；
（Ⅱ）解不等式②，得　 　；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为　 　．
21．（8分）已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB＝AC，CD∥AB．
求作：线段BP，使得点P在直线CD上，且∠ABP∠BAC．
作法：①以点A为圆心，AC长为半径画圆，交直线CD于C，P两点；
②连接BP．
线段BP就是所求作的线段．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵CD∥AB，
∴∠ABP＝　 　．
∵AB＝AC，
∴点B在⊙A上．
又∵点C，P都在⊙A上，
∴∠BPC∠BAC（ 　 　）（填推理的依据）．
∴∠ABP∠BAC．
22．（8分）小亮和同学们想用一些测量工具和所学的几何知识测量学校旗杆的高度，检验自己掌握知识和运用知识的能力，如图，在阳光下，小亮站在水平地面的D处，此时小亮身高的影子顶端与旗杆的影子顶端E重合，这时小亮身高CD的影长DE＝1米，一段时间后，小亮从D点沿BD的方向走了2.6米到达G处，此时小亮身高的影子顶端与旗杆的影子顶端H重合，这时小亮的影长GH＝1.4米，已知小亮的身高CD＝FG＝1.6米，点G、E、D均在直线BH上，AB⊥BH，CD⊥BH，GF⊥BH，请你根据题中提供的相关信息，求出旗杆的高度．
23．（10分）2018年高一新生开始，湖南全面启动高考综合改革，实行“3+1+2”的高考选考方案．“3”是指语文、数学、外语三科必考；“1”是指从物理、历史两科中任选一科参加选考，“2”是指从政治、化学、地理、生物四科中任选两科参加选考
（1）“1+2”的选考方案共有多少种？请直接写出所有可能的选法；（选法与顺序无关，例如：“物、政、化”与“物、化、政”属于同一种选法）
（2）高一学生小明和小杰将参加新高考，他们酷爱历史和生物，两人约定必选历史和生物．他们还需要从政治、化学、地理三科中选一科参考，若这三科被选中的机会均等，请用列表或画树状图的方法，求出他们恰好都选中政治的概率．
四、解答题（二）（本大题共5小题，共50分：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
24．（8分）为了解某校九年级男生的体能情况，体育老师从中随机抽取部分男生进行引体向上测试，并对成绩进行了统计，绘制成尚不完整的扇形图和条形图，根据图形信息回答下列问题：
（1）本次抽测的男生有　 　人，抽测成绩的众数是　 　；
（2）请将条形图补充完整；
（3）若规定引体向上6次以上（含6次）为体能达标，则该校125名九年级男生中估计有多少人体能达标？
25．（10分）如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y（m为常数且m≠0）的图象在第二象限交于点C，CD⊥x轴，垂足为D，若OB＝2OA＝3OD＝6．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求两个函数图象的另一个交点E的坐标；
（3）请观察图象，直接写出不等式kx+b的解集．
26．（10分）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线EF，交AB和AC的延长线于点E、F．
（1）求证：EF⊥AB；
（2）当AE＝6，sin∠CFD时，求EB的长．
27．（10分）在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处．
（1）如图1，若BC＝2BA，求∠CBE的度数；
（2）如图2，当AB＝5，且AF FD＝10时，求BC的长．
28．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+8（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（8，0），与y轴交于点C，顶点为D，连接AC，BC，BC与抛物线的对称轴l交于点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，当S△PBCS△ABC时，求点P的坐标；
（3）点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线ED上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与△OBC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2021年甘肃省陇南市武都区中考数学一模试卷
答案与解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项）
1．（3分）在0，﹣1，2，﹣3这四个数中，绝对值最小的数是（　　）
A．0 B．﹣1 C．2 D．﹣3
【分析】根据绝对值的定义先求出这四个数的绝对值，再找出绝对值最小的数即可．
【解答】解：∵|﹣1|＝1，|0|＝0，|2|＝2，|﹣3|＝3，
∴这四个数中，绝对值最小的数是0；
故选：A．
2．（3分）如图，AB∥CD，∠B＝75°，∠E＝27°，则∠D的度数为（　　）
A．45° B．48° C．50° D．58°
【分析】根据平行线的性质解答即可．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠1，
∵∠1＝∠D+∠E，
∴∠D＝∠B﹣∠E＝75°﹣27°＝48°，
故选：B．
3．（3分）如图所示，A、B、C、D是一个外角为40°的正多边形的顶点．若O为正多边形的中心，则∠OAD的度数为（　　）
A．14° B．40° C．30° D．15°
【分析】连接OB、OC，利用任意凸多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出多边形的边数，再根据多边形的内角和公式计算即可．
【解答】解：连接OB、OC，
多边形的每个外角相等，且其和为360°，
据此可得多边形的边数为：9，
∴∠AOB，，
∴∠AOD＝40°×3＝120°．
∴∠OAD30°．
故选：C．
4．（3分）如图所示几何体的左视图为（　　）
A． B． C． D．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可；
【解答】解：圆台的主视图与左视图都是等腰梯形，
故选：B．
5．（3分）下列各运算中，计算正确的是（　　）
A．a2+2a2＝3a4 B．b10÷b2＝b5
C．（m+n）2＝m2+m2 D．（﹣2x2）3＝﹣8x6
【分析】依据合并同类项，同底数幂相除，完全平方公式，积的乘方的运算法则可进行判断．
【解答】解：A，根据合并同类项的法则可知a2+2a2＝3a2，不符合题意；
B，根据“同底数幂相除，底数不变，指数相减“的运算法则可知b10÷b2＝b10﹣2＝b8，不符合题意；
C，根据完全平方公式可得（m+n）2＝m2+2mn+n2，不符合题意；
D，根据“积的乘方，需要把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘“，可得（﹣2x2）3＝﹣8x6，符合题意，
故选：D．
6．（3分）如图的正五角星中，与的关系是（　　）
A．相等 B． C． D．不能确定
【分析】度量五角星中点C到点A、B的距离，我们知道，点C是AB的黄金分割点．根据黄金分割的概念，直接得出结果．
【解答】解：∵点C是AB的黄金分割点，
∴BC：AC＝AC：AB．
故选：A．
7．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2kx+k＝4有实数根，则k的取值范围为（　　）
A．k≥0 B．k≥0且k≠2 C．k D．k且k≠2
【分析】根据一元二次方程的定义及判别式得出关于k的不等式组，解之即可得出k的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2kx+k＝4有实数根，
∴，
解得：k≥0且k≠2，
故选：B．
8．（3分）如图，将 ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，交BC于点F，若∠ABD＝48°，∠CFD＝40°，则∠E为（　　）
A．102° B．112° C．122° D．92°
【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质，得出∠ADB＝∠BDF＝∠DBC，由三角形的外角性质求出∠BDF＝∠DBC∠DFC＝20°，再由三角形内角和定理求出∠A，即可得到结果．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
由折叠可得∠ADB＝∠BDF，
∴∠DBC＝∠BDF，
又∵∠DFC＝40°，
∴∠DBC＝∠BDF＝∠ADB＝20°，
又∵∠ABD＝48°，
∴△ABD中，∠A＝180°﹣20°﹣48°＝112°，
∴∠E＝∠A＝112°，
故选：B．
9．（3分）如图所示，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EB，若AB＝4，CD＝1，则△ABE的周长为（　　）
A．12 B．13 C．14 D．10
【分析】设⊙O的半径为r，则可得出OC＝r﹣1，根据垂径定理可得AC＝BC2，在在Rt△AOC中，根据勾股定理可得AC2+OC2＝OA2，即可算出r的值，再根据圆周角定理可得∠ABE＝90°，在Rt△ABE中，即可算出BE的长，计算即可得出答案．
【解答】解：设⊙O的半径为r，则OC＝r﹣1，
∵OD⊥AB，AB＝4，
∴AC＝BC2，
在Rt△AOC中，
AC2+OC2＝OA2，
22+（r﹣1）2＝r2，
解得：r，
∴5，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE＝90°，
在Rt△ABE中，
∵AE＝5，AB＝4，
∴BE＝3，
∴C△ABE＝AB+AE+BE＝4+5+3＝12．
故选：A．
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D．设运动的路程为x，△ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】由题意当0≤x≤3时，y＝3，当3＜x＜5时，y3×（5﹣x）x．由此即可判断．
【解答】解：由题意当0≤x≤3时，y＝3，
当3＜x＜5时，y3×（5﹣x）x．
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（4分）若m+1与﹣2互为相反数，则m的值为 　1　．
【分析】根据“m+1与﹣2互为相反数”，得到关于m的一元一次方程，解之即可．
【解答】解：根据题意得：
m+1﹣2＝0，
解得：m＝1，
故答案为：1．
12．（4分）分解因式：b2+c2+2bc﹣a2＝　（b+c+a）（b+c﹣a）　．
【分析】当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．
【解答】解：原式＝（b+c）2﹣a2＝（b+c+a）（b+c﹣a）．
故答案为：（b+c+a）（b+c﹣a）
13．（4分）根据图中提供的信息，可知一个杯子的价格是 　8　元．
【分析】设一个杯子x元，一个暖瓶y元，根据图示可得方程求解．
【解答】解：设一盒杯子x元，一个暖瓶y元，可得：
，
解得：．
答：一个杯子的价格是8元，
故答案为：8．
14．（4分）若分式的值为零，则x的值是　﹣2　．
【分析】分式的值为零时，分子等于零，且分母不等于零．据此列出关于x的不等式组进行解答即可．
【解答】解：依题意得：，
解得x＝﹣2．
故答案是：﹣2．
15．（4分）现有两个不透明的袋子，一个装有2个红球、1个白球，另一个装有1个黄球、2个红球，这些球除颜色外其他完全相同．从两个袋子中各随机摸出1个球，摸出的两个球颜色相同的概率是 　　．
【分析】用列表法列举出所有可能出现的结果，从中找出“两球颜色相同”的结果数，进而求出概率．
【解答】解：用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：
共有9种可能出现的结果，其中“两球颜色相同”的有4种，
∴P（两球颜色相同），
故答案为：．
16．（4分）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，将△ABC沿射线BC方向平移2个单位后得到△DEF，连接DC，则DC的长为　4　．
【分析】根据平移的性质可得DE＝AB＝4，BC﹣BE＝6﹣2＝4，然后根据等边三角形的定义列式计算即可得解．
【解答】解：∵△ABC沿射线BC方向平移2个单位后得到△DEF，
∴DE＝AB＝4，BC﹣BE＝6﹣2＝4，
∵∠B＝∠DEC＝60°，
∴△DEC是等边三角形，
∴DC＝4，
故答案为：4．
17．（4分）如图所示，矩形纸片ABCD中，AD＝6cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为　4　．
【分析】设AB＝xcm，则DE＝（6﹣x）cm，根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长列出方程，求解即可．
【解答】解：设AB＝xcm，则DE＝（6﹣x）cm，
根据题意，得π（6﹣x），
解得x＝4．
故答案为：4．
18．（4分）如图，平面直角坐标系xOy内，动点P按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点（0，1）运动到点（1，0），第二次运动到点（2，﹣2），第3次运动到点（3，0），…按这样的运动规律，动点P第2021次运动到的点的坐标是　（2021，0）　．
【分析】分析点P的运动规律即可．
【解答】解：点P的运动规律是每运动四次向右平移四个单位，
∵2021＝505×4+1，
∴动点P第2021次运动时向右505×4+1＝2021个单位，
∴点P此时坐标为（2021，0），
故答案为：（2021，0）．
三、解答题（一）（本大题共5小题，共38分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）计算：|2|﹣6﹣3（2021﹣2020）0．
【分析】首先计算零指数幂和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【解答】解：|2|﹣6﹣3（2021﹣2020）0
＝7﹣26﹣31
＝2﹣5．
20．（6分）解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得　x≥﹣2　；
（Ⅱ）解不等式②，得　x≤1　；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为　﹣2≤x≤1　．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：（Ⅰ）解不等式①，得x≥﹣2；
（Ⅱ）解不等式②，得x≤1；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为﹣2≤x≤1．
故答案为：x≥﹣2，x≤1，﹣2≤x≤1．
21．（8分）已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB＝AC，CD∥AB．
求作：线段BP，使得点P在直线CD上，且∠ABP∠BAC．
作法：①以点A为圆心，AC长为半径画圆，交直线CD于C，P两点；
②连接BP．
线段BP就是所求作的线段．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵CD∥AB，
∴∠ABP＝　∠BPC　．
∵AB＝AC，
∴点B在⊙A上．
又∵点C，P都在⊙A上，
∴∠BPC∠BAC（ 　同弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半　）（填推理的依据）．
∴∠ABP∠BAC．
【分析】（1）根据作法即可补全图形；
（2）根据等腰三角形的性质和同弧所对圆周角等于该弧所对的圆心角的一半即可完成下面的证明．
【解答】解：（1）如图，即为补全的图形；
（2）证明：∵CD∥AB，
∴∠ABP＝∠BPC．
∵AB＝AC，
∴点B在⊙A上．
又∵点C，P都在⊙A上，
∴∠BPC∠BAC（同弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半），
∴∠ABP∠BAC．
故答案为：∠BPC，同弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半．
22．（8分）小亮和同学们想用一些测量工具和所学的几何知识测量学校旗杆的高度，检验自己掌握知识和运用知识的能力，如图，在阳光下，小亮站在水平地面的D处，此时小亮身高的影子顶端与旗杆的影子顶端E重合，这时小亮身高CD的影长DE＝1米，一段时间后，小亮从D点沿BD的方向走了2.6米到达G处，此时小亮身高的影子顶端与旗杆的影子顶端H重合，这时小亮的影长GH＝1.4米，已知小亮的身高CD＝FG＝1.6米，点G、E、D均在直线BH上，AB⊥BH，CD⊥BH，GF⊥BH，请你根据题中提供的相关信息，求出旗杆的高度．
【分析】先证明△ECD∽△EAB，利用相似比得到①，再证明△HFG∽△HAB得到②，然后解由①②组成的方程组求出AB即可．
【解答】解：∵CD∥AB，
∴△ECD∽△EAB，
∴，即①，
∵FG∥AB，
∴△HFG∽△HAB，
∴，即②，
由①②得，解得BD＝6.5，
∴，解得AB＝12．
答：旗杆的高度为12m．
23．（10分）2018年高一新生开始，湖南全面启动高考综合改革，实行“3+1+2”的高考选考方案．“3”是指语文、数学、外语三科必考；“1”是指从物理、历史两科中任选一科参加选考，“2”是指从政治、化学、地理、生物四科中任选两科参加选考
（1）“1+2”的选考方案共有多少种？请直接写出所有可能的选法；（选法与顺序无关，例如：“物、政、化”与“物、化、政”属于同一种选法）
（2）高一学生小明和小杰将参加新高考，他们酷爱历史和生物，两人约定必选历史和生物．他们还需要从政治、化学、地理三科中选一科参考，若这三科被选中的机会均等，请用列表或画树状图的方法，求出他们恰好都选中政治的概率．
【分析】（1）利用树状图可得所有等可能结果；
（2）画树状图展示所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解可得．
【解答】解：（1）画树状图如下，
由树状图知，共有12种等可能结果；
（2）画树状图如下
由树状图知，共有9种等可能结果，其中他们恰好都选中政治的只有1种结果，
所以他们恰好都选中政治的概率为．
四、解答题（二）（本大题共5小题，共50分：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
24．（8分）为了解某校九年级男生的体能情况，体育老师从中随机抽取部分男生进行引体向上测试，并对成绩进行了统计，绘制成尚不完整的扇形图和条形图，根据图形信息回答下列问题：
（1）本次抽测的男生有　25　人，抽测成绩的众数是　6次　；
（2）请将条形图补充完整；
（3）若规定引体向上6次以上（含6次）为体能达标，则该校125名九年级男生中估计有多少人体能达标？
【分析】（1）用7次的人数除以7次所占的百分比即可求得总人数，然后求得6次的人数即可确定众数；
（2）补齐6次小组的小长方形即可．
（2）用总人数乘以达标率即可．
【解答】解：（1）观察统计图知达到7次的有7人，占28%，
∴7÷28%＝25人，
达到6次的有25﹣2﹣5﹣7﹣3＝8人，
故众数为6次；…（4分）
（2）
（3）（人）．
答：该校125名九年级男生约有90人体能达标．…（3分）
25．（10分）如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y（m为常数且m≠0）的图象在第二象限交于点C，CD⊥x轴，垂足为D，若OB＝2OA＝3OD＝6．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求两个函数图象的另一个交点E的坐标；
（3）请观察图象，直接写出不等式kx+b的解集．
【分析】（1）先求出A、B、C坐标，再利用待定系数法确定函数解析式．
（2）两个函数的解析式作为方程组，解方程组即可解决问题．
（3）根据图象一次函数的图象在反比例函数图象的下方，即可解决问题．
【解答】解：（1）∵OB＝2OA＝3OD＝6，
∴OB＝6，OA＝3，OD＝2，
∵CD⊥OA，
∴DC∥OB，
∴，
∴，
∴CD＝10，
∴点C坐标是（﹣2，10），
∵B（0，6），A（3，0），
∴，解得，
∴一次函数为y＝﹣2x+6．
∵反比例函数y经过点C（﹣2，10），
∴m＝﹣20，
∴反比例函数解析式为y．
（2）由解得或，
∴E的坐标为（5，﹣4）．
（3）由图象可知kx+b的解集是：﹣2≤x＜0或x≥5．
26．（10分）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线EF，交AB和AC的延长线于点E、F．
（1）求证：EF⊥AB；
（2）当AE＝6，sin∠CFD时，求EB的长．
【分析】（1）连接OD，利用等腰三角形的性质得∠ODC＝∠ABC，则OD⊥AB，再利用切线的性质可得∠AEF＝∠ODF＝90°，即可证明结论；
（2）首先利用sin∠CFD，AE＝6，得AF＝10，再利用△ODF∽△AEF，得，代入即可．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠B，
∴∠ODC＝∠B，
∴OD∥AB，
∴∠ODF＝∠AEF，
∵EF与⊙O相切，
∴OD⊥EF，
∴∠ODF＝90°，
∴∠AEF＝∠ODF＝90°，
∴EF⊥AB；
（2）解：设OA＝r，
由（1）知OD∥AB，OD⊥EF，
在Rt△AEF中，∵sin∠CFD，AE＝6，
∴AF＝10，
∵OD∥AB，
∴△ODF∽△AEF，
∴，
∴，
∴r，
∴AB＝AC＝2r，
∴EB＝AB﹣AE．
27．（10分）在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处．
（1）如图1，若BC＝2BA，求∠CBE的度数；
（2）如图2，当AB＝5，且AF FD＝10时，求BC的长．
【分析】（1）依据折叠即可得到BC＝BF，∠FBE＝∠EBC；再根据BF＝2AB，即可得出∠AFB＝30°；再根据矩形的性质以及折叠的性质，即可得到∠CBE的度数；
（2）先判定△FAB∽△EDF，即可得出AF DF＝AB DE，依据AF DF＝10，AB＝5，可得DE＝2，进而得到CE＝EF＝3；再根据勾股定理求得DF的长，依据相似三角形的性质求得AF的长，即可得出AD的长以及BC的长．
【解答】解：（1）∵将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，
∴BC＝BF，∠FBE＝∠EBC，
∵BC＝2AB，
∴BF＝2AB，
∴∠AFB＝30°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AFB＝∠CBF＝30°，
∴；
（2）∵将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，
∴∠BFE＝∠C＝90°，CE＝EF，
又∵矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，
∴∠AFB+∠DFE＝90°，∠DEF+∠DFE＝90°，
∴∠AFB＝∠DEF，
∴△FAB∽△EDF，
∴，
∴AF DF＝AB DE，
∵AF DF＝10，AB＝5，
∴DE＝2，
∴CE＝DC﹣DE＝5﹣2＝3，
∴EF＝3，
∴，
∴，
∴．
28．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+8（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（8，0），与y轴交于点C，顶点为D，连接AC，BC，BC与抛物线的对称轴l交于点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，当S△PBCS△ABC时，求点P的坐标；
（3）点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线ED上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与△OBC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）直接将A（﹣2，0）和点B（8，0）代入y＝ax2+bx+8（a≠0），解出a，b的值即可得出答案；
（2）先求出点C的坐标及直线BC的解析式，再根据图及题意得出三角形PBC的面积；过点P作PG⊥x轴，交x轴于点G，交BC于点F，设，根据三角形PBC的面积列关于t的方程，解出t的值，即可得出点P的坐标；
（3）由题意得出三角形BOC为等腰直角三角形，然后分MN＝EM，MN＝NE，NE＝EM三种情况讨论结合图形得出边之间的关系，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+8（a≠0）过点A（﹣2，0）和点B（8，0），
∴，
解得．
∴抛物线解析式为：；
（2）当x＝0时，y＝8，
∴C（0，8），
∴直线BC解析式为：y＝﹣x+8，
∵，
∴，
过点P作PG⊥x轴，交x轴于点G，交BC于点F，
设，
∴F（t，﹣t+8），
∴，
∴，
即，
∴t1＝2，t2＝6，
∴P1（2，12），P2（6，8）；
（3）存在，点M的坐标为：（3，8），或（3，11）．
∵C（0，8），B（8，0），∠COB＝90°，
∴△OBC为等腰直角三角形，
抛物线的对称轴为，
∴点E的横坐标为3，
又∵点E在直线BC上，
∴点E的纵坐标为5，
∴E（3，5），
设，
①当MN＝EM，∠EMN＝90°，
△NME∽△COB，则，
解得或（舍去），
∴此时点M的坐标为（3，8），
②当ME＝EN，当∠MEN＝90°时，
则，
解得：或（舍去），
∴此时点M的坐标为；
③当MN＝EN，∠MNE＝90°时，
此时△MNE与△COB相似，
此时的点M与点E关于①的结果（3，8）对称，
设M（3，m），
则m﹣8＝8﹣5，
解得m＝11，
∴M（3，11）；
此时点M的坐标为（3，11）；
故在射线ED上存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与△OBC相似，点M的坐标为：（3，8）或或（3，11）．

展开更多......

收起↑