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第六章 计数原理
6．2　排列与组合
6．2.1　排列
学习指导 核心素养
1.理解并掌握排列的概念.2.能应用排列知识解决简单的实际问题. 1.数学抽象：排列的概念.2.数学运算：表示一个问题的所有排列.
排列
(1)一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
(2)两个排列相同的充要条件是：两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同．
如何判定一个具体问题是不是排列问题？
提示：判断一个具体问题是否为排列问题，就是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，判断在安排这m个元素的时候是否有序，有序就是排列，无序就不是排列．而检验是否有序的依据就是交换元素的“位置”，看结果是否有变化，有变化就是有序，无变化就是无序．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1) 在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列不发生变化．(　　)
(2)在一个排列中，同一个元素不能重复出现．(　　)
(3)从1，2，3，4中任选两个元素，就组成一个排列．(　　)
(4)从5个同学中任选2个同学分别参加数学和物理竞赛的所有不同的选法是一个排列问题．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
2．下面问题中，是排列问题的是(　　)
A．由1，2，3，4四个数字组成无重复数字的四位数
B．从60人中选11人组成足球队
C．从100人中选2人抽样调查
D．从1，2，3，4，5中选2个数组成集合
答案：A
3．有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，则送法共有(　　)
A．5种　　　　　　　　　 B．3种
C．60种 D．15种
答案：C
4．从5名同学中选出正、副组长各1名，有________种不同的选法．(用数字作答)
答案：20
探究点1　排列的概念
[问题探究]
排列问题中的元素有什么特征？
探究感悟：(1)无重复性：从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素，否则不是排列问题．
(2)有序性：安排这m个元素时是有顺序的，有序的就是排列，无序的不是排列．
例 判断下列问题是否为排列问题．
(1)北京、上海、天津3个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设往返的票价相同)；
(2)选2个小组分别去植树和种菜；
(3)选2个小组去种菜；
(4)选10个人组成一个学习小组；
(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员．
【解】　(1)中票价只有3种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题．
(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．
(3)，(4)不存在顺序问题，不属于排列问题．
(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．
判断一个具体问题是否为排列问题的方法
　
1．从1，2，3，4四个数字中，任选两个数做加、减、乘、除运算，分别计算它们的结果，其中有几种运算可以看作排列问题(　　)
A．1　　　　　　　　　　　 B．2
C．3 D．4
解析：选B.因为加法和乘法满足交换律，所以选出两个数做加法和乘法时，结果与两数字位置无关，故不是排列问题．而减法、除法与两数字的位置有关，故是排列问题．故共有2种，选B.
2．从集合{3，5，7，9，11}中任取两个元素，①相加可得多少个不同的和；②相除可得多少个不同的商；③作为椭圆＋＝1中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程；④作为双曲线－＝1中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程．这四个问题中属于排列问题的是________．(填序号)
解析：因为加法满足交换律，所以①不是排列问题；因为除法不满足交换律，如≠，所以②是排列问题；若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则必有a>b，a，b的大小一定，故③不是排列问题；
在双曲线－＝1中不管a>b，还是a答案：②④
探究点2　排列的应用
[问题探究]
解决排列问题时，直接列举易乱易错，思考可用什么方法列举？
探究感悟：树状图，列表法等．
角度一　列举法求解排列问题
例 A，B，C三名同学照相留念，成“一”字形排队，所有排列的方法有(　　)
A．3种 B．4种
C．6种 D．12种
【解析】　所有的排法有：
A－B－C，A－C－B，B－A－C，B－C－A，C－A－B，C－B－A，共6种．
【答案】　C
角度二　排列的简单应用
例 四名运动员A，B，C，D参加4×100 m接力赛，共有多少种参赛方案？将所有方案列举出来．
【解】　先安排第一棒，有4种方法；然后第二棒有3种方法，第三棒有2种方法，第四棒有1种方法，根据分步乘法计数原理，共有4×3×2×1＝24种参赛方案．
画出树状图：
由“树状图”可知，所有方案为：ABCD，ABDC，ACBD，ACDB，ADBC，ADCB，BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CADB，CBAD，CBDA，CDAB，CDBA，DACB，DABC，DBAC，DBCA，DCAB，DCBA.
1．[变条件]若本例中加上条件“运动员A不跑第一棒”，则有多少种方案？
解： 第1棒有3种安排方法，第2棒有3种安排方法，第3棒有2种安排方法，第4棒有1种安排方法，共有3×3×2×1＝18种参赛方案．
2．[变条件]若本例中加上条件“运动员A，B不相邻”结论如何？
解：画出树状图：
由树状图可知，所有坐法为：ACBD，ACDB，ADBC，ADCB，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CADB，CBDA，DACB，DBCA，共12种．
利用“树状图”法解决简单排列
问题的适用范围及策略
(1)适用范围：“树状图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式．
(2)策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树状图写出排列．　
1．有4名大学生可以到5家单位实习，若每家单位至多招1名实习生，每名大学生至多到1家单位实习，且这4名大学生全部被分配完毕，则分配方案的个数为__________________________________________________________．
解析：可以理解为从5家单位中选出4家单位，分别把4名大学生安排到4家单位，共有5×4×3×2＝120(个)分配方案．
答案：120
2．某药品研究所研制了5种消炎药a1，a2，a3，a4，a5，4种退热药b1，b2，b3，b4.现从中取两种消炎药和一种退热药同时进行疗效试验，但a1，a2两种药或同时用或同时不用，a3，b4两种药不能同时使用．试写出所有不同的试验方法．
解：如图，
由树状图可写出所有不同的试验方法如下：a1a2b1，a1a2b2，a1a2b3，a1a2b4，a3a4b1，a3a4b2，a3a4b3，a3a5b1，a3a5b2，a3a5b3，a4a5b1，a4a5b2，a4a5b3，a4a5b4，共14种．
当堂自测
1．(多选)已知下列问题，其中是排列问题的有(　　)
A．从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别参加数学和物理学习小组
B．从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动
C．从a，b，c，d这4个字母中取出2个
D．从1，2，3，4这4个数字中取出2个组成一个两位数
解析：选AD.A是排列问题，因为2名同学参加的活动与顺序有关；B不是排列问题，因为2名同学参加这项活动与顺序无关；C不是排列问题，因为取出的2个字母与顺序无关；D是排列问题，因为取出的2个数字还需要按顺序排成一个两位数．
2．由1，2，3，4这4个数字组成的首位数字是1，且恰有3个相同数字的四位数有(　　)
A.9个　　　　　　　　　　 B．12个
C．15个 D．18个
解析：选B.本题要求首位数字是1，且恰有三个相同的数字，用树状图表示如下：
由此可知共有12个．
3．沪宁高铁线上有六个大站：上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京，则铁路部门应为沪宁线上的六个大站(这六个大站之间)准备的不同的火车票的种数为________．
解析：问题归结为求从6个不同元素中每次抽出2个不同的元素的排列数，故不同的火车票有6×5＝30(种)．
答案：30
4．一位数学老师要给5个班轮流讲授《排列》有关知识的讲座，每个班讲1场，有多少种轮流次序？
解：对于老师来说，安排第1场，有5种选择；安排第2场，有4种选择；安排第3场，有3种选择；安排第4场，有2种选择；最后1场，就只有1种选择．由分步乘法计数原理，有5×4×3×2×1＝120种．故有120种轮流次序．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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