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11.1余弦定理知识点及题型归纳
一、知识点
（一）.余弦定理及其证明
余弦定理 三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.即：
余弦定理的变形公式：
余弦定理的推导：
已知：中，AB=c，AC=b及角A，求角A的对应边a.
证明：
方法一：向量法
（1）锐角中（如图），
因为，
所以
所以
同理可得：,
【要点诠释】：
（1）钝角三角形情况与锐角三角形相同.
（2）对于直角三角形中时，,，满足余弦定理,勾股定理是余弦定理的特例.
（3）用向量的加法证明时，注意向量的夹角.
方法二：几何法
（1）当为锐角三角形时
如图，作边上的高
根据勾股定理有：，，
因为中，，
所以
=
即：.
（2）当为钝角三角形且C为钝角时,
如图，作边上的高,
根据勾股定理有：，.
因为中，，
所以
即：仍然成立.
（3）在直角中，当时，, ，也满足余弦定理.
方法三：解析几何方法
这里我们只讨论锐角三角形的情形，对于直角三角形和钝角三角形的情形的讨论相同.
如图所示建立坐标系.则点，，
由、两点间的距离可知，
即
整理得到.
（二）、利用余弦定理解三角形
求解三角形的两种题型
已知三边，求三角；
已知两边及一角，求第三边和其它角，存在两种情况：
①已知两边及其中一边的对角，可利用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用方程的思想求得第三边，再求出其它角，可免去判断取舍的麻烦，
②已知两边及其夹角，直接利用余弦定理求出第三边，然后应用正弦定理求出另两角.
2、判断三角形形状
有两条思考路线：其一是化边为角，再进行三角恒等变换，求出三个角之间的关系式；其二是化角为边，再进行代数恒等变换，求出三条边之间的关系式，两种转化时会用到正弦定理.
二、典型例题
类型一：余弦定理的简单应用
【例1】 在中，角所对的三边长分别为，若，求中最大的角．
【思路点拨】已知三角形三边或三边的比例，一般首先考虑用余弦定理.
【解析】：设，，，，边c对应的角最大
根据余弦定理得：，
因为，所以
【变式1】
在中，若，则角等于（ ）.
A. B. C. D. 或
【解析】：因为，所以
因为，所以.
【变式2】
若钝角△ABC的三边长分别为，，，求实数a的取值范围．
【思路点拨】　首先，，需满足构成三角形的条件，其次要满足对应的角为钝角．
【解析】：由题意知，是三角形的最大边，
故，即解得.
【变式3】
用余弦定理证明：在△ABC中，；；.
类型二：判断三角形的形状
【例3】在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且，试确定△ABC的形状．
【解析】：因为，
所以，
所以2abcos C＝ab，所以cos C＝，所以C＝.
由，
所以，
所以sin(A－B)＝0，
所以A＝B，
所以，
所以△ABC为等边三角形．
【变式1】
在△ABC中，，试确定此三角形的形状．
【解答】：由以及余弦定理得，
得，整理得，，
所以 或，所以a=b或.
当a＝b时，△ABC为等腰三角形；
当时，△ABC为直角三角形．
所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．
类型四：在几何中的应用
【例4】 已知 AM是△ABC中BC边上的中线，求证：.
法一 证：设，则
在△ABM中，由余弦定理，得.
在△ACM中，由余弦定理，得.
因为
所以
因此.
法二：在△ABC中，由余弦定理得，,
在△ABM中，由余弦定理得，,
因为,所以.
【总结升华】
两角互补，则两角的正弦值相等，余弦值互为相反数，在解题时用一个角的余弦替换另一
个角的余弦，从而可以求值或抵消.
【变式1】
如图，已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2,BC=6,AD=CD=4,求四边形ABCD的面积.
【解答】:连接BD,
因为四边形ABCD内接于圆，所以A+C=180°，
所以,
在ABD中，由余弦定理得，,
在BCD中，由余弦定理得，,
所以20-16cosA=52-48cosC,即3cosC-cosA=2,
所以得,则,
所以.
【变式2】
用余弦定理证明：平行四边形的对角线的平方和等于四边的平方的和.（证明略）
三、巩固练习
1．△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2（1﹣sinA），则A＝（　　）
A． B． C． D．
2．在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知，且a2﹣c2＝2b，则b＝（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
3. 在△ABC中，已知a＝2，则的值为(　　)
A．1 B. C．2 D．4
4．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且cos2，则△ABC是（　　）
A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形
C．正三角形 D．等腰直角三角形
5．在△ABC中，a∶b∶c＝3∶2∶4，则cos C的值为(　　)
A. B． C． D.
6.在△ABC中，BC＝2，AB＝4，cos C＝－，则AC的值为_______.
7．中，角所对的边分别为．若，则边 .
8．在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知sinAcosC＝3cosAsinC且a2﹣c2＝2b，则b＝_________.
9.在△ABC中，cos ＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝ .
10．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为 .
11．已知分别为三个内角的对边且，则=____
12．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则 .
13．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b+c＝acosB+acosC，则A＝ .
14．在中，角，，的对边分别为，，，若，则________.
15．设的内角，，所对的边分别为，，，若，且，则 三角形
16．若，且，那么是 三角形
17．四边形中，，，，，，则的长为______
18．如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，则BD的长为______．
19.．要测量电视塔AB的高度，在C点测得塔顶的仰角是45°，在D点测得塔顶的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD=120°，CD=40m，则电视塔的高度是 .
答案与解析：
1.【解答】：因为b＝c，所以a2＝b2+c2﹣2bccosA＝2b2﹣2b2cosA＝2b2（1﹣cosA），
因为a2＝2b2（1﹣sinA），所以1﹣cosA＝1﹣sinA，则sinA＝cosA，即tanA＝1，即A，故选：C．
2.【解答】：，即为3ccosA＝acosC，即有3c a ，即有a2﹣c2b2，
又a2﹣c2＝2b，则2bb2，解得b＝4．故选：A．
3.【解析】：由余弦定理的推论，得bcos C＋ccos B＝b×＋c×＝＝a＝2.答案：C.
4.【解答】：因为cos2，2cos21＝cosA，所以cosA，所以△ABC是直角三角形．故选：A．
5.【解析】：由a∶b∶c＝3∶2∶4，令a＝3x，则b＝2x，c＝4x(x>0)，
根据余弦定理得，＝＝－.答案：C
6.【解析】：△ABC中，a＝BC＝2，c＝AB＝4，cos C＝－，所以c2＝a2＋b2－2abcos C，即16＝4＋b2－4b×，化简得b2＋b－12＝0，解得b＝3或b＝－4(不合题意，舍去)，所以b＝AC＝3.
7.【解析】：，即，解得或（舍去）．
8.【解答】：因为sinAcosC＝3cosAsinC，所以a3c，所以2c2＝2a2﹣b2，
因为a2﹣c2＝2b，所以b2＝4b，因为b≠0，所以b＝4．故答案为：4．
9.【解析】：不妨设为直角三角形，，则，设三边增加的长度为，则新三角形的三边长度分别为，则，而，所以，因此新三角形为锐角三角形.
10.【解析】：因为cos C＝2cos2－1＝2×－1＝－，
所以c2＝a2＋b2－2abcos C＝1＋25－2×1×5×＝32，所以c＝AB＝4.
11.【解析】:因为，所以，所以2bccosA=,所以,所以,故答案为.
12.【解析】:因为在中，，所以由余弦定理可得，
所以，所以，又，所以．
13.【解析】：由b+c＝acosB+acosC，根据余弦定理可得，
，化简可得
所以△ABC为直角三角形，.
14.【解析】：根据①余弦定理②
由①②可得：
化简：
因为，所以，因为，所以，
所以,所以，
此时，故得，即，所以．故答案为：．
15.【解析】：因为，所以，所以，因此角为直角；
又，所以，所以；因此，是等腰直角三角形.
16.【解析】：由题设可得
由题设可得，即该三角形是等边三角形．
17.【解析】：连接AC,设,则，故在中， ，
因为，
又因为在中由余弦定理有,解得,即，故答案为.
18.【解析】：sin∠BAC＝sin(＋∠BAD)＝cos∠BAD，所以cos∠BAD＝.
BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD＝(3)2＋32－2×3×3×，即BD2＝3，BD＝.
19.【解析】：由题题意，设 则
在中， 所以根据余弦定理，
得 即：
整理得 解之得x=40 或x=-20 （舍）即所求电视塔的高度为40米．
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