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退一步海阔天空
——用圆解决椭圆问题初探
1.研究的起因
1.1从方程上看:
焦点在x轴上的椭圆为,圆方程为,两边同除得,即可以把圆看成长轴和短轴相等的圆。
1.2从图形上看:
把焦点在x上的椭圆纵向拉伸或横向压缩到长轴和短轴相等就变成了圆。
1.3从性质上看:
1.3.1圆中有直径所对圆周角为直角,如图1所示,AB为圆的直径,C为圆上一点(不同于A、B),若和都存在,则有;而在椭圆(以焦点在x轴的为例)中,如图2所示,AB为椭圆上关于中心对称的两个点,C为椭圆上一点(不同于A、B),若和都存在,则有。
1.3.2圆中的垂径定理:如图3所示,EF为圆的不过圆心的任意一条弦,D为EF中点,若和都存在,则有;而在椭圆中,如图4所示,EF为椭圆的不过中心的任意一条弦,D为EF中点,若和都存在,则有.
1.4从运算量角度:
圆比椭圆有较好的对称性,存在一些比较好的性质,计算量相对小一点。
2.实例分析(以2020年浙江高考21题解析几何第2小问为例)
例(2020年浙江卷21(2))如图5,已知椭圆,抛物线,点A是椭圆与抛物线的交点,过点A的直线l交椭圆于点B,交抛物线于点M(B,M不同于A).若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点,求p的最大值.
原解:由题意可设直线,点.将直线的方程代入椭圆得,所以点的纵坐标.将直线的方程代入抛物线得,所以,解得,因此.由得,所以当,时,取到最大值.
另解:我们把椭圆纵向拉伸成圆,则椭圆变成了圆,相应地,抛物线变成了抛物线,那么原题变为:
如图6,已知圆,抛物线,点A是圆与抛物线的交点,过点A的直线l交圆于点B,交抛物线于点M(B,M不同于A).若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点,求p的最大值.
解:如图7所示,由圆的性质可知OM⊥AB,故M在以OA为直径的圆E上,
设A点坐标为(xA,yA),则圆E的方程为x(x-xA)+y(y-yA)=0,
要存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点,只需圆E与抛物线有异于O和A的交点,故联立方程x(x-xA)+y(y-yA)=0与y2=4px,消去x,又由A在C2上可知yA2=4pxA,
消去xA得:y(y-yA)(y+yAy+16p2)=0,要存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点,
只需方程存在异于0和yA的根,y+yAy+16p2=0有异于0和yA的解. 即yA2-64p2≥0。
又由得,解得:
3.后续研究方向
其实把椭圆进行拉伸或压缩变成圆实际上是一种仿射变换,笔者只是针对2020年浙江高考的解析几何进行了探究,那么对于椭圆中的哪些问题可以用这种仿射变换转换成圆,而且在解题过程中存在优势呢,还有待一步研究。
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