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贵州省黔南州罗甸县2022届高三下学期3月高考热身模拟
理科数学试卷（二）
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．在复平面上，若点、对应的复数分别为、，则（ ）
A． B． C． D．
3．2020年因新冠肺炎疫情的发生，某省的三大产业均受到不同程度的影响，其中第三产业中的各个行业都面临着很大的营收压力.2020年7月该省统计局发布了其上半年全省经济数据，如图所示：图1为该省三大产业比重，图2为第三产业中各行业比重.
以下关于该省上半年经济数据的说法正确的是（ ）
A．第一产业的生产总值与第三产业中“租赁和商务服务业”的生产总值基本持平
B．第一产业的生产总值超过第三产业中“房地产业”的生产总值
C．若“住宿餐饮业”生产总值为750亿元，则“金融业”生产总值为3250亿元
D．若“金融业”生产总值为4104亿元，则第二产业生产总值为166500亿元
4．若数列的前项和，则数列的通项公式等于（ ）
A． B． C． D．
5.我国一代领袖毛泽东，不仅是政治家、军事家，还是出了名的大诗人；年轻时代的毛泽东就志向远大，从他写的诗可以看得出。《七绝 改诗赠父亲》中的诗句“孩儿立志出乡关，学不成名誓不还．埋骨何须桑梓地，人生无处不青山”传诵至今．由其中第二句可以推断“学成名”是“返回家乡”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
6．函数，则的最小正周期和最大值分别为（ ）
A． B. C． D．
7．若，且则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
8．若的二项展开式中的系数是，则实数的值是（ ）
A． B． C．1 D．2
9．在立体几何探究课上，老师给每个小组分发了一个正四面体的实物模型，同学们在探究的过程中得到了一些有趣的结论.已知直线平面，直线平面，F是棱BC上一动点，现有下列三个结论：
①若分别为棱的中点，则直线平面；
②在棱BC上存在点F，使平面；
③当F为棱BC的中点时，平面平面.
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①③ B．①② C．③ D．②③
10.据贵州教育发布，2021年11月24日17时16分，贵州省修文县发生4.6级地震.已知地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震震级之间的关系为.据此测算，2021年3月20日17时09分在日本本州东岸近海发生的级地震所释放出的能量约是该次修文县地震所释放出来的能量的多少倍？（精确到；参考数据：）（ ）
1995 B．1996 C．1998 D．2000
11．已知椭圆的两个焦点分别为，，点在椭圆上，．若的面积为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数是定义在R上的偶函数，若对于任意不等实数，，不等式恒成立，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知若，则___________.
14. 已知函数，则_________.
15. 已知函数，则函数在点处的切线方程为____.
16．已知斜率不为0的直线过椭圆：的左焦点且交椭圆于两点，轴上的点满足，则的取值范围是___________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：共60分。
17．已知等差数列满足，，的前项和为.
（1）求及；
（2）令bn＝ (n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.
18．新冠肺炎疫情期间，某地为了了解本地居民对当地防疫工作的满意度，从本地居民中随机抽取若干居民进行评分（满分为100分），根据调查数据制成如下频率分布直方图，已知评分在的居民有3300人.
（1）求频率分布直方图中的值及估计本次评测分数的中位数（精确到0.1）.
（2）若测评分在70分（含70）以上则测评结果为“满意”，70分以下则测评结果为“不满意”；为了更进一步了解该地区居民对疫情防控工作的态度，调查组从该样本中抽出5个人来开座谈会。X表示这5个人中测评结果为满意的人数，求X的分布列与期望。
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，△PAB为等边三角形，平面PAB⊥底面ABCD，E为AD的中点AB=2.
求证：；
为线段上的一点，且满足，是否存在实数使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出的值，若不存在，说明理由.
20．已知椭圆的左 右顶点分别是，，点（异于，两点）在椭圆上，直线与的斜率之积为，且椭圆的焦距为.
（1）求椭圆的标准方程.
（2）直线与椭圆交于，（其横坐标）两点，直线与的交点为，试问点是否在定直线上？若在，请给予证明，并求出定直线方程；若不在，请说明理由.
21．已知函数.
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）若方程恰有三个不同的解，求实数的取值围.
(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4－4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系中，已知圆的参数方程为(为参数，其中为正实数)，以坐标原点O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1）若直线l与圆C相切，求a的值；
（2）在（1）的条件下，设直线l与圆C相切于点M，点N是圆C上的一个动点，求面积的最大值.
23．[选修4－5：不等式选讲]
已知，，，设函数，.
（1）若，求不等式的解集；
（2）若函数的最小值为1，证明：.试卷第1页，共3页
数学理科试题参考答案
1．B
【分析】
根据交集的运算求解即可.
【详解】
由题得，所以.
故选：B
2．B
【分析】
根据复数的乘法、除法运算可得，由此即可求出结果.
【详解】
复数,
的模为.
故选：B．
3．D
【分析】
利用扇形统计图和第三产业中各行业比重统计图的数据即可求解.
【详解】
对于A，57%×6%=3.42%<6%，错误；
对于B，57%×13%=7.41%>6%，错误；
对于C，（亿），错误；
对于D，根据题意，第二产业生产总值为亿元，正确.
故选：D.
4．C
【分析】
根据，由解得；由时，求解．
【详解】
解：，
时，，
解得；
时，，
即，
所以数列是等比数列，首项与公比都为．
则，
故选：C．
5．B
【分析】
直接根据必要性和充分性的定义判断得到答案.
【详解】
“学成名”不一定会返回家乡，不充分；
“返回家乡”了一定是在学成名的前提下，必要.
故选：B.
6．B
【分析】
积化和差与二倍角公式化简即可得解；
【详解】
解：
，所以最小正周期为，最大值为.
故选：B
【点睛】
本题考查三角恒等变换公式的应用，属于中档题
7．A
【分析】
利用不等式的性质得，可得出选项
【详解】
，所以，所以
故选：C.
8．C
【分析】
原式利用二次展开通项公式化简，根据的系数是，求出的值即可.
【详解】
根据的二项展开通项公式.
令，得到，由的系数是，得到，
解得：，
故选：C
9．C
【分析】
将正四面体放在正方体中，如图，由正方体的性质判断各选项．
【详解】
可将正四面体放在正方体中研究，如图，
对于①，由直线平面，直线平面，知平面是与左右两个侧面平行的平面，
是前后两个侧面的中心（对角线交点），则直线平面或直线平面，故①错误.
对于②，正方体的左、右两个侧面与平面平行，因此，与平面垂直的直线只能是与其四条侧棱平行或重合的直线，故②错误.
对于③，平面就是平面，由与侧面垂直，得面面垂直，故③正确，
故选：C．
10.C．
【分析】
利用指对数的互化可得分别求两次地震的能量，再应用指数的运算性质求地震能量的倍数.
【详解】
由题设，贵州省修文县发生4.8级地震的能量为，
日本本州东岸近海发生的级地震的能量为，
∴.
故选：C
11..A
【分析】
设，，，然后利用椭圆的定义、余弦定理、三角形的面积公式求解即可.
【详解】
设，，，由题意可得．
由椭圆的定义可知，则．
由余弦定理可得，则，
从而，即，解得，即．
在中，，，，所以．
故选：A
12．C
【分析】
由条件对于任意不等实数，，不等式恒成立可得函数在上为减函数，利用函数性质化简不等式求其解.
【详解】
∵ 函数是定义在R上的偶函数，
∴ ，
∴ 不等式可化为
∵ 对于任意不等实数，，不等式恒成立，
∴ 函数在上为减函数，又，
∴ ，
∴ ，
∴不等式的解集为
故选：C
二填空题部分答案
13.
【分析】
两向量垂直，夹角为90°，因为cos90°＝0，所以两向量数量积为零，据此可求x的值﹒
【详解】
∵，
∴，
∴，
∴﹒
故答案为：
14．27
【分析】
运用代入法进行求解即可.
【详解】
，
故答案为：27
15．
【分析】
根据导数的几何意义即可求出.
【详解】
因为,所以,曲线在点处的切线方程为即：.
故答案为: .
16．
【分析】
设出直线方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理分别求得和的表达式，即可求出范围.
【详解】
由题可得点为线段的垂直平分线与轴的交点，
因为，可设直线方程为，设，
联立方程可得，则，
所以线段的中点坐标为，
，
的垂直平分线方程为，
当时，，即，
所以，
则.
故答案为：.
三、解答题部分答案
17；（1）an＝2n＋1，Sn＝n(n＋2)
（2）
【分析】
（1）由题意可得a1＋2d＝7，2a1＋10d＝26，求出，从而可求出an及Sn；
（2）由（1）得，然后利用裂项相消求和法可求得结果.
（1）
设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
由于a3＝7，＝26，
∴a1＋2d＝7，2a1＋10d＝26，
解得a1＝3，d＝2.
∴an＝2n＋1，Sn＝n(n＋2).
（2）
∵an＝2n＋1，∴－1＝4n(n＋1)，
∴.
故Tn＝b1＋b2＋…＋bn
∴数列{bn}的前n项和Tn＝.．
18；（1），调查的总人数为6000人.
（2）分布列见解析，.
【分析】
利用矩形面积之和为1计算的值，设出总人数，利用在的居民有3300人列出方程，求出答案；（2）可得X的可能取值为0，1，2，3，4，5，求出X取不同值的概率，即可得出分布列，求出期望.
（1）
有频率分布直方图知
即，解得
设总共调查了人，则，
解得，即调查的总人数为6000人；
X可能取的值为0，1，2，3，4，5.
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3 4 5
P 0.00032 0.0064 0.0512 0.2048 0.4096 0.32768
4
19．（1）证明见解析
（2）存在，点为靠近点的三等分点，即；
【分析】
（1）取的中点，连结，取的中点，连结，利用面面垂直的性质定理证明，，两两垂直，然后建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和两条直线的方向向量的坐标，由向量垂直的坐标表示进行分析证明即可；
（2）设，则，即可得到的坐标，表示出平面的法向量，利用空间向量方程得到方程，解得即可；
（1）
证明：取的中点，连结，
因为，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，所以底面，
取的中点，连结，则，，两两垂直，
分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，
设，则，
所以，
则，故，
所以；
（2）
解：由（1）可知，，
所以，，
设，则，
所以，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，
故，
所以，
整理可得，解得，
所以在上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，此时点为靠近点的三等分点，即．
20．（1）
（2）存在，证明见解析，点在定直线
【分析】
（1）由题意可得，，设，根据以及可得，再由，且求得的值即可求解；
（2）设，，联立直线与椭圆的方程，可得、，再求出直线和的方程并联立，可得点的横坐标为定值即可求证.
（1）
由题意可得，，设，
则，，所以.
因为点在椭圆上，所以，所以，
则.
因为，且，所以，，
故椭圆的标准方程为.
（2）
设，，
联立，整理得，
则，.
由（1）可知，，
则直线的方程为，直线的方程为，
从而，即，
解得：.
故点在定直线上.
21．（1）；
（2）.
【分析】
（1）对函数求导，进而将代入求出切线斜率，再求出切点纵坐标，进而求出切线方程；
（2）由（1）求出函数的单调区间和极值，进而求得答案.
（1）
,，则切线斜率，又，所以切线方程为：.
（2）
，，
则时，，单调递增，
时，，单调递减，
时，，单调递增.
所以时，函数有极大值为，时，函数有极小值为.
又，
因为，所以.
因为方程恰有三个不同的解，所以.
22．（1）a=3（2）5
【分析】
（1）将圆C的参数方程转为直角坐标方程，直线l的极坐标方程转为直角坐标方程，利用点到直线的距离公式即可求解.
（2）根据圆的性质求出，再求出点N到直线l的距离的最大值即可求解.
（1）
圆C的参数方程为(为参数，其中a为正实数)，
转为直角坐标方程为.
直线l的极坐标方程为，
根据，
转为直角坐标方程为.
利用圆心到直线的距离，
由于a为正值，解得a=3.
（2）
由（1）得：圆心，
则：，
由于，
则，
由于圆心C到直线l的距离的最大值为，
则：点N到直线l的距离的最大值为，
所以
23．（1）；（2）证明见解析
【分析】
（1）利用零点分段法，求出各段的取值范围然后取并集可得结果.
（2）利用绝对值三角不等式可得，然后使用柯西不等式可得结果.
【详解】
（1）由，所以
由
当时，则
所以
当时，则
当时，则
综上所述：
（2）由
当且仅当时取等号
所以
由，
所以
所以
令
根据柯西不等式，则
当且仅当，即取等号
由
故，又
则
【点睛】
本题考查使用零点分段法求解绝对值不等式以及柯西不等式的应用，属基础题.

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