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华师版九年级下册数学27.4 正多边形和圆教学设计
课题 27.4 正多边形和圆 单元 第二单元 学科 数学 年级 九
学习目标 1、了解正多边形的概念、正多边形和圆的关系;2、会通过等分圆心角的方法等分圆周,画出所需的正多边形;3、能够用直尺和圆规作图,作出一些特殊的正多边形;4、理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念。
重点 正多边形的概念及正多边形与圆的关系。
难点 利用直尺与圆规作特殊的正多边形。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 教师出示图片：提问：这些图案是由什么图形组成的？想一想：什么是正多边形？定义：各条边相等，各个角也相等的多边形.说一说你知道哪些正多边形？ 教师演示课件，提出问题，学生观察、思考，并找到多边形.师生合作归纳出正多边形定义 激起学生对探索正多边形与圆的兴趣。让学生学会用数学语言表述问题,体会数学来源于生活,并服务于生活,增强学生的应用意识。
讲授新课 分别画出图中各正多边形的对称轴，看看能发现什么结果？ 正n边形都是轴对称图形，都有n条对称轴，只有边数为偶数的正多边形才是中心对称图形.画出所给正五边形的对称轴，你能作出几条？这些对称轴交于一点吗？每条对称轴与相应的边有什么关系？正五边形有五条对称轴这些对称轴都交于一点【画一画】以点O为圆心，OA为半径画圆正五边形各顶点在同一个圆上吗？以点O为圆心，OA为半径的圆过正五边形的各个顶点。 它是该正五边形的外接圆【思考】正五边形的对称轴与正五边形的各内角有什么关系？这些对称轴是正五边形各内角的平分线OG=OH根据角平分线的性质，点O到各边的距离都相等【画一画】以点O为圆心，OG为半径画圆这个圆是正五边形的内切圆其他正多边形也有类似的结论吗？任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆 【总结归纳】中心：正多边形的外接圆和内切圆有公共的圆心，称其为正多边形的中心．半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径.边心距：正多边形内切圆的半径叫做正多边形的边心距.中心角：正多边形每一条边所对的外接圆的圆心角相等，叫做正多边形的中心角.如图，在⊙O中， ,那么弦AB、BC、CD、DE、EA之间有什么关系？∠A、∠B、∠C、∠D、∠E之间又有什么关系？在同一个圆中，等弧对等弦，因此AB=BC=CD =DE=EA，而根据圆周角定理，有∠A= ∠B = ∠C =∠D=∠E，因此五边形ABCDE是正五边形.这样我们就得到下面圆和正多边形的关系:把圆分成n(n>2)等份，依次连结各分点所得的多边形是这个圆的一个内接正n边形.教师提问：根据上面的关系，想一想怎样作一个圆的内接正n边形。【例 利用尺规作图，作出已知圆的内接正方形和内接正六边形 内接正方形的作法：（1）用直尺任作圆的一条直径AC；（2）作与直径AC垂直的直径BD；（3）顺次连结所得圆上四点，则四边形ABCD即为所求正方形.内接正六边形的作法：（1）用直尺任作圆的一条直径AD；（2）以点A为圆心、OA为半径作圆，与⊙O交于点B、F；（3）以点D为圆心、OD为半径作圆，与⊙O交于点C、E；（4）顺次连结圆上六点，则六边形ABCDEF即为所求的正六边形.用尺规作圆的内接正多边形，只能作部分正多边形，那么怎样作一般正多边形？用量角器画正多边形：先用量角器画一个等于的圆心角，这个角所对的弧就是圆的，然后在圆上依次截取这条弧的等弧，就得到圆的n等分点，顺次连结各等分点即得到此圆的内接正n边形. 学生画出正多边形的对称轴，思考问题。教师提出问题,学生思考,同学间交流,回答问题。教师根据学生的回答给以总结。学生思考正五边形的对称轴与正五边形的各内角有什么关系，根据教师提示，回答问题。学生在教师的引导下总结归纳正多边形的相关概念。思考回答问题。学生在教师的引导下作出已知圆的内接正方形和内接正六边形。 通过画对称轴的简单问题，让每个学生都能参与进来，达到活跃课堂氛围，激发学生的积极性，在不同水平的学生都得到发展。通过学生自己动手、动脑,让学生发现正多边形与圆的密切关系,增强对知识的渴求性。在老师的引导下进行逻辑推理论证所发现的结论的正确性,从而培养学生科学严谨的治学态度,和运用所学知识解决问题的能力。结论由特殊推广到一般,这符合学生的认知规律, 并教给学生一种研究问题的方法:由特殊到一般。体现化归思想在解题中的应用。通过本环节的讲解与训练,让学生对利用新知识解决一些简单问题有更加明确的认识，同时也尽量让学生明白知识点不是孤立的需要前后联系,才能更好地处理一些新问题,培养学生动手操作的能力。加强学生的合作意识,使学生养成大胆猜测和想象的能力。积极参与数学问题的谈论,敢于发表自己的见解。
课堂练习 1.下列说法正确的是(　C　)A．各边相等的多边形是正多边形B．各角相等的多边形是正多边形C．各边相等的圆内接多边形是正多边形D．各角相等的圆内接多边形是正多边形2.如图，正五边形和正方形的一边重合，那么∠1的度数是(　C　)A．30° B．15° C．18° D．20°3.下列正多边形，通过直尺和圆规不能作出的是(　C　)A．正三角形 B．正四边形C．正七边形 D．正八边形4.使用量角器画出圆的内接正九边形.使用量角器先量出一个圆心角为40°的圆心角，再作图.5.如图，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连结OM，ON. 求图中∠MON的度数；解：连结OB，OC，如图所示．∵△ABC是正三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°.∴∠BOC＝120°.又∵OB＝OC，∴∠OBN＝∠OCN＝30°.∴∠OBM＝∠OCN＝30°.又∵BM＝CN，∴△OBM≌△OCN.∴∠BOM＝∠CON.∴∠MON＝∠BOM＋∠BON＝∠CON＋∠BON＝∠BOC＝120°.6.【2021·成都】如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为(　D　)A．4π B．6π C．8π D．12π 学生做练习，教师讲解。 通过练习来巩固、强化课堂上所学的知识，并且培养学生综合运用所学的知识和技能解决问题的能力，培养学生的应用意识。
课堂小结 本节课你学到了什么？正多边形的有关概念:中心：正多边形的外接圆和内切圆有公共的圆心，称其为正多边形的中心．半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径.边心距：正多边形内切圆的半径叫做正多边形的边心距.中心角：正多边形每一条边所对的外接圆的圆心角相等，叫做正多边形的中心角. 引导学生回顾已学知识，通过一系列问题进行总结评估 课堂上以由教师引导，学生回顾的方式进行总结，目的是充分发挥学生的主体作用，有助于学生在理解新知识的基础上，及时把知识系统化，条理化。
板书 课题：27.4 正多边形和圆一、正多边形定义二、相关概念三、画正多边形
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27.4 正多边形和圆
华师版 九年级下册
新知导入
观察下面图片
这些图案是由什么图形组成的？
新知导入
想一想：什么是正多边形？
各条边相等，各个角也相等的多边形.
说一说你知道哪些正多边形？
新知讲解
分别画出图中各正多边形的对称轴，看看能发现什么结果？
正n边形都是轴对称图形，都有n条对称轴，只有边数为偶数的正多边形才是中心对称图形.
新知讲解
画出所给正五边形的对称轴，你能作出几条？这些对称轴交于一点吗？每条对称轴与相应的边有什么关系？
正五边形有五条对称轴
这些对称轴都交于一点
这些对称轴是正五边形各边的垂直平分线
新知讲解
正五边形各顶点在同一个圆上吗？
【画一画】以点O为圆心，OA为半径画圆
以点O为圆心，OA为半径的圆过正五边形的各个顶点。
它是该正五边形的外接圆.
新知讲解
这些对称轴是正五边形各内角的平分线
【思考】正五边形的对称轴与正五边形的各内角有什么关系？
根据角平分线的性质，
点O到各边的距离都相等
OG=OH
新知讲解
【画一画】以点O为圆心，OG为半径画圆
这个圆是正五边形的内切圆
新知讲解
其他正多边形也有类似的结论吗？
任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆
新知讲解
中心：正多边形的外接圆和内切圆有公共的圆心，称其为正多边形的中心．
半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径.
边心距：正多边形内切圆的半径叫做正多边形的边心距.
中心角：正多边形每一条边所对的外接圆的圆心角相等，叫做正多边形的中心角.
【总结归纳】
新知讲解
如图，在⊙O中， ,那么弦AB、BC、CD、DE、EA之间有什么关系？∠A、∠B、∠C、∠D、∠E之间又有什么关系？
在同一个圆中，等弧对等弦，因此AB=BC=CD =DE=EA，而根据圆周角定理，有∠A= ∠B = ∠C =∠D=∠E，因此五边形ABCDE是正五边形.
新知讲解
这样我们就得到下面圆和正多边形的关系:
把圆分成n(n>2)等份，依次连结各分点所得的多边形是这个圆的一个内接正n边形.
根据上面的关系，想一想怎样作一个圆的内接正n边形。
新知讲解
【例】 利用尺规作图，作出已知圆的内接正方形和内接正六边形.
内接正方形的作法：
O
A
C
B
D
（3）顺次连结所得的圆上四点，则四边形ABCD即为所求作的正方形.
（2）作与直径AC垂直的直径BD；
（1）用直尺任作圆的一条直径AC；
O
新知讲解
【例】 利用尺规作图，作出已知圆的内接正方形和内接正六边形 .
内接正六边形的作法：
（1）用直尺任作圆的一条直径AD；
（2）以点A为圆心、OA为半径作圆，与⊙O交于点B、F；
（3）以点D为圆心、OD为半径作圆，与⊙O交于点C、E；
（4）顺次连结圆上六点，则六边形ABCDEF即为所求的正六边形.
新知讲解
用尺规作圆的内接正多边形，只能作部分正多边形，那么怎样作一般正多边形？
用量角器画正多边形：
先用量角器画一个等于 的圆心角，这个角所对的弧就是圆的 ，然后在圆上依次截取这条弧的等弧，就得到圆的n等分点，顺次连结各等分点即得到此圆的内接正n边形.
课堂练习
1.下列说法正确的是(　　)
A．各边相等的多边形是正多边形
B．各角相等的多边形是正多边形
C．各边相等的圆内接多边形是正多边形
D．各角相等的圆内接多边形是正多边形
C
课堂练习
2.如图，正五边形和正方形的一边重合，那么∠1的度数是(　　)
A．30°
B．15°
C．18°
D．20°
C
课堂练习
3.下列正多边形，通过直尺和圆规不能作出的是(　　)
A．正三角形 B．正四边形
C．正七边形 D．正八边形
C
课堂练习
4.使用量角器画出圆的内接正九边形.
使用量角器先量出一个圆心角为40°的圆心角，再作图.
O
40°
拓展提高
5.如图，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连结OM，ON. 求图中∠MON的度数；
解：连结OB，OC，如图所示．
∵△ABC是正三角形，
∴∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°.
∴∠BOC＝120°.
又∵OB＝OC，∴∠OBN＝∠OCN＝30°.
∴∠OBM＝∠OCN＝30°.
又∵BM＝CN，∴△OBM≌△OCN.
拓展提高
5.如图，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连结OM，ON. 求图中∠MON的度数；
∴∠BOM＝∠CON.
∴∠MON＝∠BOM＋∠BON
＝∠CON＋∠BON＝∠BOC＝120°.
中考链接
6.【2021·成都】如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为(　　)
A．4π
B．6π
C．8π
D．12π
D
课堂总结
本节课你学到了什么？
正多边形的有关概念:
中心：正多边形的外接圆和内切圆有公共的圆心，称其为正多边形的中心．
半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径.
边心距：正多边形内切圆的半径叫做正多边形的边心距.
中心角：正多边形每一条边所对的外接圆的圆心角相等，叫做正多边形的中心角.
板书设计
课题：27.4 正多边形和圆


教师板演区

学生展示区
一、正多边形定义
二、相关概念
三、画正多边形
作业布置
课本 P67 练习题
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华师版数学九年级下册27.4 正多边形和圆导学案
课题 27.4 正多边形和圆 单元 第二单元 学科 数学 年级 九
学习目标 1、了解正多边形的概念、正多边形和圆的关系;2、会通过等分圆心角的方法等分圆周,画出所需的正多边形;3、能够用直尺和圆规作图,作出一些特殊的正多边形;4、理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念。
重点 正多边形的概念及正多边形与圆的关系。
难点 利用直尺与圆规作特殊的正多边形。
教学过程
课前预学 观察图片：这些图案是由什么图形组成的？什么是正多边形？定义：__________________________________说一说你知道哪些正多边形？
新知讲解 分别画出图中各正多边形的对称轴，看看能发现什么结果？ ______________________________________________________________________________________________________________________________________________画出所给正五边形的对称轴，你能作出几条？这些对称轴交于一点吗？每条对称轴与相应的边有什么关系？正五边形有______条对称轴这些对称轴都______这些对称轴是正五边形各边的_________ 【画一画】以点O为圆心，OA为半径画圆正五边形各顶点在同一个圆上吗？____________________________________________________________它是该正五边形的____________________【思考】正五边形的对称轴与正五边形的各内角有什么关系？这些对称轴是正五边形各__________OG_______OH根据角平分线的性质______________________________【画一画】以点O为圆心，OG为半径画圆这个圆是正五边形的_________其他正多边形也有类似的结论吗？_____________________________________________【总结归纳】中心：_________________________________半径：________________________________________________.边心距：________________________________________________中心角：________________________________________________.如图，在⊙O中， ,那么弦AB、BC、CD、DE、EA之间有什么关系？∠A、∠B、∠C、∠D、∠E之间又有什么关系？________________________________________________________________________这样我们就得到下面圆和正多边形的关系:________________________________________________________________________________________________________________________________________________【例】利用尺规作图，作出已知圆的内接正方形和内接正六边形 内接正方形的作法：（1）__________________________；（2）__________________________；（3）____________________________________________________.内接正六边形的作法：（1）____________________________；（2）____________________________；（3）____________________________；（4）__________________________________________.用尺规作圆的内接正多边形，只能作部分正多边形，那么怎样作一般正多边形？用量角器画正多边形：
课堂练习 1.下列说法正确的是(　　)A．各边相等的多边形是正多边形B．各角相等的多边形是正多边形C．各边相等的圆内接多边形是正多边形D．各角相等的圆内接多边形是正多边形2.如图，正五边形和正方形的一边重合，那么∠1的度数是(　　)A．30° B．15° C．18° D．20°3.下列正多边形，通过直尺和圆规不能作出的是(　　)A．正三角形 B．正四边形C．正七边形 D．正八边形4.使用量角器画出圆的内接正九边形.5.如图，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连结OM，ON. 求图中∠MON的度数；6.【2021·成都】如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为(　　)A．4π B．6π C．8π D．12π
课堂小结 本节课你学到了什么？正多边形的有关概念:
板书 课题：27.4 正多边形和圆一、正多边形定义二、相关概念三、画正多边形
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