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6.2.2　空间向量的坐标表示
第1课时　空间直角坐标系及其线性运算的坐标表示
学习目标　1.了解空间直角坐标系.2.能在空间直角坐标系中写出所给定点、向量的坐标.3.掌握空间向量线性运算的坐标表示．
导语
我们所在的教室是一个三维立体图形，如果以教室的一个墙角为坐标原点，沿着三条墙缝作射线可以得到三个空间向量．那么教室中的任意一点与这三个空间向量有什么关系呢？
一、空间直角坐标系及空间中点的坐标表示
问题1　类比平面直角坐标系，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知△ABC的边长为1，三棱柱的高为2，如何建立适当的空间直角坐标系？
提示　分别取BC，B1C1的中点D，D1，以D为原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示．
知识梳理
1．空间直角坐标系
如图，在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫作坐标轴，这时我们说建立了一个空间直角坐标系O－xyz.点O叫作坐标原点，三条坐标轴中的每两条确定一个坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面和zOx平面．
2．空间中点的坐标的求法
如图，在空间直角坐标系O－xyz中，对于空间任意一点P，我们称向量为点P的位置向量．把与向量对应的有序实数组(x，y，z)叫作点P的坐标，记作P(x，y，z)．
注意点：
(1)基向量：|i|＝|j|＝|k|＝1，i·j＝i·k＝j·k＝0.
(2)画空间直角坐标系O－xyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°.
(3)建立的坐标系均为右手直角坐标系．
(4)坐标轴上或坐标平面上点的坐标的特点
x轴上 (x,0,0) xOy平面上 (x，y,0)
y轴上 (0，y,0) yOz平面上 (0，y，z)
z轴上 (0,0，z) xOz平面上 (x,0，z)
坐标原点 (0,0,0)
例1　设正四棱锥S－P1P2P3P4的所有棱长均为2，建立适当的空间直角坐标系，求各个顶点的坐标．
解　如图所示，建立空间直角坐标系，其中O为底面正方形的中心，P1P2⊥Oy轴，P1P4⊥Ox轴，SO在Oz轴上．
∵P1P2＝2，且P1，P2，P3，P4均在xOy平面上，
∴P1(1,1,0)，P2(－1,1,0)．
在xOy平面内，P3与P1关于原点O对称，P4与P2关于原点O对称，
∴P3(－1，－1,0)，P4(1，－1,0)．
又SP1＝2，OP1＝，
∴在Rt△SOP1中，SO＝，
∴S(0,0，)．
(答案不唯一，也可选择其他的点建系)
延伸探究　把本例题设条件换成：已知正四棱锥P－ABCD的底面边长为a，侧棱长为l，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标．
解　设正四棱锥底面中心为点O，因为OA⊥OB，点P在平面ABCD上的射影为O，所以以O为坐标原点，以OA，OB，OP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．
则OA＝a，
PA＝PB＝PC＝PD＝l，
所以PO＝＝.
故各顶点坐标依次为A，B，
C，D，P.
反思感悟　(1)建立空间直角坐标系时，要考虑如何建系才能使点的坐标简单、便于计算，一般是要使尽量多的点落在坐标轴上．
(2)对于长方体或正方体，一般取相邻的三条棱所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系；确定点的坐标时，最常用的方法就是求某些与轴平行的线段的长度，即将坐标转化为与轴平行的线段长度，同时要注意坐标的符号，这也是求空间点的坐标的关键．
跟踪训练1　建立空间直角坐标系如图所示，正方体DABC－D′A′B′C′的棱长为a，E，F，G，H，I，J分别是棱C′D′，D′A′，A′A，AB，BC，CC′的中点，写出正六边形EFGHIJ各顶点的坐标．
解　正方体DABC－D′A′B′C′的棱长为a，且E，F，G，H，I，J分别是棱C′D′，D′A′，A′A，AB，BC，CC′的中点，∴正六边形EFGHIJ各顶点的坐标为E，F，G，H，I，
J.
二、空间向量的坐标表示及运算
问题2　能否由平面向量的坐标运算类比得到空间向量的坐标运算，它们是否成立？
提示　成立，空间向量的坐标运算类似于平面向量的坐标运算．
知识梳理
1．空间向量的坐标表示
在空间直角坐标系O－xyz中，对于空间任意一个向量a，根据空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(a1，a2，a3)，使a＝a1i＋a2j＋a3k.有序实数组(a1，a2，a3)叫作向量a在空间直角坐标系O－xyz中的坐标，记作a＝(a1，a2，a3)．
2．(1)设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
则a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)；
a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)；
λa＝(λa1，λa2，λa3)(λ∈R)．
(2)设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝－＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标．
例2　已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)．
(1)求＋，－；
(2)是否存在实数x，y，使得＝x＋y成立，若存在，求x，y的值；若不存在，请说明理由．
解　＝(－1,1,2)－(－2,0,2)＝(1,1,0)，
＝(－3,0,4)－(－2,0,2)＝(－1,0,2)．
(1)＋＝(1,1,0)＋(－1,0,2)＝(0,1,2)．
－＝(1,1,0)－(－1,0,2)＝(2,1，－2)．
(2)假设存在x，y∈R满足条件，
由已知可得＝(－2，－1,2)．
由题意得(－1,0,2)＝x(1,1,0)＋y(－2，－1,2)，
所以(－1,0,2)＝(x－2y，x－y,2y)，
所以所以
所以存在实数x＝1，y＝1使得结论成立．
反思感悟　(1)向量的坐标可由其两个端点的坐标确定，即向量的坐标等于其终点的坐标减去起点的坐标．特别地，当向量的起点为坐标原点时，向量的坐标即是终点的坐标．
(2)进行空间向量的加、减、数乘的坐标运算的关键是运用好其运算法则．
跟踪训练2　已知△ABC中，A(2，－5,3)，＝(4,1,2)，＝(3，－2,5)，求顶点B，C的坐标及.
解　设B(x，y，z)，C(x1，y1，z1)，
所以＝(x－2，y＋5，z－3)，
＝(x1－x，y1－y，z1－z)．
因为＝(4,1,2)，
所以
解得
所以B的坐标为(6，－4,5)．
因为＝(3，－2,5)，
所以解得
所以C的坐标为(9，－6,10)，＝(－7,1，－7)．
三、空间向量平行的坐标表示及应用
知识梳理
已知空间向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，且a≠0，则a∥b b＝λa x2＝λx1，y2＝λy1，z2＝λz1.
注意点：若x2y2z2≠0，a∥b ＝＝.
例3　已知四边形ABCD的顶点坐标分别是A(3，－1,2)，B(1,2，－1)，C(－1,1，－3)，D(3，－5,3)，求证：四边形ABCD是一个梯形．
证明　∵＝(1,2，－1)－(3，－1,2)＝(－2,3，－3)，＝(3，－5,3)－(－1,1，－3)＝(4，－6,6)，
∴＝＝，∴与共线，即AB∥CD，
又∵＝(3，－5,3)－(3，－1,2)＝(0，－4,1)，
＝(－1,1，－3)－(1,2，－1)＝(－2，－1，－2)，
∴≠≠，
∴与不平行．
∴四边形ABCD为梯形．
反思感悟　判断空间向量平行的步骤
(1)向量化：将空间中的平行转化为向量的平行．
(2)向量关系代数化：写出向量的坐标．
(3)对于a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，根据x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R)或＝＝(x2，y2，z2都不为0)判断两向量是否平行．
跟踪训练3　已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝，b＝.若(ka＋b)∥(a－3b)，求实数k的值．
解　由题意得a＝＝(1,1,0)，b＝＝(－1,0,2)，
∴ka＋b＝(k－1，k,2)，a－3b＝(4,1，－6)，
∵(ka＋b)∥(a－3b)，∴＝＝，
解得k＝－，∴k的值为－.
1．知识清单：
(1)空间直角坐标系及空间中点的坐标表示．
(2)空间向量的坐标表示及运算．
(3)共线向量的坐标表示及应用．
2．方法归纳：数形结合、类比联想．
3．常见误区：混淆空间点的坐标和向量坐标的概念，只有起点在原点的向量的坐标才和终点的坐标相同．
1．在空间直角坐标系O－xyz中，已知点A的坐标为(－1,2,1)，点B的坐标为(1,3,4)，则(　　)
A.＝(－1,2,1) B.＝(1,3,4)
C.＝(2,1,3) D.＝(－2，－1，－3)
答案　C
解析　＝(1＋1,3－2,4－1)＝(2,1,3)．
2．在空间直角坐标系O－xyz中，已知点A(1，－2,0)和向量a＝(－3,4,12)，且＝2a，则点B的坐标为(　　)
A．(－7,10,24) B．(7，－10，－24)
C．(－6,8,24) D．(－5,6,24)
答案　D
解析　∵a＝(－3,4,12)，且＝2a，
∴＝(－6,8,24)，
∵A(1，－2,0)，
∴B(－5,6,24)．
3．与向量m＝(0,1，－2)共线的向量坐标是(　　)
A．(2,0，－4) B．(3,6，－12)
C．(1,1，－2) D.
答案　D
解析　∵＝m，
∴与m共线的向量是.
4．如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，B1E＝A1B1，则的坐标是________．
答案　
解析　由题图知B(1,1,0)，E，
所以＝.
课时对点练
1．在空间直角坐标系O－xyz中，下列说法正确的是(　　)
A．向量的坐标与点B的坐标相同
B．向量的坐标与点A的坐标相同
C．向量与向量的坐标相同
D．向量与向量－的坐标相同
答案　D
解析　因为点A，B不一定为坐标原点，所以选项A，B，C都不正确；因为＝－，所以选项D正确．
2．已知向量a＝(3,5，－1)，b＝(2,2,3)，c＝(1，－1,2)，则向量a－b＋4c的坐标为(　　)
A．(5，－1,4) B．(5,1，－4)
C．(－5,1,4) D．(－5，－1,4)
答案　A
解析　向量a＝(3,5，－1)，b＝(2,2,3)，c＝(1，－1,2)，
则向量a－b＋4c＝(3,5，－1)－(2,2,3)＋4(1，－1,2)＝(5，－1,4)，故选A.
3．(多选)下列各组两个向量中，平行的有(　　)
A．a＝(1，－2,3)，b＝(1,2,1)
B．a＝(0，－3,3)，b＝(0,1，－1)
C．a＝(0，－3,2)，b＝
D．a＝，b＝(－2,1，－6)
答案　BD
解析　对于B，有a＝－3b，故a∥b；
对于D，有b＝－2a，故a∥b；
而对A，C中两向量，不存在实数λ，使a＝λb，故不平行．
4．已知三点A(1,5，－2)，B(2,4,1)，C(a,3，b＋2)在同一条直线上，那么(　　)
A．a＝3，b＝－3
B．a＝6，b＝－1
C．a＝3，b＝2
D．a＝－2，b＝1
答案　C
解析　根据题意得＝(1，－1,3)，
＝(a－1，－2，b＋4)，
∵与共线，∴＝λ，
∴(a－1，－2，b＋4)＝(λ，－λ，3λ)，
∴解得
5．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若＝3i，＝2j，＝5k，则向量在基底{i，j，k}下的坐标是(　　)
A．(1,1,1) B.
C．(3,2,5) D．(3,2，－5)
答案　C
解析　＝＋＋＝＋＋
＝3i＋2j＋5k，
∴向量在基底{i，j，k}下的坐标是(3,2,5)．
6．(多选)下列各组向量中共面的有(　　)
A．a＝(1,2,3)，b＝(3,0,2)，c＝(4,2,5)
B．a＝(1,2，－1)，b＝(0,2，－4)，c＝(0，－1,2)
C．a＝(1,1,0)，b＝(1,0,1)，c＝(0,1，－1)
D．a＝(1,1,1)，b＝(1,1,0)，c＝(1,0,1)
答案　ABC
解析　A中，设a＝xb＋yc，
则
解得
故存在实数x＝－1，y＝1使得a＝－b＋c，
因此a，b，c共面．
B中，b＝－2c，
C中，c＝a－b.
故B，C中三个向量也共面．
7．已知a＝(3,5,7)，b＝(6，x，y)，若a∥b，则xy的值为________．
答案　140
解析　显然x≠0，y≠0.
因为a∥b，所以＝＝，
即x＝10，y＝14，所以xy＝140.
8．若A(m＋1，n－1,3)，B(2m，n，m－2n)，C(m＋3，n－3,9)三点共线，则m＋n＝________.
答案　0
解析　因为＝(m－1,1，m－2n－3)，
＝(2，－2,6)，
A，B，C三点共线，所以＝＝，
解得m＝0，n＝0，故m＋n＝0.
9．已知PA⊥正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且AB＝AP＝1，以{，，}为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，求，的坐标．
解　设＝e1，＝e2，＝e3，
则＝＝e2，＝＋＋
＝＋＋
＝＋＋(＋＋)
＝－e2＋e3＋(－e3－e1＋e2)
＝－e1＋e3，
∴＝，＝(0,1,0)．
10.如图，在正四棱锥 P－ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，O是AC与BD的交点，PO＝1，M是PC的中点．设＝a，＝b，＝c.
(1)用向量a，b，c表示；
(2)在如图的空间直角坐标系中，求的坐标．
解　(1)＝＋＝＋＝＋(－)＝＋－(＋)＝－＋＝－a＋b＋c.
(2)a＝＝(1,0,0)，b＝＝(0,1,0)，
∵A(0,0,0)，O，P，
∴c＝＝，
∴＝－a＋b＋c＝－(1,0,0)＋(0,1,0)＋＝.
11．已知a＝(1,2，y)，b＝(x,1,2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则xy的值为(　　)
A. B．2
C．－ D．－1
答案　B
解析　因为a＝(1,2，y)，b＝(x,1,2)，
所以a＋2b＝(1＋2x,4，y＋4)，
2a－b＝(2－x,3,2y－2)．
又因为(a＋2b)∥(2a－b)，
所以＝＝(x≠2，y≠1)，
解得x＝，y＝4，
所以xy＝2.
12．已知空间四点A(4,1,3)，B(2,3,1)，C(3,7，－5)，D(x，－1,3)共面，则x的值为(　　)
A．4 B．1 C．10 D．11
答案　D
解析　＝(－2,2，－2)，＝(－1,6，－8)，
＝(x－4，－2,0)．
因为A，B，C，D四点共面，所以，，共面．
所以存在实数λ，μ，使＝λ＋μ，
即(x－4，－2,0)＝(－2λ－μ，2λ＋6μ，－2λ－8μ)，
所以解得
13.如图，在三棱锥P－ABC中，∠ABC为直角，PB⊥平面ABC，AB＝BC＝PB＝1，M为PC的中点，N为AC的中点，则以{，，}为基底，的坐标为________．
答案　
解析　＝－＝(＋)－(＋)＝－，故＝.
14．若四边形ABCD为平行四边形，且A(4,1,3)，B(2，－5，1)，C(3,7，－5)，则顶点D的坐标为____________．
答案　(5,13，－3)
解析　由四边形ABCD是平行四边形知＝，
设D(x，y，z)，则＝(x－4，y－1，z－3)，
＝(1,12，－6)，所以解得
即D点坐标为(5,13，－3)．
15.如图，空间四边形ABCD中，若向量＝(－3,5,2)，＝(－7，－1，－4)，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为(　　)
A．(2,3,3)
B．(－2，－3，－3)
C．(5，－2,1)
D．(－5,2，－1)
答案　B
解析　如图，取AC的中点M，连结ME，MF，
则＝＝，
＝＝，
从而＝－＝(－2，－3，－3)．
16．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,2)．
(1)若∥，∥，求点D的坐标；
(2)问是否存在实数α，β，使得＝α＋β成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．
解　(1)设D(x，y，z)，
则＝(－x,1－y，－z)，＝(－1,0,2)，
＝(－x，－y,2－z)，＝(－1,1,0)．
因为∥，∥，
所以存在实数m，n，有
解得
即D(－1,1,2)．
(2)依题意得＝(－1,1,0)，＝(－1,0,2)，＝(0，－1,2)．
假设存在实数α，β，使得＝α＋β成立，
则有(－1,0,2)＝α(－1,1,0)＋β(0，－1,2)
＝(－α，α－β，2β)，
所以
故存在α＝β＝1，
使得＝α＋β成立．

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