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§6.2　空间向量的坐标表示
6.2.1　空间向量基本定理
学习目标　1.掌握空间向量基本定理及其推论.2.会选择适当的基底表示任何一个空间向量．
导语
回顾平面向量基本定理，如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2.我们把两个不共线的向量e1，e2叫作这个平面的一组基底．类似地，任意一个空间向量能否用任意三个不共面的向量e1，e2，e3表示呢？
一、空间向量基本定理及其推论
问题1　如图，设i，j，k是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点O，对于任意一个空间向量p＝，p 能否用i，j，k表示呢？
提示　如图，设为在i，j所确定的平面上的投影向量，则＝＋.
又向量，k共线，因此存在唯一的实数z，使得＝zk，从而＝＋zk.
在i，j确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得＝xi＋yj.
从而＝＋zk＝xi＋yj＋zk.
问题2　你能证明唯一性吗？
提示　假设除(x，y，z)外，还存在有序实数组(x′，y′，z′)，使得p＝x′i＋y′j＋z′k，则x′i＋y′j＋z′k＝xi＋yj＋zk.
不妨设x′≠x，则(x′－x)i＝(y－y′)j＋(z－z′)k.
两边同除以(x′－x)，得i＝j＋k.
由平面向量基本定理可知，i，j，k共面，这与已知矛盾．所以有序实数组(x，y，z)是唯一的．
知识梳理
1．空间向量基本定理：如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使p＝xe1＋ye2＋ze3.
2．基底的有关概念
定义 在空间向量基本定理中，如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么空间的每一个向量都可由向量e1，e2，e3线性表示．我们把{e1，e2，e3}称为空间的一个基底，e1，e2，e3叫作基向量
正交基底与单位正交基底 如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么这个基底叫作正交基底．特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用{i，j，k}表示
3.空间向量基本定理的推论
设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任意一点P，都存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得＝x＋y＋z.
注意点：
(1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示；不同基底下，同一向量的表达式也有可能不同．
(2)一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．
(3)由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个不共线的非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量．
例1　已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底．
解　假设，，共面．
则存在实数λ，μ使得＝λ＋μ，
∴e1＋2e2－e3＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3)
＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3，
∵e1，e2，e3不共面，
∴此方程组无解，
∴，，不共面，
∴{，，}可以作为空间的一个基底．
反思感悟　基底的判断思路
(1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底．
(2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断．
跟踪训练1　(多选)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，则下列向量组中，可以作为空间一个基底的向量组有(　　)
A．{a，b，x} B．{x，y，z}
C．{b，c，z} D．{x，y，a＋b＋c}
答案　BCD
解析　如图所示，令a＝，b＝，c＝，
则x＝，y＝，z＝，
a＋b＋c＝，由于A，B1，C，D1四点不共面，可知向量x，y，z也不共面，同理b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面．
二、用基底表示向量
例2　如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：
(1)；(2)；(3).
解　(1)∵P是C1D1的中点，
∴＝＋＋＝a＋＋
＝a＋c＋＝a＋b＋c.
(2)∵N是BC的中点，
∴＝＋＋＝－a＋b＋
＝－a＋b＋＝－a＋b＋c.
(3)∵M是AA1的中点，
∴＝＋＝＋
＝－a＋＝a＋b＋c.
延伸探究
1．本例的条件不变，试用a，b，c表示向量.
解　因为P，N分别是D1C1，BC的中点，
所以＝＋＋＝＋(－)＋＝－a＋b－c.
2．若把本例中“P是C1D1的中点”改为“P在线段C1D1上，且＝”，其他条件不变，如何表示？
解　＝1＋＝＋＋＝a＋c＋b.
反思感悟　用基底表示向量时
(1)若基底确定，要充分利用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律．
(2)若没给定基底，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求．
跟踪训练2　如图，四棱锥POABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是PC和PB的中点，试用a，b，c表示，，，.
解　连接BO，则＝
＝(＋)
＝(＋＋)
＝(c－b－a)
＝－a－b＋c.
＝＋＝－a＋
＝－a＋(＋)＝－a－b＋c.
＝＋＝＋＋(＋)
＝－a＋c＋(－c＋b)＝－a＋b＋c.
＝＝＝a.
三、空间向量基本定理的应用
例3　如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条边的长度都为1，且两两夹角为60°.
(1)求AC1的长；
(2)求BD1与AC所成角的余弦值．
解　(1)设＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|b|＝|c|＝1，
〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
所以a·b＝b·c＝c·a＝.
||2＝(a＋b＋c)2
＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)
＝1＋1＋1＋2×＝6，
所以||＝，即AC1的长为.
(2)＝b＋c－a，＝a＋b，
所以||＝，||＝，
·＝(b＋c－a)·(a＋b)
＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1.
所以cos〈，〉＝＝.
所以AC与BD1所成角的余弦值为.
反思感悟　用空间向量基本定理解决立体几何问题的步骤：首先根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底，如果存在三个两两垂直的空间向量也可以确定一个单位正交基底．然后根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，最后把空间向量的运算转化为基向量的运算．
跟踪训练3　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点，求证：EF⊥AB1.
证明　设＝a，＝b，＝c，
则＝＋＝(＋)
＝(＋)
＝(＋－)
＝(－a＋b＋c)，
＝＋＝＋＝a＋b.
所以·＝(－a＋b＋c)·(a＋b)
＝(|b|2－|a|2)＝0，
所以⊥，即EF⊥AB1.
1．知识清单：
(1)空间向量基本定理及其推论．
(2)基底的概念以及判断．
(3)用基底表示向量．
(4)空间向量基本定理的应用．
2．方法归纳：类比法、转化化归．
3．常见误区：对基底的概念理解不清，导致出错．
1．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，可以作为空间向量的一个基底的是(　　)
A.，， B.，，
C.，， D.，，
答案　C
解析　由题意知，，，不共面，
可以作为空间向量的一个基底．
2．三棱柱ABC－A1B1C1中，若＝a，＝b，＝c，则等于(　　)
A．a＋b－c B．a－b＋c
C．－a＋b＋c D．－a＋b－c
答案　D
解析　＝＋＋＝－－＋＝－a＋b－c.
3．若{a，b，c}是空间的一个基底，且存在实数x，y，z，使得xa＋yb＋zc＝0，则x，y，z满足的条件是________．
答案　x＝y＝z＝0
解析　由于{a，b，c}是空间的一个基底，所以当xa＋yb＋zc＝0时，x＝y＝z＝0.
4．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若AA1＝AB＝2，AD＝1，E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E，FG所成的角为________．
答案　
解析　设＝2a，＝2b，＝c，
这三个向量不共面且两两垂直，故{a，b，c}为空间的一个单位正交基底．
＝＋＋＝－2a＋c＋a＝－a＋c，
＝＋＋＝a＋b＋c，
从而·＝(－a＋c)·(a＋b＋c)＝－a2＋c2＝0，
所以cos〈，〉＝＝0，
所以异面直线A1E，FG所成的角为.
课时对点练
1．设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一个基底，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
答案　B
解析　当非零向量a，b，c不共面时，{a，b，c}可以当基底，否则不能当基底，当{a，b，c}为基底时，一定有a，b，c为非零向量．因此p q，q p.
2．(多选)已知{a，b，c}是空间的一个基底，则下列选项中不能构成空间的一个基底的是(　　)
A．{a，a－2b,2a＋b}
B．{b，b＋c，b－c}
C．{2a－3b，a＋b，a－b}
D．{a＋b，b－c，c＋2a}
答案　ABC
解析　只有D选项中的三个向量不共面，其他选项中的三个向量都共面．
3．长方体ABCD－A1B1C1D1中，若＝3i，＝2j，＝5k，则等于(　　)
A．i＋j＋k B.i＋j＋k
C．3i＋2j＋5k D．3i＋2j－5k
答案　C
解析　＝＋＋＝＋＋＝3i＋2j＋5k.
4．如图所示，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.若＝x＋y＋z，则x＋y＋z等于(　　)
A．－1 B．0
C. D．1
答案　C
解析　因为＝－＝＋－(＋)＝＋－－＝－＋＋
，所以x＝－1，y＝1，z＝，所以x＋y＋z＝.
5．若向量，，的起点M与终点A，B，C互不重合，且点M，A，B，C中无三点共线，满足下列关系(O是空间任一点)，则向量，，能作为空间一个基底的关系是(　　)
A.＝＋＋
B.≠＋
C.＝＋＋
D.＝2－
答案　C
解析　若，，为空间一个基底，则M，A，B，C四点不共面．选项A中，因为＋＋＝1，所以点M，A，B，C共面；选项B中，≠＋，但可能存在实数λ，μ使得＝λ＋μ，所以点M，A，B，C可能共面；选项D中，四点M，A，B，C显然共面，故选C.
6.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB，AD的夹角都等于60°.若M是PC的中点，则||等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　记＝a，＝b，＝c，
因为AB＝AD＝1，PA＝2，
所以|a|＝|b|＝1，|c|＝2.
又因为AB⊥AD，∠PAB＝∠PAD＝60°，
所以a·b＝0，a·c＝b·c＝2×1×cos 60°＝1.
易得＝(－a＋b＋c)，
所以||2＝(－a＋b＋c)2
＝[a2＋b2＋c2＋2×(－a·b－a·c＋b·c)]
＝×[12＋12＋22＋2×(0－1＋1)]
＝，
所以||＝，故选A.
7.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，用，，作为基向量，则＝________________.
答案　(＋＋)
解析　∵2＝2＋2＋2＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝＋＋，
∴＝(＋＋)．
8．如图，O为△ABC所在平面外一点，M为BC的中点，若＝λ与＝＋＋同时成立，则实数λ的值为________．
答案　
解析　＝＋＝＋λ
＝＋(＋)
＝＋(－＋－)
＝(1－λ)＋＋
＝＋＋，
所以1－λ＝，＝，
解得λ＝.
9．如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱垂直于底面，∠BAC＝90°.
求证：AB⊥AC1.
证明　设＝a，＝b，＝c，
则＝＋＝b＋c.
所以·＝a·(b＋c)＝a·b＋a·c，
因为AA1⊥平面ABC，∠BAC＝90°，
所以a·b＝0，a·c＝0，
得·＝0，故AB⊥AC1.
10．如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，＝a，＝b，＝c，E为A1D1的中点，F为BC1与B1C的交点．
(1)用基底{a，b，c}表示向量，，；
(2)化简＋＋，并在图中标出化简结果．
解　(1)＝＋＝＋－＝a－b＋c.
＝＋＋＝－a＋b＋c.
＝＋＝a＋(b＋c)
＝a＋b＋c.
(2)＋＋＝＋(＋)
＝＋＝＋＝.
如图，连接DA1，则即为所求．
11．已知四面体O－ABC，G1是△ABC的重心，G是OG1上一点，且OG＝3GG1，若＝x＋y＋z，则(x，y，z)为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　如图所示，连接AG1并延长，交BC于点E，则点E为BC的中点，
＝(＋)
＝(－2＋)，
＝＝(－2＋)，
∵＝3＝3(－)，
∴＝＝(＋)
＝
＝＋＋.∴x＝，y＝，z＝.
12．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E为D1C1的中点，则与夹角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　设正方体的棱长为1，
记＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b＝b·c＝c·a＝0.
因为＝＝＋＝a＋b，
＝＋＝＋＝c＋a，
所以·＝(a＋b)·
＝a·c＋b·c＋a2＋a·b＝a2＝.
又因为||＝，||＝＝，
所以cos〈，〉＝＝＝，
所以与夹角的余弦值为.
13．如图，已知空间四边形ABCD中，＝a－2c，＝5a＋6b－8c，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则＝________.(用向量a，b，c表示)
答案　3a＋3b－5c
解析　设G为BC的中点，连接EG，FG(图略)，
则＝＋＝＋
＝(a－2c)＋(5a＋6b－8c)
＝3a＋3b－5c.
14．已知{a，b，c}是空间的一个单位正交基底，{a＋b，a－b，c}是空间的另一个基底，若向量m在基底{a，b，c}下表示为m＝3a＋5b＋9c，则m在基底{a＋b，a－b,3c}下可表示为________．
答案　4(a＋b)－(a－b)＋3(3c)
解析　由题意知，m＝3a＋5b＋9c，
设m＝x(a＋b)＋y(a－b)＋z(3c)，
则有解得
则m在基底{a＋b，a－b,3c}下可表示为
m＝4(a＋b)－(a－b)＋3(3c)．
15．如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为________．
答案　
解析　设＝a，＝b，＝c，
则〈a，b〉＝120°，c⊥a，c⊥b，
因为＝＋＝－a＋c，
＝＋＝b＋c，
所以cos〈，〉＝
＝
＝
＝＝＝.
16.如图，在三棱锥P－ABC中，点G为△ABC的重心，点M在PG上，且PM＝3MG，过点M任意作一个平面分别交线段PA，PB，PC于点D，E，F，若＝m，＝n，＝t，求证：＋＋为定值，并求出该定值．
解　连接AG并延长交BC于点H，连接DM(图略)．
由题意，可令{，，}为空间的一个基底，
＝＝(＋)＝＋×
＝＋×
＝＋(－)＋(－)
＝＋＋.
∵点D，E，F，M共面，
∴存在实数λ，μ使得＝λ＋μ，
即－＝λ(－)＋μ(－)，
∴＝(1－λ－μ)＋λ＋μ
＝(1－λ－μ)m＋λn＋μt，
由空间向量基本定理，知＝(1－λ－μ)m，＝λn，＝μt，
∴＋＋＝4(1－λ－μ)＋4λ＋4μ＝4，为定值．

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