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第二章 相交线与平行线
【学习目标】
1、熟练掌握对顶角，邻补角及垂线的概念及性质，了解点到直线的距离与两平行线间的距离的概念；
2、区别平行线的判定与性质，并能灵活运用；
3、能够灵活运用平行线性质定理与判定定理进行综合练习；
4、能够运用尺规进行基本作图。
【考点总结】
知识点一、相交线
1.对顶角、邻补角
两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系，它们的概念及性质如下表：
图形 顶点 边的关系 大小关系
对顶角 有公共顶点 ∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线 对顶角相等即∠1=∠2
邻补角 有公共顶点 ∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线. 邻补角互补即∠3+∠4=180°
要点诠释：
⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角.对顶角的特征:有公共顶点，角的两边互为反向延长线.21世纪教育网版权所有
⑵如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角.
⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有 ( http: / / www.21cnjy.com )∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角.邻补角的特征:有公共顶点，有一条公共边，另一边互为反向延长线．21教育网
⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个.
2.垂线及性质、点到直线的距离
（1）垂线的定义：
当两条直线相交所成的四个角中，有一 ( http: / / www.21cnjy.com )个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如图1所示，符号语言记作： AB⊥CD，垂足为O.
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要点诠释：
要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直角，两条线段垂直，是指这两条线段所在的直线垂直.21cnjy.com
（2）垂线的性质：
垂线性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记).
垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短.
（3）点到直线的距离：
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，如图2：PO⊥AB，点P到直线AB的距离是垂线段PO的长.21·cn·jy·com
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要点诠释：垂线段PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条.
知识点二、平行线
1．平行线的判定
判定方法1：同位角相等，两直线平行．
判定方法2：内错角相等，两直线平行．
判定方法3：同旁内角互补，两直线平行．
要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有：
（1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行.
（2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）.
（3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行.
（4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.
2．平行线的性质
性质1：两直线平行，同位角相等；
性质2：两直线平行，内错角相等；
性质3：两直线平行，同旁内角互补.
要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有：
（1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点．
（2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直．
3．两条平行线间的距离
如图3，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离.www.21-cn-jy.com
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要点诠释：
（1）两条平行线之间的距离处处相等.
（2）初中阶级学习了三种距离, ( http: / / www.21cnjy.com )分别是两点间的距离、点到直线距离、平行线间的距离.这三种距离的共同点在于都是线段的长度,它们的区别是两点间的距离是连接这两点的线段的长度,点到直线距离是直线外一点引已知直线的垂线段的长度, 平行线间的距离是一条直线上的一点到与之平行的另一直线的距离.
（3）如何理解 “垂线段”与 “距离”的关系：垂线段是一个图形，距离是线段的长度，是一个量，它们之间不能等同.【来源：21·世纪·教育·网】
【例题讲解】
类型一、相交线
例1.如图，∠1＝30°，AB⊥CD，垂足为O，EF经过点O.求∠2、∠3的度数.
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【答案】∠2＝60°，∠3＝30°
【分析】根据对顶角相等可得∠3＝∠1＝30°，再由垂直可得∠BOD＝90°，根据∠2＝90°﹣∠1即可算出度数．
解：∵直线AB和EF交于点O，∠1＝30°，
∴∠3＝∠1＝30°，
∵AB⊥CD，
∴∠BOD＝90°，
∴∠2＝90°﹣30°＝60°.
【点拨】此题主要考查了对顶角，以及垂直的定义，题目比较简单，要注意领会由垂直得直角这一要点．
【训练】如图所示，已知∠AOD=∠BOC，请在图中找出∠BOC的补角,邻补角及对顶角.
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【答案】
解： ∵∠BOC＋∠AOC=180 （平角定义）,
∴∠AOC是∠BOC的补角.
∵∠AOD＋∠BOD=180 （平角定义）,
∠AOD=∠BOC（已知）,
∴∠BOC＋∠BOD=180 .
∴∠BOD是∠BOC的补角．
∴∠BOC的补角有两个：∠BOD和∠AOC.
而∠BOC的邻补角只有一个∠AOC，且∠BOC没有对顶角.
例2. 已知：如图，直线a、b、c两两相交，且∠1＝2∠3，∠2=86°，求∠4的度数.
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【答案与解析】
解：根据对顶角相等,
∴∠1＝∠2＝86°.
又∵∠1＝2∠3，
∴86°＝2∠3，
∴∠3＝43°,
又∠3与∠4对顶角，
所以∠3=∠4＝43°.
【总结升华】涉及到角的运算时，充分利用已知条件和隐含条件（对顶角）是解题的关键．
性质是解答此类问题的关键.
【训练】如图，直线AB、CD相交于O点，∠AOC=80°，OE⊥AB，OF平分∠DOB，求∠EOF的度数．www-2-1-cnjy-com
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【答案】50°
【分析】根据对顶角相等得到∠BOD=∠AOC=80°，根据角平分线的性质得到根据垂线的性质有∠BOE=90°，根据即可求解.2-1-c-n-j-y
解：∵∠AOC=80°，
∴∠BOD=∠AOC=80°，
∵OF平分∠DOB，
∴
∵OE⊥AB，
∴∠BOE=90°，
∴
【点拨】考查对顶角的性质，垂线的性质，角平分线的性质，比较基础.
类型二、平行线的性质与判定
例3.如图，已知∠ADE = ∠B，∠1 =∠2，那么CD∥FG吗？并说明理由.
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【答案与解析】
解：平行，理由如下：
因为∠ADE=∠B，所以DE∥BC（同位角相等，两直线平行），
所以∠1=∠BCD（两直线平行，内错角相等）.
又因为∠1=∠2（已知），
所以∠BCD=∠2.
所以CD∥FG（同位角相等，两直线平行）.
【总结升华】反复应用平行线的判定与性质，见到角相等或互补，就应该想到判断直线是否平行，见到直线平行就应先想到角相等或角互补.21*cnjy*com
【训练】如图，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，试判断∠AED与∠ACB的大小关系，并说明理由．
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【答案】∠AED=∠ACB，理由如下：
∵∠1＋∠2＝180°，又∠1＋∠4＝180°,
∴∠2＝∠4.
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∴AB∥EF（内错角相等，两直线平行）.
∴∠5＝∠3.
又∠3=∠B,
∴∠5＝∠B.
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）.
∴∠AED=∠ACB(两直线平行,同位角相等).
【训练】如图所示，请你填写一个适当的条件：________，使AD∥BC．
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【思路点拨】欲证AD∥BC，结合图形，故可按同位角相等、内错角相等和同旁内角互补两直线平行来补充条件．【来源：21cnj*y.co*m】
【答案】∠FAD＝∠FBC，或∠ADB＝∠CBD，或∠ABC+∠BAD＝180°.
【解析】
解：本题答案不唯一，如：利 ( http: / / www.21cnjy.com )用“同位角相等，两直线平行”，可添加条件∠FAD＝∠FBC；利用“内错角相等，两直线平行”，可添加条件∠ADB＝∠CBD；利用“同旁内角互补，两直线平行”，可添加条件∠ABC+∠BAD＝180°．【出处：21教育名师】
【总结升华】这是一道开放性试题，分清题设和结论：结论： AD∥BC，题设可根据平行线的判定方法，逐一寻找即可.【版权所有：21教育】
举一反三：
【变式】 下列说法中正确的个数是（　　）
（1）在同一平面内，a、b、c是直线，a∥b，b∥c，则a∥c
（2）在同一平面内，a、b、c是直线，a⊥b，b⊥c，则a⊥c
（3）在同一平面内，a、b、c是直线，a∥b，a⊥c，则b⊥c
（4）在同一平面内，a、b、c是直线，a⊥b，b⊥c，则a∥c．
　 A．1 B． 2 C． 3 D． 4
【答案】C
类型三、作图题
例4．如图，利用无刻度的直尺和圆规在三角形ABC的边AC上方作∠CAD＝∠ACB，并说明AD与BC的位置关系(保留作图痕迹，不写作法)．21·世纪*教育网
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【分析】利用基本作图（作一个角等于已知角）作∠CAD＝∠ACB，然后根据内错角相等，两直线平行，从而得到CD∥AB．21教育名师原创作品
【详解】如图所示．
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∵∠CAD＝∠ACB，
∴AD∥BC.
【点拨】本题考查了基本作图：熟练掌 ( http: / / www.21cnjy.com )握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了平行线的判定．
【训练】如图：点C是∠AOB的边OB上的一点，按下列要求画图并回答问题．
（1）过C点画OB的垂线，交OA于点D；
（2）过C点画OA的垂线，垂足为E；
（3）比较线段CE，OD，CD的大小（请直接写出结论）；
（4）请写出第（3）小题图中与∠AOB互余的角（不增添其它字母）．
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【分析】(1)作DC⊥OB即可；(2)作C ( http: / / www.21cnjy.com )E⊥OA即可；(3)根据垂线段最短及直角三角形的斜边大于任一直角边即可得出结论；(4)根据两角互余的定义即可得出结论．2·1·c·n·j·y
解：(1)、(2)如图所示；
(3)∵CE⊥OA，
∴CE＜CD.
∵△OCD中OD是斜边，CD是直角边，
∴CD＜OD，
∴CE＜CD＜OD；
(4)∵CE⊥OA，
∴∠AOB+∠OCE=90°．
∵CD⊥OB，
∴∠AOB+∠ODC=90°，
∴与∠AOB互余的角是∠OCE与∠ODC．
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【点拨】本题考查的是作图-基本作图，熟知垂线的作法是解答此题的关键．
类型四、实际应用
例5.如图，107国道上有一个出口M，想在附近公路旁建一个加油站，欲使通道最
短，应沿怎样的线路施工？
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【答案与解析】
解：如图，过点M作MN⊥，垂足为N，欲使通道最短，应沿线路MN施工.
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【总结升华】灵活运用垂线段最短的性质是解答此类问题的关键.
1
2
∠1与∠2
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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