资源简介

三角函数的概念
【第1课时】
【学习目标】
（1）借助单位圆理解任意角的三角函数定义．
（2）掌握三角函数在各象限的符号．
（3）掌握诱导公式一并会应用．
（4）会用三角函数线表示角的正弦、余弦和正切.
【学习重难点】
三角函数的概念。
【学习过程】
一、自主学习
知识点一：任意角的三角函数的定义
前提 如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y）
定义 正弦 y叫做α的正弦，记作sinα，即sinα＝y
余弦 x叫做α的余弦，记作cosα，即cosα＝x
正切 叫做α的正切，记作tanα，即tanα＝（x≠0）
三角 函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数.
三角函数的定义
（1）三角函数是一个函数，符合函数的定义，是由角的集合（弧度数）到一个比值的集合的函数．
（2）三角函数值实质是一个比值，因此分母不能为零，所以正切函数的定义域就是使分母不为零的角的集合．
知识点二：正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域
三角函数 定义域
sinα R
cosα R
tanα {α∈R|α≠kπ＋，k∈Z}
知识点三：三角函数线
（1）三角函数线的方向．
正弦线由垂足指向角α的终边与单位圆的交点，余弦线由原点指向垂足，正切线由切点指向切线与角α的终边或其反向延长线的交点．
（2）三角函数线的正负：三条有向线段凡与x轴或y轴同向的，为正值，与x轴或y轴反向的，为负值．
知识点四：三角函数值在各象限的符号
对三角函数值符号的理解
三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内坐标符号导出的．从原点到角的终边上任意一点的距离r总是正值．根据三角函数定义知：
（1）正弦值符号取决于纵坐标y的符号；
（2）余弦值的符号取决于横坐标x的符号；
（3）正切值的符号是由x，y符号共同决定的，即x，y同号为正，异号为负．
知识点五：诱导公式一
（1）语言表示：终边相同的角的同名三角函数的值相等．
（2）式子表示其中k∈Z.
诱导公式一
（1）实质：是说终边相同的角的三角函数值相等．即角α的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现一次．
（2）结构特征：左、右为同一三角函数；公式左边的角为α＋k·2π，右边的角为α.
（3）作用：把求任意角的三角函数值转化为求0～2π（或0°～360°）角的三角函数值．体现了“大化小”“负化正”的数学思想．
教材解难：
正确认识三角函数线
（1）正弦线、余弦线、正切线分别是正弦、余弦、正切函数的几何表示，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负，凡与x轴或y轴同向的为正值，反向的为负值．
（2）三角函数线的画法
定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线，同时也给出了角a的三角函数线的画法，即先找到P，M，T点，再画出MP，OM，AT．
（3）三角函数线的作用
三角函数线的主要作用是解三角不等式及比较同角异名三角函数值的大小，同时它也是以后学习三角函数的图象与性质的基础．
基础自测：
1．如图所示，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是（ ）
A．正弦线PM，正切线A′T′
B．正弦线MP，正切线A′T′
C．正弦线MP，正切线AT
D．正弦线PM，正切线AT
解析：α为第三象限角，故正弦线为MP，正切线为AT，所以C正确．
答案：C
2．sin780°的值为（ ）
A．－
B．
C．－
D．
解析：sin780°＝sin（2×360°＋60°）＝sin60°＝，故选B．
答案：B
3．已知角α的终边与单位圆交于点，则sinα的值为（ ）
A．－
B．－
C．
D．
解析：根据任意角的正弦定义，可得sinα＝y＝－．
答案：B
4．若α是第三象限角，则点P（sinα，cosα）在第________象限．
解析：∵α为第三象限角，
∴sinα<0，cosα<0，
∴P（sinα，cosα）位于第三象限．
答案：三
二、素养提升
题型一：三角函数的定义及应用[教材P178例1]
例1：求的正弦、余弦和正切值．
解析：在直线坐标系中，
作∠AOB＝（如图）．
易知∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为.
所以sin＝－，
cos＝，
tan＝－.
1．在直角坐标系中作角．
2．画出单位圆求交点．
3．利用三角函数的定义求值．
教材反思：
已知α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法：
（1）先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．
（2）在α的终边上任选一点P（x，y），P到原点的距离为r（r>0）．则sinα＝，cosα＝.已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便．
（3）当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．
跟踪训练1：（1）若角α的终边经过点P（5，－12），则sinα＝________，cosα＝________，tanα＝________．
（2）已知角α的终边落在直线x＋y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值．
解析：（1）∵x＝5，y＝－12，∴r＝＝13，则sinα＝＝－，cosα＝＝，tanα＝＝－．
（2）直线x＋y＝0，即y＝－x，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点（－1，），则r＝＝2，所以sinα＝，cosα＝－，tanα＝－；
在第四象限取直线上的点（1，－），则r＝＝2，所以sinα＝－，cosα＝，tanα＝－．
答案：（1）－；；－
（2）见解析
（1）若已知角α终边上一点P（x，y）（x≠0）不是单位圆上的点，则先求r＝（r表示点P到原点的距离），sinα＝，cosα＝，tanα＝.
（2）在α的终边上任取一点，再利用三角函数的定义求解．
题型二：三角函数线[经典例题]
例2：做出的正弦线、余弦线和正切线．
解析：角的终边（如图）与单位圆的交点为P.作PM垂直于x轴，垂足为M，过A（1,0）作单位圆的切线AT，与的终边的反向延长线交于点T，则的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT．
先作单位圆再作角，最后作出三角函数线．
方法归纳：
三角函数线的画法：
（1）作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线．
（2）作正切线时，应从A（1,0）点引单位圆的切线，交角的终边或终边的反向延长线于一点T，即可得到正切线AT．
跟踪训练2：作出－的正弦线、余弦线和正切线．
解析：如图：sin＝MP，
cos＝OM，
tan＝AT．
作单位圆、作角、画出三角函数线．
题型三：三角函数在各象限的符号[经典例题]
例3：若sinαtanα<0，且<0，则角α是（ ）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
解析：由sinαtanα<0可知sinα，tanα异号，从而α是第二或第三象限角．
由<0可知cosα，tanα异号，从而α是第三或第四象限角．综上可知，α是第三象限角．
答案：C
分别由sinαtanα＜0和＜确定角α是第几象限角→二者的公共部分即所求
方法归纳：
判断三角函数值正负的两个步骤：
（1）定象限：确定角α所在的象限．
（2）定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断．
注意：若sinα>0，则α的终边不一定落在第一象限或第二象限内，有可能终边落在y轴的非负半轴上．
跟踪训练3：判断下列各式的符号：
（1）sin145°cos（－210°）；
（2）sin3·cos4·tan5．
解析：（1）∵145°角是第二象限角，∴sin145°>0．
∵－210°＝－360°＋150°，∴－210°角是第二象限角，
∴cos（－210°）<0，∴sin145°cos（－210°）<0．
（2）∵<3<π<4<<5<2π，∴sin3>0，cos4<0，
tan5<0，∴sin3·cos4·tan5>0．
→→
题型四：诱导公式一的应用[经典例题]
例4：计算下列各式的值：
（1）sin（－1395°）cos1110°＋cos（－1020°）sin750°；
（2）sin＋cos·tan4π.
解析：（1）原式＝sin（－4×360°＋45°）cos（3×360°＋30°）＋cos（－3×360°＋60°）sin（2×360°＋30°）
＝sin45°cos30°＋cos60°sin30°
＝×＋×＝＋＝.
（2）原式＝sin＋cos·tan（4π＋0）
＝sin＋cos×0＝.
（1）含有三角函数值的代数式的化简，要先利用诱导公式一把角的范围转化到0～2π范围内，求出相应的三角函数值．
（2）准确记忆特殊角的三角函数值是三角函数化简求值的基础，此类问题易出现的错误就是对特殊角的三角函数值记忆不准确导致计算错误．
方法归纳：
利用诱导公式一求值应注意：利用诱导公式一可把负角的三角函数转化为0～2π内的角的三角函数，也可把大于2π的角的三角函数转化为0～2π内的角的三角函数，即实现了“负化正，大化小”，要注意记忆特殊角的三角函数值．
跟踪训练4：求下列各式的值：
（1）sin＋tan；
（2）sin810°＋cos360°－tan1125°．
解析：（1）sin＋tan
＝sin＋tan
＝sin＋tan
＝＋1．
（2）sin810°＋cos360°－tan1125°
＝sin（2×360°＋90°）＋cos（360°＋0°）－tan（3×360°＋45°）
＝sin90°＋cos0°－tan45°
＝1＋1－1
＝1．
应用诱导公式一时，先将角转化到0～2π范围内的角，再求值.对于特殊角的三角函数值一定要熟记．
三、学业达标
（一）选择题
1．已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，则tanα的值为（ ）
A．－
B．－
C．－
D．－
解析：由正切函数的定义可得，tanα＝＝－.
答案：A
2．sin（－140°）cos740°的值（ ）
A．大于0
B．小于0
C．等于0
D．不确定
解析：因为－140°为第三象限角，故sin（－140°）<0.
因为740°＝2×360°＋20°，所以740°为第一象限角，
故cos740°>0，
所以sin（－140°）cos740°<0.故选B.
答案：B
3．若sinθcosθ<0，则角θ是（ ）
A．第一或第二象限角
B．第二或第三象限角
C．第三或第四象限角
D．第二或第四象限角
解析：设角θ终边上一点的坐标为（x，y），该点到原点的距离为r（r>0），则sinθcosθ＝·<0，即xy<0，所以角θ终边上点的横、纵坐标异号，故角θ是第二或第四象限角．
答案：D
4．使sinx≤cosx成立的x的一个区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
解析：如图所示，画出三角函数线sinx＝MP，cosx＝OM，由于sin＝cos，sin＝cos，为使sinx≤cosx成立，由图可得在[－π，π）范围内，－≤x≤．
答案：A
（二）填空题
5．sin（－1380°）＝________.
解析：sin（－1380°）＝sin[60°＋（－4）×360°]＝sin60°＝.
答案：
6．当α为第二象限角时，－的值是________．
解析：∵α为第二象限角，∴sinα>0，cosα<0.
∴－＝－＝2.
答案：2
7．用三角函数线比较sin1与cos1的大小，结果是________．
解析：如图，sin1＝MP，cos1＝OM.
显然MP>OM，即sin1>cos1.
答案：sin1>cos1
（三）解答题
8．已知角α的终边为射线y＝－x（x≥0），求角α的正弦、余弦和正切值．
解析：由得x2＋x2＝1，即25x2＝16，即x＝或x＝－．
∵x≥0，∴x＝，从而y＝－．
∴角α的终边与单位圆的交点坐标为（，－）．
∴sinα＝y＝－，cosα＝x＝，tanα＝＝－．
9．判断下列各式的符号：
（1）sin105°·cos230°；
（2）cos3·tan.
解析：（1）因为105°，230°分别为第二、第三象限角，所以sin105°>0，cos230°<0.于是sin105°·cos230°<0．
（2）因为<3<π，所以3是第二象限角，所以cos3<0，又因为－是第三象限角，所以tan>0，所以cos3·tan<0．
尖子生题库：
10．利用三角函数线，求满足下列条件的角α的集合：
（1）tanα＝－1；（2）sinα≤－．
解析：（1）如图①所示，过点（1，－1）和原点作直线交单位圆于点P和P′，则OP和OP′就是角α的终边，所以∠xOP＝＝π－，∠xOP′＝－，
所以满足条件的所有角α的集合是．
（2）如图②所示，过作与x轴的平行线，交单位圆于点P和P′，则sin∠xOP＝sin∠xOP′＝－，
∴∠xOP＝π，∠xOP′＝π，
∴满足条件所有角α的集合为
．
【第2课时】
【学习目标】
理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tanx．
【学习重难点】
三角函数的基本公式．
【学习过程】
一、自主学习
知识点：同角三角函数的基本关系式
（1）利用sin2α＋cos2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，利用＝tanα可以实现角α的弦切互化．
（2）关系式的逆用及变形用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α．
教材解难：
同角三角函数的基本关系
（1）同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，这里，“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角（在使函数有意义的前提下），关系式都成立，与角的表达形式无关，如：sin23α＋cos23a＝1．
（2）sin2α是（sinα）2的简写，不能写成sinα2．
（3）在使用同角三角函数关系式时要注意使式子有意义，如：式子tan90°＝不成立．再如：sin2α＋cos2β＝1就不一定恒成立．
基础自测：
1．若α为第二象限角，且sinα＝，则cosα＝（ ）
A．－
B．
C．
D．－
解析：∵α是第二象限角，∴cosα＝－＝－．
答案：A
2．已知tanα＝，且α∈，则sinα的值是（ ）
A．－
B．
C．
D．－
解析：∵α∈（π，），∴sinα<0．由tanα＝＝，
sin2α＋cos2α＝1，得sinα＝－．
答案：A
3．化简：（1＋tan2α）·cos2α等于（ ）
A．－1
B．0
C．1
D．2
解析：原式＝·cos2α＝cos2α＋sin2α＝1．
答案：C
4．已知tanα＝－，则的值是________．
解析：＝＝＝．
答案：
二、素养提升
题型一：利用同角基本关系式求值[经典例题]
例1：（1）已知sinα＝，求cosα，tanα；
（2）已知tanα＝3，求．
解析：（1）因为sinα＝>0，且sinα≠1，所以α是第一或第二象限角．
①当α为第一象限角时，cosα＝＝＝，tanα＝＝；
②当α为第二象限角时，cosα＝－＝－，tanα＝－．
（2）分子、分母同除以cos2α，得＝．
又tanα＝3，所以＝＝．
（1）已知角的正弦值或余弦值，求其他三角函数值，应先判断三角函数值的符号，然后根据平方关系求出该角的余弦值或正弦值，再利用商数关系求解该角的正切值即可．
（2）利用同角基本关系式，分子、分母同除以cos2α，把正弦、余弦化成正切．
方法归纳：
求同角三角函数值的一般步骤：
（1）根据已知三角函数值的符号，确定角所在的象限．
（2）根据（1）中角所在象限确定是否对角所在的象限进行分类讨论．
（3）利用两个基本公式求出其余三角函数值．
跟踪训练1：（1）本例（2）条件变为＝2，求的值．
（2）本例（2）条件不变，求4sin2α－3sinα·cosα－5cos2α的值．
解析：（1）法一：由＝2，化简得sinα＝3cosα，
原式＝＝＝．
法二：由＝2得tanα＝3，
原式＝＝＝．
（2）原式＝
＝＝＝．
形如（2）式的求解，应灵活利用“1”的代换，将整式变为分式，即利用分式的性质将式子变为关于tanα的代数式，从而代入求值．
题型二：化简三角函数式[经典例题]
例2：化简：
（1）－；
（2）．
解析：（1）－＝
＝＝＝－2tan2α．
（2）＝＝＝1．
（1）利用同角基本关系化简．
（2）注意1的活用．例如：
1＋2sin10°cos10°＝sin210°＋cos210°＋2sin210°cos10°＝（cos10°＋sin10°）2
方法归纳：
三角函数式的化简技巧：
（1）化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．
（2）对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．
（3）对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低次数，达到化简的目的．
跟踪训练2：（1）化简：；
（2）化简：sin2αtanα＋2sinαcosα＋．
解析：（1）原式＝＝
＝＝1．
（2）原式＝sin2α·＋2sinαcosα＋cos2α·＝＝＝．
（1）1－sin2130°＝cos2130°，
1－2sin130°cos130°＝（sin130°－cos130°）2．
（2）式子中的tanα应化为，如果出现分式，一般应通分．
题型三：利用同角三角函数关系证明[教材P183例7]
例3：求证＝.
证明：证明1：由cosx≠0，知sinx≠－1，所以1＋sinx≠0，于是
左边＝
＝
＝
＝＝右边．
所以，原式成立．
证明2：因为（1－sinx）（1＋sinx）
＝1－sin2x＝cos2x
＝cosxcosx，
且1－sinx≠0，cosx≠0，
所以＝．
教材反思：
证明简单三角恒等式的思路
（1）从一边开始，证明它等于另一边，遵循由繁到简的原则．
（2）证明左右两边等于同一个式子．
（3）证明左边减去右边等于零或左、右两边之比等于1.
（4）证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立．
跟踪训练3：求证：
＝．
解析：证明：因为左边
＝
＝
＝＝＝右边，
所以等式成立．
左边是含正、余弦的式子，右边是含有正切的式子，因此需要弦化切，左边的分子可以用平方关系，分母可以用平方差公式实现变形．
题型四：sinα±cosα型求值[经典例题]
sinα＋cosα＝两边平方→求出2sinαcosα的值→求sinα－cosα的值
例4：已知sinα＋cosα＝，其中0<α<π，求sinα－cosα的值．
解析：因为sinα＋cosα＝，所以（sinα＋cosα）2＝，可得：sinα·cosα＝－.
因为0<α<π，且sinα·cosα<0，所以sinα>0，cosα<0.所以sinα－cosα>0，
又（sinα－cosα）2＝1－2sinαcosα＝，所以sinα－cosα＝．
方法归纳：
已知sinα±cosα的求值问题的方法
对于已知sinα±cosα的求值问题，一般利用整体代入的方法来解决，其具体的解法为：
（1）用sinα表示cosα（或用cosα表示sinα），代入sin2α＋cos2α＝1，根据角α的终边所在的象限解二次方程得sinα的值（或cosα的值），再求其他，如tanα（体现方程思想）．
（2）利用sinα±cosα的平方及sin2α＋cos2α＝1，先求出sinαcosα的值，然后求出sinα cosα的值（要注意结合角的范围确定符号）从而求解sinα，cosα的值，再求其他．
跟踪训练4：已知x是第三象限角，且cosx－sinx＝．
（1）求cosx＋sinx的值；
（2）求2sin2x－sinxcosx＋cos2x的值．
解析：（1）（cosx－sinx）2＝1－2sinxcosx＝，
所以2sinxcosx＝，
所以（cosx＋sinx）2＝1＋2sinxcosx＝，
因为x是第三象限角，所以cosx＋sinx<0，所以cosx＋sinx＝－．
（2）由
解得cosx＝－，sinx＝－，
所以2sin2x－sinxcosx＋cos2x＝2×－＋＝．
1．把cosx－sinx＝平方
2．注意x的范围
3．分别求出sinx、cosx
三、学业达标
（一）选择题
1．已知α是第二象限角，且cosα＝－，则tanα的值是（ ）
A．
B．－
C．
D．－
解析：∵α为第二象限角，∴sinα＝＝＝，∴tanα＝＝＝－．
答案：D
2．已知cosα－sinα＝－，则sinαcosα的值为（ ）
A．
B．±
C．－
D．±
解析：由已知得（cosα－sinα）2＝sin2α＋cos2α－2sinαcosα＝1－2sinαcosα＝，所以sinαcosα＝．
答案：A
3．化简（1－cosα）的结果是（ ）
A．sinα
B．cosα
C．1＋sinα
D．1＋cosα
解析：（1－cosα）＝（1－cosα）＝＝＝sinα．
答案：A
4．已知|sinθ|＝，且<θ<5π，则tanθ的值是（ ）
A．
B．－2
C．－
D．2
解析：因为<θ<5π，所以θ为第二象限角，所以sinθ＝，所以cosθ＝－，所以tanθ＝－．
答案：C
（二）填空题
5．若sinθ＝－，tanθ>0，则cosθ＝________.
解析：由已知得θ是第三象限角，
所以cosθ＝－＝－＝－.
答案：－
6．已知sinαcosα＝，则sinα－cosα＝________．
解析：因为（sinα－cosα）2＝1－2sinαcosα＝1－2×＝0，所以sinα－cosα＝0．
答案：0
7．已知＝2，则sinαcosα的值为________．
解析：由＝2，得＝2，∴tanα＝3，
∴sinαcosα＝＝＝．
答案：
（三）解答题
8．已知tanα＝3，求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）sin2α＋cos2α．
解析：（1）∵tanα＝3，∴cosα≠0．
原式的分子、分母同除以cosα，得
原式＝＝＝．
（2）原式的分子、分母同除以cos2α，得
原式＝＝＝－．
（3）原式＝＝＝＝．
9．证明：·＝1．
解析：证明：·
＝·
＝·
＝＝＝1．
尖子生题库：
10．已知－（1）sinx－cosx；
（2）．
解析：（1）∵sinx＋cosx＝，
∴（sinx＋cosx）2＝2，即1＋2sinxcosx＝，
∴2sinxcosx＝－.
∵（sinx－cosx）2＝sin2x－2sinxcosx＋cos2x＝1－2sinxcosx＝1＋＝，
又－0，
∴sinx－cosx<0，∴sinx－cosx＝－.
（2）由已知条件及（1），可知，
解得，∴＝＝.
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