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第六章 计数原理
6．2.2　排列数
学习指导 核心素养
1.能利用计数原理推导排列数公式.2.掌握几种有限制条件的排列，能应用排列数公式解决简单的实际问题. 1.数学抽象：排列数公式的推导.2.数学运算：排列数公式的应用.
排列数及排列数公式
排列数的定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数
符号表示 A
阶乘 正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n！表示．于是，n个元素的全排列数公式可以写成A＝n！．另外，我们规定0！＝1
排列数公式 乘积式 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(m，n∈N*，且m≤n)
阶乘式 A＝(m，n∈N*，且m≤n)
排列与排列数有什么区别？
提示：“一个排列”是指从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，是一个数．所以符号A只表示排列数，而不表示具体的排列．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)排列与排列数的含义相同．(　　)
(2)从4个不同元素中任取3个元素的排列数为A＝24.(　　)
答案：(1)×　(2)√
2．89×90×91×…×100可表示为(　　)
A．A　 　　B．A　 　　C．A　 　　D．A
答案：C
3．某班下午有三节课，欲从语文、数学、英语、物理、化学中任选三科来安排，则不同排课法的种数是(　　)
A．15 B．A C．35 D．53
解析：选B.把下午三节课看成“3个位置”，把语文、数学、英语、物理、化学看成“5个元素”，分别用A，B，C，D，E来表示，一种排课法可看作是从A，B，C，D，E中取出3个按顺序分给三节课，分配的时候有顺序之分，故所有不同排课法的种数是A.
4.eq \f(A,5！)＝________．
解析：eq \f(A,5！)＝＝.
答案：
探究点1　排列数公式的应用
[问题探究]
排列数公式有两种形式，怎样选择使用？
探究感悟：排列数有两种形式，一种是连乘形式，即A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，这种形式主要用于计算；另一种是阶乘形式，即A＝，这种形式主要用于化简与证明．
角度一　利用排列数公式求值或化简
例 (1)(多选)下列等式中，正确的是(　　)
A．(n＋1)A＝A　　　　 B.＝(n－2)!
C．A＝A D.A＝A
(2)已知a∈N*，且a<20，则(27－a)·(28－a)·(29－a)·…·(34－a)用排列数表示为(　　)
A．A B．A
C．A D．A
(3)eq \f(A－A,A)的值为(　　)
A．3 B．30
C．24 D．12
【解析】　(1)通过计算可知选项A，B，D均正确．
(2)由已知34－a最大，且共有34－a－(27－a)＋1＝8个数的积，所以表示为A，故选D.
(3)原式＝＝＝3.故选A.
【答案】　(1)ABD　(2)D　(3)A
角度二　与排列数有关的方程、不等式与证明
例 (1)已知A－A＝10，则n的值为(　　)
A．4 B．5
C．6 D．7
(2)解不等式：A<6A.
(3)求证：A－A＝mA.
【解】　(1)选B.因为A－A＝10，所以(n＋1)n－n(n－1)＝10，整理得2n＝10，即n＝5.
(2)原不等式可转化为<6×.
化简得x2－19x＋84<0.解得7因为即3≤x≤8，且x∈N*，所以x＝8.
(3)证明：左边＝－＝·＝·＝m·＝mA＝右边，故原等式成立．
排列数的化简与证明技巧
应用排列数公式可以对含有排列数的式子进行化简和证明，化简的过程中要对排列数进行变形，并要熟悉排列数之间的内在联系．解题时要灵活地运用如下变式：
①n！＝n(n－1)！；②A＝nA；
③n·n！＝(n＋1)！－n！；④＝－.
[提醒]　在解含有排列数的方程或不等式时，必须注意A中m∈N*，n∈N*且m≤n这些限制条件．在解出方程或不等式后，要进行检验，把不合题意的解舍掉．　
(1)计算eq \f(2A＋7A,A－A)；
(2)解方程：A＝140A；
(3)用排列数表示(55－n)(56－n)…(69－n)(n∈N*，且n<55)．
解：(1)eq \f(2A＋7A,A－A)
＝
＝＝1.
(2)根据原方程，x应满足解得x≥3，x∈N*.
根据排列数公式，原方程化为(2x＋1)·2x·(2x－1)·(2x－2)＝140x·(x－1)·(x－2)．
因为x≥3，两边同除以4x(x－1)，得(2x＋1)(2x－1)＝35(x－2)，即4x2－35x＋69＝0，解得x＝3或x＝5(因为x为整数，所以应舍去)．
所以原方程的解为x＝3.
(3)因为55－n，56－n，…，69－n中的最大数为69－n，且共有69－n－(55－n)＋1＝15(个)，
所以(55－n)(56－n)…(69－n)＝A.
探究点2　排列数公式与排列问题
[问题探究]
排列数公式对解决排列问题有什么帮助？
探究感悟：从排列问题中抽象出的排列数可直接利用公式进行计算，而不必每次使用分步乘法计数原理．
角度一　无限制条件的排列问题
例 (1)(2021·山西省朔州市期中)某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面旗，并且不同的顺序表示不同的信号，则一共可以表示____________种不同的信号．
(2)将4位司机、4位售票员分配到4辆不同班次的公共汽车上，每辆汽车分别有1位司机和1位售票员，则共有________种不同的分配方案．
【解析】　(1)分三类完成：
第1类，挂1面旗，可以表示A种不同的信号；
第2类，挂2面旗，可以表示A种不同的信号；
第3类，挂3面旗，可以表示A种不同的信号．
根据分类加法计数原理，可以表示的信号共有A＋A＋A＝3＋3×2＋3×2×1＝15(种)．
(2)解决这个问题可以分为两步：
第1步，把4位司机分配到4辆不同班次的公共汽车上，即从4个不同元素中取出4个元素排成一列，有A种方法；
第2步，把4位售票员分配到4辆不同班次的公共汽车上，也有A种方法．
由分步乘法计数原理知，分配方案共有A·A＝576(种)．
【答案】　(1)15　(2)576
角度二　特殊元素或特殊位置问题
例 6人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？
(1)甲不站两端；
(2)甲、乙站在两端；
(3)甲不站左端，乙不站右端．
【解】　(1)方法一：要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选1个，有A种站法；然后其余5人在另外5个位置上作全排列有A种站法．根据分步乘法计数原理，共有站法A·A＝480(种)．
方法二：由于甲不站两端，这两个位置只能从其余5个人中选2个人站，有A种站法，然后其余4人有A种站法．根据分步乘法计数原理，共有站法A·A＝480(种)．
方法三：若对甲没有限制条件共有A种站法，甲在两端共有2A种站法，从总数中减去这两种情况的排列数，即得所求的站法数，共有A－2A＝480(种)．
(2)首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有A种，再让其他4人在中间位置作全排列，有A种．根据分步乘法计数原理，共有A·A＝48(种)站法．
(3)方法一：甲在左端的站法有A种，乙在右端的站法有A种，且甲在左端而乙在右端的站法有A种，共有A－2A＋A＝504(种)站法．
方法二：以元素甲分类可分为两类：a.甲站右端有A种，b.甲在中间4个位置之一，而乙不在右端有A·A·A种，故共有A＋A·A·A＝504(种)站法．
角度三　相邻问题与不相邻问题
例 (1)有3名女生、4名男生站成一排，女生必须相邻，男生也必须相邻，则不同排法的种数是(　　)
A．72 B．96
C．144 D．288
(2)(2021·湖南省长沙市雨花区联考)中国古代儒家要求学生掌握六种基本才能：礼、乐、射、御、书、数．某校国学社团周末开展“六艺”课程讲座活动，每天连排六节，每“艺”一节，排课有如下要求：“礼”和“数”不能相邻，“射”和“乐”必须相邻．则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有(　　)
A．24种 B．72种
C．96种 D．144种
(3)5位母亲带领5名儿童站成一排照相，儿童不相邻的站法有________种．
【解析】　(1)第一步，把3名女生看成一个整体，即一个对象，4名男生看成一个整体，即一个对象， 两个对象排成一排有A种排法；
第二步，对男生、女生“内部”分别进行排列，女生“内部”的排法有A种，男生“内部”的排法有A种．
故符合题意的排法共有A·A·A＝288(种)．
(2)根据题意，分两步进行分析：①“射”和“乐”要相邻，将两者看成一个整体，与“御”“书”全排列，不同的排法有AA＝12(种)，②排好后形成4个空位，在其中任选2个，安排“礼”和“数”，不同的排法有A＝12(种)，则符合题意的排法有12×12＝144(种)，故选D.
(3)第1步，先排5位母亲的位置，有A种排法；
第2步，把5名儿童插入5位母亲所形成的6个空位中，如下所示：
母亲____母亲____母亲____母亲____母亲____，共有A种排法．
由分步乘法计数原理可知，符合条件的站法共有A·A＝86 400(种)．
【答案】　(1)D　(2)D　(3)86 400
角度四　排列中的定序问题
例 (2021·浙江省联考)某年元宵节灯展后，如图所示悬挂着的六盏不同的花灯需要取下，每次取一盏，甲比乙先取下，丙比丁先取下，戊比己先取下，则共有____________种不同的取法．(用数字作答)
【解析】　因为每串两个灯取下的顺序确定，所以问题可转化为求六个元素的排列中甲在乙前，丙在丁前，戊在己前的排列数，先将六个元素全排列，有A种排法，因为甲、乙顺序确定，丙、丁顺序确定，戊、己顺序确定，所以满足条件的排法数有eq \f(A,AAA)＝＝90(种)，即取下六盏不同的花灯，每次取一盏，共有90种不同的取法．
【答案】　90
解决排列问题的策略
(1)“特殊”优先原则，具体解题思路如下：
(2)相邻问题可采用“捆绑法”：将n个不同元素视为一个整体同其他元素一起排列；
不相邻问题采用“插空法”：n个不同元素排成一排，其中k(k≤n－k＋1)个元素互不相邻，可将其余n－k个元素排成一排，形成n－k＋1个空，再将k个元素排到n－k＋1个空中．
(3)定序问题：对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一起进行排列，然后用总排列数除以这几个元素的全排列数．　
1．(2021·北京市朝阳区期末)若从0，1，2，3，4，5这六个数字中选3个数字，组成没有重复数字的三位偶数，则这样的三位数一共有(　　)
A．20个 B．48个
C．52个 D．120个
解析：选C.根据题意，分2种情况讨论：
①若0在个位，则只需在1，2，3，4，5中任取2个数字，作为十位和百位数字即可，此时没有重复数字的三位偶数有A＝20(个)；
②若0不在个位，此时必须在2或4中任取1个，作为个位数字，有2种取法，0不能作为百位数字，则百位数字有4种取法，十位数字也有4种取法，此时没有重复数字的三位偶数共有2×4×4＝32(个)．综上可得，没有重复数字的三位偶数共有20＋32＝52(个)．故选C.
2．(2021·广东省佛山市南海区期末)把甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周六的6天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，则不同的安排方法共有(　　)
A．20种 B．30种
C．40种 D．60种
解析：选C.甲是特殊元素，应优先安排．分类完成，甲排周一，乙、丙只能从周二至周六这5天中选2天，有A种安排方法；甲排周二，乙、丙有A种安排方法；甲排周三，乙、丙有A种安排方法；甲排周四，乙、丙只能排周五和周六，有A种安排方法．由分类加法计数原理可知，不同的安排方法共有A＋A＋A＋A＝40(种)．
3．5人站成一排，甲、乙两人之间恰有1人的不同站法的种数为(　　)
A．18 B．24
C．36 D．48
解析：选C.5人站成一排，甲、乙两人之间恰有1人的不同站法有3A×A＝36(种)．
4．某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是(　　)
A．72 B．120
C．144 D．168
解析：选B.先不考虑小品类节目是否相邻，保证歌舞类节目不相邻的排法共有A·A＝144(种)，
歌舞类节目不相邻，小品类节目相邻的情况有A·A·A＝24(种)．
于是符合题意的排法共有144－24＝120(种)．
5．用1，2，3，4，5，6，7组成没有重复数字的七位数，若1，3，5，7的顺序一定，则有________个七位数符合条件．
解析：若1，3，5，7的顺序不定，则4个数字有A＝24(种)排法，故1，3，5，7的顺序一定的排法只占全排列种数的.故有×A＝210(个)七位数符合条件．
答案：210
当堂自测
1．(2021·甘肃武威高二月考)eq \f(A－A,A)＝(　　)
A．12　　　　　　　　　　 B．24
C．30 D．36
解析：选D.因为A＝7×6×A，A＝6×A，所以原式＝eq \f(36A,A)＝36.
2．有5名同学被安排在周一至周五值日，已知同学甲只能在周一值日，那么这5名同学值日顺序的编排方案共有(　　)
A．12种 B．24种
C．48种 D．120种
解析：选B.因为同学甲只能在周一值日，所以除同学甲外的4名同学将在周二至周五值日，所以5名同学值日顺序的编排方案共有A＝24(种)．
3．A，B，C，D，E 5人并排站成一排，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法有(　　)
A．60种 B．48种
C．36种 D．24种
解析：选D.把A，B视为一人，且B排在A的右边，则本题相当于4人的全排列，故有A＝24(种)排法．
4．从2，4中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为(　　)
A．6 B．12
C．18 D．24
解析：选D.先从2，4中选一个数字，有2种选法；再从1，3，5中选两个数字并排列，有A种选法；最后将从2，4中选出的一个数字放在十位或百位的位置，有2种放法．综上所述，奇数的个数为2×A×2＝24.
5．高三(一)班学生要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，则共有________种不同的排法．
解析：先排4个音乐节目和1个曲艺节目，共A种方法，再将2个舞蹈节目排在形成的6个空中，共有A种方法，故共有A×A＝3 600种不同的排法．
答案：3 600
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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