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18.3 特殊的平行四边形：矩形
【学习目标】
1. 理解矩形的概念.
2. 掌握矩形的性质定理与判定定理.
3.运用矩形性质定理与判定定理计算或证明有关的角和线段.
【知识总结】
一、矩形的定义
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
【注】：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件. 21世纪教育网版权所有
二、矩形的性质
矩形的性质包括四个方面：
1.矩形具有平行四边形的所有性质；
2.矩形的对角线相等；
3.矩形的四个角都是直角；
4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.
【注】：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分.21·cn·jy·com
（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）.21*cnjy*com
（3）矩形是特殊的平行四边形，矩 ( http: / / www.21cnjy.com )形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.21教育名师原创作品
三、矩形的判定
矩形的判定有三种方法：
1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
2.对角线相等的平行四边形是矩形.
3.有三个角是直角的四边形是矩形.
【注】：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.
四、直角三角形斜边上的中线的性质
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
【注】：（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用.
（2）学过的直角三角形主要性质 ( http: / / www.21cnjy.com )有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半.
（3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题.
【典型例题】
【类型】一、矩形的性质
例1、如图，在矩形中，，于点F.
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(1)求证：；
(2)连接，若，求的度数.
【思路点拨】
（1）根据矩形的对边平行且相等得到，．再结合一对直角相等即可证明；然后根据全等三角形的对应边相等证明；
（2）根据矩形性质和AD=AE，易证，可得，再由，求得∠FDC=30°，所以.
【答案与解析】
解：（1）证明：在矩形中，，
∴.
在和中，
∴.
∴.
(2)在矩形中，
∴.
又∵，
∴.
在和中，
∴.
∴.
∵，
∴.
∴.
∴.
【总结升华】题综合考查了矩形的性质、 ( http: / / www.21cnjy.com )全等三角形的判定与性质．熟练运用矩形的性质和判定，能够找到证明全等三角形的有关条件；运用全等三角形的性质求解．
【训练】如图，在矩形ABCD中，E、F ( http: / / www.21cnjy.com )分别是边AB、CD上的点，AE=CF，连接EF、BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC．
（1）求证：OE=OF；
（2）求∠ACB的度数．
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【思路点拨】
（1）根据矩形的对边平行可得AB ( http: / / www.21cnjy.com )∥CD，再根据两直线平行，内错角相等求出∠BAC=∠FCO，然后利用“角角边”证明△AOE和△COF全等，再根据全等三角形的即可得证；
（2）连接OB，根据等腰三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形三线合一的性质可得BO⊥EF，再根据矩形的性质可得OA=OB，根据等边对等角的性质可得∠BAC=∠ABO，再根据三角形的内角和定理列式求出∠ABO=30°，即∠BAC=30°，继而求得答案．
【答案与解析】
解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠OCF=∠OAE，
在△OCF和△OAE中，
∴△COF≌△AOE（AAS），
∴OE=OF；
（2）如图，连接OB，
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∵BE=BF，OE=OF，
∴BO⊥EF，
∴在Rt△BEO中，∠BEF+∠ABO=90°，
由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可知：OA=OB=OC，
∴∠BAC=∠ABO，
又∵∠BEF=2∠BAC，
即2∠BAC+∠BAC=90°，
解得∠BAC=∠ABO=30°，
∴∠ACB=90°-∠BAC=60°．
【总结升华】本题考查了矩形的性质，全 ( http: / / www.21cnjy.com )等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半，难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用.21cnjy.com
【类型】二、矩形的判定
例2、如图，在矩形ABCD中，BM⊥AC，DN⊥AC，M、N是垂足．
（1）求证：AN＝CM；
（2）如果AN＝MN＝2，求矩形ABCD的面积．
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【思路点拨】
（1）根据矩形的性质和平行线的性质推出AD＝BC，∠DAC＝∠BCA，证△DAN≌△BCM即可；
（2）连接BD交AC于点O，根据矩形的性质求出AC＝BD＝6，OA＝OD＝3，求出ON＝1，根据勾股定理求出DN即可．【版权所有：21教育】
【答案与解析】
解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
又∵DN⊥AC，BM⊥AC，
∴∠DNA＝∠BMC，
∴△DAN≌△BCM，
∴AN＝CM．
（2）连接BD交AC于点O．
∵AN＝NM＝2，
∴AC＝BD＝6，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝DO＝3，
在△ODN中，OD＝3，ON＝1，∠OND＝90°，
∴DN＝，
∴矩形ABCD的面积＝，
答：矩形ABCD的面积是12．
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【总结升华】此题主要考查矩形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，熟练进行逻辑推理是解题关键．www-2-1-cnjy-com
【训练】如图所示，在梯形ABCD中，AD∥ ( http: / / www.21cnjy.com )BC，∠B=90°，AD=24cm，BC=26cm，动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动．点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．
（1）经过多长时间，四边形PQCD是平行四边形？
（2）经过多长时间，四边形PQBA是矩形？
（3）经过多长时间，当PQ不平行于CD时，有PQ=CD．
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【答案】(1)6s；(2) s；(3)7s.
【思路点拨】
（1）设经过ts时，四边形PQCD是平行四边形，根据DP=CQ，代入后求出即可；
（2）设经过ts时，四边形PQBA是矩形，根据AP=BQ，代入后求出即可；
（3）设经过t（s），四边形PQCD是等腰梯形，利用EP=2列出有关t的方程求解即可．
【答案与解析】
解:（1）设经过t（s），四边形PQCD为平行四边形
即PD=CQ
所以24-t=3t，
解得：t=6．
（2）设经过t（s），四边形PQBA为矩形，
即AP=BQ，
所以t=26-3t，
解得：t=．
（3）设经过t（s），四边形PQCD是等腰梯形．
过Q点作QE⊥AD，过D点作DF⊥BC，
∴∠QEP=∠DFC=90°
∵四边形PQCD是等腰梯形，
∴PQ=DC．
又∵AD∥BC，∠B=90°，
∴AB=QE=DF．
在Rt△EQP和Rt△FDC中，
，
∴Rt△EQP≌Rt△FDC（HL）．
∴FC=EP=BC-AD=26-24=2．
又∵AE=BQ=26-3t，
∴EP=AP-AE=t-（26-3t）=2．
得：t=7．
∴经过7s，PQ=CD．
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【总结升华】此题主要考查平行四边形、矩形及等腰梯形的判定掌握情况，本题解题关键是找出等量关系即可得解．www.21-cn-jy.com
【类型】三、直角三角形斜边上的中线的性质
例3如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BAD＝45°，E、F分别是AC、BD的中点，若AC＝2．
（1）求证：EF⊥BD
（2）求EF的长．
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【思路点拨】
（1）连接BE、DE，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，证明再利用等腰三角形的性质可得结论；【来源：21·世纪·教育·网】
（2）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得 再利用等腰三角形的性质与三角形的外角的性质证明：再求解，再证明 从而可得答案．【来源：21cnj*y.co*m】
【答案与解析】
解：（1）连接BE、DE
∵E、F分别是AC、BD的中点，∠ABC＝∠ADC＝90°，
BE＝AC，DE＝AC，
∴BE＝DE
∵F为BD中点，
∴EF⊥BD
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（2）∵E、F分别是AC、BD的中点，∠ABC＝∠ADC＝90°，
∵F为BD中点，
【总结升华】本题考查的是直角三角形的斜边 ( http: / / www.21cnjy.com )上的中线等于斜边的一半，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，掌握以上知识是解题的关键．2·1·c·n·j·y
【训练】如图，四边形ABCD中，，，E，F分别是BD、AC的中点，请你说明EF与AC的位置关系．21*cnjy*com
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【答案】理由见解析．
【思路点拨】连接AE、CE，根据直角三角形斜边上中线性质求出AE=CE，根据等腰三角形的性质可得答案．
【答案与解析】
解： EF⊥AC， 理由如下：
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连接AE、CE，
∵∠BAD=∠BCD=90°，E为BD中点，
∴
∴AE=CE，
∵F为AC中点，
∴EF⊥AC．
【总结升华】本题考查的是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．21·世纪*教育网
【类型】四、坐标系中的矩形
例4已知矩形0ABC在平面直角坐标 ( http: / / www.21cnjy.com )系内的位置如图所示，点0为坐标原点，点A的坐标为(10，0)，点B的坐标为(10，8)，点Q为线段AC上-点，其坐标为(5，n).
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(1)求直线AC的表达式
(2)如图，若点P为坐标轴上- ( http: / / www.21cnjy.com )动点，动点P沿折线AO→0C的路径以每秒1个单位长度的速度运动，到达C处停止求Δ0PQ的面积S与点P的运动时间t(秒)的函数关系式.21教育网
(3)若点P为坐标平面内任 ( http: / / www.21cnjy.com )意-.点，是否存在这样的点P，使以0，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形 若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由.
【答案】(1) ； (2) 当点P在A0上运动时，S=2t+20 ，当点P在0C上运动时，S (10≤t≤18) ；(3)点P的坐标为(5，12)，(5，-4)，(-5，4)
【思路点拨】
（1）由矩形的性质可得出 ( http: / / www.21cnjy.com )点C的坐标，根据点A，C的坐标，利用待定系数法可求出直线AC的解析式；
（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点Q的坐标，分点P在OA和点P在OC上两种情况，利用三角形的面积公式可找出S与t之间的函数关系式；
（3）分OC为对角线、OQ为对角线以及CQ为对角线三种情况，利用平行四边形的性质（对角线互相平分）即可求出点P的坐标．
【答案与解析】
解：(1)没直线AC的解析式为y=kx+b，
由题知C(0，8)，A(10，0)
∴
解之得
∴
(2)∵Q(5，n)在直线上
∴n=4
∴Q(5，4)
当点P在A0上运动时，
=2t+20
当点P在0C上运动时，
(10≤t≤18)
(3) 设点P的坐标为（a，c），分三种情况考虑（如图2）：
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①当OC为对角线时，∵O（0，0），C（0，8），Q（5，4），
∴ ，解得： ，
∴点P1的坐标为（-5，4）；
②当OQ为对角线时，∵O（0，0），C（0，8），Q（5，4），
∴ ，解得： ，
∴点P2的坐标为（5，-4）；
③当CQ为对角线时，∵O（0，0），C（0，8），Q（5，4），
∴ ，解得： ，
∴点P3的坐标为（5，12）．
综上所述：存在点P，使以O，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，点P的坐标为（-5，4），（5，-4），（5，12）．
故答案为：(1) ； (2) 当点P在A0上运动时，S=2t+20 ，当点P在0C上运动时，S (10≤t≤18) ；(3)点P的坐标为(5，12)，(5，-4)，(-5，4) ．
【总结升华】本题考查矩形的性 ( http: / / www.21cnjy.com )质、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；（2）分点P在OA和点P在OC上两种情况，找出S关于t的函数关系式；（3）分OC为对角线、OQ为对角线以及CQ为对角线三种情况，利用平行四边形的对角线互相平分求出点P的坐标．
【类型】五、矩形的相关证明
例5．如图，四边形ABCD是长方形，把△ACD沿AC折叠得到△ACD’，AD’与与BC交于点E，若AD=4，DC=3
（1）求证
（2）求BE的长
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【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【思路点拨】
（1）根据题意可得，，．即利用“角角边”即可证明．
（2）设BE=x，则EC=4-x，由（1）可知AE=EC=4-x．再在中，利用勾股定理即可列出边的等量关系式，解出x即为BC的长．【出处：21教育名师】
【答案与解析】
（1）由翻折和长方形的性质可知，，
又∵（对顶角）．
∴ ．
（2）设BE=x，则EC=4-x．
由（1）得AE=EC=4-x，
在中，，即．
解得：x=．
故BE=．
【总结升华】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质以及利用勾股定理解三角形．根据题意找出能使的条件是解答本题的关键．
【训练】如图，在长方形纸 ( http: / / www.21cnjy.com )片ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，BC＝4，CD＝3，将此长方形纸片沿BD折叠，使点A落在点E处．DE与BC相交于点F．
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（1）判断△BDF的形状，并说明理由；
（2）求DF的长．
【答案】（1）△BDF为等腰三角形，理由见解析；（2）DF的长为
【思路点拨】
（1）利用翻折变换的性质及矩形的性质证明BF＝DF即可解决问题．
（2）利用勾股定理列出关于线段DF的方程即可解决问题．
【答案与解析】
（1）△BDF为等腰三角形．
理由：∵将长方形纸片ABCD沿BD折叠，使点A落在点E处．
∴△ABD≌△EBD，
∴∠ADB＝∠FDB；
又∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBF，
∴∠FDB＝∠DBF，
∴BF＝DF，
∴△BDF为等腰三角形．
（2）∵四边形ABCD是长方形，
∴DC＝AB＝3，
设BF＝DF＝x，则CF＝4﹣x；
由勾股定理得：x2＝（4﹣x）2+32，
解得：x＝，
即DF的长为．
【总结升华】本题考查矩形的翻折性质，等腰三角形的判定，勾股定理解直角三角形，理解翻折变化的性质灵活运用勾股定理是解题关键．2-1-c-n-j-y
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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