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6.1.3　共面向量定理
学习目标　1.了解共面向量的概念.2.理解空间共面向量定理，会证明直线与平面平行.3.理解空间向量共面的充要条件，会证明空间四点共面．
导语
在平面向量中，向量b与向量a(a≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得b＝λa.那么，空间任意一个向量p与两个不共线的向量a，b共面时，它们之间存在什么样的关系呢？
一、共面向量
问题1　如图，在长方体中，向量a，b，p与平面ABCD有怎样的位置关系？
提示　向量a，b与平面ABCD平行，向量p在平面ABCD内．
知识梳理
能平移到同一平面内的向量叫作共面向量．
注意点：
(1)共面向量不仅包括在同一个平面内的向量，还包括平行于同一平面的向量．
(2)空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面了．
例1　在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量，，是(　　)
A．有相同起点的向量 B．等长向量
C．共面向量 D．不共面向量
答案　C
解析　如图所示．
向量，，不是有相同起点的向量，故A错误；三个向量的模不一定相等，故B错误；又在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，∵＝，而线段D1A，D1C，AC构成△D1AC的三个边，故向量，，是共面向量，故选C.
反思感悟　若a，b不共线且同在平面α内，则p与a，b共面的意义是p在α内或p∥α.
跟踪训练1　(多选)下列说法错误的是(　　)
A．空间的任意三个向量都不共面
B．空间的任意两个向量都共面
C．三个向量共面，即它们所在的直线共面
D．若三向量两两共面，则这三个向量一定也共面
答案　ACD
二、共面向量定理
知识梳理
如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得p＝xa＋yb，即向量p可以由两个不共线的向量a，b线性表示．
注意点：
(1)a，b不共线．
(2)也可说成向量p由不共线的向量a，b线性表示．
例2　(1)已知，是空间两个不共线的向量，＝3－2，那么必有(　　)
A.，共线 B.，共线
C.，，共面 D.，，不共面
答案　C
解析　由共面向量定理知，，，共面．
(2)如图，在底面为正三角形的斜棱柱ABC－A1B1C1中，D为AC的中点．
求证：AB1∥平面C1BD.
证明　记＝a，＝b，＝c，
则＝a＋c，＝－＝a－b，
＝＋＝b＋c，
所以＋＝a＋c＝，
又与不共线，
所以，，共面．
又由于AB1不在平面C1BD内，所以AB1∥平面C1BD.
反思感悟　如果两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使p＝xa＋yb.在判断空间的三个向量共面时，注意“两个向量a，b不共线”的要求.
跟踪训练2　如图所示，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1，设＝a，＝b，＝c，在面对角线AC1和棱BC上分别取点M，N，使＝k，＝k(0≤k≤1)．
求证：MN∥平面ABB1A1.
证明　＝k＝k(＋)＝kb＋kc，
又∵＝＋＝a＋k＝a＋k(b－a)
＝(1－k)a＋kb，
∴＝－＝(1－k)a＋kb－kb－kc
＝(1－k)a－kc，
根据共面向量定理，∴，，共面，
∵MN不在平面ABB1A1内，
∴MN∥平面ABB1A1.
三、空间四点共面的条件
问题2　对于不共线的三点A，B，C和平面ABC外的一点O，空间一点P满足关系式＝x＋y＋z，则点P在平面ABC内的充要条件是什么？
提示　x＋y＋z＝1.
证明如下：(1)充分性
∵＝x＋y＋z
可变形为＝(1－y－z)＋y＋z，
∴－＝y(－)＋z(－)，
∴＝y＋z，
∴点P与A，B，C共面．
(2)必要性
∵点P在平面ABC内，且点A，B，C不共线，
∴存在有序实数对(m，n)使＝m＋n，
－＝m(－)＋n(－)，
∴＝(1－m－n)＋m＋n，
∵＝x＋y＋z，
且点O在平面ABC外，
∴，，不共面，
∴x＝1－m－n，y＝m，z＝n，
∴x＋y＋z＝1.
知识梳理
若空间任意无三点共线的四点，对于空间任一点O，存在实数x，y，z使得＝x＋y＋z，且x，y，z满足x＋y＋z＝1，则A，B，C，D四点共面．
例3　(1)(多选)对空间任一点O和不共线的三点A，B，C，能得到P，A，B，C四点共面的是(　　)
A.＝＋＋
B.＝＋＋
C.＝＋＋
D.＝2－－
答案　BC
解析　方法一　A选项，＝＋＋，不能转化成＝x＋y的形式，所以A不正确；
B选项，∵＝＋＋，∴3＝＋＋，∴－＝(－)＋(－)，∴＝＋，∴＝－－，∴P，A，B，C共面．故B正确；
C选项，＝＋＋＝＋(＋)＋(＋)＝＋＋.
∴－＝＋，
∴＝＋，
由共面的充要条件知P，A，B，C四点共面，故C选项正确；
D选项，＝2－－，无法转化成＝x＋y的形式，所以D项不正确．
方法二　点P与A，B，C共面时，对空间任意一点O，都有＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1，可判断出只有选项B，C符合要求．
(2)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点M为DD1的中点，点N在AC上，且AN∶NC＝2∶1，求证：A1，B，N，M四点共面．
证明　设＝a，＝b，＝c，则＝b－a，
∵M为线段DD1的中点，∴＝c－a，
又∵AN∶NC＝2∶1，∴＝＝(b＋c)，
∴＝－＝(b＋c)－a
＝(b－a)＋＝＋，
∴，，为共面向量．
又∵三向量有相同的起点A1，
∴A1，B，N，M四点共面．
反思感悟　解决向量共面的策略
(1)若已知点P在平面ABC内，则有＝x＋y或＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数．
(2)证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个不共线的向量来表示．
跟踪训练3　已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证：
(1)E，F，G，H四点共面．
(2)BD∥平面EFGH.
证明　如图，连接EG，BG.
(1)因为＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋，由向量共面的充要条件知向量，，共面，即E，F，G，H四点共面．
(2)因为＝－＝－＝，
所以EH∥BD.又EH 平面EFGH，BD 平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.
1．知识清单：
(1)共面向量定理的概念及应用．
(2)空间中应用共面向量定理判断共面问题．
2．方法归纳：类比法．
3．常见误区：应用＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)时，应注意，，，四向量共起点，才能四点共面．
1．对于空间的任意三个向量a，b,2a－b，它们一定是(　　)
A．共面向量 B．共线向量
C．不共面向量 D．既不共线也不共面的向量
答案　A
解析　由向量共面定理可知，三个向量a，b,2a－b为共面向量．
2．(多选)下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是(　　)
A.＝3－－
B.＝＋＋
C.＋＋＝0
D.＋＋＋＝0
答案　AC
解析　A选项中，3－1－1＝1，四点共面，
C选项中，＝－－，∴点M，A，B，C共面．
3．已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有＝x＋＋，则x的值为(　　)
A．1 B．0 C．3 D.
答案　D
解析　∵＝x＋＋，
且M，A，B，C四点共面，
∴x＋＋＝1，∴x＝，故选D.
4．如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，向量，，是________向量(填“共面”或“不共面”)．
答案　共面
解析　＋＝，
而＝，
所以＋＝，所以，，是共面向量．
课时对点练
1．已知i与j不共线，则存在两个非零常数m，n，使k＝mi＋nj是i，j，k共面的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
答案　A
解析　若i与j不共线，且存在两个非零常数m，n，使k＝mi＋nj，则由共面向量定理，知i，j，k共面．若i与j不共线，且k与i，j共面，则存在唯一的一对实数(m，n)，使k＝mi＋nj，但m，n不一定为非零常数，故选A.
2．已知两非零向量e1，e2，且e1与e2不共线，设a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R，且λ，μ≠0)，则下列结论正确的是(　　)
A．a∥e1
B．a∥e2
C．a与e1，e2共面
D．以上三种情况均有可能
答案　C
解析　假设a与e1共线，则a＝ke1，
所以a＝λe1＋μe2可变为(k－λ)e1＝μe2，
所以e1与e2共线，这与e1与e2不共线相矛盾，故假设不成立，则A不正确，同理B不正确，则D也错误．
3．对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，且有＝x＋y＋z(x，y，z∈R)，则x＝2，y＝－3，z＝2是P，A，B，C四点共面的(　　)
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
答案　B
解析　空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，
且＝x＋y＋z(x，y，z∈R)，
则P，A，B，C四点共面等价于x＋y＋z＝1；
若x＝2，y＝－3，z＝2，则x＋y＋z＝1，
所以P，A，B，C四点共面；
若P，A，B，C四点共面，则x＋y＋z＝1，但不能得到x＝2，y＝－3，z＝2，
所以x＝2，y＝－3，z＝2是P，A，B，C四点共面的充分不必要条件．
4．已知向量e1，e2不共线，＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3e1－5e2，则(　　)
A.与共线
B.与共线
C．A，B，C，D四点不共面
D．A，B，C，D四点共面
答案　D
解析　A中，不存在实数λ，使＝λ，故A错误；
B中，＝－＝e1－13e2，不存在实数λ，使＝λ，故B错误；若A，B，C，D四点共面，则必有＝x＋y＝(x＋2y)e1＋(x＋8y)e2＝3e1－5e2，
则即
故＝－，
故A，B，C，D四点共面，故C错误，D正确．
5．已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外任意一点，若由＝＋＋λ确定的一点P与A，B，C三点共面，则λ等于(　　)
A. B. C．－ D．－
答案　A
解析　方法一　＝＋＋λ＝＋(－)＋λ(－)－＝＋＋λ－，即＝＋λ－.由共面向量定理知－λ＝0，解得λ＝.
方法二　运用向量共面定理的推论，由＝＋＋λ直接得出＋＋λ＝1，解得λ＝.
6．(多选)下列命题中是真命题的为(　　)
A．若向量p＝xa＋yb，则p与a，b共面
B．若p与a，b共面，则p＝xa＋yb
C．若＝x＋y，则P，M，A，B四点共面
D．若P，M，A，B四点共面，则＝x＋y
答案　AC
解析　对于选项A，由共面向量定理得p与a，b共面，A是真命题；
对于选项B，若a，b共线，p不一定能用a，b表示出来，B是假命题；
对于选项C，若＝x＋y，则，，三个向量在同一个平面内，P，M，A，B四点共面，C是真命题；
对于选项D，若M，A，B共线，点P不在此直线上，则＝x＋y不成立，D是假命题．
7．下列命题中为真命题的是________．
①若＋＋＝0，则A1，A2，A3三点共面；
②若＋＋＋＝0，则A1，A2，A3，A4四点共面；
③若＋＋＋…＋An－1An＋＝0，则A1，A2，A3，…，An这n个点共面．
答案　①
解析　在空间四边形A1A2A3A4中，
有＋＋＋＝0，
但四点不一定共面，故②③都错误．
8．已知P为空间中任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且＝－x＋，则实数x的值为________．
答案　
解析　＝－x＋＝－x＋(－)＝－x－.
又∵P是空间任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，
∴－x－＝1，解得x＝.
9．已知A，B，C三点不共线，平面ABC外一点M满足＝＋＋.
(1)判断，，三个向量是否共面；
(2)判断M是否在平面ABC内．
解　(1)∵＋＋＝3，
∴－＝(－)＋(－)，
∴＝＋＝－－，
∴向量，，共面．
(2)由(1)知，向量，，共面，而它们有共同的起点M，且A，B，C三点不共线，∴M，A，B，C共面，即M在平面ABC内．
10．如图，直三棱柱ABC－A′B′C′，点M，N分别为A′B和B′C′的中点，证明：MN∥平面A′ACC′.
证明　因为＝＋，
且点M，N分别为A′B和B′C′的中点，
所以＝＋(＋)＝(＋)＋(＋)＝＋，
又与不共线，
所以，，共面，
因为MN 平面A′ACC′，
所以MN∥平面A′ACC′.
11．下面关于空间向量的说法正确的是(　　)
A．若向量a，b平行，则a，b所在直线平行
B．若向量a，b所在直线是异面直线，则a，b不共面
C．若A，B，C，D四点不共面，则向量，不共面
D．若A，B，C，D四点不共面，则向量，，不共面
答案　D
解析　我们可以通过平移将空间中任意两个向量平移到一个平面内，因此空间任意两个向量都是共面的，故B，C错误；由向量平行与直线平行的区别，可知A错误；因为AB，AC，AD是空间中有公共端点A但不共面的三条线段，所以向量，，不共面．故选D.
12．平面α内有五点A，B，C，D，E，其中无三点共线，O为空间一点，满足＝＋x＋y，＝2x＋＋y，则x＋3y等于(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　由点A，B，C，D共面得x＋y＝，①
又由点B，C，D，E共面得2x＋y＝，②
联立①②，解得x＝，y＝，
所以x＋3y＝.
13．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，M为空间任意两点，如果有＝＋7＋6－4，那么M必(　　)
A．在平面BAD1内 B．在平面BA1D内
C．在平面BA1D1内 D．在平面AB1C1内
答案　C
解析　＝＋7＋6－4
＝＋＋6－4
＝＋＋6－4
＝＋6(－)－4(－)
＝11－6－4，
于是M，B，A1，D1四点共面．
14．已知A，B，C三点不共线，点O是平面ABC外任意一点，点P满足＋2＝6－3，则P与平面ABC的关系是__________________．
答案　P在平面ABC内
解析　方法一　∵3－3＝＋2－3
＝(－)＋(2－2)，
∴3＝＋2，即＝－2－3.
∴点P与点A，B，C共面．
方法二　由题意得＝＋＋，
∵＋＋＝1，且A，B，C三点不共线，
∴点P与点A，B，C共面．
15.如图所示，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点，H为棱PC上的点，且＝，点G在AH上，且＝m，若G，B，P，D四点共面，则实数m的值是________．
答案　
解析　连结BD，BG(图略)．
因为＝－，＝，
所以＝－.
因为＝＋，
所以＝＋－＝－＋＋.
因为＝，
所以＝，
所以＝－＋＋.
又因为＝－，
所以＝－＋＋.
因为＝m，
所以＝m＝－＋＋.
又因为＝＋＝＋＋，
且G，B，P，D四点共面，
所以1－＝0，
解得m＝.
16.已知O，A，B，C，D，E，F，G，H为空间的9个点(如图所示)，并且＝k，＝k，＝k，＝＋m，＝＋m.
求证：(1)A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面；
(2)∥；
(3)＝k.
证明　(1)由＝＋m，＝＋m知A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面．
(2)∵＝＋m＝－＋m(－)
＝k(－)＋km(－)
＝k＋km＝k(＋m)＝k，
∴∥.
(3)由(2)知＝－＝k－k
＝k(－)＝k，∴＝k.

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