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2．5.1　直线与圆的位置关系
2．5　直线与圆、圆与圆的位置关系
第二课时　直线与圆的位置关系的应用
(习题课)
灯第二课时　直线与圆的位置关系的应用(习题课)
直线与圆的方程的实际应用问题
[例1]　某圆拱桥的水面跨度为20 m，拱高为4 m．现有一船，宽10 m，水面以上高3 m，这条船能否从桥下通过？
[解]　建立如图所示的直角坐标系，使圆心C在y轴上．依题意，有A(－10，0)，B(10，0)，P(0，4)，D(－5，0)，E(5，0)．
设这座圆拱桥的拱圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
于是有
解此方程组，得a＝0，b＝－10.5，r＝14.5，
所以这座圆拱桥的拱圆的方程是
x2＋(y＋10.5)2＝14.52(0≤y≤4)．
把点D的横坐标x＝－5代入上式，得y≈3.1(m)．
由于船在水面以上高3 m，3<3.1，
所以该船可以从桥下通过．
[例2]　为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图所示)，它的附近有一条公路，从基地中心O处向正东方向走1 km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7 km到达公路上的点B.从基地中心O向正北方向走8 km到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE，求|DE|的最小值．
[解]　以O为坐标原点，OB，OC所在的直线分别为x轴、y轴，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向，建立平面直角坐标系(图略)，则圆O的方程为x2＋y2＝1.因为点B(8，0)，C(0，8)，所以直线BC的方程为＋＝1，即x＋y－8＝0.
易知，当O，D，E三点共线且OE⊥BC时，DE的长最小，|DE|的最小值为－1＝(4－1)(km)．
故|DE|的最小值为(4－1)km.
求直线与圆的方程的实际应用问题的解题步骤
　　　　
[跟踪训练]
1．如图是一座圆拱桥的截面图，当水面在某位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m，当水面下降1 m后，水面宽为________m.
解析：如图，以圆拱桥顶为坐标原点，以过圆拱顶点的竖直直线为y轴，建立直角坐标系，设圆心为C，圆的方程为x2＋(y＋r)2＝r2，水面所在弦的端点为A，B，则A(6，－2)，将A(6，－2)代入圆的方程，得r＝10，∴圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100.
当水面下降1 m后，可设点A′(x0，－3)(x0>0)，将A′(x0，－3)代入圆的方程，得x0＝，∴当水面下降1 m 后，水面宽为2x0＝2 m.
答案：2
2．一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西方向70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北方向40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它在返回港口的途中是否会受到台风的影响？
解：以台风中心为坐标原点，建立平面直角坐标系(如图所示)，则受台风影响的圆形区域的边界的方程为x2＋y2＝302，港口所对应的点的坐标为(0，40)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(70，0)，则轮船航线所在直线l的方程为＋＝1，即4x＋7y－280＝0，圆心O(0，0)到l：4x＋7y－280＝0的距离d＝＝，因为>30，所以直线l与圆相离．故轮船返回港口的途中不会受到台风的影响.
直线与圆的方程在几何问题中的应用
[例3]　在△ABO中，|OB|＝3，|OA|＝4，|AB|＝5，P是△ABO的内切圆上的一点，求以|PA|，|PB|，|PO|为直径的三个圆的面积之和的最大值与最小值．
[解]　以O为坐标原点，OA，OB所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(4，0)，B(0，3)，O(0，0)．
设△AOB的内切圆的半径为r，点P的坐标为(x，y)，
则2r＋|AB|＝|OA|＋|OB|，∴r＝1.
∴内切圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，
即x2＋y2－2y＝2x－1.①
又|PA|2＋|PB|2＋|PO|2＝(x－4)2＋y2＋x2＋(y－3)2＋x2＋y2＝3x2＋3y2－8x－6y＋25，②
∴将①代入②，得|PA|2＋|PB|2＋|PO|2＝3(2x－1)－8x＋25＝－2x＋22.
∵P(x，y)是内切圆上的点，
∴0≤x≤2，
∴|PA|2＋|PB|2＋|PO|2的最大值为22，最小值为18.
又三个圆的面积之和为π＋π＋π2＝(|PA|2＋|PB|2＋|PO|2)，
∴以|PA|，|PB|，|PO|为直径的三个圆的面积之和的最大值为π，最小值为π.
用坐标法解决几何问题的步骤
(1)建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素(点、直线、圆等)，将平面几何问题转化为代数问题；
(2)通过代数运算，解决代数问题；
(3)将代数问题的运算结果“翻译”成几何结论．　　　　
[跟踪训练]
如图，AB为圆的定直径，CD为动直径(D在下方)，过点D作AB的垂线DE，垂足为E，延长线段ED到点P，并使|PD|＝|AB|.求证：直线CP必过定点．
解：以线段AB所在的直线为x轴，以AB的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系(图略)，设圆的方程为x2＋y2＝r2(r为常数，r>0)．
令C(x0，y0)，则D(－x0，－y0)，
所以P(－x0，－y0－2r)，
所以直线CP的方程为
y－y0＝(x－x0)，即y＝x－r.
由直线的点斜式方程，知直线CP过定点(0，－r)．
故直线CP必过定点．
1．一辆货车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形单行隧道，则这辆货车的平顶车篷的篷顶距离地面高度最高约为(　　)
A．2.4米　　　　　　　 B．3.5米
C．3.6米 D．2.0米
解析：选B　以半圆所在直径为x轴，过圆心且与x轴垂直的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
易知半圆所在的圆的方程为x2＋y2＝3.62(y≥0)，
由图可知，当货车恰好在隧道中间行走时车篷最高，
此时x＝0.8或x＝－0.8，代入x2＋y2＝3.62，
得y≈3.5(负值舍去)．
2．设某村庄外围成圆形，其所在曲线的方程可用(x－2)2＋(y＋3)2＝4表示，村外一小路方程可用x－y＋2＝0表示，则从村庄外围到小路的最短距离是________．
解析：从村庄外围到小路的最短距离为圆心(2，－3)到直线x－y＋2＝0的距离减去圆的半径2，即－2＝－2.
答案：－2
3．已知：四边形ABCD，AB2＋CD2＝BC2＋AD2.
求证：AC⊥BD.
证明：如图，以AC所在的直线为x轴，过点B垂直于AC的直线为y轴建立直角坐标系，设顶点坐标分别为A(a，0)，B(0，b)，C(c，0)，D(x，y)，
∵AB2＋CD2＝BC2＋AD2，
∴a2＋b2＋(x－c)2＋y2＝b2＋c2＋(x－a)2＋y2，
∴(a－c)x＝0，∵a≠c即a－c≠0，
∴x＝0，∴D在y轴上，∴AC⊥BD.
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4(共27张PPT)
2．5.1　直线与圆的位置关系
2．5　直线与圆、圆与圆的位置关系
灯直线与圆的位置关系
新课程标准解读 核心素养
1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系 逻辑推理、直观想象
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．体会用代数方法处理几何问题的思想 直观想象、数学运算
第一课时　直线与圆的位置关系
早晨的日出非常美丽，如果我们把海平面看成一条直线，而把太阳抽象成一个运动着的圆，观察太阳缓缓升起的这样一个过程，你能想象到什么几何知识呢？没错，日出升起的过程可以体现直线与圆的三种位置关系，你发现了吗？
[问题]　日出升起的过程体现的是直线与圆的哪三种位置关系？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　直线与圆的位置关系
1．直线与圆的三种位置关系
位置关系 交点个数 图示
相交 有两个公共点
相切 只有一个公共点
相离 没有公共点
2．直线与圆的位置关系的判断
位置关系 相交 相切 相离
判定方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d＜r d＝r d＞r
代数法：由消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
1．若直线与圆只有一个公共点，则直线与圆一定相切吗？
提示：一定．
2．若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离满足什么条件？
提示：当直线与圆有公共点时，圆心到直线的距离小于或等于半径．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．(　　)
(2)直线x＋2y－1＝0与圆2x2＋2y2－4x－2y＋1＝0的位置关系是相交．(　　)
答案：(1)√　(2)√
2．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系为(　　)
A．相切　　　　　　　 B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心 D．相离
解析：选B　圆心(0，0)到直线y＝x＋1的距离d＝＝.因为0＜＜1，故直线与圆相交但直线不过圆心，选B.
3．直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m的值为(　　)
A．0或2 B．2
C. D．无解
解析：选B　由于直线与圆相切，故＝，解得m＝0(舍去)或m＝2.
4．直线y＝2x＋3被圆x2＋y2－6x－8y＝0所截得的弦长等于________．
解析：圆的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝25.故圆心为(3，4)，半径r＝5.又直线方程为2x－y＋3＝0，所以圆心到直线的距离为d＝＝，所以弦长为2＝2×＝2＝4.
答案：4
直线与圆位置关系的判断
[例1]　(链接教科书第91页例1)已知直线l：x－2y＋5＝0与圆C：(x－7)2＋(y－1)2＝36，判断直线l与圆C的位置关系．
[解]　法一(代数法)：由方程组
消去y后整理，得5x2－50x＋61＝0.
∵Δ＝(－50)2－4×5×61＝1 280＞0，
∴该方程组有两组不同的实数解，
即直线l与圆C相交．
法二(几何法)：圆心(7，1)到直线l的距离为d＝＝2.∵d＜r＝6，∴直线l与圆C相交．
判断直线与圆位置关系的方法
(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断；
(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．　　　　
[跟踪训练]
1．直线x－ky＋1＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　　)
A．相交　　　　　　　　　 B．相离
C．相交或相切 D．相切
解析：选C　直线x－ky＋1＝0恒过定点(－1，0)，而(－1，0)在圆上，故直线与圆相切或相交．
2．已知点(a，b)在圆C：x2＋y2＝r2(r≠0)的外部，则直线ax＋by＝r2与C的位置关系是(　　)
A．相切　　　　　　　　 B．相离
C．相交 D．不确定
解析：选C　由已知a2＋b2＞r2，且圆心到直线ax＋by＝r2的距离为d＝，则d＜r，故直线ax＋by＝r2与圆C的位置关系是相交.
切线问题
[例2]　(链接教科书第92页例2)(1)设直线mx－y＋2＝0与圆x2＋y2＝1相切，则m＝________；
(2)过点A(－1，4)作圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线l，求切线l的方程为________．
[解析]　(1)已知圆的圆心为O(0，0)，半径r＝1，则O到已知直线的距离d＝＝ .由已知得d＝r，即＝1，解得m＝±.
(2)∵(－1－2)2＋(4－3)2＝10＞1，∴点A在圆外．
当直线l的斜率不存在时，l的方程是x＝－1，不满足题意．
设直线l的斜率为k，则切线l的方程为y－4＝k(x＋1)，
即kx－y＋4＋k＝0.
圆心(2，3)到切线l的距离为＝1，
解得k＝0或k＝－，
因此，所求直线l的方程y＝4或3x＋4y－13＝0.
[答案]　(1)±　(2)y＝4或3x＋4y－13＝0
1．过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法
先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0.
2．过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法
设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程．当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况，而过圆外一点的切线有两条．一般不用联立方程组的方法求解．
3．求切线长(最值)的两种方法
(1)代数法：直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值；
(2)几何法：把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题．　　　　
[跟踪训练]
1．以点(2，－1)为圆心，且与直线3x－4y＋5＝0相切的圆的方程为(　　)
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝3
B．(x＋2)2＋(y－1)2＝3
C．(x＋2)2＋(y－1)2＝9
D．(x－2)2＋(y＋1)2＝9
解析：选D　圆心到直线3x－4y＋5＝0的距离d＝＝3，即圆的半径为3，所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝9.
2．点P是直线2x＋y＋10＝0上的动点，PA，PB与圆x2＋y2＝4分别相切于A，B两点，则四边形PAOB面积的最小值为________．
解析：如图所示，因为S四边形PAOB＝2S△POA.又OA⊥AP，
所以S四边形PAOB＝2×|OA|·|PA|
＝2＝2.
为使四边形PAOB面积最小，当且仅当|OP|达到最小，即为点O到直线2x＋y＋10＝0的距离|OP|min＝＝2.
故所求最小值为2＝8.
答案：8
弦长问题
[例3]　(链接教科书第91页例1)如果一条直线经过点M且被圆x2＋y2＝25所截得的弦长为8，求这条直线的方程．
[解]　圆x2＋y2＝25的半径长r为5，直线被圆所截得的弦长l＝8，于是弦心距d＝ ＝＝3.
因为圆心O(0，0)到直线x＝－3的距离恰为3，所以直线x＝－3是符合题意的一条直线．当直线的斜率存在时，设直线y＋＝k(x＋3)也符合题意，即圆心到直线kx－y＋＝0的距离等于3，于是＝3，解得k＝－.
故直线的方程为3x＋4y＋15＝0.
综上可知，满足题意的直线有两条，对应的方程分别为x＝－3或3x＋4y＋15＝0.
求弦长的两种方法
(1)由半径长r、弦心距d、弦长l的一半构成直角三角形，利用勾股定理d2＋＝r2求解，这是常用解法；
(2)联立直线与圆的方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两交点横坐标(或纵坐标)之间的关系，代入两点间距离公式求解．此解法很烦琐，一般不用．　　　　
[跟踪训练]
1．在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦长为________．
解析：因为圆心(2，－1)到直线x＋2y－3＝0的距离d＝＝，所以直线x＋2y－3＝0被圆截得的弦长为2 ＝.
答案：
2．过点(3，1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________．
解析：设点A(3，1)，易知圆心C(2，2)，半径r＝2.
当弦过点A(3，1)且与CA垂直时为最短弦，
|CA|＝＝.
∴半弦长为＝＝.
∴最短弦的长为2.
答案：2
圆的切线与切点弦
若P0(x0，y0)是圆O：x2＋y2＝r2上一点，则圆O的过点P0的切线方程是x0x＋y0y＝r2.
事实上，因为点P0(x0，y0)在圆O：x2＋y2＝r2上，所以x＋y＝r2，即x0·x0＋y0·y0＝r2，从而点P0在直线x0x＋y0y＝r2上．
又因为圆心O到直线x0x＋y0y＝r2的距离d＝eq \f(r2,\r(x＋y))＝r，所以x0x＋y0y＝r2是圆O的过点P0的切线方程．
[问题探究]
当点P0(x0，y0)在圆O外时，方程x0x＋y0y＝r2表示怎样的直线呢？
如图，过P0(x0，y0)作圆O的两条切线，切点分别为A，B.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线P0A的方程为
x1x＋y1y＝r2.
因为P0(x0，y0)在直线P0A上，所以
x1x0＋y1y0＝r2，
故(x1，y1)满足方程x0x＋y0y＝r2，
即点A在直线x0x＋y0y＝r2上．
同理点B在直线x0x＋y0y＝r2上．
所以x0x＋y0y＝r2是直线AB的方程，即切点弦所在直线的方程．
[迁移应用]
　当点P0(x0，y0)在圆O内(异于O)时，方程x0x＋y0y＝r2表示怎样的直线？
解：圆心O(0，0)到直线x0x＋y0y＝r2的距离d＝eq \f(r2,\r(x＋y))，∵点P0(x0，y0)在圆O内，即eq \r(x＋y)则d>r，故直线与圆相离．
1．直线3x＋4y＋12＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝9的位置关系是(　　)
A．相交并且直线过圆心　 B．相交但直线不过圆心
C．相切 D．相离
解析：选D　圆心C(1，1)到直线的距离d＝＝，圆C的半径r＝3，则d＞r，所以直线与圆相离．
2．求实数m的取值范围，使直线x－my＋3＝0与圆x2＋y2－6x＋5＝0分别满足：
(1)相交；(2)相切；(3)相离．
解：圆的方程化为标准式为(x－3)2＋y2＝4，
故圆心(3，0)到直线x－my＋3＝0的距离d＝，
圆的半径r＝2.
(1)若相交，则d所以m∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)．
(2)若相切，则d＝r，即＝2，所以m＝±2.
(3)若相离，则d>r，即 >2，
所以m∈(－2，2)．
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8(共30张PPT)
2.5.2　圆与圆的位置关系
2．5　直线与圆、圆与圆的位置关系
灯圆与圆的位置关系
新课程标准解读 核心素养
1.能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系 逻辑推理、直观想象
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题，体会用代数方法处理几何问题的思想 直观想象、数学运算
观察下面这些生活中常见的图形，感受一下圆与圆之间有哪些位置关系？
[问题]　(1)圆与圆之间有几种位置关系？
(2)能否借助圆的方程来研究圆与圆的位置关系？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　圆与圆的位置关系
1．种类：圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含．
2．判定方法
(1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
d与r1，r2的关系 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 d＝|r1－r2| d＜|r1－r2|
(2)代数法：设两圆的一般方程为
C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1>0)，
C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2>0)，
联立方程得则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：
方程组解的个数 2组 1组 0组
两圆的公共点个数 2个 1个 0个
两圆的位置关系 相交 内切或外切 外离或内含
1．当两圆外离、外切、相交、内切、内含时，公切线的条数分别是多少？
提示：公切线的条数分别是4，3，2，1，0.
2．当两圆相交、外切、内切时，连心线有什么性质？
提示：当两圆相交时，连心线垂直平分公共弦；当两圆外切时，连心线垂直于过两圆公共点的公切线；当两圆内切时，连心线垂直于两圆的公切线．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．(　　)
(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．(　　)
(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．(　　)
(4)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为(　　)
A．内切　　　　　　　 B．相交
C．外切 D．相离
解析：选B　两圆的圆心分别为(－2，0)，(2，1)，半径分别为r＝2，R＝3，两圆的圆心距离为＝，则R－r<3．已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A，B两点，则直线AB的方程是________．
解析：圆的方程(x－1)2＋(y－3)2＝20可化为x2＋y2－2x－6y＝10.又x2＋y2＝10，
两式相减得2x＋6y＝0，即x＋3y＝0.
答案：x＋3y＝0
圆与圆位置关系的判断
[例1]　(链接教科书第96页例5)已知两圆C1：x2＋y2＋4x＋4y－2＝0，C2：x2＋y2－2x－8y－8＝0，判断圆C1与圆C2的位置关系．
[解]　法一(几何法)：把圆C1的方程化为标准方程，得(x＋2)2＋(y＋2)2＝10.圆C1的圆心坐标为(－2，－2)，半径r1＝.
把圆C2的方程化为标准方程，得(x－1)2＋(y－4)2＝25.圆C2的圆心坐标为(1，4)，半径r2＝5.
圆C1和圆C2的圆心距d＝ ＝3，
又圆C1与圆C2的两半径长之和是r1＋r2＝5＋，两半径长之差是r2－r1＝5－.
而5－<3<5＋，即r2－r1所以两圆的位置关系是相交．
法二(代数法)：将两圆的方程联立得到方程组
由①－②得x＋2y＋1＝0，③
由③得x＝－2y－1，把此式代入①，
并整理得y2－1＝0，
所以y1＝1，y2＝－1，代入x＋2y＋1＝0得x1＝－3，x2＝1.
所以圆C1与圆C2有两个不同的公共点(－3，1)，(1，－1)，即两圆的位置关系是相交．
判断两圆的位置关系的两种方法
(1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值、半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中主要使用的方法；
(2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆位置关系．　　　　
[跟踪训练]
当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、相离？
解：将两圆的一般方程化为标准方程，
C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，
C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k.
圆C1的圆心为C1(－2，3)，半径r1＝1，
圆C2的圆心为C2(1，7)，半径r2＝(k＜50)，
从而|C1C2|＝＝5.
当1＋＝5，即k＝34时，两圆外切．
当|－1|＝5，即＝6，即k＝14时，两圆内切．
当|－1|＜5＜1＋，
即k∈(14，34)时，两圆相交．
当1＋＜5或|－1|＞5，
即k∈(－∞，14)∪(34，50)时，两圆相离．
两圆相切问题
[例2]　已知以C(4，－3)为圆心的圆与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆C的方程是________．
[解析]　设圆C的半径为r，
又圆心距d＝＝5，
∴当圆C与圆O外切时，r＋1＝5，r＝4，当圆C与圆O内切时，r－1＝5，r＝6，
∴圆C的方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36.
[答案]　(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36
处理两圆相切问题的两个步骤
(1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须考虑分两圆内切还是外切两种情况讨论；
(2)转化思路，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时)．　　　　
[跟踪训练]
若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝________．
解析：C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0化为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m.
∵C1，C2两圆的圆心分别为(0，0)，(3，4)，∴两圆圆心距d＝＝5，
又两圆半径分别为1，，则d＝r1＋r2，即5＝1＋，解得m＝9.
答案：9
与两圆相交有关的问题
[例3]　求经过两圆x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋6y－28＝0的交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程．
[解]　法一：解方程组得两圆的交点A(－1，3)，B(－6，－2)．
设所求圆的圆心为(a，b)，因为圆心在直线x－y－4＝0上，故b＝a－4.
则有＝ ，
解得a＝，故圆心为，
半径为 ＝.
故圆的方程为＋＝，
即x2＋y2－x＋7y－32＝0.
法二： ∵圆x2＋y2＋6y－28＝0的圆心(0，－3)不在直线x－y－4＝0上，故可设所求圆的方程为x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0(λ≠－1)，
其圆心为，代入x－y－4＝0，求得λ＝－7.
故所求圆的方程为x2＋y2－x＋7y－32＝0.
1．圆系方程
一般地过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆的方程可设为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)，然后再由其他条件求出λ，即可得圆的方程．
2．两圆相交时，公共弦所在的直线方程
若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0.
3．公共弦长的求法
(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长；
(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．　　　　
[跟踪训练]
求两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的公共弦所在直线的方程及公共弦长．
解：联立两圆的方程得方程组两式相减得x－2y＋4＝0，此为两圆公共弦所在直线的方程．
法一：设两圆相交于点A，B，则A，B两点满足方程组解得或
所以|AB|＝＝2，
即公共弦长为2.
法二：由x2＋y2－2x＋10y－24＝0，得(x－1)2＋(y＋5)2＝50，其圆心坐标为(1，－5)，半径r＝5，圆心到直线x－2y＋4＝0的距离为d＝＝3.
设公共弦长为2l，由勾股定理得r2＝d2＋l2，即50＝(3)2＋l2，解得l＝，故公共弦长2l＝2.
与圆有关的探究性问题
(链接教科书第99页习题14题)如图，圆x2＋y2＝8内有一点P0(－1，2)，AB为过点P0且倾斜角为α的弦．
(1)当α＝135°时，求AB的长；
(2)是否存在弦AB被点P0平分？若存在，写出直线AB的方程；若不存在，请说明理由．
[问题探究]
此题目为探究性问题，属探究题存在类型范畴，解决这类问题一般思路：
首先假设所探究的问题存在，在这个假设条件下进行推理论证，如果能得到一个合情合理的推理结果，就肯定假设正确．如果得到一个矛盾结论，就应否定假设，对问题作出反面回答．
[迁移应用]
1．请解答上述问题．
解：(1)∵直线AB的斜率为k＝tan 135°＝－1，
∴直线AB的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0.
∵圆心O(0，0)到直线AB的距离d＝＝，
∴弦长|AB|＝2＝2 ＝.
(2)假设存在弦AB被点P0平分，
∴P0为弦AB的中点，又|OA|＝|OB|＝r，∴OP0⊥AB.
又∵k＝＝－2，∴kAB＝.
∴直线AB的方程为y－2＝(x＋1)，即x－2y＋5＝0.
由以上求解可知，存在被P0点平分的弦AB，此弦所在直线方程为x－2y＋5＝0.
2．已知圆心为C的圆，满足下列条件：圆心C位于x轴正半轴上，圆C与直线3x－4y＋7＝0相切，且被y轴截得的弦长为2，圆C的面积小于13.
(1)求圆C的标准方程；
(2)设过点M(0，3)的直线l与圆C交于不同的两点A，B，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB.是否存在这样的直线l，使得直线OD与MC恰好平行？如果存在，求出l的方程；如果不存在，请说明理由．
解：(1)设圆C的标准方程为(x－a)2＋y2＝r2(a＞0)，由题意知解得或
又因为S＝πr2＜13，所以a＝1，r＝2，
所以圆C的标准方程为(x－1)2＋y2＝4.
(2)不存在这样的直线l.
理由如下：当斜率不存在时，直线l为x＝0，不满足题意．
当斜率存在时，设直线l：y＝kx＋3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由消去y得(1＋k2)x2＋(6k－2)x＋6＝0，
因为l与圆C相交于不同的两点，
所以Δ＝(6k－2)2－24(1＋k2)＝12k2－24k－20＞0，
解得k＜1－或k＞1＋.
x1＋x2＝－，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋6＝，
＝＋＝(x1＋x2，y1＋y2)，＝(1，－3)．
假设∥，则－3(x1＋x2)＝y1＋y2，
所以3×＝，
解得k＝， ∪，
所以假设不成立．不存在这样的直线l.
1．圆O1：x2＋y2－4y＋3＝0和圆O2：x2＋y2－16y＝0的位置关系是(　　)
A．外离　　　　　　　　 B．相交
C．相切 D．内含
解析：选D　因为r1＝1，r2＝8，|O1O2|＝＝6，则|O1O2|＜r2－r1.所以两圆内含．
2．求与圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4内切于点A(4，－1)且半径为1的圆的方程．
解：设所求圆的圆心为P(a，b)，则＝1.　①
若两圆内切，则有＝|2－1|＝1，②
联立①②，解得a＝3，b＝－1，所以，所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝1.
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