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第七章 随机变量及其分布
7.5　正态分布
学习指导 核心素养
1.了解正态曲线和正态分布的概念，能借助正态曲线理解正态曲线的特点及曲线表示的意义.2.了解变量落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]的概率大小，会根据正态曲线的性质求随机变量在某一区间内的概率.3.会用正态分布解决实际问题. 1.数学抽象、直观想象：正态分布和正态曲线.2.数学建模：正态分布的实际应用.
1.正态曲线
若f(x)＝·e－，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线.
2.正态分布
(1)若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2).特别地，当μ＝0 ，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布.
(2)若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2.
3.正态曲线的特点
(1)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
(2)曲线在x＝μ处达到峰值；
(3)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴.
4.3σ原则
(1)假设X～N(μ，σ2)，可以证明：对给定的k∈N*，P(μ－kσ≤X≤μ＋kσ) 是一个只与k有关的定值.特别地，
P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，
P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，
P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
(2)尽管正态变量的取值范围是(－∞，＋∞)，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间[μ－3σ，μ＋3σ]内，而在此区间外取值的概率大约只有0.002 7，通常认为这种情况几乎不可能发生.
(3)在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则.
3σ原则有什么实际应用？
提示：根据3σ原则，随机变量取值在[μ－3σ，μ＋3σ]外的概率约只有0.002 7，这些情况的发生的概率很小，通常认为这种情况几乎不可能发生.
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数f(x)＝e－中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差.(　　)
(2)正态曲线是单峰的，其与x轴之间的区域的面积是随参数μ，σ的变化而变化的.(　　)
(3)正态曲线可以关于y轴对称.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√
2.设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f(x)的图象，且f(x)＝e－，则这个正态总体的均值与标准差分别是(　　)
A.10与8　　　　　　　　 B.10与2
C.8与10 D.2与10
答案：B
3.函数f(x)＝e－(其中μ<0)的图象可能为(　　)
解析：选A.函数f(x)图象的对称轴为直线x＝μ，因为μ<0，所以排除B，D；又正态曲线位于x轴上方，因此排除C，故选A.
4.在正态分布N(0，)中，数据落在[－2，2]内的概率为　　　　.
解析：由题可得μ＝0，σ＝，P(－2≤X≤2)＝P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
答案：0.997 3
探究点1　正态曲线
[问题探究]
正态密度函数中的两个参数μ，σ对正态曲线的形状有何影响？
探究感悟：①当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移.
②当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布比较集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布比较分散.
(1)(2021·辽宁省五校联考)甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布N(μ1，σ)，N(μ2，σ)，正态曲线如图所示，则下列说法错误的是(　　)
A.甲类水果的平均质量为0.4 kg
B.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均质量
C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小
D.乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2＝1.99
(2)(2021·华中师大一附中高二期中)已知三个正态密度函数φi(x)＝
e－eq \s\up12(\f((x－μi)2,2σ)) (x∈R，i＝1，2，3)的图象如图所示，则(　　)
A.μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2>σ3
B.μ1＝μ2<μ3，σ1<σ2＝σ3
C.μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3
D.μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3
【解析】　(1)由题图可知甲曲线关于直线x＝0.4对称，乙曲线关于直线x＝0.8对称，所以μ1＝0.4，μ2＝0.8，故A，C正确；因为甲曲线比乙曲线更“高瘦”，所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均质量，故B正确；因为乙曲线的峰值为1.99，即＝1.99，所以σ2≠1.99，故D错误.
(2)因为正态曲线关于直线x＝μ对称，且μ越大图象越靠近右边，所以μ1<μ2＝μ3，故排除B，C.因为σ越小图象越“瘦高”，所以σ1＝σ2<σ3，故选D.
【答案】　(1)D　(2)D
正态曲线中μ，σ的认识
利用图象求正态密度函数的解析式，应抓住图象的实质，主要有两点：一是对称轴x＝μ，二是最值.这两点确定以后，相应参数μ，σ便确定了，代入便可求出相应的解析式.　
1.(多选)(2021·河北省衡水市质检)某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩X(单位：分)服从正态分布，其正态密度函数f(x)＝·e－，则下列说法正确的是(　　)
A.这次考试的数学平均成绩为80分
B.分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同
C.分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同
D.这次考试的数学成绩的标准差为10
解析：选ACD.由函数解析式知这次考试的数学平均成绩为80分，标准差为10，故A，D正确.因为函数图象关于直线x＝80对称，所以分数在120分以上的人数与分数在40分以下的人数相同，分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同，故B错误，C正确.
2.(2021·青海省海东市高三联考)已知η～N(1，4)，若P(η>2a)＝P(ηA.－1　　　　　　　　　　 B.0
C.1 D.2
解析：选C.因为η～N(1，4)，所以其图象关于直线x＝1对称.因为P(η>2a)＝P(η探究点2　正态分布的概率计算
例 (1)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)＝(　　)
A.0.6 B.0.4
C.0.3 D.0.2
(2)(2021·重庆南开中学高考模拟)据统计，某脐橙的果实横径(单位：mm)服从正态分布N(80，52)，则果实横径在[75，90]内的概率为(　　)
附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，
P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5.
A.0.682 7 B.0.841 3
C.0.818 6 D.0.954 5
【解析】　(1)因为P(ξ<4)＝0.8，所以P(ξ≥4)＝0.2.
由题意知图象(如图)的对称轴为直线x＝2，
P(ξ≤0)＝P(ξ≥4)＝0.2，
所以P(0<ξ<4)＝1－P(ξ≤0)－P(ξ≥4)＝0.6.
所以P(0<ξ<2)＝P(0<ξ<4)＝0.3.
(2)由题得σ＝5，则P(80－5≤X≤80＋5)≈0.682 7，所以P(75≤X≤85)≈0.682 7；P(80－10≤X≤80＋10)≈0.954 5，所以P(70≤X≤90)≈0.954 5.所以P(85≤X≤90)≈＝0.135 9，所以果实横径在[75，90]内的概率为0.682 7＋0.135 9＝0.818 6.
【答案】　(1)C　(2)C
正态分布下两类常见的概率计算
(1)利用正态密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，曲线与x轴之间的区域的面积为1.
(2)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与μ，σ进行对比联系，确定它们属于[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]中的哪一个.　
1.(2021·重庆高三月考)已知随机变量X～N(2，σ2)，若P(X≤1－a)＋P(X≤1＋2a)＝1，则实数a＝(　　)
A.0 B.1
C.2 D.4
解析：选C.因为P(X≤1－a)＋P(X≤1＋2a)＝1，所以P(X≤1＋2a)＝1－P(X≤1－a)＝P(X>1－a).因为X～N(2，σ2)，所以1＋2a＋1－a＝2×2，所以a＝2.
2.(2021·华南师大附中高二月考)设X服从正态分布N，则X落在(－∞，－3.5)∪(－0.5，＋∞)内的概率是(　　)
A.0.954 5 B.0.997 3
C.0.045 5 D.0.002 7
解析：选D.因为X服从正态分布N，
所以μ＝－2，σ＝，
所以P(－3.5≤X≤－0.5)＝P(－2－3×0.5≤X≤－2＋3×0.5)≈0.997 3，
所以P(X<－3.5)＋P(X>－0.5)＝1－P(－3.5≤X≤－0.5)≈1－0.997 3＝0.002 7.故选D.
探究点3　正态分布的实际应用
[问题探究]
举例说明正态分布在实际生活中的应用.
探究感悟：(1)可根据正态分布估计总体在某个区间内的分布情况.
(2)根据产品抽检情况的分布分析生产状况.
例 某厂生产的“T”形零件的外直径(单位：cm)ξ～N(10，0.22)，某天从该厂生产的“T”形零件中随机取出两个，测得它们的外直径分别为9.52 cm和9.98 cm，试分析该厂这一天的生产状况是否正常.
【解】　正态变量几乎总是落在区间[μ－3σ，μ＋3σ]内，所以可通过判断取出的产品的外直径是否落在这一区间内来分析生产状况是否正常.因为ξ～N(10，0.22)，所以μ＋ 3σ＝10＋3×0.2＝10.6，μ－3σ＝10－3×0.2＝9.4，因为9.52在[9.4，10.6]内，9.98在[9.4，10.6]内，所以该厂这一天的生产状况是正常的.
正态分布的实际应用
解题时，应当注意零件尺寸应落在[μ－3σ，μ＋3σ]之内，否则可以认为该批产品不合格.判断的根据是概率较小的事件在一次试验中几乎是不可能发生的，而一旦发生了，就可以认为这批产生不合格.　
(2021·山西省长治市期末)据调查统计，某校男生的身高X(单位：cm)服从正态分布N(174，9).若该校有男生3 000人，则估计该校男生身高在[174，180]范围内的人数为　　　　.
解析：因为身高X～N(174，9)，所以μ＝174，σ＝3.
所以μ－2σ＝174－2×3＝168，μ＋2σ＝174＋2×3＝180，
所以身高在[168，180]范围内的概率约为0.954 5.
因为μ＝174，
所以身高在[168，174]和[174，180]范围内的概率相等，均约为0.477 25.
故该校男生身高在[174，180]范围内的人数约为3 000×0.477 25≈1 432.
答案：1 432
当堂自测
1.某市教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩的正态分布图如图所示，下列说法中正确的是(　　)
A.甲科总体成绩的标准差最小
B.丙科总体成绩的平均数最小
C.乙科总体成绩的标准差及平均数都居中
D.甲、乙、丙三科成绩的平均数不相同
答案：A
2.已知随机变量X～N(0，1)，则X在区间(－∞，－2)内取值的概率约为(　　)
A.0.954　　　　　　　　 B.0.046
C.0.977 D.0.023
答案：D
3.为了解某地高中男生的身体发育状况，随机抽取1 000名男生测量他们的体重，测量的结果表明他们的体重X(单位：kg)服从正态分布N(μ，22)，正态曲线如图所示.若体重落在区间[58.5，62.5]内属于正常情况，则在这1 000名男生中不属于正常情况的人数约是(　　)
A.954 B.819
C.683 D.317
解析：选D.由题意可知，μ＝60.5，σ＝2，故P(58.5≤X≤62.5)＝P(μ－σ≤x≤μ＋σ)≈0.682 7，从而不属于正常情况的人数约是1 000×(1－0.682 7)≈317.
4.若随机变量ξ～N(10，σ2)，P(9≤ξ≤11)＝0.4，则P(ξ>11)＝　　　　.
解析：由P(9≤ξ≤11)＝0.4且正态曲线以直线x＝μ＝10为对称轴知，P(9≤ξ≤11)＝2P(10≤ξ≤11)＝0.4，
即P(10≤ξ≤11)＝0.2，又P(ξ≥10)＝0.5，
所以P(ξ>11)＝0.5－0.2＝0.3.
答案：0.3
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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