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2022年福建省中考数学专题练10-圆
一．选择题（共15小题）
1．（2021 福建）如图，AB为⊙O的直径，点P在AB的延长线上，PC，PD与⊙O相切，切点分别为C，D．若AB＝6，PC＝4，则sin∠CAD等于（　　）
A． B． C． D．
2．（2020 福建）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝CD，A为中点，∠BDC＝60°，则∠ADB等于（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
3．（2021 海沧区模拟）如图所示，在4×4的网格中，A、B、C、D、O均在格点上，则点O是（　　）
A．△ABC的内心 B．△ABC的外心 C．△ACD的外心 D．△ACD的重心
4．（2021 海沧区校级二模）如右图，已知AB为⊙O的弦，C为的中点，点D在优弧上一点，连接AD下列式子一定正确的是（　　）
A．∠ADC＝∠B B．∠ADC+2∠B＝90°
C．2∠ADC+∠B＝90° D．∠B＝30°
5．（2021 福清市校级模拟）如图，直线l与半径为4的⊙O相切于点A，P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l，垂足为B，连接PA．则PA﹣PB的最大值是（　　）
A．1 B． C．2 D．3
6．（2021 闽侯县模拟）如图，半径为2的⊙O与正五边形ABCDE的边AB，DE分别相切于点B，D，则劣弧BD的长为（　　）
A． B． C． D．
7．（2021 福州模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C，D为⊙O上的点．若∠CAB＝20°，则∠D的度数为（　　）
A．70° B．100° C．110° D．140°
8．（2021 福建模拟）将等腰直角三角板ABC与量角器按如图方式放置，其中A为半圆形量角器的0刻度线，直角边BC与量角器相切于点D，斜边AB与量角器相交于点E，若量角器在点D的读数为120°，则量角器在点E的读数是（　　）
A．130° B．135° C．150° D．160°
9．（2021 鼓楼区校级模拟）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，OC，OD，若∠COD＝80°，则∠A的度数为（　　）
A．20° B．40° C．60° D．80°
10．（2021 宁德模拟）已知四个正六边形如图摆放在圆中，顶点A，B，C，D，E，F在圆上．若两个大正六边形的边长均为2，则小正六边形的边长是（　　）
A．3 B． C． D．
11．（2021 思明区校级模拟）如图，点O是半径为6的正六边形ABCDEF的中心，则扇形AOE的面积是（　　）
A．2π B．4π C．12π D．24π
12．（2021 安溪县模拟）如图，AB是半圆O的直径，点C、D将分成相等的三段弧，点P在上，已知点Q在上且∠APQ＝110°，则点Q所在的弧是（　　）
A． B． C． D．
13．（2021 三明模拟）从⊙O外一点A作⊙O的切线AB，AC，切点分别为B，C，D是⊙O上不同于B，C的点，∠BAC＝60°，∠BDC的度数是（　　）
A．120° B．60° C．90°或120° D．60°或120°
14．（2021 福建模拟）如图，等边△ABC的周长为12π，半径为2的⊙O从与AB相切于点D的位置出发，在△ABC外部按顺时针的方向沿三角形滚动，又回到与AB相切于点D的位置则，则⊙O自转了（　　）
A．2周 B．3周 C．4周 D．5周
15．（2021 福建模拟）在Rt△ABO中，∠OAB＝90°，以O为圆心，OA为半径构造⊙O，OB的中点C恰好在⊙O上，点D是AB上一点，CD＝AD，若∠DCB的角平分线所在的直线与⊙O的另一交点为E，连接OE，则∠EOC＝（　　）
A．45° B．67.5° C．90° D．112.5°
二．填空题（共8小题）
16．（2020 福建）一个扇形的圆心角是90°，半径为4，则这个扇形的面积为　 　．（结果保留π）
17．（2022 南平模拟）已知矩形MNPQ的顶点M，N，P，Q分别在正六边形ABCDEF的边DE，FA，AB，CD上，在点M从E移动到D的过程中，下列对矩形MNPQ的判断：
①矩形MNPQ的面积与周长保持不变；
②矩形MNPQ的面积逐渐减少；
③矩形MNPQ的周长逐渐增大；
④矩形MNPQ的对角线长存在最小值．
一定正确的是 　 　．（填序号）
18．（2021 漳州模拟）如图，点B在线段CE上，Rt△ABC≌Rt△CEF，∠ABC＝∠CEF＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．则图中阴影部分的面积为 　 　．
19．（2021 思明区校级二模）如图，若点O是正六边形ABCDEF的中心，∠MON＝120°且角的两边分别交六边形的边AB、EF于M、N两点．若多边形AMONF的面积为，则正六边形ABCDEF的外接圆的面积是 　 　．
20．（2021 福州模拟）如图，点A，B，C在⊙O上，四边形ABCO是平行四边形，若OA＝2，则四边形ABCO的面积为 　 　．
21．（2021 漳浦县模拟）一块直角三角板的30°角的顶点A落在⊙O上，两边分别交⊙O于B、C两点，若弦BC＝1，则⊙O的半径为 　 　．
22．（2021 洛江区模拟）如图，正方形ABCD的边长为2a，O为对角线的交点，点E、F分别为BC、AD的中点．以C为圆心，2a为半径作圆弧，再分别以E、F为圆心，a为半径作圆弧、，则图中阴影部分的面积为 　 　．
23．（2021 龙岩模拟）如图，等边△ABC的中心与⊙O的圆心重合，点D，E分别是CA，AB的延长线与⊙O的交点，已知AB＝BE＝2，则图中阴影部分面积为 　 　．
三．解答题（共10小题）
24．（2020 福建）如图，AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点C，AO的延长线交⊙O于点D，E是上不与B，D重合的点，sinA．
（1）求∠BED的大小；
（2）若⊙O的半径为3，点F在AB的延长线上，且BF＝3，求证：DF与⊙O相切．
25．如图，BD是⊙O的直径，，点C是半圆上一动点，且与点A分别在BD的两侧．
（1）如图1，若5，BD＝4，求AC的长；
（2）求证：CD+BCAC．
26．（2022 福州模拟）如图，△ABC内接于⊙O；∠A＝30°，过圆心O作OD⊥BC，垂足为D．若⊙O的半径为6，求OD的长．
27．（2022 南平模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C在线段AB的延长线上，OB＝BC，∠DAB＝30°．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径4，求与两条线段BC，CD围成的阴影部分面积．
28．（2021 湖里区校级二模）如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，AC是⊙O的直径，BE⊥DC，交DC的延长线于点E，CB平分∠ACE．
（1）求证：BE是⊙O的切线．
（2）若AC＝4，CE＝1，求tan∠BAD．
29．（2021 海沧区模拟）如图，点D为△ABC外接圆上一点，∠ABC＝90°，BD与AC交于点E，点F在BD延长线上，∠DAF＝∠ABD．
（1）求证：AF与△ABC的外接圆相切：
（2）若点D为EF的中点，cos∠BCA，AF＝2，求EF的长．
30．（2021 漳州模拟）如图，已知AB为⊙O的直径，AC为⊙O的切线，过点C的直线与⊙O交于D，E两点，与AB交于点F，连结AD，AE，且AD＝DF．
（1）求证：AD＝CD；
（2）若AD＝5，AE＝8，求⊙O的半径．
31．（2021 思明区校级二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且，连接CF并延长交AD的延长于点E，连接AC．
（1）若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，求∠E的度数；
（2）若⊙O的半径为4，且∠B＝2∠ADC，求AC的长．
32．（2021 龙岩模拟）如图，在扇形AOC中，∠AOC＝60°，点B在上，且2，点E在半径OB上，以OE，OA为邻边作平行四边形OAFE，当点C，B，F共线时．
（1）求∠CFA的度数；
（2）求证：CF＝OC；
（3）若扇形AOC的半径为4cm，求四边形OAFB的面积．
33．（2021 龙岩模拟）已知：如图，四边形ABDC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过C作CE⊥AB于F，C是弧AD的中点，延长BD交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE，BC于点P，Q．
（1）求证：PC＝PQ；
（2）若sin∠ABC，CF＝8，求CQ的长；
（3）求证：FC2＝FP FG．
2022年福建省中考数学专题练10-圆
参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．【解答】解：连接OC、OD、CD，CD交PA于E，如图，
∵PC，PD与⊙O相切，切点分别为C，D，
∴OC⊥CP，PC＝PD，OP平分∠CPD，
∴OP⊥CD，
∴，
∴∠COB＝∠DOB，
∵∠CAD∠COD，
∴∠COB＝∠CAD，
在Rt△OCP中，OP5，
∴sin∠COP，
∴sin∠CAD．
故选：D．
2．【解答】解：连接OA、OB、OD，OC，
∵∠BDC＝60°，
∴∠BOC＝2∠BDC＝120°，
∵AB＝DC，
∴∠AOB＝∠DOC，
∵A为的中点，
∴，
∴∠AOB＝∠AOD，
∴∠AOB＝∠AOD＝∠DOC（360°﹣∠BOC）＝80°，
∴∠ADBAOB＝40°，
故选：A．
3．【解答】解：连接OA，OB，OC，
由勾股定理可知：
OA＝OB＝OC，
所以点O是△ABC的外心，
故选：B．
4．【解答】解：∵C为的中点，
∴OC⊥AB，
∴∠A+∠AOC＝90°，
∵∠AOC＝2∠ADC，
∴∠2ADC+∠A＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠B，
∴∠2ADC+∠B＝90°．
故选：C．
5．【解答】解：作直径AC，连接CP，
∴∠CPA＝90°，
∵AB是切线，
∴CA⊥AB，
∵PB⊥l，
∴AC∥PB，
∴∠CAP＝∠APB，
∴△APC∽△PBA，
∴，即，
则PBPA2，
∴PA﹣PB＝PAPA2（PA﹣4）2+2，
则当PA＝4时，PA﹣PB有最大值是2，
故选：C．
6．【解答】解：连接OB，OD，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠E＝∠A＝180°108°．
∵AB、DE与⊙O相切，
∴∠OBA＝∠ODE＝90°，
∴∠BOD＝（5﹣2）×180°﹣90°﹣108°﹣108°﹣90°＝144°，
∴劣弧BD的长为π，
故选：A．
7．【解答】解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAB＝20°，
∴∠ABC＝90°﹣20°＝70°，
∵∠ADC+∠ABC＝180°，
∴∠ADC＝110°，
故选：C．
8．【解答】解：如图，连接OD、OE，
由D为切点可知：OD⊥BC，
∵AC⊥BC，
∴OD∥AC，
由题意可得：∠AOD＝120°，
则∠CAO＝60°，
∴∠BAO＝60°﹣45°＝15°，
∴∠EOF＝30°，
∴∠AOE＝150°，
即量角器在点E的读数为150°．
故选：C．
9．【解答】解：∵AB是直径，AB⊥CD，
∴，
∴∠DOB＝∠BOC∠DOC＝40°，
∴∠A∠BOC＝20°，
故选：A．
10．【解答】解：连接AD交PM于O，则点O是圆心，过点O作ON⊥DE于N，连接MF，取MF的中点G，连接GH，GQ，
由对称性可知，OM＝OP＝EN＝DN＝1，
由正六边形的性质可得ON＝2，
∴ODOF，
∴MF1，
由正六边形的性质可知，△GFH、△GHQ、△GQM都是正三角形，
∴FHMF，
故选：D．
11．【解答】解：连接OF，
∵O是正六边形ABCDEF的中心，
∴∠AOF＝∠EOF60°，
∴∠AOE＝120°，
∴扇形AOE的面积12π，
故选：C．
12．【解答】解：∵点C、D将分成相等的三段弧，
∴，
∴∠CAB＝∠DBA180°＝60°，
当点Q与点D重合时，∠APQ＝180°﹣60°＝120°，
当点Q在时，∠APQ＜120°，
因此当∠APQ＝110°，点Q所在的弧是，
故选：D．
13．【解答】解：连接OB，OC，如图所示，
∵AB，AC分别为⊙O的切线，
∴AB⊥OB，AC⊥OC，
∴∠ABO＝∠ACO＝90°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BOC＝360°﹣（∠ABO﹣∠ACO﹣∠BAC）＝120°，
当点D在优弧BC上时，由圆周角定理得∠BDC∠BOC＝60°，
当点D′在劣弧BC上时，∠BD′C＝180°﹣60°＝120°，
综上所述，∠BDC的度数是60°或120°，
故选：D．
14．【解答】解：圆在三边运动自转周数：3，
当圆绕过三角形外角时，共自转了三角形外角和的度数：360°，即一周，
∴⊙O自转了3+1＝4周，
故选：C．
15．【解答】解：如图，设∠DCB的角平分线交BD于F，连接AC，
∵∠OAB＝90°，C是OB的中点，
∴ACOB＝OC，
∵OA＝OC，
∴OA＝OC＝AC，
∴△OAC是等边三角形，
∴∠OAC＝∠OCA＝60°，
∴∠DAC＝30°，
∵AD＝CD，
∴∠ACD＝∠DAC，
∴∠OCD＝60°+30°＝90°＝∠DCB，
∵CF平分∠DCB，
∴∠DCF＝∠BCF＝∠OCE＝45°，
∵OC＝OE，
∴∠E＝∠OCE＝45°，
∴∠COE＝90°．
故选：C．
二．填空题（共8小题）
16．【解答】解：S扇形4π，
故答案为：4π．
17．【解答】解：∵正六边形ABCDEF是轴对称图形，
∴以EF的对称轴为y轴，AD所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图，
设正六边形的边长为2，连接OE，过点E作EH⊥x轴于点H，
∴OE＝2，∠EOH＝60°，
∴OH＝1，EH，
∴E（1，），D（2，0），
设ED解析式为y＝kx+b，
，
解得，
∴ED解析式为yx+2，
∵M在ED上，设M（x，y）（1≤x2），
矩形MNPQ中，点M和点N关于y轴对称，
∴N（﹣x，y），
∵点M和点Q关于x轴对称，
∴Q（x，﹣y），
∴MN＝2x，MQ＝2y，
∴矩形MNPQ周长C＝2（MN+MQ）＝2（2x+2y）＝4x+4（x+2）＝﹣2（1）x+4，
∵﹣2（1）＜0，
∴C的值随x的增大而减小，点M从E移动到D的过程中，x不断增大，
故周长C会逐渐减小，故①③错误；
∵矩形MNPQ的面积S＝MN MQ＝2x×2（x+2）＝﹣4x2+8x＝﹣4（x﹣1）2+4，
∵﹣40，
∴抛物线开口向下，当x＞1时，S随x的增大而减小，
故矩形的面积S逐渐减小，故②正确；
∵矩形MNPQ的对角线PM2＝MN2+NP2＝MN2+MQ2＝（2x）2+[2（x+2）]2＝16x2﹣48x+48＝16（x）2+12，
∴当x时，PM2有最小值，此时，对角线PM最小，故④正确．
综上所述：②④．
故答案为：②④．
18．【解答】解：∵Rt△ABC≌Rt△CEF，∠ABC＝∠CEF＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．
∴∠ACB＝60°，∠ECF＝∠BAC＝30°，
∴∠ACF＝60°﹣30°＝30°，
在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝1．
∴AC＝2BC＝2，AB，
在Rt△DBC中，∠BCD＝30°，BC＝1，
∴BDBC，
∴AD，
∴S△ADC1，
∴S阴＝S扇形ACF﹣S△ADC．
故答案为：．
19．【解答】解：连接OF、OA，作OG⊥AF于点G，如图．
正六边形中心角∠AOB60°，
∴∠BOF＝60°×2＝120°，∠OFE＝∠OBA＝60°，OF＝AF＝OA，
∴∠MON﹣∠MOF＝∠BOF﹣∠MOF，
即∠FON＝∠BOM，
在△FON和△BOM中，
∠FON＝∠BOM，∠OFN＝∠OBM，OF＝OB，
∴△FON≌△BOM（AAS），
∴S△FON＝S△BOM，
∴S多边形AMONF＝S四边形ABOF＝2S△OAF，
在Rt△OFG中，∠OFG＝60°，
sin60°，
∴OGOFAF，
∴S△OAFAF OGAF2，
即2AF2＝2，
解得AF＝2，
∴正六边形ABCDEF的外接圆的面积π×22＝4π．
故答案为：4π．
20．【解答】解：连接OB．
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OC＝AB，OA＝BC．
∵OA＝OB＝OC，
∴OA＝OB＝AB＝OC＝BC，
∴△AOB，△OBC都是等边三角形，
∴S平行四边形ABCO＝222＝2．
故答案为：2．
21．【解答】解：连接OB、OC，如图，
∵∠A与∠BOC都对，∠A＝30°，
∴∠BOC＝2∠A＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC为等边三角形，
∵BC＝1，
∴OB＝BC＝1，
即⊙O的半径为1．
故答案为：1．
22．【解答】解：连接BD，EF，如图，
∵正方形ABCD的边长为2a，O为对角线的交点，
由题意可得：EF，BD经过点O，且EF⊥AD，EF⊥CB．
∵点E，F分别为BC，AD的中点，
∴FD＝FO＝EO＝EB＝a，
∴，OB＝OD．
∴弓形OB＝弓形OD．
∴阴影部分的面积等于弓形BD的面积．
∴S阴影＝S扇形CBD﹣S△CBD2a×2a＝πa2﹣2a2．
故答案为：πa2﹣2a2．
23．【解答】解：作OM⊥AB于M，连接OB、OE，
∵点O是等边△ABC的中心，
∴OM平分AB，OB平分∠ABC，
∵∠ABC＝60°，AB＝BE＝2，
∴BM＝1，∠ABO＝30°，
∴OMBM，
∵EM＝3，
∴OE2＝EM2+OM2＝32+（）2，
∴阴影部分的面积（π2）π，
故答案为π．
三．解答题（共10小题）
24．【解答】解：（1）连接OB，如图1，
∵AB与⊙O相切于点B，
∴∠ABO＝90°，
∵sinA，
∴∠A＝30°，
∴∠BOD＝∠ABO+∠A＝120°，
∴∠BED∠BOD＝60°；
（2）证明：连接OF，OB，如图2，
∵AB是切线，
∴∠OBF＝90°，
∵BF＝3，OB＝3，
∴，
∴∠BOF＝60°，
∵∠BOD＝120°，
∴∠BOF＝∠DOF＝60°，
在△BOF和△DOF中，
，
∴△BOF≌△DOF（SAS），
∴∠OBF＝∠ODF＝90°，
∴DF与⊙O相切．
25．【解答】（1）解：连接CO并延长交⊙O于点E，连接AE，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°，
∵，
∴AB＝AD，
∴∠ADB＝∠ABD＝45°，
∵5，
∴∠BOC∠COD，
∴∠BOC∠BOD＝180°30°，
∴∠BDC∠BOC＝15°，
∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝60°，
∴∠ADC＝∠AEC＝60°，
∵CE是⊙O的直径，
∴∠CAE＝90°，
∵CE＝BD＝4，
∴AC＝CEsin60°＝42；
（2）证明：过点A作FA⊥AC，交CD的延长线于点F，
∴∠CAF＝90°，
∵∠BAD＝90°，
∴∠BAD﹣∠CAD＝∠CAF﹣∠CAD，
∴∠BAC＝∠DAF，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵∠ADC+∠ADF＝180°，
∴∠ADF＝∠ABC，
∵AB＝AD，
∴△ABC≌△ADF（ASA），
∴AC＝AF，BC＝DF，
∴△ACF是等腰直角三角形，
∴CFAC，
∴CD+DFAC，
∴CD+BCAC．
26．【解答】解：如图，连接OB，OC，
∵∠BOC＝2∠A，∠A＝30°，
∴∠BOC＝60°，
∵OB＝OC，
∴△BOC是等边三角形，
∴OB＝OC＝BC＝6，
∵OD⊥BC，
∴BD＝CD＝3，
在Rt△ODB中，OD3．
27．【解答】（1）证明：连接OD，BD，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠DAB＝30°，
∴∠ABD＝60°，
∵OB＝OD，
∴△DOB是等边三角形，
∴BD＝OB，∠BOD＝60°，
∵OB＝BC，
∴BC＝BD，
∴∠C＝∠CDB＝30°，
∴∠ODC＝90°，
∴OD⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵⊙O的半径4，∠C＝30°，OD⊥CD，
∴OD＝4，CD＝4，
∴S△OCDOD CD4×48，
∵∠BOD＝60°，⊙O的半径4，
∴S扇形OBDπ，
∴S阴影＝S△OCD﹣S扇形OBD＝8π．
28．【解答】（1）证明：如图，连接OB，
∵CB平分∠ACE．
∴∠ACB＝∠ECB，
∵OB＝OC，
∴∠BCO＝∠CBO，
∴∠BCE＝∠CBO，
∴OB∥ED．
∵BE⊥ED，
∴EB⊥BO．
∴BE是⊙O的切线；
（2）解：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∵BE⊥ED，
∴∠E＝90°，
∴∠E＝∠ABC，
∵∠BCE＝∠ACB，
∴△BCE∽△ACB，
∴，
∵AC＝4，CE＝1，
∴BC2，
∴BE，
∵∠BCD+∠BAD＝∠BCD+∠BCE＝180°，
∴∠BCE＝∠BAD，
∴tan∠BAD＝tan∠BCE．
29．【解答】（1）证明：连接CD．
∵AC是直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAC+∠ACD＝90°，
∵∠ABD＝∠ACD，∠DAF＝∠ABD，
∴∠DAF＝∠ACD，
∴∠DAF+∠DAC＝90°，
∴∠FAC＝90°，
∵AC是直径，
∴AF为⊙O的切线．
（2）解：过点B作BJ⊥EC于J．
∵AC是直径，
∴∠ABC＝90°，
∴cos∠BCA，
设BC＝a，AC＝3a，
∵BJ⊥AC，
∴∠AJB＝90°，
∴∠BAC+∠ABJ＝90°，∠ABJ+∠CBJ＝90°，
∴∠CBJ＝∠BAC，
∴cos∠JCB＝cos∠BCA，
∴CJa，
∴BJ，
∵DA＝DE，
∴∠DAE＝∠AED＝∠CEB，
∵∠DAE＝∠CBE，
∴∠CEB＝∠CBE，
∴CE＝CB＝a，
∴EJ＝EC﹣CJ＝aaa，AE＝AC﹣EC＝2a，
∵AF∥BJ，
∴，
∴，
∴a，
∴AE＝2，EJ，BJ，
∴EF6．
30．【解答】（1）证明：如图，
∵AC为⊙O的切线，AB为⊙O的直径，
∴AB⊥AC，
∴∠1+∠2＝90°，∠3+∠C＝90°，
∵AD＝DF，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠C，
∴AD＝CD；
（2）解：如图，连结BD，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠2+∠B＝90°，
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠1＝∠B，
∵∠1＝∠C，∠B＝∠E，
∴∠B＝∠E＝∠C，
∴AC＝AE＝8，
∵AD＝5，AD＝CD＝DF，
∴CF＝10，
∴AF，
∵∠B＝∠C，∠ADB＝∠FAC＝90°，
∴△ADB∽△FAC，
∴，即，
∴AB，
∴⊙O的半径为．
31．【解答】解：（1）∵
∴∠DCF＝∠BAC＝25°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠B+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣∠B＝75°，
又∵∠ADC＝∠DCE+∠E，
∴∠E＝∠ADC﹣∠DCE＝50°；
（2）∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠B+∠ADC＝180°，
∵∠B＝2∠ADC，
∴∠B＝120°，∠ADC＝60°，
连接OA、OC，过点O作OM⊥AC于点M，
∵，
∴∠AOD＝2∠ADC＝120°，
∵OA＝OC，OM⊥AC，
∴，∠AOM＝60°，
∴，
∴．
32．【解答】（1）解：∵2，
∴∠AOB＝2∠BOC，
∵∠AOC＝60°，
∴∠OBC＝20°，∠AOB＝40°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝80°，
∵四边形OAFE是平行四边形，
∴OB∥AF，
∴∠OBC＝∠CFA＝80°；
（2）证明：∵OC＝OA，∠AOC＝60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠OAC＝60°，OC＝AC，
∵四边形OAFE是平行四边形，
∴OE∥AF，
∴∠OAF＝180°﹣∠AOB＝140°，
∴∠CAF＝∠CFA＝80°，
∴CA＝CF，
∴CF＝OC；
（3）解：连接AC交OB于G，
由（2）知，AC＝OC，∠OCA＝∠OAC＝60°，
∴∠ACF＝∠OCB﹣∠OCA＝80°﹣60°＝20°，
∴∠BOC＝∠ACF，
∴△BOC≌△FCA（SAS），
∴S△OCG＝S四边形OAFB，
∴S四边形OAFB＝S△OAC4×24．
33．【解答】（1）证明：∵C是弧AD的中点，
∴，
∴∠CAD＝∠ABC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAD+∠AQC＝90°，
∵CE⊥AB，
∴∠ABC+∠PCQ＝90°，
∴∠AQC＝∠PCQ，
∴PC＝PQ；
（2）解：∵C是弧AD的中点，CE⊥AB，
∴，
∴∠ABC＝∠ACE＝∠CAD，
∵CE⊥AB，
∴△BCF是直角三角形，
∵sin∠ABC，
∴，
∵CF＝8，
∴BC，
∴BF，
∴tan∠ABC，
∴ACBC＝10，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACQ＝90°，
在Rt△ACQ中，∵tan∠ACQ＝tan∠ABC，
∴CQ10；
（3）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠PFA＝∠PDG，∠DPG＝∠FPA，
∴∠G＝∠FAP，
而∠AFP＝∠BFG，
∴△APF∽△GBF，
∴AF：FG＝PF：BF，
∴AF BF＝FP FG，
∵∠ACF＝∠CBF，
∴△ACF∽△CBF，
∴AF：CF＝CF：BF，
即AF BF＝CF2，
∵∠PAF+∠APF＝∠DBA+∠DAB＝90°，
∴∠APF＝∠GBF，
∵∠GFB＝∠AFP＝90°，
∴△APF∽△GBF，
∴FP：FA＝FB：FG，
∴FP FG＝FA FB，
∴FC2＝FP FG．

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