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6.1.2　空间向量的数量积
学习目标　1.了解空间向量的夹角及有关概念.2.掌握两个向量的数量积的概念、性质和计算方法.3.了解空间向量投影的概念及投影向量的意义.4.会用投影向量计算空间两个向量的数量积．
导语
在平面向量中已经学过两个平面向量的数量积运算，由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，两个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义．
一、空间向量的夹角
问题1　平面中两个非零向量的夹角是如何定义的？
提示　在平面中任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB就是两向量的夹角．
知识梳理
定义 a，b是空间两个非零向量，过空间任一点O，作＝a，＝b，∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫作向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉
范围 0≤〈a，b〉≤π
特殊夹角 (1)如果〈a，b〉＝0，a与b同向； (2)如果〈a，b〉＝π，a与b反向； (3)如果〈a，b〉＝，a与b互相垂直，记作a⊥b.
例1　(1)对于空间任意两个非零向量a，b，“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
答案　 B
解析　显然〈a，b〉＝0 a∥b，但a∥b包括向量a，b同向共线和反向共线两种情况，即当a∥b时，〈a，b〉＝0或π，因此a∥b 〈a，b〉＝0.故“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的必要不充分条件．
(2)如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，求向量分别与向量，，，，的夹角．
解　连接BD(图略)，
则在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AC⊥BD，∠BAC＝45°，AC＝AD′＝CD′，
所以〈，〉＝〈，〉＝45°，〈，〉＝180°－〈，〉＝135°，〈，〉＝∠D′AC＝60°，〈，〉＝180°－〈，〉＝180°－60°＝120°，〈，〉＝〈，〉＝90°.
反思感悟　(1)空间任意两个向量可平移到共同起点形成夹角．
(2)对空间任意两个非零向量a，b有：①〈a，b〉＝〈b，a〉；②〈－a，b〉＝〈a，－b〉；③〈－a，－b〉＝〈a，b〉．
跟踪训练1　在正四面体ABCD中，与的夹角等于(　　)
A．30° B．60° C．150° D．120°
答案　D
解析　〈，〉＝180°－〈，〉＝180°－60°＝120°.
二、空间向量的数量积
知识梳理
1．定义
设a，b是空间两个非零向量，我们把数量|a||b|cos〈a，b〉叫作向量a，b的数量积，记作a·b.规定：零向量与任一向量的数量积为0.
2．数量积的运算律
交换律 a·b＝b·a
分配律 (a＋b)·c＝a·c＋b·c
结合律 (λa)·b＝λ(a·b)(λ∈R)
3.数量积的性质
两个向量数量积的性质 ①若a，b是非零向量，则a⊥b a·b＝0
②若a与b同向，则a·b＝|a||b|； 若反向，则a·b＝－|a||b|. 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝
③若θ为a，b的夹角，则cos θ＝
注意点：
(1)向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或者ab.
(2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，它可以是正数、负数或零，其符号由夹角θ的范围决定．
①当θ为锐角时，a·b>0；但当a·b>0时，θ不一定为锐角，因为θ也可能为0.
②当θ为钝角时，a·b<0；但当a·b<0时，θ不一定为钝角，因为θ也可能为π.
(3)空间向量的数量积运算不满足消去律和结合律．
例2　如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，计算：
(1)·；(2)·；(3)·；(4)·.
解　(1)·＝·
＝||·||·cos〈，〉
＝×1×1·cos 60°＝，
所以·＝.
(2)·＝·＝||·||·cos〈，〉＝×1×1·cos 0°＝，
所以·＝.
(3)·＝·＝||·||·cos〈，〉＝×1×1·cos 120°＝－，
所以·＝－.
(4)·＝(＋)·(＋)
＝[·(－)＋·(－)＋·＋·]
＝[－·－·＋(－)·＋·]
＝×＝－.
反思感悟　由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确．
跟踪训练2　(1)已知e1，e2为单位向量，且e1⊥e2，若a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为(　　)
A．－6 B．6
C．3 D．－3
答案　B
解析　由题意可得a·b＝0，e1·e2＝0，
|e1|＝|e2|＝1，
所以(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0，
所以2k－12＝0，所以k＝6.
(2)在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，向量与向量的夹角为(　　)
A．60° B．150°
C．90° D．120°
答案　D
解析　＝＋，|1|＝a，
＝＋，||＝a.
∴1·＝·＋·＋·＋1·＝－a2.
∴cos〈1，〉＝＝－.
∴〈1，〉＝120°.
三、空间向量的投影向量
问题2　平面向量中向量a同向量b的投影是如何定义的？
提示　设a，b是两个非零向量，表示向量a，表示向量b，过点A作所在直线的垂线，垂足为点A1，向量称为向量a在向量b上的投影向量．
知识梳理
1．空间投影向量的定义
如图，设向量m＝，过C，D分别作平面α的垂线，垂足分别为C1，D1，得向量.向量称为向量m在平面α上的投影向量．
2．空间向量数量积的几何意义
空间向量m，n(n在平面α内)的数量积就是向量m在平面α上的投影向量与向量n的数量积．
例3　如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，P是C1D1的中点．
(1)确定向量在平面BCC1上的投影向量，并求·；
(2)确定向量在直线B1C1上的投影向量，并求·.
解　(1)因为A1B1⊥平面BCC1,PC1⊥平面BCC1，
所以向量在平面BCC1上的投影向量为.
所以·＝·＝×1×cos 45°＝1.
(2)因为A1B1⊥B1C1，PC1⊥B1C1，
所以向量在直线B1C1上的投影向量为，
故 ·＝·＝1.
反思感悟　利用空间向量的数量积的几何意义求两个向量的数量积时，准确探寻某一向量在平面(或直线)上的投影向量是解题的关键所在．
跟踪训练3　如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1(即A1A⊥平面ABC)中，AC＝AB＝AA1＝，BC＝2AE＝2，求·.
解　方法一　∵A1A⊥平面ABC，
∴A1A⊥AB，A1A⊥AC.
∵AC＝AB＝，BC＝2，
∴AB⊥AC.
又BC＝2AE＝2，
∴E为BC的中点，
∴＝(＋)．
∵AA1＝，
∴A1C＝2.
∴·＝(＋)·(－1)＝2＝1.
方法二　∵A1A⊥平面ABC，
∴在平面ABC上的投影向量为.
又AC＝AB＝AA1＝，BC＝2AE＝2，
∴·＝·＝1××cos 45°＝1.
1．知识清单：
(1)空间向量的夹角．
(2)空间向量的数量积．
(3)空间向量的投影向量．
2．方法归纳：数形结合、转化化归．
3．常见误区：(1)数量积的符号由夹角的余弦值决定．
(2)当a≠0时，由a·b＝0可得a⊥b或b＝0.
1．(多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°的是(　　)
A.与 B.与
C.与 D.与
答案　AD
2．已知空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉的值为(　　)
A. B.
C．－ D．0
答案　D
解析　·＝·(－)＝·－·＝||||cos∠AOC－||||cos∠AOB
＝||||－||||＝0，
所以⊥.所以cos〈，〉＝0.
3．已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则向量e1＋e2在向量e1上的投影向量为________．
答案　e1
解析　(e1＋e2)·e1＝e＋e1·e2
＝1＋1×1×＝.
∴向量e1＋e2在向量e1上的投影向量为
·＝e1.
4．已知|a|＝3，|b|＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，m⊥n，则λ＝________.
答案　－
解析　由m⊥n，得(a＋b)·(a＋λb)＝0，
所以a2＋(1＋λ)a·b＋λb2＝0，
所以18＋(λ＋1)·3×4cos 135°＋16λ＝0，
即4λ＋6＝0，所以λ＝－.
课时对点练
1．在正四面体A－BCD中，点E，F分别是AC，AD的中点，则与的夹角为(　　)
A．30° B．60° C．120° D．150°
答案　C
解析　由题意，可得＝，
所以〈，〉＝〈，〉＝180°－〈，〉＝180°－60°＝120°.
2．已知向量a和b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，则(2a－b)·a等于(　　)
A．12 B．8＋
C．4 D．13
答案　D
解析　(2a－b)·a＝2a2－b·a＝2|a|2－|a||b|cos 120°＝2×4－2×5×＝13.
3．已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的单位向量，则a·b等于(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　A
解析　∵p⊥q且|p|＝|q|＝1，
∴a·b＝(3p－2q)·(p＋q)＝3p2＋p·q－2q2＝3＋0－2＝1.
4．(多选)如图所示，已知空间四边形每条边和对角线长都为a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是(　　)
A．2· B．2·
C．2· D．2·
答案　BC
解析　2·＝2a2cos 120°＝－a2，
2·＝2·＝2a2cos 60°＝a2，
2·＝·＝a2，
2·＝·＝－·＝－a2.
5．平行六面体(底面为平行四边形的四棱柱)ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都为1，且∠A1AD＝∠A1AB＝60°，∠DAB＝45°，则BD1等于(　　)
A.－1 B.－1
C. D.－
答案　C
解析　如图，因为＝－＋，
所以||2＝|－＋|2＝||2＋||2＋||2－2·－2·＋2·
＝1＋1＋1－2×1×1×cos 45°－2×1×1×cos 60°＋2×1×1×cos 60°＝3－，
所以||＝.
6．(多选)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列命题是真命题的是(　　)
A．(＋＋)2＝32
B.·(－)＝0
C.与的夹角为60°
D．正方体的体积为|··|
答案　AB
解析　如图所示，(＋＋)2＝(＋＋)2＝2＝32，故A为真命题；
·(－)
＝·＝0，故B为真命题；与的夹角是与夹角的补角，而与的夹角为60°，故与的夹角为120°，故C是假命题；正方体的体积为||||||，故D为假命题．
7．已知向量a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝6，则2a－b在a方向上的投影向量为________．
答案　a
解析　∵a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝6，
∴(2a－b)·a＝2|a|2－a·b
＝2×22－2×6×＝2，
∴2a－b在a方向上的投影向量为·＝a.
8．已知a＋3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，则〈a，b〉＝________.
答案　60°
解析　由条件知(a＋3b)·(7a－5b)＝7|a|2－15|b|2＋16a·b＝0，
(a－4b)·(7a－2b)＝7|a|2＋8|b|2－30a·b＝0，两式相减得46a·b＝23|b|2，所以a·b＝|b|2，代入上面两个式子中的任意一个，得|a|＝|b|，
所以cos〈a，b〉＝＝＝，
所以〈a，b〉＝60°.
9．如图，已知一个60°的二面角的棱上有两点A，B，AC，BD分别是在这两个面内且垂直于AB的线段，又知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的长．
解　因为CA⊥AB，BD⊥AB，
所以〈，〉＝120°.
因为＝＋＋，
且·＝0，·＝0，
所以||2＝||2＋||2＋||2＋2·
＝||2＋||2＋||2＋2||||cos〈，〉
＝62＋42＋82＋2×6×8×＝68，
所以||＝2，故CD的长为2.
10．已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点，试计算：
(1)·；
(2)·.
解　(1)取AB的中点H，连接DH，易知EH⊥平面ABCD, 又DD1⊥平面ABCD，所以向量在平面ABCD上的投影向量为.
所以·＝·＝2＝16.
(2)向量在平面ABB1A1上的投影向量为.
又⊥，所以·＝·＝0.
11.如图，在大小为45°的二面角A－EF－D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是(　　)
A. B.
C．1 D.
答案　D
解析　∵＝＋＋，
∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1－＝3－.
故||＝.
12．如图，已知在平行四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，且PA＝6，则PC＝________.
答案　7
解析　||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝62＋42＋32＋2||||cos 120°＝49，所以||＝7.
13．在四面体OABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＝1，OB＝2，OC＝3，G为△ABC的重心，则·(＋＋)＝________.
答案　
解析　∵OA，OB，OC两两垂直，
∴·＝·＝·＝0，
且＝，
故·(＋＋)
＝(＋＋)2＝(||2＋||2＋||2)＝×(1＋4＋9)＝.
14．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动，则·的取值范围是______．
答案　[0,1]
解析　依题意，设＝λ，其中λ∈[0,1]，·＝·(＋)＝·(＋λ)＝2＋λ·＝1＋λ×1××＝1－λ∈[0,1]．因此·的取值范围是[0,1]．
15．如图所示，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi(i＝1,2，…，8)是上底面上其余的八个点，则·(i＝1,2，…，8)的不同值的个数为(　　)
A．8 B．4 C．2 D．1
答案　D
解析　·＝·(＋)
＝2＋·，
∵AB⊥平面BP2P8P6，∴⊥，
∴·＝0，
∴·＝||2＝1，
则·(i＝1,2，…8)的不同值的个数为1.
16．如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，沿着它的对角线AC将△ACD折起，使AB与CD成60°角，求此时B，D两点间的距离．
解　在平行四边形ABCD中，
∵∠ACD＝90°，
∴·＝0，同理可得·＝0.
在空间四边形ABCD中，
∵AB与CD成60°角，
∴〈，〉＝60°或〈，〉＝120°.
又＝＋＋，
∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝3＋2×1×1×cos〈，〉，
∴当〈，〉＝60°时，||2＝4，
此时B，D两点间的距离为2，
当〈，〉＝120°时，||2＝2，
此时B，D两点间的距离为.

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