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第2课时　空间向量数量积的坐标运算及空间两点间的距离公式
学习目标　1.会用坐标法计算空间向量的数量积，会判断空间向量的垂直，会求空间两向量的夹角.2.理解空间两点间距离公式的推导方法.3.掌握空间两点间的距离公式及简单应用．
导语
对于平面内两个非零向量a＝(x1，y1)和b＝(x2，y2)，有a·b＝x1x2＋y1y2.那么，对于空间两个非零向量，它们的数量积的坐标表示又是怎样的呢？
一、空间向量数量积、垂直及模、夹角的坐标表示
问题1　设空间两个非零向量为a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2成立吗？该计算公式如何推导？
提示　a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2成立，证明推导过程如下：
设{i，j，k}为空间的一个单位正交基底，则
a＝(x1，y1，z1)＝x1i＋y1j＋z1k，
b＝(x2，y2，z2)＝x2i＋y2j＋z2k.
a·b＝(x1i＋y1j＋z1k)·(x2i＋y2j＋z2k)
＝x1x2i2＋y1y2j2＋z1z2k2＋x1y2i·j＋x1z2i·k＋y1x2j·i＋y1z2j·k＋z1x2k·i＋z1y2k·j
＝x1x2＋y1y2＋z1z2.
知识梳理
设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则
名称 满足条件
向量表示形式 坐标表示形式
a·b |a||b|cos〈a，b〉 x1x2＋y1y2＋z1z2
a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＋z1z2＝0
模 |a|＝
夹角余弦 cos〈a，b〉＝
注意点：
(1)数量积的结果为数量．
(2)两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．
例1　(1)已知a＝(－1,2,1)，b＝(2,0,1)，则(2a＋3b)·(a－b)＝________.
答案　－4
解析　易得2a＋3b＝(4,4,5)，a－b＝(－3,2,0)，
则(2a＋3b)·(a－b)＝4×(－3)＋4×2＋5×0＝－4.
(2)如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点．
①求证：EF⊥B1C；
②求cos〈，〉；
③求||.
①证明　如图，建立空间直角坐标系D－xyz，D为坐标原点，
则有E，F，C(0,1,0)，C1(0,1,1)，B1(1,1,1)，G，
＝－＝，
＝(0,1,0)－(1,1,1)＝(－1,0，－1)．
∴·＝×(－1)＋×0＋×(－1)＝0，
∴⊥，即EF⊥B1C.
②解　因为＝－(0,1,1)
＝.
所以||＝.
又·＝×0＋×＋×(－1)＝，||＝，
所以cos〈，〉＝＝.
③H，
＝－＝.
∴||＝＝.
反思感悟　关于空间向量坐标运算的两类问题
(1)直接计算问题
首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算．
(2)由条件求向量或点的坐标
首先把向量用坐标形式设出来，然后通过建立方程(组)，解方程(组)求出其坐标．
跟踪训练1　已知向量a＝(x,1,2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3,1，z)，a∥b，b⊥c.
(1)求x，y，z的值；
(2)求向量(a＋c)与(b＋c)所成角的余弦值．
解　(1)∵a＝(x,1,2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3,1，z)，
且a∥b，b⊥c，
∴
解得
(2)由(1)知a＝(－1,1,2)，b＝(1，－1，－2)，c＝(3,1,1)，
∴a＋c＝(2,2,3)，b＋c＝(4,0，－1)．
∴(a＋c)·(b＋c)＝2×4＋2×0＋3×(－1)＝5，
|a＋c|＝＝，
|b＋c|＝＝.
∴向量(a＋c)与(b＋c)所成角的余弦值为
＝.
二、空间两点间的距离公式及线段的中点坐标
问题2　你能利用空间向量运算的坐标表示推导空间两点间的距离公式吗？
提示　如图，建立空间直角坐标系O－xyz，
设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，＝－＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)，
于是||＝
＝，
所以P1P2＝||
＝，
因此，空间中已知两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB＝||＝.
问题3　如何用向量的方法推导出线段AB的中点坐标公式？
提示　设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，线段AB的中点为P，则＝(＋)＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)＝.
知识梳理
在空间直角坐标系中，设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则
(1)AB＝||＝.
(2)线段AB的中点M的坐标为.
注意点：
(1)空间两点间的距离公式类似于平面中的两点之间的距离公式，可以类比记忆．
(2)空间两点间距离公式是平面两点间距离公式的推广．动点P(x，y，z)到定点P0(x0，y0，z0)的距离等于定长r(r>0)的轨迹方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＋(z－z0)2＝r2，此方程表示以点P0为球心，以r为半径的球面．
例2　如图所示，正方体的棱长为1，以正方体的同一顶点上的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系O－xyz，点P在正方体的体对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上．当点P为体对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，求PQ的最小值．
解　依题意知P，
设点Q(0,1，z)(0≤z≤1)，则
PQ＝
＝，
所以当z＝时，PQmin＝，
此时Q，Q恰为CD的中点．
反思感悟　利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤
跟踪训练2　已知点M(3,2,1)，N(1,0,5)，求：
(1)线段MN的长度；
(2)到M，N两点的距离相等的点P(x，y，z)的坐标满足的条件．
解　(1)根据空间两点间的距离公式得线段MN的长度
MN＝＝2，
所以线段MN的长度为2.
(2)因为点P(x，y，z)到M，N两点的距离相等．
所以有下面等式成立：
＝，
化简得x＋y－2z＋3＝0，
因此，到M，N两点的距离相等的点P(x，y，z)的坐标满足的条件是x＋y－2z＋3＝0.
三、利用向量的坐标运算解决平行、垂直问题
例3　如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱D1D的中点，P，Q分别为线段B1D1，BD上的点，且3＝，若PQ⊥AE，＝λ，求λ的值．
解　如图所示，以D为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A(1,0,0)，E，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)，
由题意，可设点P的坐标为(a，a,1)，
因为3＝，
所以3(a－1，a－1,0)＝(－a，－a,0)，
所以3a－3＝－a，解得a＝，
所以点P的坐标为.
由题意可设点Q的坐标为(b，b,0)，
因为PQ⊥AE，所以·＝0，
所以·＝0，
即－－＝0，
解得b＝，
所以点Q的坐标为，
因为＝λ，
所以(－1，－1,0)＝λ，
所以＝－1，故λ＝－4.
延伸探究
1．若本例中的“PQ⊥AE”改为“B1Q⊥EQ”，其他条件不变，结果如何？
解　以D为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，点Q的坐标为(c，c,0)，
因为B1Q⊥EQ，所以·＝0，
所以(c－1，c－1，－1)·＝0，
即c(c－1)＋c(c－1)＋＝0，
4c2－4c＋1＝0，
解得c＝，
所以点Q的坐标为，
所以点Q是线段BD的中点，
所以＝－2，故λ＝－2.
2．本例中若G是A1D的中点，点H在平面AC上，且GH∥BD1，试判断点H的位置．
解　以D为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，因为G是A1D的中点，所以点G的坐标为，因为点H在xDy平面上，设点H的坐标为(m，n,0)，因为＝(m，n,0)－＝，＝(0,0,1)－(1,1,0)＝(－1，－1，1)，且∥，所以＝＝，解得m＝1，n＝，所以点H的坐标为，所以H为线段AB的中点．
反思感悟　(1)判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件；已知两向量平行或垂直求参数值，则利用平行、垂直的充要条件，将位置关系转化为坐标关系，列方程(组)求解．
(2)利用向量证明直线、平面平行或垂直，则要建立恰当的空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用向量平行、垂直的充要条件证明．
跟踪训练3　已知空间三点O(0,0,0)，A(－1,1,0)，B(0,1,1)，若直线OA上的一点H满足BH⊥OA，则点H的坐标为________．
答案　
解析　设H(x，y，z)，则＝(x，y，z)，
＝(x，y－1，z－1)，＝(－1,1,0)．
因为BH⊥OA，
所以·＝0，
即－x＋y－1＝0，①
又点H在直线OA上，
所以＝λ，
即②
联立①②解得
所以点H的坐标为.
1．知识清单：
(1)空间向量数量积、垂直及模、夹角的坐标表示．
(2)空间两点间的距离公式及线段的中点坐标公式．
(3)利用向量的坐标运算解决平行、垂直问题．
2．方法归纳：坐标法．
3．常见误区：
(1)把两直线的夹角混淆为两个向量的夹角，导致出错．
(2)混淆空间向量平行与垂直的条件．
1．若向量a＝(4,2，－4)，b＝(6，－3,2)，则(2a－3b)·(a＋2b)等于(　　)
A．－212 B．－106 C．106 D．212
答案　A
解析　(2a－3b)·(a＋2b)
＝(－10,13，－14)·(16，－4,0)
＝－10×16＋13×(－4)＝－212.
2．设一地球仪的球心为空间直角坐标系的原点O，球面上的两个点A，B的坐标分别为(1,2,2)，(2，－2,1)，则||等于(　　)
A．18 B．12 C．2 D．3
答案　D
解析　||＝＝3，故选D.
3．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是(　　)
A．1 B. C. D.
答案　D
解析　依题意得(ka＋b)·(2a－b)＝0，
所以2k|a|2－ka·b＋2a·b－|b|2＝0，
而|a|2＝2，|b|2＝5，a·b＝－1，
所以4k＋k－2－5＝0，解得k＝.
4．已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则向量与的夹角为________．
答案　
解析　∵＝(0,3,3)，＝(－1,1,0)，
∴||＝3，||＝，
·＝0×(－1)＋3×1＋3×0＝3，
∴cos〈，〉＝＝，
又∵〈，〉∈[0，π]，∴〈，〉＝.
课时对点练
1．设A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，则AB的中点M到点C的距离CM的值为(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　∵AB的中点M，
∴＝，
故CM＝||＝＝.
2．已知向量a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，|λa＋b|＝，且λ>0，则λ等于(　　)
A．5 B．4 C．3 D．2
答案　C
解析　λa＋b＝λ(0，－1,1)＋(4,1,0)＝(4,1－λ，λ)，
由已知得|λa＋b|＝＝，
且λ>0，解得λ＝3.
3．已知向量a＝(1,2,3)，b＝(－2，－4，－6)，|c|＝，若(a＋b)·c＝7，则a与c的夹角为(　　)
A．30° B．60°
C．120° D．150°
答案　C
解析　a＋b＝(－1，－2，－3)＝－a，
故(a＋b)·c＝－a·c＝7，
得a·c＝－7，
而|a|＝＝，
所以cos〈a，c〉＝＝－，
所以〈a，c〉＝120°.
4．已知A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是(　　)
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
答案　C
解析　因为＝(3,4，－8)，＝(2，－3,1)，
＝(5,1，－7)，
·＝10－3－7＝0，
∴BC⊥AC，
而||＝，||＝5，
所以△ABC是直角三角形．
5．从点P(1,2,3)出发，沿着向量v＝(－4，－1,8)方向取点Q，使PQ＝18，则Q点的坐标为(　　)
A．(－1，－2,3) B．(9,4，－13)
C．(－7,0,19) D．(1，－2，－3)
答案　C
解析　设Q(x0，y0，z0)，则＝λv(λ>0)，
即(x0－1，y0－2，z0－3)＝λ(－4，－1,8)．
由PQ＝18，得＝18，
所以λ＝2，
所以(x0－1，y0－2，z0－3)＝2(－4，－1,8)，
所以
6．(多选)已知向量a＝(1,1，－1)，b＝(2，－1,0)，c＝(0,1，－2)，则下列结论正确的是(　　)
A．a·(b＋c)＝4
B．(a－b)·(b－c)＝－8
C．记a与b－c的夹角为θ，则cos θ＝
D．若(a＋λb)⊥c，则λ＝3
答案　ABD
解析　由题意得a·(b＋c)＝(1,1，－1)·(2,0，－2)＝2＋0＋2＝4，(a－b)·(b－c)＝(－1,2，－1)·(2，－2,2)＝－2－4－2＝－8.
cos θ＝＝＝－.
因为(a＋λb)⊥c，所以(a＋λb)·c＝0，
即(1＋2λ，1－λ，－1)·(0,1，－2)＝0，
得1－λ＋2＝0，解得λ＝3.综上可知，选项ABD正确．
7．已知a＝(1,1,0)，b＝(0,1,1)，c＝(1,0,1)，p＝a－b，q＝a＋2b－c，则p·q＝________.
答案　－1
解析　∵p＝a－b＝(1,0，－1)，
q＝a＋2b－c＝(0,3,1)，
∴p·q＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1.
8．已知a＝(cos α，1，sin α)，b＝(sin α，1，cos α)，则向量a＋b与a－b的夹角是________．
答案　90°
解析　∵a＝(cos α，1，sin α)，b＝(sin α，1，cos α)，
∴a＋b＝(sin α＋cos α，2，sin α＋cos α)，
a－b＝(cos α－sin α，0，sin α－cos α)，
∴(a＋b)·(a－b)＝cos2α－sin2α＋sin2α－cos2α＝0，
∴(a＋b)⊥(a－b)．∴向量a＋b与a－b的夹角是90°.
9．已知向量a＝(x,4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，且a∥b，b⊥c.
(1)求向量a，b，c；
(2)求向量a＋c与向量b＋c所成角的余弦值．
解　(1)因为a∥b，所以＝＝，且y≠0，
解得x＝2，y＝－4，
此时a＝(2,4,1)，b＝(－2，－4，－1)．
又由b⊥c得b·c＝0，
故(－2，－4，－1)·(3，－2，z)＝－6＋8－z＝0，
得z＝2，此时c＝(3，－2,2)．
(2)由(1)得，
a＋c＝(5,2,3)，b＋c＝(1，－6,1)，
因此向量a＋c与向量b＋c所成角θ的余弦值为
cos θ＝＝＝－.
10．如图，在三棱锥P－ABC中，侧面PAC⊥底面ABC，△ABC是以角B为直角顶点的直角三角形，AB＝BC＝2，又PA＝PB＝PC＝3，试建立恰当的空间直角坐标系，在这个坐标系中，
(1)求点A，B，C，P的坐标；
(2)求AB，PC的中点之间的距离．
解　(1)取AC的中点O，连接OB，OP.
因为△ABC是直角三角形，且AB＝BC＝2.
所以AC＝4，OB＝2.
因为PA＝PB＝PC，所以点P在平面ABC上的射影是△ABC的外心，即点O.
故PO⊥平面ABC.
因为PA＝3，所以PO＝＝＝.
以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
则P(0,0，)，A(0，－2,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)．
(2)由(1)得AB的中点坐标为(1，－1,0)，
PC的中点坐标为.
这两个中点之间的距离为d＝＝.
11．在空间直角坐标系中，已知点P(x，y，z)的坐标满足方程(x－2)2＋(y＋1)2＋(z－3)2＝1，则点P的轨迹是(　　)
A．圆 B．直线
C．球面 D．线段
答案　C
解析　(x－2)2＋(y＋1)2＋(z－3)2＝1表示(x，y，z)到点(2，－1,3)的距离的平方为1，它表示以(2，－1,3)为球心，以1为半径的球面，故选C.
12．已知O为坐标原点，＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当·取得最小值时，点Q的坐标为(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　设＝λ，
则＝－＝－λ＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，
＝－＝－λ＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，
所以·＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ)
＝2(3λ2－8λ＋5)＝2.
当λ＝时，·取得最小值，
此时点Q的坐标为.
13．已知向量a＝(5,3,1)，b＝，若a与b的夹角为钝角，则实数t的取值范围为________．
答案　∪
解析　由已知得a·b＝5×(－2)＋3t＋1×＝3t－，
因为a与b的夹角为钝角，
所以a·b<0，
即3t－<0，
所以t<.
若a与b的夹角为180°，
则存在λ<0，使a＝λb(λ<0)，
即(5,3,1)＝λ，
所以所以t＝－，
故t的取值范围是∪.
14．一束光线自点P(1,1,1)出发，被xOy平面反射到达点Q(3,3,6)被吸收，那么光所走的距离是________．
答案　
解析　P关于xOy平面对称的点为P′(1,1，－1)，则光线所经过的路程为
P′Q＝＝.
15．已知向量a＝(2，－1,1)，b＝(1,2,1)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为(　　)
A. B.
C．4 D．8
答案　B
解析　∵cos〈a，b〉＝＝＝.
∴sin〈a，b〉＝，
故所求面积S＝|a||b|sin〈a，b〉＝.
16．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是AA1，CB1的中点．
(1)求BM，BN的长；
(2)求△BMN的面积．
解　以C为原点，以CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图．
则B(0,1,0)，M(1,0,1)，
N.
(1)∵＝(1，－1,1)，
＝，
∴||＝＝，
||＝＝.
故BM的长为，BN的长为.
(2)S△BMN＝·BM·BN·sin∠MBN.
∵cos∠MBN＝cos〈，〉
＝＝＝，
∴sin∠MBN＝＝，
故S△BMN＝×××＝.
即△BMN的面积为.

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