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专题02 勾股定理
一、单选题
1．木工师傅想利用木条制作一个直角三角形，那么下列各组数据不符合直角三角形的三边长的是（ ）
A．3，4，5 B．6，8，10 C．5，12，13 D．7，15，17
【答案】D
【提示】
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】
解：A、∵32+42=52，∴能够成直角三角形，故本选项错误；
B、∵62+82=102，∴能够成直角三角形，故本选项错误；
C、∵52+122=132，∴能够成直角三角形，故本选项错误；
D、∵72+152≠172，∴不能够成直角三角形，故本选项正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理的应用．理解判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理是解题的关键．
2．在中，，，的对边分别是a，b，c，且，则（ ）
A． B． C． D．不确定哪个角是直角
【答案】A
【提示】
根据题意直接利用勾股定理的逆定理进行判断即可得出答案．
【解答】
解：∵在中，，，的对边分别是a，b，c，且，
∴．
∴b、c是两直角边，a是斜边，
∴．
故选：A．
【点睛】
本题考查勾股定理的逆定理．注意掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．
3．图中字母A所代表的正方形的面积为（ ）．
A．64 B．8 C．16 D．6
【答案】A
【提示】
根据勾股定理和正方形的性质即可得出结果．
【解答】
解：根据勾股定理以及正方形的面积公式知：
以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，
所以A=289-225=64．
故选：A．
【点睛】
本题考查了勾股定理，以及正方形的面积公式，勾股定理最大的贡献就是沟通“数”与“形”的关系，它的验证和利用都体现了数形结合的思想，即把图形的性质问题转化为数量关系的问题来解决．能否由实际的问题，联想到用勾股定理的知识来求解是本题的关键．
4．一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5cm，高为12cm，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4cm，问吸管要做（ ）cm．
A．13 B．16 C．17 D．14.5
【答案】C
【提示】
由于吸管、圆柱形杯内部底面直径与杯壁正好构成直角三角形，故可先利用勾股定理求出AC的长，进而可得出结论．
【解答】
解：如图，杯内的吸管部分长为AC，杯高AB=12cm，杯底直径BC=5cm；
Rt△ABC中，AB=12cm，BC=5cm；
由勾股定理得：AC==13（cm）；
故吸管的长度最少要：13+4=17（cm）．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．
5．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E，若DB=10cm，则CD的长为（ ）
A．5 B． C． D．10
【答案】B
【提示】
利用线段垂直平分线的性质求得AD=BD=10 cm，及∠ADC=30°，再利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理即可求解．
【解答】
解：∵AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E，
∴AD=BD=10 cm，∠DBA=∠BAD=15°，
∴∠ADC=30°，
∴AC=AD=5（cm），
CD=（cm）．
故选：B
【点睛】
本题考查了含30°角的直角三角形，勾股定理，解题的关键是：熟记含30°角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质及三角形的外角性质．
6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中“勾股”章有一题，大意是：已知矩形门的高比宽多6尺，门的对角线长10尺，那么门的高和宽各是多少？如果设门的宽为x尺．根据题意，所列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【提示】
根据勾股定理列出方程即可．
【解答】
解：设门的宽为x尺，所以门的高为尺，根据题意可得：
故选：C
【点睛】
本题考查了勾股定理的实际应用，正确应用勾股定理是解题关键．
7．如图，折叠长方形ABCD纸片，点D落在BC边的点F处（AE为折痕）．已知AB=8，BC=10，则EC等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【提示】
根据勾股定理求出BF的长；进而求出FC的长度；由题意得EF=DE；利用勾股定理列出关于EC的方程，解方程即可解决问题．
【解答】
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴DC=AB=8；∠B=∠C=90°；
由题意得：AF=AD=BC=10，
由勾股定理得：BF2=AF2-AB2=102-82，
∴BF=6，
∴CF=BC-BF=10-6=4；
设EF=DE=x，EC=8-x；
在Rt△EFC中，由勾股定理得：x2=42+（8-x）2，
解得：x=5，
∴EF=DE=5，
∴EC=CD-DE=8-5=3，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了翻折变换的性质、勾股定理；运用勾股定理得出方程是解决问题的关键．
8．如图，四边形ABCD中，AC、BD是对角线，△ABC是等边三角形，∠ADC＝30°，AD＝4，BD＝6，则CD的长为（ ）
A． B．5 C．2 D．
【答案】A
【提示】
将△BCD绕点C顺时针旋转60°得到△ACE，连接CE，DE，由旋转的性质知DC=EC、∠DCE=∠ACB=60°、BD=AE=6，即可得△DCE为等边三角形，根据∠ADC=30°得到∠ADE=90°，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】
解：如图所示，将△BCD绕点C顺时针旋转60°得到△ACE，连接CE，DE，
由旋转的性质知DC=EC，∠DCE=∠ACB=60°，BD=AE=6，
则△DCE为等边三角形，
∵∠ADC=30°，
∴∠ADE=90°，
∴AD2+DE2=AE2，
∴42+DE2=62，
∴DE=CD=2．
故选：A．
【点睛】
本题考查旋转变换，熟练掌握旋转变换的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
9．如图是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的正方形图案．已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，若用a、b表示直角三角形的两直角边（a＞b），则下列说法：①a2+b2=25，②a－b=1，③ab=12，④a+b=7．正确的是（　　）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【答案】D
【提示】
由大的正方形的边长为结合勾股定理可判断①，由小的正方形的边长为 结合小正方形的面积可判断②，再利用 结合可判断③，再由可判断④，从而可得答案.
【解答】
解：由题意得：大正方形的边长为
故①符合题意；
用a、b表示直角三角形的两直角边（a＞b），则小正方形的边长为：
则（负值不合题意舍去）故②符合题意；
而
故③符合题意；
（负值不合题意舍去）故④符合题意；
故选D
【点睛】
本题考查的是以勾股定理为背景的几何面积问题，同时考查了完全平方公式的应用，熟练的应用完全平方公式的变形求值是解本题的关键.
10．如图，在中，D、E分别是BC、AC的中点．已知，，则AB的长为（ ）
A．10 B． C． D．8
【答案】D
【提示】
设CD=x，CE=y，则AC=2y，BC=2x，根据勾股定理求出，，得到，再根据勾股定理求出AB即可．
【解答】
解：设CD=x，CE=y，则AC=2y，BC=2x，
∵，
∴在△BCE中，，
在△ACD中，，
∴，
解得，
∴在△ABC中，,
故选：D．
【点睛】
此题考查了勾股定理的应用，正确掌握勾股定理的计算公式及应用范围是解题的关键．
11．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝3，BC＝4，若D，E是边BC的两个“黄金分割”点，则△ADE的面积为（　　）
A．10﹣4 B．3﹣5 C． D．20﹣8
【答案】A
【提示】
过点A作AF⊥BC于点F，由题意易得，再根据点，是边的两个黄金分割点，可得，根据勾股定理可得，进而可得，然后根据三角形的面积计算公式进行求解．
【解答】
解：过点A作AF⊥BC于点F，如图所示：
∵，，
∴，
∴在Rt△AFB中，，
∵点，是边的两个黄金分割点，
∴，
∵，，
∴DF=EF，
∴，
∴；
故选：A
【点睛】
本题主要考查二次根式的运算、勾股定理及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握二次根式的运算、勾股定理及等腰三角形的性质与判定是解题的关键．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，BE平分∠ABD交AC于E，过点E作EH⊥BC于H交BD于点P，若EH＝4CH，S△EBC＝40，则线段PE长为（　　）
A．4 B．2 C．6 D．8
【答案】C
【提示】
过E作EG⊥AB于G，作EF平行BC，交AB与F，由EH＝4CH，EH⊥BC，根据勾股定理EC=，利用三角形面积可得4BC=,利用勾股定理CD=，设CD=m，BD=4m，可得AD=AC-CD=AC-m，利用勾股定理解得，根据角平分线性质EG=ED，可证Rt△BGE≌Rt△BDE（HL），可得BG=BD=4m，求出AG=AB-BG=，根据在Rt△AGE中，，解得，，解得，AF=AE=，再证△EGF≌△EDP（AAS），EF=EP，根据在Rt△EGF中，EP=EF=即可．
【解答】
解：过E作EG⊥AB于G，作EF平行BC，交AB与F，
∵EH＝4CH，EH⊥BC，
在Rt△EHC中，EC=，
∵，
∴4BC=，
∴CD=，
设CD=m，BD=4m，
∴AD=AC-CD=AC-m，
在Rt△ABD中即，
解得，
∵BE平分∠ABD交AC于E，BD⊥AC，EG⊥AB，
∴EG=ED，
在Rt△BGE和Rt△BDE中，
，
∴Rt△BGE≌Rt△BDE（HL），
∴BG=BD=4m，
∴AG=AB-BG=AC-BD=，
∵AE=AC-CD-ED=，
在Rt△AGE中，即，
解得，
∴EC=DE+CD=，
∴，
∴解得，
∴∠GFE=∠ABC，∠AEF=∠C，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∴∠GFE=∠C，
∴∠AFE=∠AEF，
∴AF=AE=，
∵BD⊥EC，EH⊥BC，
∴∠EPD=90°-∠PED=90°-∠HEC=∠C，
∴∠GFE=∠DPE，
在△EGF和△EDP中，
，
∴△EGF≌△EDP（AAS），
∴EF=EP，
∴GF=AF-AG=AE-AG=，
∴在Rt△EGF中，EP=EF=，
∴EP=．
故选择C．
【点睛】
本题考查等腰三角形判定与性质，三角形面积桥，勾股定理，三角形全等判定与性质，角平分线性质，本题难度大，条件分散，不易找到解题思路，仔细阅读题目，通过面积桥找到DB与DC的关系，再通过辅助线画出准确图形，实现条件转化是解题关键．
二、填空题
13．已知直角三角形两边长分别是6、8，则第三边长的值是________．
【答案】或10##10或
【提示】
本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即8是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．
【解答】
解：①当8是斜边时，第三边长＝＝2；
②当6和8是直角边时，第三边长＝＝10；
∴第三边的长为：2或10，能够组成三角形．
故答案为：2或10．
【点睛】
本题考查的是利用勾股定理求三角形的边长，在未明确斜边位置时，需分类讨论，最终还需根据三角形三边关系判断是否合理．
14．旗杆顶部垂下一根绳子，到达地面后仍余2米，小明将绳子拉直，在距离旗杆底4米处，绳子下端正好接触地面，则绳子长______米．
【答案】5
【提示】
设绳子长为米，则旗杆长为，在旗杆，底面与拉直的绳子形成的直角三角形中，由勾股定理得，计算求解即可．
【解答】
解：设绳子长为米，则旗杆长为
∴由题意知，由勾股定理得
解得
∴绳子的长为5米
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用．解题的关键在于在实际情境中构造直角三角形．
15．如图，在△ABC中，，AD平分，交BC于点D，若，，则BC的长度等于______．
【答案】6
【提示】
先计算出∠CAD=30°，利用含30度的直角三角形三边的关系得到AC=，再利用AD平分∠CAB得到∠BAD=∠CAD=30°，所以∠B=30°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求出BC．
【解答】
解：∵∠C=90°，∠ADC=60°，
∴∠CAD=30°，
∴，
∵AD平分∠CAB，
∴∠BAD=∠CAD=30°，
∴∠BAC=60°，
∴∠B=30°，
∴．
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质和含30度的直角三角形三边的关系，属于基础题，熟练掌握30°、60°、90°的直角三角形三边之比对应为是解题的关键．
16．古代著作《九章算术》中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，水深几何？如图，其大意是：有一个边长为 10尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的正中央，高出水面1尺．如果把该芦苇拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边，则水深______尺．
【答案】
【提示】
我们可以将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知的长为10尺，则尺，设出尺，表示出水深AC，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的水深．
【解答】
解：依题意画出图形，
设芦苇长尺，则水深尺，
∵尺，
∴尺，
在中，，解之得，
即水深12尺，故答案为：12．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理的应用，熟悉数形结合的解题思想是解题关键．
17．如图，Rt△ABC中，∠CAB＝90°，△ABD是等腰三角形，AB＝BD＝4，CB⊥BD，交AD于E，BE＝1，则AC＝_____．
【答案】
【提示】
根据等腰三角形的性质证明AC，BC，EC之间的关系，利用勾股定理列方程求解即可．
【解答】
∵AB=BD=4，
∴∠BAE=∠BDE，
又∵CB⊥BD，
∴∠DBE=∠CAB=90°，
∴∠DEB=90°－∠BDE，
∠CAE=90°－∠BAE，
∴∠CAE=∠DEB，
又∵∠CAE=∠DEB，
∴∠CAE=∠CEA，
∴AC=EC，
又∵BE=1，
∴BC=AC＋1，
在Rt△ABC中，有勾股定理可知：AC ＋AB =BC ，
∴AC ＋4 =（AC＋1） ，
∴AC=，
故答案为：．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质：等边对等角，勾股定理，能熟练掌握等腰三角形的性质是解决本题的关键．
18．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD对折，使它落在斜边AB上，且与AE重合，CD的长为______．
【答案】3cm
【提示】
由勾股定理求得AB=10cm，然后由翻折的性质求得BE=4cm，设DC=xcm，则BD=（8-x）cm，DE=xcm，在△BDE中，利用勾股定理列方程求解即可．
【解答】
解：∵在Rt△ABC中，两直角边AC=6cm，BC=8cm，
由折叠的性质可知：DC=DE，AC=AE=6cm，∠DEA=∠C=90°，
∴BE=AB-AE=10-6=4（cm ），∠DEB=90°，
设DC=xcm，则BD=（8-x）cm，DE=xcm，
在Rt△BED中，由勾股定理得：BE2+DE2=BD2，
即42+x2=（8-x）2，
解得：x=3．
故答案为3cm．
【点睛】
本题主要考查的是翻折变换以及勾股定理的应用，一元一次方程的解法，熟练掌握翻折的性质和勾股定理是解题的关键．
19．如图，在△DEF中，∠D＝90°，DG：GE＝1：3，GE＝GF，Q是EF上一动点，过点Q作QM⊥DE于M，QN⊥GF于N，，则QM+QN的长是___________．
【答案】4
【提示】
连接解直角三角形求出，再证明，即可解决问题．
【解答】
解：连接．
，
可以假设，，
，，
，，
，，
，
或（舍弃），
，
，
，
故答案为：4．
【点睛】
本题考查解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
20．课本第78页阅读材料《从勾股定理到图形面积关系的拓展》中有如下问题：如图①分别以直角三角形的三条边为边，向形外分别作正三角形，则图中的S1，S2，S3满足的数量关系是S1+S2=S3．现将△ABF向上翻折，如图②，已知S甲＝9，S乙＝8，S丙＝7，则△ABC的面积是______ ．
【答案】10
【提示】
设△ABC的面积为S，图②中2个白色图形的面积分别为a、b，则S甲+a+S乙+b=S丙+a+b+S，化简代入数值求解即可．
【解答】
解：设△ABC的面积为S，图②中2个白色图形的面积分别为a、b，
∵S1+S2=S3，
∴S甲+a+S乙+b=S丙+a+b+S，
∴S甲+S乙=S丙+S，
∴S=S甲+S乙-S丙=9+8-7=10．
故答案为：10．
【点睛】
本题考查的知识点是勾股定理的拓展知识，读懂题意，从图形中找出面积之间的关系是解题的关键．
三、解答题
21．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=20，BC=15，CD⊥AB于点D．求：
(1)的长；
(2)的长．
【答案】(1)CD的长是12；
(2)BD的长为9．
【提示】
（1）根据勾股定理求出AB的长，根据三角形的面积公式，代入计算即可求出CD的长；
（2）在Rt△BCD中，直接根据勾股定理可求出BD的长．
(1)
解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=15，AC=20，
由勾股定理可得，AB==25，
∵S△ABC=AC BC=AB CD，
∴AC BC=AB CD，
∵AC=20，BC=15，AB=25，
∴20×15=25CD，
∴CD=12，
∴CD的长是12；
(2)
解：∵CD⊥AB于点D，
∴∠CDB=90°，
在Rt△BCD中，∠CDB=90°，BC=15，CD=12，
由勾股定理可得，BD==9，
∴BD的长为9．
【点睛】
本题考查了勾股定理和三角形的面积公式，掌握直角三角形面积的不同表示方法及勾股定理的综合应用是本题的关键．
22．数学综合实验课上，同学们在测量学校的高度时发现：将旗杆顶端升旗用的绳子垂到地面还多2米；当把绳子的下端拉开拉直后，下端刚好接触地面，测得绳子的下端离开旗杆底端8米，如图，根据以上数据，同学们就可以准确求出了旗杆的高度，你知道他们是如何计算出来的吗
【答案】旗杆的高度为
【提示】
由题可知，旗杆，绳子与地面构成直角三角形，根据题中的数据，用勾股定理解答即可．
【解答】
解：设旗杆高米，则绳子长为米，
∵旗杆垂直于地面，
∴旗杆，绳子与地面构成直角三角形，
在中，，
∴，
解方程得：，
答：旗杆高度为15米．
【点睛】
本题考查的是勾股定理的应用，根据题意得出△ABC是直角三角形式解答此题的关键．
23．如图是一块地，已知AB=8m，BC=6m，∠B=90°，AD=26m，CD=24m，求这块地的面积．
【答案】96m2
【提示】
连接AC，根据勾股定理求AC，根据AC，AD，CD判定△ACD为直角三角形，根据直角三角形面积计算可以计算该草坪的面积．
【解答】
解：连接AC，
因为∠B＝90°，
所以，m，
∵AC＝10 m 又CD＝24 m ，AD＝26 m
∴AC2+CD2＝AD2
所以△ACD是直角三角形
所以S四边形ABCD＝﹣
S四边形ABCD＝﹣
＝120﹣24
＝96（m2）
答：该草坪的面积为96m2．
【点睛】
本题考查了勾股定理及逆定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形面积计算，本题中正确的根据勾股定理的逆定理判定△ACD是直角三角形是解题的关键．
24．某路段限速标志规定：小汽车在此路段上的行驶速度不得超过70 km/h，如图，一辆小汽车在该笔直路段l上行驶，某一时刻刚好行驶到路对面的车速检测仪A的正前方30 m的点C处，2s后小汽车行驶到点B处，测得此时小汽车与车速检测仪A间的距离为 50m．
(1)求BC的长．
(2)这辆小汽车超速了吗？并说明理由．
【答案】(1)40
(2)超速
【提示】
（1）首先结合题目中所给的数据，，，根据勾股定理求出BC的长；
（2）求出小汽车的时速与限定时速比较即可得出答案．
(1)
解：则根据题意可以得到，
根据勾股定理可得：
，
∴BC的长为40m.
(2)
解：∵该小汽车的速度为：，
，
这辆小汽车超速了．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理的应用，根据已知得出BC的长是解题关键．
25．定义：如图①．如果点D在的边上且满足．那么称点D为的“理根点”，如图②，在中，，如果点D是的“理想点”，连接．求的长．
【答案】.
【提示】
只要证明CD⊥AB即可解决问题．
【解答】
解：如图②中，
∵点D是△ABC的“理想点”，
∴∠ACD=∠B，
∵，
∴，
∴，
，
在Rt△ABC中，
，
∴BC= ，
∵,
．
【点睛】
本解考查了直角三角形判定和性质，理解新定义是解本题的关键．
26．阅读、操作与探究：小亮发现一种方法，可以借助某些直角三角形画矩形，使矩形邻边比的最简形式（如4：6的最简形式为2：3）为两个连续自然数的比，具体操作如下：如图1，RtABC中，BC，AC，AB的长分别为3，4，5，先以点B为圆心，线段BA的长为半径画弧，交CB的延长线于点D，再过D，A两点分别作AC，CD的平行线，交于点E．得到矩形ACDE，请仿照小亮的方法解决下列问题：
(1)则矩形ACDE的邻边比为 ．
(2)如图2，已知RtFGH中，GH：GF：FH＝5：12：13，请你在图2中画一个矩形，使所画矩形邻边比的最简形式为两个连续自然数的比，并写出这个比值；（需保留做图痕迹）
(3)若已知直角三角形的三边比为（2n+1）：（2n2+2n）：（2n2+2n+1）（n为正整数），则所画矩形（邻边比的最简形式为两个连续自然数的比）的邻边比为 ；
(4)若小亮所画的矩形的邻边比为3：4，那么他所借助的直角三角形的三边比为 ．
【答案】(1)1∶2
(2)作图见解析；2∶3；
(3)n∶n+1
(4)
【提示】
先作图，将旋转后的矩形作出来，通过图像可计算出矩形的边长，进而计算出邻边比，由此可以解决（1）（2）（3）问，（4）通过前三问可总结出规律，矩形的邻边比等于直角三角形较长的直角边比直角三角形最短的直角边与斜边之和，根据以上关系列方程可解决第４问．
(1)
解：如下图所示：
CD的长度为3＋5=8，
故矩形ACDE的邻边比为：AC∶CD=4∶8=1∶2，
故答案为：1∶2．
(2)
解：如上图所示，FK是由HF旋转得到的，设GH=5a，
∴GK=GH＋HK=5a＋13a=18a，
∴FG∶GK=12a∶18a=2∶3，
故比值为：2∶3．
(3)
解：矩形的长=（2n+1）+（2n2+2n+1）=2n2+4n+2，
矩形的宽=2n2+2n，
∴邻边比=（2n2+2n）∶（2n2+4n+2）=n∶n+1，
故答案为：n∶n+1．
(4)
由题可知，直角三角形直角边为3，设斜边为x，则另一条直角边为4－x．
由勾股定理可知： ，
解得： ，
所以直角三角形的三边比为：，
故答案为：．
【点睛】
本题考查直角三角形的性质，作图能力，列方程，以及分析，归纳，总结，应用的能力，能够快速总结出规律并正确的运用规律是解决本题的关键．
27．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D是AC上的一点，CD＝3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t，连接AP．
(1)当t＝3秒时，求AP的长度；
(2)当△ABP为等腰三角形时，求t的值；
(3)过点D作DE⊥AP于点E，连接PD，在点P的运动过程中，当PD平分∠APC时，直接写出t的值；
【答案】(1)AP=
(2)t=16秒或t=秒或t=5秒
(3)t=5秒或11秒
【提示】
（1）根据动点的运动速度和时间先求出PC，再根据勾股定理即可求解；
（2）根动点运动过程中形成三种等腰三角形，分情况即可求解；
（3）分两种情况：①点P在线段BC上时，过点D作DE⊥AP于E，先证△PDE≌△PDC，得出ED=CD=3，PE=PC=20-2t，再由勾股定理求出AE=4，则AP=20-2t，然后在Rt△APC中，由勾股定理得出方程，解方程即可；②点P在线段BC的延长线上时，过点D作DE⊥AP于E，同①得△PDE≌△PDC，得出ED=CD=3，PE=PC=2t-20，再由勾股定理得AE=4，则AP=2t-16，然后在Rt△APC中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
(1)
根据题意，得BP=2t，
∴PC=16-2t=16-2×3=10，
在Rt△APC中，AC=8，
根据勾股定理，得AP=．
答：AP的长为．
(2)
在Rt△ABC中，AC=8，BC=16，
根据勾股定理，得，
∵△ABP为等腰三角形，
若PA=PB，则AP=2t，
在Rt△ACP中，根据勾股定理得，（2t）2=（16-2t）2+82，解得t=5．
若BA=BP，则 2t=，解得t=；
若AB=AP，则BP=32，2t=32，解得t=16；
即满足条件的t的值为或16或5．
(3)
①点P在线段BC上时，过点D作DE⊥AP于E，如图1所示：
则∠AED=∠PED=90°，
∴∠PED=∠ACB=90°，
∵PD平分∠APC，
∴∠EPD=∠CPD，
又∵PD=PD，
∴△PDE≌△PDC（AAS），
∴ED=CD=3，PE=PC=16-2t，
∴AD=AC-CD=8-3=5，
∴AE=，
∴AP=AE+PE=4+16-2t=20-2t，
在Rt△APC中，由勾股定理得：82+（16-2t）2=（20-2t）2，
解得：t=5；
②点P在线段BC的延长线上时，过点D作DE⊥AP于E，如图2所示：
同①得：△PDE≌△PDC（AAS），
∴ED=CD=3，PE=PC=2t-20，
∴AD=AC-CD=8-3=5，
∴AE=，
∴AP=AE+PE=4+2t-16=2t-12，
在Rt△APC中，由勾股定理得：82+（2t-16）2=（2t-12）2，
解得：t=11；
综上所述，在点P的运动过程中，当t的值为5或11时，PD平分∠APC．
【点睛】
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质以及分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解本题的关键．
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专题02 勾股定理
一、单选题
1．木工师傅想利用木条制作一个直角三角形，那么下列各组数据不符合直角三角形的三边长的是（ ）
A．3，4，5 B．6，8，10 C．5，12，13 D．7，15，17
2．在中，，，的对边分别是a，b，c，且，则（ ）
A． B． C． D．不确定哪个角是直角
3．图中字母A所代表的正方形的面积为（ ）．
A．64 B．8 C．16 D．6
4．一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5cm，高为12cm，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4cm，问吸管要做（ ）cm．
A．13 B．16 C．17 D．14.5
5．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E，若DB=10cm，则CD的长为（ ）
A．5 B． C． D．10
6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中“勾股”章有一题，大意是：已知矩形门的高比宽多6尺，门的对角线长10尺，那么门的高和宽各是多少？如果设门的宽为x尺．根据题意，所列方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，折叠长方形ABCD纸片，点D落在BC边的点F处（AE为折痕）．已知AB=8，BC=10，则EC等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．如图，四边形ABCD中，AC、BD是对角线，△ABC是等边三角形，∠ADC＝30°，AD＝4，BD＝6，则CD的长为（ ）
A． B．5 C．2 D．
9．如图是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的正方形图案．已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，若用a、b表示直角三角形的两直角边（a＞b），则下列说法：①a2+b2=25，②a－b=1，③ab=12，④a+b=7．正确的是（　　）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
10．如图，在中，D、E分别是BC、AC的中点．已知，，则AB的长为（ ）
A．10 B． C． D．8
11．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝3，BC＝4，若D，E是边BC的两个“黄金分割”点，则△ADE的面积为（　　）
A．10﹣4 B．3﹣5 C． D．20﹣8
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，BE平分∠ABD交AC于E，过点E作EH⊥BC于H交BD于点P，若EH＝4CH，S△EBC＝40，则线段PE长为（　　）
A．4 B．2 C．6 D．8
二、填空题
13．已知直角三角形两边长分别是6、8，则第三边长的值是________．
14．旗杆顶部垂下一根绳子，到达地面后仍余2米，小明将绳子拉直，在距离旗杆底4米处，绳子下端正好接触地面，则绳子长______米．
15．如图，在△ABC中，，AD平分，交BC于点D，若，，则BC的长度等于______．
16．古代著作《九章算术》中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，水深几何？如图，其大意是：有一个边长为 10尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的正中央，高出水面1尺．如果把该芦苇拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边，则水深______尺．
17．如图，Rt△ABC中，∠CAB＝90°，△ABD是等腰三角形，AB＝BD＝4，CB⊥BD，交AD于E，BE＝1，则AC＝_____．
18．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD对折，使它落在斜边AB上，且与AE重合，CD的长为______．
19．如图，在△DEF中，∠D＝90°，DG：GE＝1：3，GE＝GF，Q是EF上一动点，过点Q作QM⊥DE于M，QN⊥GF于N，，则QM+QN的长是___________．
20．课本第78页阅读材料《从勾股定理到图形面积关系的拓展》中有如下问题：如图①分别以直角三角形的三条边为边，向形外分别作正三角形，则图中的S1，S2，S3满足的数量关系是S1+S2=S3．现将△ABF向上翻折，如图②，已知S甲＝9，S乙＝8，S丙＝7，则△ABC的面积是______ ．
三、解答题
21．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=20，BC=15，CD⊥AB于点D．求：
(1)的长；
(2)的长．
22．数学综合实验课上，同学们在测量学校的高度时发现：将旗杆顶端升旗用的绳子垂到地面还多2米；当把绳子的下端拉开拉直后，下端刚好接触地面，测得绳子的下端离开旗杆底端8米，如图，根据以上数据，同学们就可以准确求出了旗杆的高度，你知道他们是如何计算出来的吗
23．如图是一块地，已知AB=8m，BC=6m，∠B=90°，AD=26m，CD=24m，求这块地的面积．
24．某路段限速标志规定：小汽车在此路段上的行驶速度不得超过70 km/h，如图，一辆小汽车在该笔直路段l上行驶，某一时刻刚好行驶到路对面的车速检测仪A的正前方30 m的点C处，2s后小汽车行驶到点B处，测得此时小汽车与车速检测仪A间的距离为 50m．
(1)求BC的长．
(2)这辆小汽车超速了吗？并说明理由．
25．定义：如图①．如果点D在的边上且满足．那么称点D为的“理根点”，如图②，在中，，如果点D是的“理想点”，连接．求的长．
26．阅读、操作与探究：小亮发现一种方法，可以借助某些直角三角形画矩形，使矩形邻边比的最简形式（如4：6的最简形式为2：3）为两个连续自然数的比，具体操作如下：如图1，RtABC中，BC，AC，AB的长分别为3，4，5，先以点B为圆心，线段BA的长为半径画弧，交CB的延长线于点D，再过D，A两点分别作AC，CD的平行线，交于点E．得到矩形ACDE，请仿照小亮的方法解决下列问题：
(1)则矩形ACDE的邻边比为 ．
(2)如图2，已知RtFGH中，GH：GF：FH＝5：12：13，请你在图2中画一个矩形，使所画矩形邻边比的最简形式为两个连续自然数的比，并写出这个比值；（需保留做图痕迹）
(3)若已知直角三角形的三边比为（2n+1）：（2n2+2n）：（2n2+2n+1）（n为正整数），则所画矩形（邻边比的最简形式为两个连续自然数的比）的邻边比为 ；
(4)若小亮所画的矩形的邻边比为3：4，那么他所借助的直角三角形的三边比为 ．
27．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D是AC上的一点，CD＝3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t，连接AP．
(1)当t＝3秒时，求AP的长度；
(2)当△ABP为等腰三角形时，求t的值；
(3)过点D作DE⊥AP于点E，连接PD，在点P的运动过程中，当PD平分∠APC时，直接写出t的值；
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