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浙教版八年级数学下册单元测试（原卷版）
第二章 一元二次方程
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
本卷题型精选核心重难易错典题，具备举一反三之效，覆盖面积广，可充分考查学生双基综合能力！
一、单选题：本题共10个小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1．（2021·上海虹口·八年级期末）下列一元二次方程中，有一个根为0的方程是（　　）
A．x2﹣4＝0 B．x2﹣4x＝0 C．x2﹣4x+4＝0 D．x2﹣4x﹣4＝0
2．（2022·吉林·长春市第四十五中学八年级期末）将一元二次方程3x2﹣4＝5x化为一般形式后，其中二次项系数、一次项系数分别是（ ）
A．3，5 B．3，﹣5 C．﹣4，5 D．﹣4，﹣5
3．（2021·北京·八年级期末）已知b（b≠0）为方程x2+ax﹣b＝0的一个根，则下列正确的是（　　）
A．a+b＝1 B．a﹣b＝1 C．a+b＝﹣1 D．a﹣b＝﹣1
4．（2020·全国·八年级期末）下列各方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2021·上海普陀·八年级期末）下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的方程是（ ）
A．x2＝1 B．x2﹣2x＝1 C．x2＋2x＋2＝0 D．x2﹣2x＋1＝0
6．（2021·全国·八年级期末）若、是关于x的一元二次方程的两个实数根，，则必有（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·山东环翠·八年级期末）设、是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．0 B．2020 C．2021 D．2022
8．（2021·全国·八年级期末）在实数范围内分解因式2x2﹣8x+5正确的是（　　）
A．（x﹣）（x﹣） B．2（x﹣）（x﹣）
C．（2x﹣）（2x﹣） D．（2x﹣4﹣）（2x﹣4+）
9．（2021·浙江·杭州第十四中学附属学校八年级阶段练习）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．下列结论：①若关于x的方程x2+hx+2＝0是倍根方程，则h＝±3；②方程x2+2x﹣8＝0是倍根方程；③若关于x的方程（x﹣2）（mx+n）＝0（m≠0）是倍根方程，则4m2+5mn+n2＝0；④若q＝2p（p≠0），则关于x的方程px2﹣q＝0是倍根方程，其中正确的有（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
10．（2022·全国·八年级期中）小匡同学从市场上买一块长80cm、宽70cm的矩形铁皮，准备制作一个工具箱．如图，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长xcm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为3000的无盖长方形工具箱，根据题意列方程为（ ）【出处：21教育名师】
A． B．
C． D．
二、填空题：本题共8个小题，每题3分，共24分。
11．（2021·浙江·杭州第十四中学附属学校八年级阶段练习）若关于x的方程+3x+5＝0是一元二次方程，则m＝___．
12．（2022·上海徐汇·八年级期末）已知0是关于的一元二次方程的一个实数根，则=______．
13．（2021·上海杨浦·八年级期中）已知关于x的一元二次方程（m﹣3）x2﹣3x+m2＝9的常数项为0，则m的值为 ___．
14．（2021·上海民办行知二中实验学校八年级期中）已知p、q是实数，有且只有三个不同的x值满足方程|x2+px+q|＝2，则q的最小值 ___．
15．（2021·江西·景德镇一中八年级期中）已知，是方程的两个实数根，则________
16．（2021·上海市蒙山中学八年级期中）若关于x的一元二次方程有一个根是0，则另一个根是 ___．
17．（2021·上海虹口·八年级期末）某旅游景点6月份共接待游客64万人次，暑期放假学生旅游人数猛增，且每月的增长率相同，8月份共接待游客81万人次，如果每月的增长率都为x，则根据题意可列方程 _____．
18．（2021·辽宁凌源·八年级期末）由四个全等的直角三角形组成如图所示的“赵爽弦图”，若直角三角形两直角边边长的和为3，面积为1，则图中阴影部分的面积为____________ ．
三、解答题：本题共7个小题，19-23每题7分，24小题9分，25每题12分，共56分。
19．（2021·全国·八年级期中）用适当方法求解如下关于x的一元二次方程：
(1)x2+2x+1＝4； (2)x2+10x+16＝0； (3)．
20．（2021·山东芝罘·八年级期末）已知关于的一元二次方程．
（1）若方程有两个相等的实数根，求的值；
（2）若方程的两实数根之积等于，求的值．
21．（2021·上海市奉贤区汇贤中学八年级期中）某单位组织员工前往九棵树艺术中心欣赏上海说唱《金铃塔》的表演．表演前，主办方工作人员准备利用26米长的墙为一边，用48米隔栏绳为另三边，设立一个面积为300平方米的长方形等候区，如图，为了方便群众进出，在两边空出两个各为1米的出入口（出入口不用隔栏绳）．假设这个长方形平行于墙的一边为长，垂直于墙的一边为宽，那么围成的这个长方形的长与宽分别是多少米呢？
22．（2022·云南·昆明市第三中学八年级期末）如图，我区荷兰花海景区东北角有一块长为60米，宽为50米的矩形荒地，地方政府准备在此扩建一个新品种花卉观光区，其中阴影部分为观览通道，通道的宽度均相等，中间的三个矩形（其中三个矩形的一边长均为a米）区域将种植新品种花卉．
（1）设观览通道的宽度为x米，则a＝　 　（用含x的代数式表示）；
（2）若新品种花卉总占地面积为2430平方米．请求出观览通道的宽度为多少米？
23．（2021·浙江余姚·八年级期末）杨梅是我市特产水果之一，素有“初疑一颗值千金”之美誉！某杨梅园的杨梅除了直接销售到市区外，还可以让市民去园区采摘．已知杨梅在市区和园区的销售价格分别是10元/千克和15元/千克，该杨梅园今年六月第一周一共销售了1000千克，销售收入12000元．
（1）该杨梅园今年六月第一周市区和园区分别销售了多少千克杨梅？
（2）为了促销，该杨梅园决定六月第二周将市区和园区销售价格均降低a（a＞0）元，预计市区和园区的销量将分别比第一周增加20a%和50%，设销售总额为w元，求w关于a的函数表达式；（不需要写出a的取值范围）
（3）在（2）的条件下，若预计该杨梅园第二周销售收入为14520元，求a的值．
24．（2021·浙江苍南·八年级期末）用总长的木板制作矩形置物架（如图），已知该置物架上面部分为正方形，下面部分是两个全等的矩形和矩形，中间部分为矩形．已知，设正方形的边长
（1）当时，的长为______．
（2）置物架的高的长为 （用含的代数式表示）．
（3）为了便于置放物品，的高度不小于，若矩形的面积为，求的值．
25．（2021·上海市建平实验中学八年级期末）阅读理解：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程的两个根分别是，，那么，．以上定理称为韦达定理
例如：已知方程的两根分别为，，
则：，
请阅读后，运用韦达定理完成以下问题：
（1）已知方程的两根分别为，，求和的值．
（2）已知方程的两根分别为，，求的值．
（3）当取何值时，关于的一元二次方程的两个实数根互为倒数
浙教版八年级数学下册单元测试（解析版）
第二章 一元二次方程
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
本卷题型精选核心重难易错典题，具备举一反三之效，覆盖面积广，可充分考查学生双基综合能力！
一、单选题：本题共10个小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。www.21-cn-jy.com
1．（2021·上海虹口·八年级期末）下列一元二次方程中，有一个根为0的方程是（　　）
A．x2﹣4＝0 B．x2﹣4x＝0 C．x2﹣4x+4＝0 D．x2﹣4x﹣4＝0
【答案】B
【分析】根据方程根的定义，将x＝0代入方程使得左右两边相等的即可确定正确的选项．
【详解】解：A.当x＝0时，02﹣4＝﹣4≠0，故错误，不符合题意；B.当x＝0时，02﹣0＝0，故正确，符合题意；C.当x＝0时，02﹣0+4＝4≠0，故错误，不符合题意；D.当x＝0时，02﹣0﹣4＝﹣4≠0，故错误，不符合题意．故选：B
【点睛】本题考查了一元二次方程方程解的定义，熟知方程的解的定义是解题关键，注意一元二次方程的解又叫做一元二次方程的根．
2．（2022·吉林·长春市第四十五中学八年级期末）将一元二次方程3x2﹣4＝5x化为一般形式后，其中二次项系数、一次项系数分别是（ ）
A．3，5 B．3，﹣5 C．﹣4，5 D．﹣4，﹣5
【答案】B
【分析】将一元二次方程转化为一般形式，然后求解．
【详解】解：将一元二次方程3x2﹣4＝5x化为一般形式为
则二次项系数为，一次项系数为
故选B
【点睛】本题考查的知识点是二元一次方程的一般形式，解题关键是熟记其一般形式为．
3．（2021·北京·八年级期末）已知b（b≠0）为方程x2+ax﹣b＝0的一个根，则下列正确的是（　　）
A．a+b＝1 B．a﹣b＝1 C．a+b＝﹣1 D．a﹣b＝﹣1
【答案】A
【分析】根据一元二次方程解的定义，将 代入方程，然后方程两边同时除以 ，即可求解．
【详解】解：∵b为方程x2+ax﹣b＝0的一个根，
∴ ，
∵b≠0，
∴ ，即．
故选：A
【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义，熟练掌握使方程左右两边同时成立的未知数的值是解题的关键．【版权所有：21教育】
4．（2020·全国·八年级期末）下列各方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义逐项分析判断即可
【详解】解：A、含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；B、当时，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；C、是一元二次方程，故此选项符合题意；D、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，掌握定义是解题的关键．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
5．（2021·上海普陀·八年级期末）下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的方程是（ ）
A．x2＝1 B．x2﹣2x＝1 C．x2＋2x＋2＝0 D．x2﹣2x＋1＝0
【答案】D
【分析】先把四个方程化为一般式，再计算各方程的根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义进行判断．
【详解】解：．，△，方程有两个不相等的实数根，不符合题意；．，△，方程有两个不相等的实数根，不符合题意；．，△，方程没有实数根，不符合题意；．，△—，方程有两个相等的实数根，符合题意．故选：D．
【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与△有如下关系，当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根．
6．（2021·全国·八年级期末）若、是关于x的一元二次方程的两个实数根，，则必有（ ）21*cnjy*com
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据根与系数的关系计算x1+x2，x1 x2的值，再根据，得出x1+x2＜0，从而得出m和n的范围；
【详解】解：∵
∵
∵x1，x2是一元二次方程的两个实数根，
∴x1+x2=m-1，x1 x2=n-2，
∵，
∴，，
∴x1+x2=m-1＜0，x2＜0，
∴m＜1，x1 x2＞0，
∴n-2＞0，
∴n＞2，
故选：C
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，．21·世纪*教育网
7．（2021·山东环翠·八年级期末）设、是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．0 B．2020 C．2021 D．2022
【答案】B
【分析】由于m、n是方程x2+x-2021=0的两个实数根，根据根与系数的关系可以得到m+n=-1，并且m2+m-2021=0，然后把m2+2m+n可以变为m2+m+m+n，把前面的值代入即可求出结果．
【详解】解：∵m、n是方程x2+x-2021=0的两个实数根，
∴m+n=-1，且m2+m-2021=0，
∴m2+m=2021，
∴m2+2m+n=m2+m+m+n=2021-1=2020．
故选B．
【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，代数式求值，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．21教育名师原创作品
8．（2021·全国·八年级期末）在实数范围内分解因式2x2﹣8x+5正确的是（　　）
A．（x﹣）（x﹣） B．2（x﹣）（x﹣）
C．（2x﹣）（2x﹣） D．（2x﹣4﹣）（2x﹣4+）
【答案】B
【分析】解出方程2x2-8x+5=0的根，从而可以得到答案．
【详解】解：∵方程2x2-8x+5=0中，a=2，b=-8，c=5，
∴Δ=（-8）2-4×2×5=64-40=24＞0，
∴x=，
∴2x2-8x+5=2（x﹣）（x﹣），
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，实数范围内分解因式，求出一元二次方程的根是解题的关键．
9．（2021·浙江·杭州第十四中学附属学校八年级阶段练习）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．下列结论：①若关于x的方程x2+hx+2＝0是倍根方程，则h＝±3；②方程x2+2x﹣8＝0是倍根方程；③若关于x的方程（x﹣2）（mx+n）＝0（m≠0）是倍根方程，则4m2+5mn+n2＝0；④若q＝2p（p≠0），则关于x的方程px2﹣q＝0是倍根方程，其中正确的有（　　）21*cnjy*com
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
【答案】B
【分析】①设x2=2x1，得到x1 x2=2x12=2，得到当x1=1时，x2=2，当x1=-1时，x2=-2，于是得到结论；②通过解方程得到该方程的根，结合“倍根方程”的定义进行判断；③根据“倍根方程”的定义即可得到结论；④求出关于x的方程px2﹣q＝0的两个根，即可判断．
【详解】解：①关于x的方程x2+hx+2＝0是倍根方程，
∴设x2=2x1，
∴x1 x2=2x12=2，
∴x1=±1，
当x1=1时，x2=2，
当x1=-1时，x2=-2，
∴x1+x2=-h=±3，
∴h=±3，故①正确；
②由x2+2x﹣8＝0，得
（x+4）（x-2）=0，
解得x1=-4，x2=2，
∵x1≠2x2或x2≠2x1，
∴方程x2+2x﹣8＝0不是倍根方程．
故②错误；
③关于x的方程（x﹣2）（mx+n）＝0（m≠0）的解为：x1=2，x2=，
若关于x的方程（x﹣2）（mx+n）＝0（m≠0）是倍根方程，则=1或=4，
∴m+n=0或4m+n=0，即：（m+n）（4m+n）=0，
∴4m2+5mn+n2＝0，故③正确；
④若q＝2p（p≠0），则关于x的方程px2﹣q＝0，可变形为：px2﹣2p＝0，
∴x2=2，解得：x=，故④错误．
故选B．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，正确的理解倍根方程的定义是解题的关键．
10．（2022·全国·八年级期中）小匡同学从市场上买一块长80cm、宽70cm的矩形铁皮，准备制作一个工具箱．如图，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长xcm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为3000的无盖长方形工具箱，根据题意列方程为（ ）www-2-1-cnjy-com
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意可知：裁剪后的底面的长为cm，宽为cm，从而根据底面积可以列出相应的方程即可．
【详解】解：由题意可得，裁剪后的底面的长为cm，宽为cm，
∴，
故选：C．
【点睛】题目主要考查一元二次方程的应用，理解题意，根据面积列出方程是解题关键．
二、填空题：本题共8个小题，每题3分，共24分。
11．（2021·浙江·杭州第十四中学附属学校八年级阶段练习）若关于x的方程+3x+5＝0是一元二次方程，则m＝___．
【答案】-2
【分析】根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可．
【详解】解：依题意可得m-2≠0，m2-2=2
解得m=-2
故答案为：-2．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．2·1·c·n·j·y
12．（2022·上海徐汇·八年级期末）已知0是关于的一元二次方程的一个实数根，则=______．
【答案】-1
【分析】根据一元二次方程的二次项系数不等于零可得，由0是一元二次方程方程的解，把，代入方程可得，进而即可解得的值．
【详解】解：∵0是关于的一元二次方程的一个实数根，
∴，且，
∴，
故应填-1．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程中的字母求值问题．
13．（2021·上海杨浦·八年级期中）已知关于x的一元二次方程（m﹣3）x2﹣3x+m2＝9的常数项为0，则m的值为 ___．21·cn·jy·com
【答案】-3
【分析】根据题意可得： 且 ，即可求解．
【详解】解：将一元二次方程（m﹣3）x2﹣3x+m2＝9整理得：
（m﹣3）x2﹣3x+m2-9=0，
∵关于x的一元二次方程（m﹣3）x2﹣3x+m2＝9的常数项为0，
∴ 且 ，
解得： ．
故答案为：-3
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义和一般式，熟练掌握一元二次方程的一般式 是解题的关键．
14．（2021·上海民办行知二中实验学校八年级期中）已知p、q是实数，有且只有三个不同的x值满足方程|x2+px+q|＝2，则q的最小值 ___．
【答案】-2
【分析】根据题意由方程|x2+px+q|=2得到x2+px+q-2=0，x2+px+q+2=0，根据判别式得到Δ1=p2-4q+8，Δ2=p2-4q-8，依此可Δ2=0，Δ1=16，可得p2-4q-8=0，依此可求q的最小值．
【详解】解：∵|x2+px+q|=2，
∴x2+px+q-2=0①，
x2+px+q+2=0②，
∴Δ1=p2-4q+8，
Δ2=p2-4q-8，
∴Δ1＞Δ2，
∵有且只有三个不同的x值满足方程|x2+px+q|=2，
∴Δ2=0，Δ1=16，
∴p2-4q-8=0，
∴q=p2-2，
当p=0时，q的最小值-2．
故答案为：-2．
【点睛】本题考查一元二次方程的解以及根的判别式，根据题意由根的判别式得到p2-4q-8=0是解题的关键．【来源：21·世纪·教育·网】
15．（2021·江西·景德镇一中八年级期中）已知，是方程的两个实数根，则________
【答案】
【分析】，是方程的两个实数根，可得 再把降次化为，从而可得答案.
【详解】解： ，是方程的两个实数根，
故答案为：
【点睛】本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程解的含义，掌握“利用一元二次方程的解把代数式进行降次”是解题的关键.【来源：21cnj*y.co*m】
16．（2021·上海市蒙山中学八年级期中）若关于x的一元二次方程有一个根是0，则另一个根是 ___．
【答案】####
【分析】先把代入方程得到满足条件的的值为，此时方程化为，设方程的另一个根为，利用根与系数的关系得到，然后求出即可．
【详解】解：把代入方程，
解得：，
此时方程化为，
设方程的另一个根为，则，解得，
所以方程的另一个根为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是掌握若，是一元二次方程的两根时，，．
17．（2021·上海虹口·八年级期末）某旅游景点6月份共接待游客64万人次，暑期放假学生旅游人数猛增，且每月的增长率相同，8月份共接待游客81万人次，如果每月的增长率都为x，则根据题意可列方程 _____．
【答案】64（1+x）2＝81
【分析】如果每月的增长率都为x，根据某旅游景点6月份共接待游客64万人次，则7月份接待游客64（1+x）万人次，8月份共接待游客64（1+x）2万人次，根据题意可列出方程．
【详解】解：设每月的增长率都为x，列方程得
64（1+x）2＝81．
故答案为：64（1+x）2＝81．
【点睛】本题考查了增长率问题，理解题意，用含x式子表示出8月份游客人次是解题关键．
18．（2021·辽宁凌源·八年级期末）由四个全等的直角三角形组成如图所示的“赵爽弦图”，若直角三角形两直角边边长的和为3，面积为1，则图中阴影部分的面积为____________ ．
【答案】1
【分析】设直角三角形的一条直角边长为，则另一条直角边长为，由题意列方程，求出两直角边长，根据勾股定理求出斜边长。由阴影部分的面积＝大正方形的面积 4个小直角三角形的面积，代入数值计算即可．
【详解】解：设直角三角形的一条直角边长为，则另一条直角边长为，
则由题意可得，，
整理可得，，
解可得或，即直角三角形的两直角边长分别为2，1，
∴直角三角形的斜边长为，
∴．
故答案为：1．
【点睛】本题考查勾股定理，一元二次方程的应用，解题的关键是利用勾股定理求出直角三角形的斜边长．
三、解答题：本题共7个小题，19-23每题7分，24小题9分，25每题12分，共56分。
19．（2021·全国·八年级期中）用适当方法求解如下关于x的一元二次方程：
(1)x2+2x+1＝4；
(2)x2+10x+16＝0；
(3)．
【答案】(1)x1=1，x2=-3；(2)x1=-2，x2=-8；(3)x1=，x2=
【分析】
（1）方程利用因式分解法求解；
（2）方程利用因式分解法求解；
（3）方程利用公式法求解．
【详解】解：（1）解：，
∴，
∴，
解得：x1=1，x2=-3；
（2），
∴，
解得：x1=-2，x2=-8；
（3），
∴a=1，b=，c=，
∴，
∴x=，
解得：x1=，x2=．
【点睛】本题考查的是解一元二次方程，对本题的方程选择适当的解题方法．
20．（2021·山东芝罘·八年级期末）已知关于的一元二次方程．
（1）若方程有两个相等的实数根，求的值；
（2）若方程的两实数根之积等于，求的值．
【答案】（1）或；（2）
【分析】
（1）由方程有两个相等的实数根可得判别式△=0，解方程即可确定m的值；
（2）根据根与系数的关系来求解m的值，进而求解即可．
【详解】解：（1）依题意得，
即，
解得：或；
（2）∵方程的两实数根之积等于，
∴，即，
解得：或，
∵当时，方程为，没有实数根，故舍去，
∴，
故．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、一元二次方程的根与系数关系、解一元二次方程、算术平方根，熟练掌握一元二次方程的判别式、一元二次方程的根与系数关系是解答的关键．21世纪教育网版权所有
21．（2021·上海市奉贤区汇贤中学八年级期中）某单位组织员工前往九棵树艺术中心欣赏上海说唱《金铃塔》的表演．表演前，主办方工作人员准备利用26米长的墙为一边，用48米隔栏绳为另三边，设立一个面积为300平方米的长方形等候区，如图，为了方便群众进出，在两边空出两个各为1米的出入口（出入口不用隔栏绳）．假设这个长方形平行于墙的一边为长，垂直于墙的一边为宽，那么围成的这个长方形的长与宽分别是多少米呢？
【答案】长方形的长为20米，宽为15米
【分析】设这个长方形的长为x米，则宽为，然后根据长方形的面积是300平方米列出方程求解即可得到答案．
【详解】解：设这个长方形的长为x米，则宽为，
由题意得：即，
解得或，
∵平行于墙的一边为长，墙长为26米，
∴长方形的长不能超过26米，
∴，
∴，
∴长方形的长为20米，宽为15米．
答：长方形的长为20米，宽为15米．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键在于能够根据题意列出方程进行求解．
22．（2022·云南·昆明市第三中学八年级期末）如图，我区荷兰花海景区东北角有一块长为60米，宽为50米的矩形荒地，地方政府准备在此扩建一个新品种花卉观光区，其中阴影部分为观览通道，通道的宽度均相等，中间的三个矩形（其中三个矩形的一边长均为a米）区域将种植新品种花卉．2-1-c-n-j-y
（1）设观览通道的宽度为x米，则a＝　 　（用含x的代数式表示）；
（2）若新品种花卉总占地面积为2430平方米．请求出观览通道的宽度为多少米？
【答案】（1）；（2）通道的宽度为2米
【分析】
（1）设通道的宽度为x米，表示出a即可；
（2）根据矩形面积-通道面积=新品种花卉面积，列出关于x的方程，求这个方程的解即可得出答案．
【详解】解：（1）设通道的宽度为x米，
则，解得，
故答案为：；
（2）根据题意，，
解得：（不合题意，舍去）．
答：通道的宽度为2米．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，弄清题意是解决本题的关键．
23．（2021·浙江余姚·八年级期末）杨梅是我市特产水果之一，素有“初疑一颗值千金”之美誉！某杨梅园的杨梅除了直接销售到市区外，还可以让市民去园区采摘．已知杨梅在市区和园区的销售价格分别是10元/千克和15元/千克，该杨梅园今年六月第一周一共销售了1000千克，销售收入12000元．21教育网
（1）该杨梅园今年六月第一周市区和园区分别销售了多少千克杨梅？
（2）为了促销，该杨梅园决定六月第二周将市区和园区销售价格均降低a（a＞0）元，预计市区和园区的销量将分别比第一周增加20a%和50%，设销售总额为w元，求w关于a的函数表达式；（不需要写出a的取值范围）
（3）在（2）的条件下，若预计该杨梅园第二周销售收入为14520元，求a的值．
【答案】（1）市区销售600千克，园区销售400千克；（2）；（3）
【分析】
（1）设在市区销售了x千克，则在园区销售了（1000-x）千克，根据等量关系：销售收入12000元列出方程求解即可；
（2）根据销售总额=市区销售收入+园区销售收入，可得函数关系式；
（3）根据（2）求得的函数表达式列出方程求解即可．
【详解】解：（1）设在市区销售了x千克，则在园区销售了（1000-x）千克，则
10x+15（1000-x）=12000，
解得x=600，
1000-x=400（千克）．
答：该杨梅园今年六月第一周市区销售了600千克，在园区销售了400千克；
（2）w=600×（10-a）×（1+20a%）+400×（15-a）×（1+50%）
=6000+1200a-600a-120a2+9000-600a
=-120a2+15000；
（3）由题意得：-120a2+15000=14520，
解得：a=±2，
∵a＞0．
∴a的值为2．
【点睛】本题考查了求函数关系式、一元二次方程的应用．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．
24．（2021·浙江苍南·八年级期末）用总长的木板制作矩形置物架（如图），已知该置物架上面部分为正方形，下面部分是两个全等的矩形和矩形，中间部分为矩形．已知，设正方形的边长
（1）当时，的长为______．
（2）置物架的高的长为 （用含的代数式表示）．
（3）为了便于置放物品，的高度不小于，若矩形的面积为，求的值．
【答案】（1）35；（2）；（3）75
【分析】
（1）根据矩形和正方形的性质直接计算即可；
（2）根据矩形和正方形的性质直接列式即可；
（3）结合（2）列出方程，解方程即可．
【详解】解：（1）当时，则，，
（cm）
故答案为：35；
（2）置物架的高的长为（cm），
故答案为：；
（3）根据题意，由（2）得，，解得，，，
当时，的长为150cm，的高度为150-85-60=5（cm），小于26cm，舍去；
当时，的长为170cm，的高度为170-75-60=35（cm），不小于26cm，符合题意．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是准确把握题意，列出一元二次方程．
25．（2021·上海市建平实验中学八年级期末）阅读理解：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程的两个根分别是，，那么，．以上定理称为韦达定理21cnjy.com
例如：已知方程的两根分别为，，
则：，
请阅读后，运用韦达定理完成以下问题：
（1）已知方程的两根分别为，，求和的值．
（2）已知方程的两根分别为，，求的值．
（3）当取何值时，关于的一元二次方程的两个实数根互为倒数
【答案】（1），；（2）；（3）k=2或-2．
【分析】
（1）分别利用一元二次方程根与系数的关系求解即可．
（2）先把所求的代数式变形为含有x1+x2和x1x2的形式，然后利用根与系数的关系进行解答．
（3）根据方程两个实数根互为倒数，得到两根之积为1，利用根与系数的关系求出k的值，再将k值代入原方程，利用根的判别式验证方程是否有解，由此即可确定a值．
【详解】解：（1）方程的两根分别为，，
∴，；
（2）方程的两根分别为，，
∴，，
∴；
（3）设方程的两根为x1，x2，
∵关于x的一元二次方程的两个实数根互为倒数，
∴x1 x2==1，
∴k2=4，
∴k=2或-2，
当k=-2时，原方程变形为3x2+10x+3=0，Δ=100-36=64>0，此方程有实数根，
当k=2时，原方程变形为3x2-14x+3=0，Δ=196-36=160>0，此方程有实数根，
∴k=2或-2．
【点睛】本题主要考查了根与系数的关系及根的判别式．熟练掌握，中a、b、c所表示的意义是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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