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11.2正弦定理的知识点与题型归纳
知识点
（一）正弦定理及其变形
正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，即：
定理的变形：(1)．
(2)化边为角：；
(3)化边为角：
(4)化角为边：
(5)化角为边：
【要点诠释】：
(1)正弦定理适合于任何三角形，且(为三角形的外接圆半径)；
(2)定理等价于，，，每个等式可视为一个方程，知三求一.
(3)解决的题型：①已知两角和一边，求其它; ②已知两边和一边的对角，求其它;
(4)在已知两边和一边的对角，求其它的类型中，可能出现无解、一解或两解，应结合“三角形中大边对大角”定理及几何作图来帮助理解;
(5)正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化.其原则为关于边或角的正弦值是否具备齐次的特征.如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行;
例如：①
②（恒等式）
③ .
（二）正弦定理的推导
法一：作高法
不妨设∠C为最大角，
（1）若∠C为直角，
有， ， ，
即：，，，
所以．
（2）若∠C为锐角，过点A作AC⊥BC于D,
此时有，，所以csinB=bsinC,
即,同理,所以.
若∠C为钝角，过点A作AC⊥BC，交BC延长线于D,此时有，且,故可得；
由（1）（2）（3）知，结论成立.
法二：向量法
在△ABC中，设∠C最大，有,过A作AD垂直BC于D,
于是,
即，
当∠C为锐角或直角时，；当∠C为钝角时，；
所以csinB-bsinC=0,即,同理,所以.
法三：圆转化法
（1）当为锐角三角形时
如图，圆O是的外接圆，直径为，则，
所以，
所以（为的外接圆半径）
同理：，
故：
（2）当为钝角三角形时
如图，.易证.
法四：面积法
任意斜中，如图作，则
同理：，
故，两边同除以
即得：
（三）三角形的面积公式及证明
1.三角形的面积公式
(1)，其中为边上的高
(2)
(3)海伦公式 ，其中
(4),其中是三角形内切圆半径.
(5),R为外接圆半径
2.(1)运用三角形的面积证明正弦定理（见上）
(2)利用三角形的面积证明三角函数的和与差公式
根据三角形面积公式，有,
所以，
因为，
所以，
因为，所以.
根据此式和诱导公式，可证出其它和角公式及差角公式.
；
；
[3].
（四）三角形解的各种情况
已知a，b和A，用正弦定理求B时的各种情况如下：
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 ①a＝bsin A且ab a≤b
解的个数 一解 两解 无解 一解 无解
（五）解斜三角形的一些重要结论与依据
(1)；
(2)；
；
(3)边与边关系：；
(4)；
(5)射影定理:
(6)在△ABC中,；
(7)若,则或；
(8)；
(9)在中，最大内角的取值范围是，最小内角的取值范围时.
二、典型例题
类型一：正弦定理的简单应用
【例1】．中，，BC＝3，则的周长为（ ）
A． B．C． D．
【解析】：由正弦定理得：，
得b＋c＝[sinB＋sin(－B)]＝．
故三角形的周长为：3＋b＋c＝，故选D．
【例2】．在，求：和，．
【解析】：由正弦定理得：，所以，
（法一）因为， 所以或，
当时，，（舍去）；
当时，，所以．
（法二）因为，， 所以，
所以即为锐角， 所以，
所以．
类型二：正弦定理的综合运用
【例3】.（2018 湖南高考）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且B为钝角.
(1)证明：
（2）求的取值范围.
【解析】：（1）由a=btanA及正弦定理，得,
所以sinB=cosA，即sinB=sin（+A）.
又B为钝角，因此+A（，A），故B=+A，即B-A=；
由（I）知，C=-（A+B）=-(2A+)=-2A>0，所以A，
于是sinA+sinC=sinA+sin（-2A）= sinA+cos2A=-2A+sinA+1 =-2（sinA-）+，
因为0由此可知sinA+sinC的取值范围是（，].
【例4】.（2018浙江文）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b+c=2acos B．
（Ⅰ）证明：A=2B；
（Ⅱ）若cos B=，求cos C的值．
【解析】：（1）由正弦定理得，
故，
于是，
又，故，所以或，
因此（舍去）或，
所以.
（2）由，得，，
故，，
.
类型三：利用正弦定理判断三角形的形状
【例5】.在中，若试判断的形状.
【解析】：由已知条件及正弦定理可得，
因为A,B为三角形的内角，所以，，
所以，所以A=B或，
所以为等腰三角形或直角三角形.
【例6】.在△ABC中，试判断三角形的形状
【解析】：（法一）利用正弦定理化边为角.
因为,又，所以,
所以,所以,
因为0＜A，B＜π，所以－π＜A－B＜π,所以,即,
故此三角形是等腰三角形.
（法二）利用余弦定理化角为边
因为,又，，
所以，因为,所以.
故此三角形是等腰三角形.
类型四：正弦定理在几何中的应用
【例7】.在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，如图所示，用正弦定理证明：＝.
【证明】：设，，.
在△ABD和△ACD中分别运用正弦定理，得，，
又，所以＝，即＝.
【例8】.（2018 新课标Ⅱ文）△ABC中D是BC上的点,AD平分BAC,BD=2DC.
（I）求 ；
（II）若,求.
【解析】：（Ⅰ）由正弦定理得
因为AD平分∠BAC，BD=2DC，所以
（Ⅱ）因为∠C=180°－(∠BAC+∠B)，∠BAC=60°，
所以
由（Ⅰ）知2sin∠B=sin∠C，所以，∠B=30°.
三、巩固练习
1．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边边长分别为a，b，c，若2a＝3b，A＝2B，则cosB＝（　　）
A． B． C． D．0
2．在△ABC中，a＝，b＝，A＝30°，则c等于(　　)
A．2 B. C．2或 D．以上都不对
3．以下关于正弦定理的叙述或变形错误的是(　　)
A．在△ABC中，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C
B．在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则a＝b
C．在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B；若A>B，则sin A>sin B都成立
D．在△ABC中，＝
4．若＝＝，则△ABC是(　　)
A．等边三角形 B．直角三角形，且有一个角是30°
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形，且有一个角是30°
5. 已知△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,若 ,则△ABC是（ ）
A.等边三角形 B.锐角三角形 C.等腰直角三角形 D.钝角三角形
6.在△ABC中，已知B=2A,∠ACB的平分线CD把三角形分成面积为4：3的两部分，则（ ）
7. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bsinAacosB＝2bc，则A＝（　　）
A． B． C． D．
8. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则A的大小为　 　．
9.在中，，，，则的外接圆面积为 .
10．已知中，，，若仅有一解，则 .
11.已知分别为的三个内角的对边，已知，，，若满足条件的三角形有两个，则的取值范围是 .
12.在△ABC中，A＝60°，a＝，则等于 .
13.在中，内角对应的边分别为，已知，，且，则的面积为 .
14.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则角的大小为 .
15．在ABC中，B=，AB=，A的角平分线AD=,则AC=_______.
16.（2018新课标Ⅰ卷）在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是 .
17. 在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若△ABC只有一解，则x的取值集合为________．
18. 在中，求B及C.
19.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且，．
(1)求角C的大小；
（2）求 的最大值.
20．如图,D是直角△ABC斜边BC上一点,AB=AD,记∠CAD=,∠ABC=.
（1）证明 ;
（2）若AC=DC,求的值.
21. （2018浙江高考文）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.
（1）求的值；
（2）若，求△ABC的面积.
答案与解析
1. 【解答】：因为2a＝3b，所以根据正弦定理得2sinA＝3sinB，且A＝2B，
所以2sin2B＝4sinBcosB＝3sinB，且sinB≠0，所以．故选：B．
2. 【解析】：由于sin B＝＝，故B＝60°或120°.
当B＝60°时，C＝90°时，c＝30°.c＝＝2；
当B＝120°时，C＝30°，c＝a＝.故选：C
3. 【解析】：由正弦定理知A、C、D正确，
而sin 2A＝sin 2B，可得A＝B或2A＋2B＝π，所以a＝b或a2＋b2＝c2，故B错误．
4. 【解析】：在△ABC中，由正弦定理：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，代入＝＝得：
＝＝，所以＝＝1.所以tan B＝tan C＝1，所以B＝C＝45°.
所以△ABC是等腰直角三角形．故选：C
5. 【解析】：因为，所以由正弦定理可得：，而，当且仅当 时取等号.所以，即 ，又 ，故可得：
所以.
又因为，可得，
故三角形为等腰三角形，故选：C
6.【解析】：由角平分线定理得：,由正弦定理：,及B=2A,得：,
所以,故选A.
7.【解答】：因为bsinAacosB＝2bc，
所以由正弦定理可得：sinBsinAsinAcosB＝2sinBsinC，
所以sinBsinAsinAcosB＝2sinBsinC＝2sinB（sinAcosB+cosAsinB），
所以sinBsinA＝2sinBcosAsinB，
又因为sinB≠0，所以sinAcosA＝2，所以2sin（A）＝2，可得A2kπ，k∈Z，
又A∈（0，π），所以A．故选：C．
8.【解答】：因为，
所以由正弦定理可得：（sinAcosC﹣sinCcosA）＝sinB，可得：sin（A﹣C）＝sinB，
所以sin（A﹣C），
因为A+C＝120°，又因为0°＜A＜120°，0°＜C＜120°，可得：﹣120°＜A﹣C＜120°，
所以A﹣C＝30°，解得：A＝75°．故答案为：75°．
9.【解析】:因为在中，，，所以，
又，设三角形外接圆半径为，则，
因此的外接圆面积为.
10.【解析】:由题中已知中，，，则角所对的高线长可表示为，因为三角形形状唯一，所以三角形为直角三角形或钝角三角形，则 或， 所以 或，故答案为
11.【解析】:在中，由，，，则，
要使得三角形有两个，则满足，即， 解得，实数范围是
12.【解析】：由正弦定理，==
所以a=sinA，b=sinB，c=sinC
则==
13.【解析】：因为，，，所以由正弦定理得，即，
得，因为，所以所以，
所以面积
14.【解析】：由已知，根据正弦定理得：，则,即,所以.故答案为.
15.【解析】：由正弦定理得，即，解得，
，从而，所以，
.
16.【解析】：如图所示，延长BA，CD交于E，平移AD，当A与D重合与E点时，AB最长，在△BCE中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得，即，
解得=，平移AD ，当D与C重合时，AB最短，此时与AB交于F，
在△BCF中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，，即，解得BF=，
所以AB的取值范围为（，）.
17. 【解析】：，
当x＝2时，sin A＝1，△ABC有一解；
又当a≤b时，即x≤2时，A为锐角，△ABC只有一解．故答案为：　{x|018. 【解析】：由正弦定理得，
因为且，所以B有两解，得或，所以或
19. 【解析】：（1） ，即，则
因为，又，进而,所以,故 故
（2）由正弦定理及（1）得
= ，故当 取到最大值2.
20.【解析】：(1)．如图，因为，
即．
（2）在中，由正弦定理得
由(1)得，所以
即．
因为，所以.
21. 【解析】：（1）由，得，
所以.
（2）由可得，.a=3，，由正弦定理知：.
又，
所以.
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