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第六章 计数原理
6．3.1　二项式定理
学习指导 核心素养
1.能利用计数原理证明二项式定理，理解二项式定理及二项展开式的特征，能记住二项式定理和二项展开式的通项公式.2.能正确运用二项展开式展开或化简某些二项式，并能运用通项求某些特定项、二项式系数或项的系数.3.能用二项式定理求解三项或三项以上的展开问题，能解决两个二项展开式乘积的展开式中的特定项问题. 1.数学抽象：二项式定理.2.数学运算：二项式定理的应用.
二项式定理
二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－k·bk＋…＋Cbn(n∈N*)
二项展开式 右边的多项式
二项式系数 各项的系数C(k＝0，1，2，…，n)
二项展开式的通项 Tk＋1＝Can－kbk
1．如何利用计数原理证明二项式定理
提示：由于(a＋b)n是n个(a＋b)相乘，每个(a＋b)在相乘时有两种选择，选a或选b，而且每个(a＋b)中的a或b都选定后，才能得到展开式的一项，因此，由分步乘法计数原理可知，在合并同类项之前，(a＋b)n的展开式共有n＋1项，其中每一项都是an－kbk(k＝0，1，…，n)的形式．
2．二项式系数和系数有何区别？
提示：(1)二项展开式中的二项式系数是指C，C，…，C这些组合数，与a，b无关．
(2)展开式中项的系数则是展开式中关于某一个(或两个)字母的系数，与a，b有关，项的系数未必是正数．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)(a＋b)n的展开式中共有n项．(　　)
(2)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响．(　　)
(3)Can－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项．(　　)
(4)(a－b)n与(a＋b)n的展开式的二项式系数相同．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2.展开式中的常数项为(　　)
A．80　　　　　　　　　　 B．－80
C．40 D．－40
答案：C
3．若(2x－3)n＋3的展开式中共有15项，则自然数n的值为(　　)
A．11 B．12
C．13 D．14
解析：选A.因为(2x－3)n＋3的展开式中共n＋4项，所以n＋4＝15，即n＝11.
4．(1＋2x)5的展开式的第三项的系数为________，第三项的二项式系数为________．
答案：40　10
探究点1　二项式定理的正用、逆用
[问题探究]
二项展开式有什么特点？
探究感悟：1.(1)二项展开式共有n＋1项，各项中a，b的指数和都是n.(2)a按降幂排列，指数由n逐项减1直到0；b按升幂排列，指数由0逐项加1直到n.
2．二项式定理是一个恒等式．
(1)二项式定理从左到右使用可以展开给定的二项式，从右到左使用可以化简、求和、证明．
(2)对于任意的a，b，该等式都成立．
例 (1)用二项式定理展开.
(2)设n为正整数，化简C4n－1＋C4n－2＋C4n－3＋…＋C40＋C4－1.
【解】　(1)方法一：＝C(2x)5＋C(2x)4＋C(2x)3＋C(2x)2＋C(2x)1＋C(2x)0＝32x5－120x2＋－＋－.
方法二：＝＝(4x3－3)5＝[C(4x3)5(－3)0＋C(4x3)4(－3)1＋C(4x3)3(－3)2＋C(4x3)2(－3)3＋C(4x3)1(－3)4＋C(4x3)0(－3)5]＝32x5－120x2＋－＋－.
(2)原式＝(C4n＋C4n－1＋C4n－2＋…＋C41＋C40)＝(4＋1)n＝.
运用二项式定理的解题策略
(1)正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂．形如(a－b)n的展开式中会出现正负交替的情况．对较繁杂的式子，需先化简再用二项式定理展开．
(2)逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数．
[注意]　逆用二项式定理时如果各项的系数是正负相间的，则结果是(a－b)n的形式．　
1．化简(x＋1)4－4(x＋1)3＋6(x＋1)2－4(x＋1)＋1的结果为(　　)
A．x4　　　　　　　 　　　 B．(x－1)4
C．(x＋1)4 D．x4－1
解析：选A.(x＋1)4－4(x＋1)3＋6(x＋1)2－4(x＋1)＋1＝C(x＋1)4＋C(x＋1)3(－1)1＋C(x＋1)2(－1)2＋C(x＋1)(－1)3＋C(x＋1)0(－1)4＝[(x＋1)－1]4＝x4.
2．若(1＋)4＝a＋b(a，b为有理数)，则a＋b＝________．
解析：因为(1＋)4＝1＋C×()1＋C×()2＋C×()3＋C×()4＝1＋4＋18＋12＋9＝28＋16，
所以a＝28，b＝16，所以a＋b＝28＋16＝44.
答案：44
探究点2　求二项展开式的特定项或项的系数
[问题探究]
求二项展开式的特定项或项的系数，最基本的思路是什么？
探究感悟：从二项展开式的通项出发，根据特定项的指数特征或其他条件确定展开式的特定项．
例 已知展开式中第三项的系数比第二项的系数大162，求：
(1)n的值；
(2)展开式中含x3的项．
【解】　(1)因为T3＝C()n－2(－)2＝4Cx，
T2＝C()n－1(－)＝－2Cx，
依题意得4C＋2C＝162.
所以n2＝81.因为n∈N*，所以n＝9.
(2)设第r＋1项含x3，则Tr＋1＝C()9－r(－)r
＝(－2)rCx，
所以＝3，解得r＝1，所以第二项为含x3的项，
T2＝－2Cx3＝－18x3.
1．[变设问]在本例条件下，求二项展开式中的常数项．
解：因为Tr＋1＝(－2)rCx，若Tr＋1为常数项，则9－3r＝0，所以r＝3，因此常数项为第4项，即(－2)3C＝－672.
2．[变设问]在本例条件下，求二项展开式中的所有有理项．
解：因为Tr＋1＝(－2)rCx，
若Tr＋1为有理项，当且仅当为整数．
因为0≤r≤9，r∈N，所以r＝1，3，5，7，9，
即展开式中的有理项共5项，它们分别是T2＝－18x3，T4＝－672，T6＝－，T8＝－，T10＝－.
(1)求二项展开式中特定项的步骤
　
(2)正确区分二项式系数与项的系数
二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关；后者与二项式、二项式的指数及项数均有关．
1．(2021·内蒙古集宁一中高二月考)的展开式中，常数项为(　　)
A．420 B．512
C．626 D．672
解析：选D.的第r＋1项Tr＋1＝
C(2x)9－r，
即Tr＋1＝C29－rx9－r(－1)rx＝C(－1)r29－rx，
所以当18－3r＝0，即r＝6时，的第7项为常数项，常数项为T7＝C(－1)623＝672，故选D.
2．二项式的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数分别为________，________．
解析：由已知得二项展开式的通项为
Tr＋1＝C(2)6－r·＝26－rC·(－1)r·x3－，
所以T6＝－12·x－.
所以第6项的二项式系数为C＝6，
第6项的系数为C·(－1)5·2＝－12.
答案：6　－12
探究点3　二项式定理的灵活应用
角度一　二项展开式积的特定项问题
例 (1)(1－)4的展开式中x的系数是(　　)
A．1　　　　　B．2 C．3　　　　　D．12
(2)若(x2－a)的展开式中x6的系数为30，则a＝________．
【解析】　(1)根据题意，所给式子的展开式中含x的项，由(1－)4展开式中的常数项乘中的x以及(1－)4展开式中的含x2的项乘中的两部分合并而成，所以所求系数为1×2＋1＝3.
(2)依题意，注意到的展开式的通项公式是Tr＋1＝C·x10－r·＝C·x10－2r，的展开式中含x4(当r＝3时)，x6(当r＝2时)项的系数分别为C，C，因此由题意得C－aC＝120－45a＝30，由此解得a＝2.
【答案】　(1)C　(2)2
角度二　三项式的展开问题
例 (1)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为(　　)
A．10 B．20
C．30 D．60
(2)的展开式中整理后的常数项为________．
【解析】　(1)方法一：(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，
含y2的项为T3＝C(x2＋x)3·y2.
其中(x2＋x)3中含x5的项为Cx4·x＝Cx5.
所以x5y2的系数为CC＝30.故选C.
方法二：(x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为CCC＝30.故选C.
(2)方法一：由＝，设通项公式为Tr＋1＝C＝Cx5－r，据题意令5－r＝0，即r＝5.故常数项为T6＝.
方法二：原式＝＝·[(x＋)2]5＝·(x＋)10.
求原展开式中的常数项，转化为求(x＋)10的展开式中含x5的项的系数，即C·()5.
所以原展开式中的常数项为eq \f(C·（\r(2)）5,32)＝.
【答案】　(1)C　(2)
(1)两个二项展开式乘积的展开式中的特定项问题
①分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点．
②找到展开式中特定项的组成部分．
③分别求解再相乘，求和即得．
(2)三项式的展开问题
应根据式子的特点，转化为二项式来解决(有些题目也可转化为计数问题解决)，转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合，项与项结合时要注意合理性和简捷性．　
1．在(2－x2)的展开式中，含x2的项的系数是(　　)
A．－10 B．10
C．25 D．－25
解析：选B.展开式的通项为Tk＋1＝Cx6－kx－k＝Cx6－2k，所以含x2的项为2×Cx6－2×2＋(－x2)·Cx6－2×3＝30x2－20x2＝10x2，所以含x2的项的系数是10，故选B.
2．(2021·吉林省白山市期末)的展开式中，x5项的系数为(　　)
A．160 B．210
C．120 D．252
解析：选D.因为＝，所以通项Tr＋1＝C(x2)10－r＝Cx20－3r.令20－3r＝5，得r＝5，所以T6＝Cx5＝252x5.故选D.
当堂自测
1．(x－1)12的展开式的第8项的系数是(　　)
A．－C　　　　　　　　　 B．C
C．－C D．C
解析：选C.由题意得Tk＋1＝Cx12－k(－1)k(k＝0，1，2，…，12)，令k＝7，得T8＝Cx5(－1)7＝－Cx5，所以(x－1)12的展开式的第8项的系数是－C.故选C.
2．(2020·高考全国卷Ⅰ)(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为(　　)
A．5　　　　　B．10 C．15　　　　　D．20
解析：选C.因为(x＋y)5的展开式的第r＋1项Tr＋1＝Cx5－ryr，所以(x＋)(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为C＋C＝15.故选C.
3．(2021·河南省(天一)联考)已知(n∈N*)的展开式中有常数项，则n的值可能是(　　)
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：选B.由题意展开式通项公式为Tr＋1＝C(x2)n－r＝Cx2n－3r，所以关于r的方程2n－3r＝0有正整数解，n必是3的整数倍，只有B满足．故选B.
4.(1＋x)6展开式中x2的系数为________．
解析：(1＋x)6展开式的通项Tr＋1＝Cxr，所以·(1＋x)6的展开式中x2的系数为1×C＋1×C＝30.
答案：30
5．求(x＋2)10(x2－1)的展开式中x10的系数．
解：(x＋2)10(x2－1)＝x2(x＋2)10－(x＋2)10，求x10的系数，只需求(x＋2)10展开式中x8及x10的系数．
由Tr＋1＝Cx10－r·2r，
取r＝2得x8的系数为C×22＝180，
又x10的系数为C＝1，因此所求系数为180－1＝179.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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