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数学
八年级下册
第一章 复习
第二章 复习
阶段综合测试一（月考）
第三章 复习
阶段综合测试二（期中一）
阶段综合测试三（期中二）
第四章 复习
第五章 复习
阶段综合测试四（月考二）
第六章 复习（一）
第六章 复习（二）
阶段综合测试五（期末一）
阶段综合测试六（期末二）
数学·北师版（BS）
第一章 复习
第一章 | 复习
知识归纳
1．等腰三角形的性质
性质(1)：等腰三角形的两个底角________．
性质(2)：等腰三角形顶角的_________、底边上的________、底边上的高互相重合．
2．等边三角形的性质
等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°
3．等腰三角形的判定
(1)定义：有两条边_________的三角形是等腰三角形．
(2)等角对等边：有两个角________的三角形是等腰三角形．
相等
相等
相等
平分线
中线
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第一章 | 复习
4．用反证法证明的一般步骤
(1)假设命题的结论不成立；
(2)从这个假设出发，应用正确的推理方法，得出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果；
(3)由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．
5．等边三角形的判定
(1)有一个角等于60°的_________三角形是等边三角形；
(2)三边相等的三角形叫做等边三角形；
(3)三个角相等的三角形是等边三角形；
(4)有两个角等于60°的三角形是等边三角形．
等腰
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第一章 | 复习
6．直角三角形的性质及判定
性质(1)：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的_________；
性质(2)：直角三角形的两个锐角互余．
判定：有两个角互余的三角形是直角三角形．
7．勾股定理及其逆定理
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的_______．
逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是_________三角形．
一半
平方
直角
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第一章 | 复习
8．线段的垂直平分线的性质定理及判定定理
性质定理：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离_______．
判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的_____________上．
[点拨] 线段的垂直平分线可以看作和线段两个端点距离相等的所有点的集合．
9．三线共点
三角形三条边的垂直平分线相交于_______，并且这一点到三角形三个顶点的距离________．
相等
垂直平分线
相等
一点
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第一章 | 复习
10．角平分线的性质定理及判定定理
性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离_________．
判定定理：在一个角的内部，且到角的两边________相等的点在这个角的平分线上．
[注意] 角的平分线是在角的内部的一条射线，所以它的逆定理必须加上“在角的内部”这个条件．
11．三角形三条角平分线的性质
三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离_________．
相等
距离
相等
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考点攻略
第一章 | 复习
考点一　线段垂直平分线性质的应用
例1 如图1－1，在△ABC中，DE垂直平分AC交AB于点E，∠A＝30°，∠ACB＝80°，则∠BCE＝________.
50°
[解析] 根据线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，得EA＝EC，所以∠A＝∠ACE＝30°.又因为∠ACB＝80°，故∠BCE＝80°—30°＝50°.
图1－1
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第一章 | 复习
[方法技巧]若题目中出现或经过构造出现线段垂直平分线，注意利用“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”解决问题。同时，在求一些边长、周长或角的度数时，如果能恰当地运用线段垂直平分线的性质，可以大大简化解题过程，同学们在学习中要注意到这一点！
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第一章 | 复习
例2
考点二　全等三角形性质的应用
图1－2
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第一章 | 复习
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第一章 | 复习
[方法技巧]与全等三角形有关的开放型试题形式多样，设计新颖，
能培养同学们的逆向思维能力、创新能力和综合运用知识的能力。
解答条件开放型试题，需要执果索因，逆向推理，逐步探求结论
成立的条件。同时要注意挖掘图形中的隐含条件，如对顶角、公
共角、公共边等，然后合理选择全等三角形的知识解决。另外，
要注意这类题的答案往往不唯一，只要合理即可。
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第一章 | 复习
例3
图1－3
考点三　勾股定理的应用
[解析] 这个有趣的问题是勾股定理的典型应用，此问题看上去是一个曲面上的路线问题，但实际上能通过圆柱的侧面展开而转化为平面上的路线问题，值得注意的是，在剪开圆柱侧面时，要从A开始并垂直于AB剪开，这样展开的侧面是个矩形，才能得到直角，再利用勾股定理解决此问题．
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第一章 | 复习
图1－4
[方法技巧]利用勾股定理解决最短路线问题的实质是解决旋转体的问题，也是把立体图形转化为平面图形的问题，即将原图形的侧面展开转化为平面图形——即“展曲为平”问题，特别要注意圆柱、圆锥的侧面展开问题。这种由三维立体和二维平面的相互转化，充分体现了新课程标准下的素质教育对学生空间想象能力、图形识别能力及理解能力的要求，是考查空间观念和严谨认真态度的很好题型。
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第一章 | 复习
例4
考点四　等腰三角形的判别
图1－5
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第一章 | 复习
[解析] 要证明△DEF为等腰三角形，只需证明DE＝DF.连接AD，利用三角形全等可得这一结论．对于E，F在AB，CA延长线上的情况，可利用同样的方法证明．
图1－6
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第一章 | 复习
图1－7
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第一章 | 复习
[方法技巧]等腰三角形的应用主要体现在利用等腰三角形的性质与判定上，尤其是利用“三线合一”的性质对线段或角进行转化，从而摆脱用全等三角形证明线段相等或角相等的思维定势，更简捷地说明两线段或角相等。在中考中，等腰三角形常与其他知识结合，多以证明或计算题形式出现，综合性强。
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第一章 | 复习
例5
图1－8
考点五　角平分线与“截长补短”
图1－9
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第一章 | 复习
[解析] 结论是CD＝AD＋BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截取CF＝CB，只要再证DF＝DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的．
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第一章 | 复习
[方法技巧]“截长补短法”是解决这一类问题的一种特殊方法，利用此种方法常可使思路豁然开朗。掌握好“截长补短法”对于更好的理解数学中的化归思想有较大的帮助。
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试卷讲练
第一章 | 复习
考查意图 　三角形的证明是属于数学新课程标准中《图形与几何》部分的重要内容，在日常测试及中考中，常以填空、选择、证明、计算及综合题考查学生对于三角形全等、等腰三角形、勾股定理及其逆定理的掌握．本卷以双基为主，考查学生对于基本知识点的理解及基本解题思路的掌握，重点在于培养学生对几何题的分析能力和逻辑推理能力．
难易度 易 1，2，3，4，5，6，7，8，11，12，13，14，15，17，18，19，20
中 9，10，21，22
难 16，23，24
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第一章 | 复习
知识与
技能 全等三角形 2，16，17，22，24
等腰三角形及直角三角形 1，4，10，14，20，21，23，24
直角三角形和勾股定理及逆定理 3，8，15
线段的垂直平分线及角平分线 5，7，9，13，18，19
逆命题 6，12
反证法 11
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第一章 | 复习
思想方法 分类讨论、数形结合
亮点 　第9题用到了分类讨论的思想方法；第10题将动手操作与逻辑推理相结合考查等腰三角形的性质；第16题属于开放型问题，答案不唯一；第22题将等腰直角三角形的性质与三角形全等结合考查；第23题巧妙地对直角三角形较短直角边“加倍”.
数学·北师版（BS）
1．以下命题中，是真命题的是(　　)
A．两条直线只有相交和平行两种位置关系
B．同位角相等
C．两边和一角对应相等的两个三角形全等
D．等腰三角形底边中点到两腰的距离相等
2．下列说法中，正确的是(　　)
A．等腰三角形一边上的中线也是这边上的高
B．等腰三角形的内角平分线的交点到三 个顶点的距离相等
C．等边三角形每条角平分线都平分对边
D．直角三角形一边上的中线等于这边的一半
针对第3题训练
第一章 | 复习
D
C
数学·北师版（BS）
1．在直角三角形中，一条直角边长为a，另一条边长为2a，那么它的三个内角之比为(　　)
A．1∶2∶3 B．2∶2∶1 C．1∶1∶2 D．以上都不对
2．如图1－10，△ABC中，∠ACB＝90°，BA的垂直平分线交CB边于点D，若AB＝10，AC＝5，则图中等于60°的角的个数为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
第一章 | 复习
针对第8题训练
D
D
图1－10
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第一章 | 复习
2
图1－11
3．如图1－11，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，DE是AB的中垂线，垂足为点D，交BC于点E，若BE＝4，则AC＝________．
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第一章 | 复习
针对第9题训练
C
D
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第一章 | 复习
图1－12
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第一章 | 复习
图1－13
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第一章 | 复习
针对第23题训练
图1－14
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第一章 | 复习
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第一章 | 复习
针对第24题训练
图1－15
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第一章 | 复习
数学·北师版（BS）
第二章 复习
数学·北师版（BS）
第二章 | 复习
知识归纳
不等式
一、不等式及其基本性质
1．定义
凡用符号“＜”(或“≤”)“＞”(或“≥”)连接的式子叫做________．
2．性质
性质1　不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向_______．
性质2　不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向_______．
性质3　不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向________．
不变
不变
要改变
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二、不等式的解集
1．不等式的解集
一般地说，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的_______．
2．解不等式
求不等式的________的过程叫做解不等式．
不等式的解集可在数轴上直观地表示出来，如5x≥15的解集为x≥3，即在数轴上(图2－1)用表示3的点及其右边部分来表示，这里的黑点表示包括3这一点．如果不等式的解集为－1≤x＜4(图2－2)，则用数轴上表示－1的点的右边和点4的左边之间的部分来表示，这里的黑点表示包括－1这一点在内，而右边的圆圈表示不包括4这一点在内．
第二章 | 复习
解集
解集
图2－1　　　　　图2－2
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第二章 | 复习
三、一元一次不等式和它的解法
1．一元一次不等式
不等式的左、右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做__________________．
2．一元一次不等式的解法
一元一次不等式的解法步骤和解的情况与一元一次方程对比如下表所示．
一元一次不等式
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第二章 | 复习
解一元一次方程 解一元一次不等式
解法步骤 　(1)去分母；
　(2)去括号；
　(3)移项；
　(4)合并同类项；
　(5)系数化为1 (1)去分母；
　(2)去括号；
　(3)移项；
　(4)合并同类项；
　(5)系数化为1.
在上面的步骤(1)和步骤(5)中，如果乘数或除数是负数，要把________改变方向
解的情况 　一元一次方程只有一个解 　一般地，一元一次不等式的解集含有无限多个解
不等号
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第二章 | 复习
四、一元一次不等式组和它的解法
1．一元一次不等式组
一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个________________．
2．一元一次不等式组的解集
一元一次不等式组中各个不等式的解集的___________，叫做这个一元一次不等式组的解集．
3．解不等式组
求不等式组的解集的过程，叫做_____________．
4．解一元一次不等式组的两个步骤
(1)求出这个不等式组中各个不等式的解集；
(2)利用数轴求出这些不等式的解集的__________，即求出了这个不等式组的解集．
一元一次不等式组
公共部分
解不等式组
公共部分
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第二章 | 复习
考点攻略
例1
[易错地带] 不等式两边都乘（或除以）同一个复数时，不等号的方向要改变。
考点一　不等式的性质
＞
＜
＞
　＜
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第二章 | 复习
考点二　一元一次不等式(组)的解法
例2
数学·北师版（BS）
第二章 | 复习
[技巧总结]
数学·北师版（BS）
第二章 | 复习
例3
图2－3
[解析] 两个不等式要分别求解．
数学·北师版（BS）
第二章 | 复习
图2－4
[方法总结] 不等式组要分别求解，用数轴表示解集时要注意选取公共部分。
数学·北师版（BS）
第二章 | 复习
例4
D
数学·北师版（BS）
第二章 | 复习
例5 我国沪深股市交易中，如果买、卖一次股票均需付交易金额的0.5%作费用．张先生以每股5元的价格买入“西昌电力”股票1000股，若他期望获利不低于1000元，问他至少要等到该股票涨到每股多少元时才能卖出(精确到0.01元)
考点三　不等式的应用
[方法总结]列不等式解应用题关键是找到表示不等关系的语句，如本题中“期望获利不低于1000元”
数学·北师版（BS）
第二章 | 复习
考点四　一元一次不等式与一次函数的综合
甲有存款600元，乙有存款2000元，从本月开始，他们进行零存整取储蓄，甲每月存款500元，乙每月存款200元．
(1)列出甲、乙的存款额y1(元)，y2(元)与存款月数x(月)之间的函数关系式；
(2)请问到第几个月，甲的存款额超过乙的存款额？
[解析] 先列出函数关系式，再根据关系式列出方程或不等式，从而解决问题．
数学·北师版（BS）
第二章 | 复习
[方法总结]解题的关键是根据题目中的关系列出函数关系式，将实际问题转化为数学问题，再根据题目中的不等关系列出不等式，然后求解。
数学·北师版（BS）
第二章 | 复习
试卷讲练
考查
意图 一元一次不等式和一元一次不等式组是《课程标准》中数与式的重要组成部分，在各类考试及中考中常结合数轴和方程以填空题、选择题和综合题形式出现．本卷主要考查了不等式的性质及一元一次不等式(组)的解法和应用，一元一次不等式与一次函数．重点考查了一元一次不等式(组)的解法和应用．
难易度 易 1，2，3，4，5，6，8，11，12，13，14，15，17，18，19，20，21
中 7，9，10，22
难 16，23，24
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第二章 | 复习
知识
与技
能 不等式的性质 1，3，6，8
一元一次不等式的解法 2，4，11，17
一元一次不等式组的解法 5，7，9，12，13，16，18
一元一次不等式的应用 15，20，23，24
一元一次不等式组的应用 10，19，21，22
一元一次不等式与一次函数 9，14
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第二章 | 复习
思想
方法 整体思想 13
数形结合思想 3，6，9，14
亮点 9题具有新颖性、直观性和综合性，不仅能考查一次函数的性质，同时也考查了不等式的解法；
10题考法新颖，设计自然，背景清晰、明快，全面考查了学生的阅读理解、数学知识迁移和解决实际问题的能力.
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第二章 | 复习
针对第1题训练
C
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第二章 | 复习
A
针对第7题训练
6≤a＜9
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第二章 | 复习
针对第16题训练
针对第10题训练
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第二章 | 复习
针对第13题训练
针对第16题训练
－6
B
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第二章 | 复习
针对第22题训练
某工厂计划生产A，B两种产品共10件，其生产成本和利润如下表：
A种产品 B种产品
成本(万元/件) 2 5
利润(万元/件) 1 3
(1)若工厂计划获利14万元，问A，B两种产品应分别生产多少件？
(2)若工厂计划投入资金不多于44万元，且获利多于14万元，问工厂有哪几种生产方案？
(3)在(2)的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润．
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第二章 | 复习
数学·北师版（BS）
第二章 | 复习
数学·北师版（BS）
第二章 | 复习
针对第23题训练
义洁中学计划从荣威公司购买A、B两种型号的小黑板，经洽谈，购买一块A型小黑板比购买一块B型小黑板多用20元，且购买5块A型小黑板和4块B型小黑板共需820元．
(1)求购买一块A型小黑板和一块B型小黑板各需要多少元？
(2)根据义洁中学的实际情况，需从荣威公司购买A、B两种型号的小黑板共60块，要求购买A、B两种型号小黑板的总费用不超过5240元，并且购买A型小黑板的数量应大于购买A、B两种型号小黑板总数量的 .请你通过计算，求出义洁中学从荣威公司购买A、B两种型号的小黑板有哪几种方案？
数学·北师版（BS）
第二章 | 复习
数学·北师版（BS）
第二章 | 复习
数学·北师版（BS）
阶段综合测试一（月考）
数学·北师版（BS）
阶段综合测试一（月考）
试卷讲练
考查
意图 三角形的证明中等腰三角形、直角三角形、全等三角形、线段的垂直平分线、角平分线的性质和判定是几何基础知识，一元一次不等式和一元一次不等式组是数与式中的重要组成部分，这些知识点在各类考试中占有一定的比重，这也是本卷所考查的主要内容．
难易度 易 1，2，3，4，5，6，7，8，11，12，13，14，15，17，18，19，20
中 9，16，21，22
难 10，23，24
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阶段综合测试一（月考）
知识与技能 一元一次不等式和一元一次不等式组 1，2，3，4，6，8，9，12，15，16，17，18，20，24
三角形的证明 5，7，10，11，13，14，19，21，22，23
思想
方法 分类讨论思想 23，24
数形结合思想 3，4，12，15
亮点 12题以实际生活为背景，以开放题的形式展现，体现了数学与生活之间的联系．
23题中在三个图形中分别作出AB边上的高CD，利用等腰三角形和直角三角形的性质解决问题，提升学生的思维能力.
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某校学生志愿服务小组在“学雷锋”活动中购买了一批牛奶到敬老院慰问老人．如果分给每位老人4盒牛奶，那么剩下28盒牛奶；如果分给每位老人5盒牛奶，那么最后一位老人分得的牛奶不足4盒，但至少1盒．则这个敬老院的老人最少有(　　)
A．29人 B．30人 C．31人 D．32人
阶段综合测试一（月考）
针对第6题训练
B
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阶段综合测试一（月考）
针对第7题训练
A
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阶段综合测试一（月考）
针对第10题训练
C
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阶段综合测试一（月考）
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阶段综合测试一（月考）
针对第12题训练
B
小明原有60元，如图YK1－4记录了他今天所有支出，其中饼干支出的金额被涂黑．若每包饼干的售价为6元，则小明可能剩下多少元(　　)
A．12 　　B．4 C．8 　　D．2
图YK1－4
针对第14题训练
如图YK1－5，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点E，过点E的直线交AB，AC于点M，N，若BM＝ME，则CN与EN的关系是(　　)
A. CN＝EN B．CN > EN
C. CN < EN D．无法确定
图YK1－5
A
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第三章 复习
数学·北师版（BS）
第三章 | 复习
知识归纳
1．平移
定义：在平面内，将一个图形沿____________移动一定的______，这样的图形移动称为平移．
性质：平移不改变图形的大小和形状．图形平移后，对应线段________，对应角_________；对应点连线__________________________．
作图：先确定图形的关键点平移后的位置，再按原来的方式连接，即可得到平移后的图形．
某个方向
距离
相等
相等
平行(或在同一直线)且相等
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2．旋转
定义：在平面内，将一个图形绕一个_________沿某个方向转动一个_______，这样的图形运动称为旋转．
性质：旋转不改变图形的大小和形状．图形旋转后对应线段_________，对应角________，对应点到旋转中心的距离_____________．任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是_________．
作图：(1)先找出图形中的关键点；(2)分别作出这几个点旋转后的对应点；(3)按原来位置依次连接各点即可得到旋转后的图形．
第三章 | 复习
旋转角
定点
角度
相等
相等
相等
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第三章 | 复习
3．中心对称
(1)中心对称
定义：如果把一个图形绕着某一点旋转180°，能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它们的对称中心．
(2)中心对称图形
把一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转后的图形与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心．
性质：成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分．
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第三章 | 复习
考点攻略
考点一　平移和平移作图
例1　
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第三章 | 复习
[方法技巧]平移要注意起点和终点，平移的方向和距离
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第三章 | 复习
考点二　旋转和旋转作图
图3－3
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第三章 | 复习
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第三章 | 复习
数学·北师版（BS）
第三章 | 复习
考点三　平移和旋转的应用
例3
图3－4
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第三章 | 复习
图3－5
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第三章 | 复习
试卷讲练
考查意图 　　平移与旋转是继轴对称之后的图形变换，是近年各类考试的热点，有关平移、旋转的题目题型多样，变化灵活，从注重考查学生空间想象能力与动手操作能力的实践操作题到直接运用动态操作的说理计算题、图案设计题，再发展到基于动态操作与探究的综合探究题. 考查的着眼点日趋灵活，能力立意的意图日渐明显. 本节主要考查平移、旋转的概念与性质，借助图形的变换作图与操作等，运用与构建相关图形之间的形状、位置及大小关系进行相关的作图、计算、探究与图案设计等，试题以低、中档题为主．
难易度 易 1，2，3，4, 5，6，7，8，11，12，13，14，15，
17，18，19，22
中 9，20，21，23
难 10，16，24
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第三章 | 复习
知识与
技能 概念与识别 1，2，4，5，6，8
性质的应用与计算题 3，7，11，12，13，14，15，18，20，21
有关的作图题 17，23
有关的操作题 9，19
有关的探究题 10，16，22，24
思想
方法 数形结合 12，23
转化思想 9，20，21
亮点 第10，16题借助旋转、平移变换，考查空间想象能力和规律探究能力；第19题通过等边三角形的平移操作，考查图案的设计与创新能力；第9，20，21题通过平移与旋转操作化不规则图形为规则图形，化一般为特殊，体现了数学的转化与化归思想；第23题借助旋转作图，酝酿与构建新的图形，借助面积验证相关定理与公式．
数学·北师版（BS）
第三章 | 复习
针对第4题训练
图3－6
C
数学·北师版（BS）
第三章 | 复习
B
2．在图3－8的四个三角形中，不能由3－7中的△ABC经过旋转或平移得到的是(　　)
图3－7　　　　 　　　　图3－8
数学·北师版（BS）
如图3－9，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB和∠ADE都是直角，点C在AE上，△ABC绕着A点经过逆时针旋转后与△ADE重合得到图(1)，再将图(1)作为“基本图形”绕着A点经过逆时针连续旋转得到图(2)．图(1)，图(2)中旋转的角度分别为(　　)
A．45°，90° B．90°，45°C．60°，30° D．30°，60°
第三章 | 复习
针对第5题训练
图3－9
A
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第三章 | 复习
针对第6题训练
图3－10
B
下列图案都是由字母“m”经过变形、组合而成的，其中不是中心对称图形的是(　　)
数学·北师版（BS）
第三章 | 复习
针对第13题训练
图3－11
45°
数学·北师版（BS）
第三章 | 复习
针对第16题训练
如图3－12，右边的平行四边形可以看作由左边的图形经过平移得到，则第n个图形中有多少个这样的平行四边形ABCD
图3－12
数学·北师版（BS）
第三章 | 复习
针对第20题训练
1．如图3－13，在长方形ABCD中，横向阴影部分是长方形，另一阴影部分是平行四边形，依照图中标注的数据，计算图中空白部分的面积，其面积是(　　)
图3－13
B
数学·北师版（BS）
第三章 | 复习
2．如图3－14(1)所示，在长为a，宽为b的一块草坪上修了一条宽为1的笔直小路，则余下草坪的面积可表示为________；如图(2)，现为了增加美感，把这条小路改为宽恒为1的弯曲小路，则此时余下草坪的面积为________．
图3－14
ab－a
ab－a
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第三章 | 复习
[解析] 利用“平移不改变图形的形状和大小”这一性质可迅速解决本题．由图形可知图(1)和图(2)的阴影部分经过平移可以组成一个长方形，如图3－15.则图(1)中的长为a，宽为(b－1)，所以面积为a(b－1)＝ab－a.图(2)中的长为a，宽为(b－1)，所以面积为a(b－1)＝ab－a.
图3－15
数学·北师版（BS）
第三章 | 复习
3．如图3－16所示，一个矩形场地ABCD，长AB＝102 m，宽AD＝51 m，A，B两处入口的小路宽均为1 m，两条小路汇合处路宽为2 m，其余部分种植草坪，则草坪的面积为________．
图3－16
5000 m2
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第三章 | 复习
针对第23题训练
如图3－18，花边中的图案以正方形为基础，由圆弧或圆构成，仿照例图，请你为班级黑板报设计一条花边，要求：
(1)只需画出组成花边的一个图案，不写画法，不需配文字；
(2)以所给的正方形为基础，用圆弧或圆画出；
(3)图案应有美感；
(4)与例图不同．
图3－18
数学·北师版（BS）
第三章 | 复习
解： 此题答案不唯一，如图3－19所示．
图3－19
数学·北师版（BS）
阶段综合测试二（期中一）
数学·北师版（BS）
试卷讲练
阶段综合测试二（期中一）
考查
意图 三角形的证明中等腰三角形、直角三角形、全等三角形、线段的垂直平分线、角平分线的性质和判定是几何基础知识，图形的平移与旋转是图形变换的基础知识，在生活中应用广泛．一元一次不等式和一元一次不等式组是数与式中的重要组成部分，这些知识点在各类考试中占有一定的比重，这也是本卷所考查的主要内容．
难易度 易 1，2，3，4，5，6，10，11，13，15，17，18，19
中 7，8，9，12，14，16，20，21，22
难 23，24
数学·北师版（BS）
阶段综合测试二（期中一）
知识与技能 三角形的证明 5，6，7，9，15，16，17，18，22，23
一元一次不等式和一元一次不等式组 3，4，8，10，11，12，14，19，20，24
图形的平移与旋转 1，2，13，21
思想
方法 分类讨论思想 16，22
运动变化思想 7，21，23
数形结合思想 4，22
亮点 7题是动点型问题，首先根据运动时间表示出每一条线段，然后再根据所满足的结论列出方程，从而求出时间；
8题是选择题，解题思路不唯一，结合学生生活实际，让学生感受到数学就在身边，体现学以致用的思想；
10题是定义新运算题．解题的关键是理解[m]表示的意义，由[m]表示的意义建立不等式组求解是解决此类问题的通法．对于本题，直接代入排除也不失为一种好的选择.
数学·北师版（BS）
如图∠BOP＝∠AOP＝15°，PC∥OB，PD⊥PB于D，PC＝2，则PD的长度为(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
阶段综合测试二（期中一）
针对第6题训练
D
图QZ1－1
数学·北师版（BS）
阶段综合测试二（期中一）
针对第8题训练
数学·北师版（BS）
阶段综合测试二（期中一）
数学·北师版（BS）
阶段综合测试二（期中一）
数学·北师版（BS）
阶段综合测试二（期中一）
针对第10题训练
在实数范围内规定新运算“△”，其规则是
a△b＝2a－b.已知不等式x△k≥1的解集在数轴上如图QZ1－2所示，则k的值是________．
图QZ1－2
-3
数学·北师版（BS）
阶段综合测试二（期中一）
针对第21题训练
图QZ1－3
数学·北师版（BS）
阶段综合测试二（期中一）
图QZ1－4
数学·北师版（BS）
阶段综合测试三（期中二）
数学·北师版（BS）
试卷讲练
阶段综合测试三（期中二）
数学·北师版（BS）
阶段综合测试三（期中二）
数学·北师版（BS）
阶段综合测试三（期中二）
数学·北师版（BS）
阶段综合测试三（期中二）
针对第6题训练
一
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阶段综合测试三（期中二）
针对第16题训练
B
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第四章 复习
数学·北师版（BS）
知识归纳
第四章 | 复习
一、因式分解的有关概念
1．因式
几个整式相乘，每个整式叫做它们的积的________．例如(a－3)(a＋1)＝a2－2a－3，a－3和a＋1都是a2－2a－3的因式．
2．公因式
多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的________．
3．因式分解
把一个多项式化成几个整式的_______的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式．
因式
公因式
积
数学·北师版（BS）
第四章 | 复习
二、多项式分解的几种常用方法
1．提公因式法
如果多项式的各项含有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做___________．
2．公式法
如果把乘法公式反过来，那么就可用来把某些多项式分解因式．要求熟练运用于因式分解的公式：
(1)平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－___)；
(2)完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±___)2.
b
b
提公因式法
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考点攻略
第四章 | 复习
[方法总结]多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项
的公因式。公因式中的系数是各项中共同含有的字母的最低次幂
考点一　分解因式
例1
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第四章 | 复习
例2
例3
[解析] 本题先运用平方差公式，然后提取公因式，最后运用完全平方公式因式分解．
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第四章 | 复习
[方法总结]把一个多项式分解因式，一般可按下列步骤进行：
（1）“提”，先看多项式的各项是否有公因式，若有，必须先提出来；
（2）“套”，若有多项式各项没有公因式（或已提取公因式），则可以尝试运用公式来分解；
（3）“查”，分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解为止。
数学·北师版（BS）
第四章 | 复习
例4
[技巧总结]此题在解题过程中巧妙地运用了提公因式法进行分解因
式，使题目的结构特点明朗化，规律凸现出来。
考点二　分解因式的应用
数学·北师版（BS）
第四章 | 复习
例5
在边长为a cm的正方形木板上开出边长为b cm
的四个正方形小孔，如图4－1所示．
(1)试用a，b表示出剩余部分的面积；
(2)若a＝14.5，b＝2.75，则剩余部分的面积是多少？
[解析] 本题意在考查整式和分解因式的综合应用．剩余部分面积等于大正方形的面积减去四个小正方形的面积．
图4－1
数学·北师版（BS）
第四章 | 复习
[技巧总结]观察所列算式，先分解因式，再代入求值较简便，分解
因式是整式的一种重要的恒等变形，它和整式乘法运算，尤其是多
项式乘法运算有着密切的联系。分解因式是分式的化简与运算、解
一元二次方程的重要基础。
数学·北师版（BS）
第四章 | 复习
试卷讲练
考查
意图 分解因式是《课程标准》中数与式里不可缺少的部分，在各类考试及中考中常结合分式化简等以填空题、选择题和综合题的形式出现．本卷主要考查了运用提公因式和完全平方公式、平方差公式进行分解因式及分解因式的应用．重点考查运用提公因式和公式法分解因式．
难易度 易 1，2，3，4，5，6，7，8，9，11，12，13，17，18，19，20
中 10，14，15，21，22
难 16，23，24
数学·北师版（BS）
第四章 | 复习
知识
与技
能 分解因式的概念 1
提公因式法分解因式 2，3，4，11，12，13，17，18(1)，19，23
运用公式法分解因式 5，6，8，9，10，12，18(2)，20，21，22
分解因式的应用 7，14，15，16，22
思想
方法 整体思想 13，19
数形结合思想 15
转化思想 10，16
亮点 8题具有新颖性、直观性和综合性，以实际生活为背景，灵活考查了以提公因式和平方差公式分解因式的开放型试题.
数学·北师版（BS）
第四章 | 复习
针对第3题训练
分解因式b2(x－3)＋b(3－x)的正确结果是(　　)
A．(x－3)(b2＋b) B．b(x－3)(b＋1)
C．(x－3)(b2－b) D．b(x－3)(b－1)
D
针对第6题训练
D
数学·北师版（BS）
第四章 | 复习
针对第8题训练
D
针对第10题训练
A
数学·北师版（BS）
第四章 | 复习
针对第15题训练
如图4－2①，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a>b)，把余下的部分剪拼成一个矩形(如图4－2②)，通过计算两个图形(阴影部分)的面积，验证了一个等式，则这个等式是(　　)
图4－2
D
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第四章 | 复习
针对第16题训练
C
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第五章 复习
数学·北师版（BS）
知识归纳
第五章 | 复习
字母
分子
分母
不等于零
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第五章 | 复习
分母
不变
公因式
2．分式的符号法则
根据分式的基本性质可得 ，据此有分式的符号法则如下：
即改变分式、分式的分子和分式的____________的符号中的任何两个，分式的值____________．
三、分式的运算
1．分式的乘除运算
(1)最简分式：一个分式的分子与分母没有___________时，叫做最简分式．
(2)分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．约分是把分式化为最简分式或整式．
数学·北师版（BS）
第五章 | 复习
分母
分子
被除式
分母
(3)分式的乘除法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的________，把分母相乘的积作为积的________；两个分式相除，把除式的分子、分母颠倒位置后再与__________相乘．上述法则用式子表示为
2．分式的乘方运算
分式的乘方：把分子、分母各自乘方．用式子表示为
＝(n为正整数)．
3．同分母的分式的加减法运算
同分母的分式的加减法法则是________不变，把分子相加减．上述法则用式子表示为
数学·北师版（BS）
第五章 | 复习
5．分式的加、减、乘、除混合运算顺序法则
先进行乘、除运算，再进行________运算．如有括号，先算括号内的．
四、分式方程及其解法
1．分式方程
分母中含有未知数的方程叫做________方程．
2．解分式方程的一般步骤
(1)在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；
(2)解所得的整式方程；
(3)把所得的整式方程的根代入最简公分母，看结果是否为零，使最简公分母为零的根是原方程的________，应舍去．
加减
分式
增根
数学·北师版（BS）
考点攻略
第五章 | 复习
[方法总结]分式值为0的条件是分子等于0，分母不等于0.
考点一　分式有(无)意义、值为0的条件
例1
A
数学·北师版（BS）
第五章 | 复习
例2
[解析] 在解答分式有无意义的问题时，不能先将分式约分．如果把分子和分母的公因式约去，会导致分母的取值范围扩大而发生错误．
数学·北师版（BS）
第五章 | 复习
例3 将下列分式约分： 　
考点二　分式的约分与通分
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第五章 | 复习
例4 计算：
数学·北师版（BS）
第五章 | 复习
例5　
考点三　分式的四则运算
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第五章 | 复习
[技巧总结]本题是分式的混合运算，既可以先算括号里面的，再算除法，也可以先用乘法分配律进行计算，最后求差。
总之，分式混合运算的综合性较强，解题时应遵循运算顺序、法则进行变形。有些题目需要注意其结构特点，选择恰当的方法来解决。
数学·北师版（BS）
第五章 | 复习
例6
考点四　分式的化简、求值
数学·北师版（BS）
第五章 | 复习
例7
考点五　分式方程
[技巧总结]去分母时，方程两边同乘最简公分母，不能漏乘常数项。
数学·北师版（BS）
第五章 | 复习
例8
数学·北师版（BS）
第五章 | 复习
[方法总结]解分式方程应用题和解一元一次方程应用题找相等关系的方法是相同的，不同的是分式方程的数量关系大多是以分式的形式出现的。
解：设该市规定三口之家楼房每月超标部分水每立方米收费x元．根据题意，得
解这个方程，得x＝2.9，经检验x＝2.9是原方程的根且符合题意．
答：该市规定三口之家楼房每月超标部分水每立方米收费2.9元．
数学·北师版（BS）
第五章 | 复习
[易错提示]检验是解分式方程必不可少的步骤。注意：解分式方程的检验与解一元一次方程的检验是不同的，解一元一次方程验根的目的只是检验解答的过程有无错误；而解分式方程验根的目的是在解答无误的前提下看是否有增根，检验的办法是把结果代入原方程的各分母，看是否为零，也可直接代入最简公分母，看是否为零。
数学·北师版（BS）
第五章 | 复习
试卷讲练
考查
意图 分式及分式方程是《课程标准》中数与式的重要组成部分，在各类考试及中考中常单独命题或与不等式综合，占有一定的比重，多以填空题、选择题和综合题的形式出现．本卷主要考查了分式的概念及意义、分式的加减乘除、分式方程及应用，重点考查了分式的运算及分式方程．
难易度 易 1，2，3，4，5，6，7，8，10，11，12，13，14，17，18，19，21，22
中 9，15，16，20
难 23，24
数学·北师版（BS）
第五章 | 复习
知识
与技
能 分式的相关概念及意义 1，2，3，4，6，8，14
分式的乘除 18，19，21
分式的加减 5，7，11，16，18，19，21
分式方程 9，13，14，17，20
分式方程的应用 10，22，23，24
思想
方法 转化思想 19
类比思想 7，15，20
亮点 7，20题为“新运算”试题，让学生有探究新知识的欲望，体现了类比和创新能力；
23题以人物对话和图形给出信息判断决策新题型，试题具有新颖性.
数学·北师版（BS）
针对第1题训练
第五章 | 复习
A
针对第7题训练
x＝3
数学·北师版（BS）
针对第11题训练
第五章 | 复习
针对第17题训练
数学·北师版（BS）
针对第23题训练
第五章 | 复来，由于受国际石油市场的影响，汽油价格不断上涨，请你根据下面的信息，帮小明计算今年5月份汽油的价格(只需列出方程，不需要求解)．
图5－1
数学·北师版（BS）
第五章 | 复习
针对第24题训练
甲、乙两人分别从A、B两地到C地，且甲、乙二人均匀速行驶，甲从A地到C地需3小时，乙从B地至C地需2小时40分，已知A、C两地间的距离比B、C两地间的距离远10千米，每行1千米甲比乙少花10分钟．
(1)求A、C两地间的距离；
(2)假设AC、BC、AB这三条道路均为直的，则求A、B两地之间距离d的取值范围．
数学·北师版（BS）
第五章 | 复习
解：(1)设甲、乙每分钟的行进速度分别为
x千米/分钟，y千米/分钟，
依题意，得
解得 经检验：x＝0.1，y＝0.05是原方程组的解且符合题意．
∴A、C两地间的距离＝3×60×0.1＝18(千米)．
答：A、C两地间的距离为18千米．
(2)B、C两地间的距离为2×60×0.05＋40×0.05＝8(千米)，
当A、B、C三点在同一直线时，AB之间的距离最短为18－8＝10(千米)，最长是8＋18＝26(千米)．因此d的取值范围是10≤d≤26.
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阶段综合测试四(月考二)
数学·北师版（BS）
试卷讲练
阶段综合测试四(月考二)
考查
意图 因式分解和分式都是《课程标准》中数与式的重要组成部分，在各类考试中多以选择题、填空题的形式命题，或在综合题中考查，本卷主要考查这两章相关知识．
难易度 易 1，2，3，4，5，6，7，11，12，13，14，17，18，19，22
中 8，9，16，20，21
难 10，15，23，24
知识与技能 因式分解 1，7，10，11，12，14，17，18，20，23
分式 2，3，5，6，8，9，13，19，21，22，24
数学·北师版（BS）
阶段综合测试四(月考二)
思想
方法 转化思想 21
整体思想 14
数形结合思想 20
亮点 15题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的；
16题结合学生生活实际，让学生感受到数学就在身边，体现了学以致用的思想；
21题考查新定义概念，新定义题是今年的热点题，它的实质是一种规定，规定某种运算方式或规定某个概念的特征性质，然后要求参考者按照规定去计算、求值，理解概念，解决问题.
数学·北师版（BS）
阶段综合测试四(月考二)
针对第9题训练
D
针对第10题训练
对于一个自然数n，如果能找到自然数a(a＞0)和b(b＞0)，使n－1＝a＋b＋ab，则称n为一个“十字相乘数”，例如4－1＝1＋1＋1×1，则4是一个“十字相乘数”，在1～20这20个自然数中，“十字相乘数”共有________个．
11
数学·北师版（BS）
阶段综合测试四(月考二)
针对第14题训练
针对第15题训练
D
A
数学·北师版（BS）
阶段综合测试四(月考二)
为保证达万高速公路在2012年底全线顺利通车，某路段规定在若干天内完成修建任务．已知甲队单独完成这项工程比规定时间多用10天，乙队单独完成这项工程比规定时间多用40天，如果甲、乙两队合作，可比规定时间提前14天完成任务．若设规定的时间为x天，由题意列出的方程是(　　)
针对第16题训练
B
数学·北师版（BS）
阶段综合测试四(月考二)
针对第21题训练
图YK2－1
数学·北师版（BS）
阶段综合测试四(月考二)
针对第24题训练
某园林队计划由6名工人对180平方米的区域进行绿化，由于施工时增加了2名工人，结果比计划提前3小时完成任务．若每人每小时绿化面积相同，求每人每小时的绿化面积．
数学·北师版（BS）
第六章 复习（一）
数学·北师版（BS）
一、平行四边形的概念与性质
1．两组对边分别_________的四边形叫做平行四边形．
2．平行四边形是_________对称图形，_________________是它的对称中心．
3．平行四边形的性质：(1)平行四边形的对边______________；(2)平行四边形的对角_________，(邻角___________)；(3)平行四边形的对角线_______________．
点拨：(1)平行四边形的对边的性质要从位置与数量两个方面考虑；(2)若一条直线过平行四边形的对角线的交点，那么这条直线等分平行四边形的面积．
知识归纳
第六章 | 复习（一）
平行
中心
两条对角线的交点
平行且相等
相等
互补
互相平分
数学·北师版（BS）
平行
二、平行四边形的判定
1．从对边看：(1)两组对边分别_________的四边形叫做平行四边形；(2)两组对边分别____________的四边形是平行四边形；(3)一组对边______________的四边形是平行四边形．
2．从对角看：两组对角分别________的四边形是平行四边形．
3．从对角线看：对角线___________的四边形是平行四边形．
相等
平行且相等
相等
互相平分
第六章 | 复习（一）
数学·北师版（BS）
图6－1　　　　　　图6－2
第六章 | 复习（一）
数学·北师版（BS）
考点攻略
A
考点一　平行四边形的性质
图6－3
第六章 | 复习（一）
数学·北师版（BS）
[解析] A 平行四边形两条对角线把它分成的四个三角形中有两对全等三角形，但是这四个三角形的面积都是相等的，因为△AOD与△AOB是等底等高的，A正确；平行四边形的对角线互相平分，但不一定相等也不一定垂直，所以B、C错误；平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，D错误．故选A.
[方法总结]解题的关键是理解并掌握平行四边形的性质，即①边的性质；对边平行且相等；②角的性质：对角相等，邻角互补；③对角线的性质：对角线相互平分；④对称性：是中心对称图形，但不是轴对称图形。
第六章 | 复习（一）
数学·北师版（BS）
例2
图6－4
25°
第六章 | 复习（一）
数学·北师版（BS）
考点二　平行四边形的判定
如图6－5，在四边形ABCD中，AB∥CD，请你添加一个条件，使得四边形ABCD成为平行四边形，你添加的条件是________．
图6－5
[答案] 答案不唯一，如AD∥BC或∠A＝∠C或∠B＝∠D或∠A＋∠B＝180°
[解析] 要判断四边形ABCD是平行四边形，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形知，只需AB＝CD即可．本题答案不唯一，只要符合条件即可，如AD∥BC或∠A＝∠C或∠B＝∠D或∠A＋∠B＝180°或∠C＋∠D＝180°等．
第六章 | 复习（一）
数学·北师版（BS）
考点三　平行四边形性质与判定的综合
例4　
图6－6
如图6－6，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点D在BC上，以AC为对角线的所有 ADCE中，DE最小的值是(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
B
[解析] B ∵四边形ADCE是平行四边形，
∴OD＝OE，OA＝OC.
∴当OD取最小值时，线段DE最短，此时BC⊥DE.
∵AB⊥BC，∴AB∥DE.
又∵AE∥BC.
∴四边形ABDE是平行四边形．
∴ED＝AB＝3.故选B.
[方法规律]本题考查了平行四边形的性质与判定及垂线段最短的性质，将原先求一线段最小值转化线段最短是解题关键。
第六章 | 复习（一）
数学·北师版（BS）
例5　
如图6－7，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线AC上的两点，∠1＝∠2.
求证：(1)AE＝CF；
(2)四边形EBFD是平行四边形．
图6－7
证明：(1)(法一)如图6－8①：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，∠3＝∠4，
∵∠1＝∠3＋∠5，∠2＝∠4＋∠6，∠1＝∠2，
∴∠5＝∠6，
∴△ADE≌△CBF，∴AE＝CF.
图6－8
第六章 | 复习（一）
数学·北师版（BS）
[方法指导]本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质。平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法，充分分析题目条件，根据条件和学过的知识挖掘能够得到的结果，然后把所得到的结果充分联系起来即可解决问题。
(法二)如图6－8②，连接BD交AC于点O，在平行四边形ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，
∵∠1＝∠2，∠EOD＝∠FOB，∴△DOE≌△BOF，∴OE＝OF，∴OA－OE＝OC－OF，即AE＝CF.
(2)(法一)如图①，∵∠1＝∠2，∴DE∥BF，
∵△ADE≌△CBF，∴DE＝BF，
∴四边形EBFD是平行四边形．
(法二)如图②，∵OE＝OF，OB＝OD，
∴四边形EBFD是平行四边形．
第六章 | 复习（一）
数学·北师版（BS）
试卷讲练
第六章 | 复习（一）
考查
意图 平行四边形的性质和判定是学习特殊四边形的基础，也是培养推理能力的重要载体，本卷主要考查平行四边形的性质和判定．
难易度 易 1，2，3，4，5，6，7，11，12，13，17，18，19，20
中 8，9，14，15，21，22
难 10，16，23，24
知识与技能 平行四边形的性质 2，3，4，6，7，9，11，12，19，20
平行四边形的判定 5，8，9，10，15，16，21，22，23，24
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第六章 | 复习（一）
思想
方法 转化思想 17，19，20
方程思想 1
数形结合思想 7
反证法 22
亮点 6题要求学生对平行四边形性质的熟练掌握及应用，利用反证法假设AC垂直BD，再加上一条公共边，得到两个三角形全等，由全等三角形的对应边相等得出AB＝AD，与已知AB≠AD矛盾，故AC不能与BD垂直，所以判断出选项A错误；
7题考查了平行四边形的性质．注意数形结合思想的应用是解此题的关键．首先根据题意作图，然后由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质，即可求得顶点D的坐标.
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针对第7题训练
D
第六章 | 复习（一）
针对第8题训练
四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件能判定这个四边形是平行四边形的是(　　)
A．OA＝2，OB＝2，OC＝2.5，OD＝1.5
B．OA＝2，OB＝2，OC＝2.5，OD＝2.5
C．OA＝2，OB＝1.5，OC＝2，OD＝1.5
D．OA＝1.5，OB＝2，OC＝2.5，OD＝2
图6－9
C
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针对第15题训练
图6－10
如图6－10，将平行四边形ABCD沿AE翻折，使点B恰好落在AD上的点F处，则下列结论不一定成立的是(　　)
A．AF＝EF B．AB＝EF
C．AE＝AF D．AF＝BE
C
第六章 | 复习（一）
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针对第16题训练
已知四边形ABCD中，AC交BD于点O，如果只给条件“AB∥CD”，还不能判定四边形ABCD为平行四边形，给出以下四种说法：
(1)如果再加上条件“BC＝AD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；
(2)如果再加上条件“∠BAD＝∠BCD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；
(3)如果再加上条件“AO＝OC”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；
(4)如果再加上条件“∠DBA＝∠CAB”，那么四边形ABCD一定是平行四边形．
其中正确的说法是________．
(2)(3)
第六章 | 复习（一）
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第六章复习(二)
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针对第2题训练
知识归纳
一、三角形的中位线定理
1．连接三角形两边_________的线段叫做三角形的中位线．三角形中线是连接一顶点和它的对边中点的_______，而三角形中位线是连接三角形两边中点的_________．
2．三角形的中位线平行于_________并且等于它的________．
小贴士：中位线是三角形的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用．
中点
线段
线段
第三边
平等
第六章 | 复习（二）
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二、多边形的内角和与外角和
1．n边形的内角和等于_______________．
2．多边形内角的_______与另一边的___________组成的角叫做这个多边形的外角；在每个顶点处取一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和．
3．任意多边形的外角和等于________．
小贴士：(1)如果一个多边形的边数增加一条，那么这个多边形的内角和增加180°，外角和则不变，即任意多边形的外角和与多边形的边数无关；(2)在四边形的四个内角中，最多有3个钝角，最多有3个锐角．
(n－2)×180°
一边
反向延长线
360°
第六章 | 复习（二）
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例1 在 ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，点E是边CD的中点，且AB＝6，BC＝10，则OE＝________．
考点攻略
5
图6－11
第六章 | 复习（二）
考点一　三角形的中位线
[方法规律]本题考查了平行四边形的性质及三角形中位线定理，理解的关键是掌握平行四边形的对角线互相平分与三角形的中位线定理。
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第六章 | 复习（二）
[方法规律]在应用多边形的内角和与外角和定理时要正确把握内角和公式为（n－2)·180°,外角和为360°。
考点二　多边形的内角和与外角和
例2若一个多边形的内角和等于外角和的3倍，求这个多边形的边数．
[解析] 根据多边形的外角和为360°，内角和公式为(n－2)·180°，由题意可知内角和＝3×外角和，设出未知数，可得到方程，解方程即可．
解：设这个多边形是n边形，由题意，得
(n－2)×180°＝360°×3，
解得n＝8.
答：这个多边形的边数是8.
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第六章 | 复习（二）
例3下列各角能成为某多边形的内角和的只有(　　)
A．280° B．580° C．1800° D．2000°
[解析] C　多边形的内角和为(n－2)·180°，即任意一个多边形的内角和都能被180整除，A，B，C，D四个选项中只有1800°能被180°整除．故选C.
C
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试卷讲练
第六章 | 复习（二）
考查
意图 平行四边形的性质和判定是学习特殊四边形的基础，也是培养推理能力的重要载体，本卷主要考查平行四边形的性质和判定、三角形的中位线的性质和多边形的内角和与外角和．
难易度 易 1，2，3，4，5，6，11，12，13，17，18，19
中 7，8，9，14，15，20，21，22
难 10，16，23，24
知识与技能 平行四边形的性质 1，2，3，4，11，13，14，15，17
平行四边形的判定 6，7，10，14，21，22，23，24
三角形的中位线 8，9，10，16，18，19，23
多边形的内角和与外角和 5，12，20
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第六章 | 复习（二）
思想
方法 转化思想 8，12
方程思想 5
亮点 4题通过动手操作来考查平行四边形是中心对称图形，得出这样的折纸方法有无数种．
8题从实际问题中抽象出数学模型体现了数学的实用性，从而将实际问题转化为数学问题求解．
16题考查了中位线、规律探索，关键是运用“中点三角形”的性质计算出几个三角形的周长，找到规律，用字母表示出来．
23题考查了平行四边形的判定，有中点时需考虑运用三角形的中位线定理或者直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
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针对第4题训练
第六章 | 复习（二）
图6－12
如图6－12，将 ABCD折叠，使顶点D恰好落在AB边上的点M处，折痕为AN，那么对于结论：①MN∥BC；②MN＝AM.下列说法正确的是(　　)
A．①②都对 B．①②都错
C．①对②错 D．①错②对
针对第6题训练
图6－13
如6－13，点A是直线l外一点，在l上取两点B，C，分别以A，C为圆心，BC，AB长为半径画弧，两弧交于点D，分别连接AB，AD，CD，则四边形ABCD一定是________．
A
平行四边形
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针对第8题训练
第六章 | 复习（二）
C
如图6－14所示，吴伯伯家一块等边三角形的空地ABC，已知点E，F分别是边AB，AC的中点，量得EF＝5米，他想把四边形BCFE用篱笆围成一圈放养小鸡，则需要篱笆的长是(　　)
A．15米　 B．20米　 C．25米 　D．30米
图6－14
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第六章 | 复习（二）
针对第16题训练
图6－15
如图6－15，一枚棋子放在七角棋盘的第0号角，现已逆时针方向移动这枚棋子，且各步依次移动1，2，3，…，N个角，如第一步从0号角移动到第1号角，第二步从1号角移动到3号角，第三步从3号角移动到6号角，……若这枚棋子不停的这么移动下去，则这枚棋子永远不能到达的角的个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
D
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第六章 | 复习（二）
[解析] D 从移动的路径可以看出，从0号角移动1个角，到1号角，从1号角移动2个角到3号角，从3号角移动3个角到6号角，通过移动我们发现第7步移动后又回到0号角，由于每移动7个角是一周，所以下面的移动应该是周而复始．从而得到问题的答案．
从0号角经过第一次移动到1号角，经过第二次移动到3号角，经过第3次移动到6号角，……可以发现，经过7次移动依次经过的角号码为1，3，6，3，1，0，0.由于每移动7个角是一周，所以第8次移动相当于第1次移动，第9次移动相当于第2次移动，……根据规律可以看出不会到达2，4，5号角，有3个．故本题应选D.
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第六章 | 复习（二）
针对第24题训练
图6－16
如图6－16，△ABC是等边三角形，点D，F分别在线段BC，AB上，∠EFB＝60°，DC＝EF.
(1)求证：四边形EFCD是平行四边形；
(2)若BF＝EF，求证：AE＝AD.
数学·北师版（BS）
第六章 | 复习（二）
图6－17
证明：(1)∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°.又∵∠EFB＝60°，∴∠ABC＝∠EFB，∴EF∥BC，又∵DC＝EF，∴四边形EFCD是平行四边形．
(2)连接BE.
∵∠EFB＝60°，BF＝EF，∴△BEF为等边三角形，∴BE＝BF＝EF，∠ABE＝60°.
∵CD＝EF，∴BE＝CD，又∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC，∠ACD＝60°，∴∠ABE＝∠ACD，在△ABE和△ACD中，∵BE＝CD，∠ABE＝∠ACD，AB＝AC，∴△ABE≌△ACD(SAS)，∴AE＝AD.
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阶段综合测试五 (期末一)
数学·北师版（BS）
试卷讲练
阶段综合测试五 (期末一)
考查
意图 本卷考查八年级下册全部内容，这些内容多以填空题、选择题或单独命题的形式出现，占有相当大的比重，本卷主要考查了三角形的证明、一元一次不等式和一元一次不等式组、图形的平移与旋转、因式分解、分式和平行四边形．
难易度 易 1，2，3，4，5，6，7，8，9，11，12，13，14，17，18，19，20
中 10，15，21，22
难 16，23，24
数学·北师版（BS）
阶段综合测试五 (期末一)
知识与技能 三角形的证明 1，8，15，19
一元一次不等式和一元一次不等式组 2，7，14，18，23
图形的平移与旋转 11，22
因式分解 9，13，21
分式 3，5，6，10，12，17，21，23
平行四边形 4，8，16，20，24
思想
方法 运动变化思想 11，16，22
数形结合思想 22
亮点 8题考查等腰三角形、中位线知识．灵活运用等腰三角形的“三线合一”是关键．
16题考查了中位线的性质和平行四边形的判定，解决这类问题最好的办法就是实际操作，当然，也可以根据图形的性质通过计算确定答案.
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阶段综合测试五 (期末一)
针对第6题训练
A
针对第8题训练
图QM5－1
C
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阶段综合测试五 (期末一)
针对第15题训练
图QM5－2
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阶段综合测试五 (期末一)
数学·北师版（BS）
阶段综合测试五 (期末一)
数学·北师版（BS）
阶段综合测试五 (期末一)
针对第16题训练
C
数学·北师版（BS）
阶段综合测试五 (期末一)
数学·北师版（BS）
阶段综合测试六 (期末二)
数学·北师版（BS）
试卷讲练
阶段综合测试六 (期末二)
考查
意图 本卷考查八年级下册全部内容，这些内容多以填空题、选择题或单独命题的形式出现，占有相当大的比重，本卷考查主要考查了三角形的证明、一元一次不等式和一元一次不等式组、图形的平移与旋转、因式分解、分式和平行四边形．
难易度 易 1，2，3，4，5，6，7，8，11，12，13，14，17，18，19，20
中 9，15，21，22
难 10，16，23，24
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阶段综合测试六 (期末二)
知识与技能 三角形的证明 8，10，14，20，24
一元一次不等式和一元一次不等式组 1，9，11，17，23
图形的平移与旋转 5，13
因式分解 2，19
分式 3，4，7，15，16，18，22，23
平行四边形 6，12，21，24
数学·北师版（BS）
阶段综合测试六 (期末二)
思想方法 整体思想 9
转化思想 8，24
亮点 8题根据角平分线和垂线合一，利用“ASA”可以得到BQ和CP分别是AE和AD的垂直平分线，所以P，Q分别是AD，AE的中点，即PQ是△ADE的中位线．由垂直平分线的性质可得BA＝BE，CD＝CA，结合△ABC的周长和BC的长即可求出DE的长，从而PQ的长度可求．
9题考查二元一次方程组及解一元一次不等式的综合应用，整体思想是解题的关键．
24题综合考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质、解直角三角形和三角形全等的判定，利用角度之间的转换得到∠GDF＝∠EAF是解决本题的关键.
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针对第3题训练
A
阶段综合测试六 (期末二)
针对第8题训练
A
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阶段综合测试六 (期末二)
针对第9题训练
k＞2
针对第10题训练
图QM6－2
△ABC与 DEFG如图QM6－2放置，点D，G分别在边AB，AC上，点E，F在边BC上，已知BE＝DE，CF＝FG，则∠A的度数(　　)
A．等于80° 　　　B．等于90°
C．等于100° 　　　D．条件不足，无法判断
B
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阶段综合测试六 (期末二)
针对第16题训练
x＝2
x＝2
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阶段综合测试六 (期末二)
针对第23题训练
“六一”儿童节前，某玩具商店根据市场调查，用2500元购进一批儿童玩具，上市后很快脱销，接着又用4500元购进第二批这种玩具，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每套进价多了10元．
(1)求第一批玩具每套的进价是多少元？
(2)如果这两批玩具每套售价相同，且全部售完后总利润不低于25%，那么每套售价至少是多少元？
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阶段综合测试六 (期末二)
数学·北师版（BS）

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