资源简介

§6.3　空间向量的应用
6.3.1　直线的方向向量与平面的法向量
学习目标　理解直线的方向向量与平面的法向量，会求一个平面的法向量．
导语
牌楼与牌坊类似，是中国传统建筑之一，最早见于周朝．在园林、寺观、宫苑、陵墓和街道常有建造．旧时牌楼主要有木、石、木石、砖木、琉璃几种，多设于要道口．牌楼中有一种有柱门形构筑物，一般较高大．如图，牌楼的柱子与地面是垂直的，如果牌楼上部的下边线与柱子垂直，我们就能知道下边线与地面平行．这是为什么呢？
一、直线的方向向量
知识梳理
直线l上的向量e(e≠0)以及与e共线的非零向量叫作直线l的方向向量．
注意点：
(1)空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合．
(2)与直线l平行的任意非零向量a都是直线的方向向量，且直线l的方向向量有无数个．
例1　(1)已知直线l的一个方向向量m＝(2，－1,3)，且直线 l 过 A(0，y,3)和B(－1,2，z)两点，则y－z等于(　　)
A．0 B．1 C. D．3
答案　A
解析　∵A(0，y,3)和B(－1,2，z)，
∴＝(－1,2－y，z－3)，
∵直线l的一个方向向量为m＝(2，－1,3) ，
故设＝km.
∴解得
∴y－z＝0.
(2)在如图所示的坐标系中，ABCD－A1B1C1D1为正方体，棱长为1，则直线DD1的一个方向向量为______，直线BC1的一个方向向量为________．
答案　(0,0,1)　(0,1,1)(答案不唯一)
解析　因为DD1∥AA1，＝(0,0,1)，
故直线DD1的一个方向向量为(0,0,1)；
因为BC1∥AD1，＝(0,1,1)，
故直线BC1的一个方向向量为(0,1,1)．
反思感悟　理解直线方向向量的概念
(1)直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量．
(2)直线的方向向量不唯一．
跟踪训练1　(多选)若M(1,0，－1)，N(2,1,2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是(　　)
A．(2,2,6) B．(1,1,3)
C．(3,1,1) D．(－3,0,1)
答案　AB
解析　∵M，N在直线l上，∴＝(1,1,3)，
故向量(1,1,3)，(2,2,6)都是直线l的一个方向向量．
二、平面的法向量
知识梳理
如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n垂直于平面α，记作n⊥α，此时，我们把向量n叫作平面α的法向量．
注意点：
(1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量．
(2)一个平面的法向量有无限多个，它们相互平行．
例2　如图所示，已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，试建立适当的坐标系．
(1)求平面ABCD的一个法向量；
(2)求平面SAB的一个法向量；
(3)求平面SCD的一个法向量．
解　以点A为原点，AD，AB，AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，D，S(0,0,1)．
(1)∵SA⊥平面ABCD，
∴＝(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量．
(2)∵AD⊥AB，AD⊥SA，AB∩SA＝A，AB，
SA 平面SAB，
∴AD⊥平面SAB，
∴＝是平面SAB的一个法向量．
(3)在平面SCD中，＝，＝(1,1，－1)．
设平面SCD的法向量是n＝(x，y，z)，
则n⊥，n⊥，
∴
得方程组∴
令y＝－1，得x＝2，z＝1，∴n＝(2，－1,1)．
∴n＝(2，－1,1)是平面SCD的一个法向量(答案不唯一)．
反思感悟　求平面法向量的步骤
(1)设出平面的法向量为n＝(x，y，z)．
(2)找出(求出)平面中两个不共线的向量的坐标a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
(3)根据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组
(4)解方程组，取其中的一个解作为法向量(由于一个平面的法向量有无数多个，故可在方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量)．
跟踪训练2　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1D1，A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：
(1)平面BDD1B1的一个法向量；
(2)平面BDEF的一个法向量．
解　设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，
则D(0,0,0)，B(2,2,0)，A(2,0,0)，
C(0,2,0)，E(1,0,2)．
(1)连接AC(图略)，∵AC⊥平面BDD1B1，
∴＝(－2,2,0)为平面BDD1B1的一个法向量．
(2)＝(2,2,0)，＝(1,0,2)．
设平面BDEF的一个法向量为n＝(x，y，z)．
∴
∴∴
令x＝2，得y＝－2，z＝－1.
∴n＝(2，－2，－1)即为平面BDEF的一个法向量．(答案不唯一)
三、平面方程的表示
知识梳理
1．在空间直角坐标系中，平面可以用关于x，y，z的三元一次方程来表示．
2．经过点P(x0，y0，z0)，且平面α的法向量为n＝(A，B，C)的平面方程为A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)＝0.
例3　(1)在空间直角坐标系中，经过点A(1,2,3)，且法向量为n＝(－1，－2,1)的平面的方程为(　　)
A．x＋2y－z－2＝0 B．x－2y－z－2＝0
C．x＋2y＋z－2＝0 D．x＋2y＋z＋2＝0
答案　A
解析　在空间任取一点P(x，y，z)，
∵平面法向量为n＝(－1，－2,1)，
∴－(x－1)－2×(y－2)＋1×(z－3)＝0，
∴x＋2y－z－2＝0，故选A.
(2)在空间直角坐标系中，已知点A(2,0,0)，B(0,3,0)，C(0,0,4)，试求出经过A，B，C三点的平面的方程．
解　设所求平面方程为Ax＋By＋Cz＋D＝0，
将点A(2,0,0)，B(0,3,0)，C(0,0,4)分别代入，
得
∴2A＝3B＝4C，
∴取A＝6，得B＝4，C＝3，D＝－12，
∴经过A，B，C三点的平面的方程为
6x＋4y＋3z－12＝0.
反思感悟　求平面方程的两种方法
(1)法向量法：利用法向量与平面内的任意向量垂直，即n·＝0求解，其中n为平面的法向量，为平面内的任意向量．
(2)待定系数法：设所求平面方程为Ax＋By＋Cz＋D＝0，然后代入相关点解方程即可．
跟踪训练3　求过点A(1,0,1)和法向量n＝(2，－2,1)的平面的方程．
解　向量n＝(2，－2,1)为平面的法向量，所以平面的方程是2(x－1)－2(y－0)＋(z－1)＝0，
即2x－2y＋z－3＝0.
1.知识清单：
(1)直线的方向向量的概念及应用．
(2)平面的法向量的求法．
(3)平面方程的形式．
2．方法归纳：方程组法、待定系数法．
3．常见误区：不理解直线的方向向量和平面的法向量的作用和不唯一性．
1．若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　)
A．(1,2,3) B．(1,3,2)
C．(2,1,3) D．(3,2,1)
答案　A
解析　因为＝(2,4,6) ，所以(1,2,3)是直线l的一个方向向量．
2．(多选)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，以下向量可以作为平面ABC法向量的是(　　)
A. B.
C. D.
答案　BC
3．若n＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是(　　)
A．(0，－3,1) B．(2,0,1)
C．(－2，－3,1) D．(－2,3，－1)
答案　D
解析　求与n共线的一个向量．
易知(2，－3,1)＝－(－2,3，－1)．
4．已知平面α经过点O(0,0,0)，且e＝(1,2，－3)是α的一个法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是________．
答案　x＋2y－3z＝0
解析　由题意得e⊥，
则·e＝(x，y，z)·(1,2，－3)＝0，
故x＋2y－3z＝0.
课时对点练
1．已知向量a＝(2，－1,3)和b＝(－4,2x2,6x)都是直线l的方向向量，则x的值是(　　)
A．－1 B．1或－1
C．－3 D．1
答案　A
解析　由题意得a∥b，所以解得x＝－1.
2．(多选)在空间直角坐标系O－xyz中，下列向量中是y轴方向向量的是(　　)
A．(0,1,0) B．(0，－1,0)
C．(1,2,0) D．(0,1,1)
答案　AB
解析　y轴方向向量可以表示为(0，k,0)(k≠0)，
所以(1,2,0)，(0,1,1)不是y轴方向向量．
3．已知向量＝(2,4，x)，平面α的一个法向量n＝(1，y,3)，若AB α，则(　　)
A．x＝6，y＝2 B．x＝2，y＝6
C．3x＋4y＋2＝0 D．4x＋3y＋2＝0
答案　C
解析　由题意可知·n＝0，
可得3x＋4y＋2＝0.
4.(多选)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1上不与C1，C重合的任一点，则能作为直线AA1的方向向量的是(　　)
A. B.
C. D.
答案　ABD
解析　由定义知，一个向量对应的有向线段所在的直线与直线AA1平行或重合，则这个向量就称为直线AA1的一个方向向量．
5．在菱形ABCD中，若是平面ABCD的法向量，则以下关系中可能不成立的是(　　)
A.⊥ B.⊥
C.⊥ D.⊥
答案　C
解析　∵PA⊥平面ABCD，
∴BD⊥PA.
又AC⊥BD，PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，
∴BD⊥平面PAC，又PC 平面PAC，
∴PC⊥BD.
故选项B成立，选项A和D显然成立．故选C.
6．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，它的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是(　　)
A．(1，－1,1) B.
C. D.
答案　B
解析　要判断点P是否在平面α内，只需判断向量与平面α的法向量n是否垂直，
即·n是否为0，因此，要对各个选项进行检验．
对于选项A，＝(1,0,1)，
则·n＝(1,0,1)·(3,1,2)＝5≠0，故排除A；
对于选项B，＝，
则·n＝·(3,1,2)＝0，故B正确，
同理可排除C，D.
7．已知三点A(1,0,1)，B(0,1,1)，C(1,1,0)，则平面ABC的一个法向量为________．
答案　(1,1,1)(答案不唯一)
解析　设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)，
由题意得＝(－1,1,0)，＝(1,0，－1)．
因为n⊥，n⊥，
所以令x＝1，得y＝z＝1，
所以平面ABC的一个法向量n＝(1,1,1)．
8．在空间直角坐标系O－xyz中，已知平面α的一个法向量是n＝(1，－1,2)，且平面α过点A(0,3,1)．若P(x，y，z)是平面α上任意一点，则点P的坐标满足的方程是__________________．
答案　x－y＋2z＋1＝0
解析　由题意知·n＝0，即x－y＋2z＋1＝0.
9.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，E是PC的中点，求平面EDB的一个法向量．
解　如图所示，建立空间直角坐标系．
依题意可得D(0,0,0)，P(0,0,1)，E，B(1,1,0)，
于是＝，
＝(1,1,0)．
设平面EDB的法向量为n＝(x，y，z)，
则n⊥，n⊥，
于是
取x＝1，则y＝－1，z＝1，
故平面EDB的一个法向量为n＝(1，－1,1)．
10．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD＝2，PD⊥底面ABCD，且PD＝AD，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面PAB的一个法向量．
解　因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BD＝AD，从而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD，以D为坐标原点，以射线DA，DB，DP为x，y，z轴的正半轴建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(0，，0)，P(0,0,1)，＝(－1，，0)，＝(0，，－1)．
设平面PAB的一个法向量为n＝(x，y，z)．
则即
因此可取n＝(，1，)．
所以平面PAB的一个法向量可以为(，1，)(答案不唯一)．
11．(多选)已知直线l1的方向向量a＝(2,4，x)，直线l2的方向向量b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值是(　　)
A．1 B．－1 C．3 D．－3
答案　AD
解析　因为|a|＝＝6，
所以x＝±4.
因为a⊥b，
所以a·b＝2×2＋4y＋2x＝0，
即y＝－1－x，
所以当x＝4时，y＝－3；
当x＝－4时，y＝1.
所以x＋y＝1或x＋y＝－3.
12.在三棱锥P－ABC中，CP，CA，CB两两垂直，AC＝CB＝1，PC＝2，如图，建立空间直角坐标系，则下列向量是平面PAB的法向量的是(　　)
A.
B．(1，，1)
C．(1,1,1)
D．(2，－2,1)
答案　A
解析　因为＝(1,0，－2)，＝(－1,1,0)，
设平面PAB的一个法向量为n＝(x，y,1)，
由则
解得
所以n＝(2,2,1)．
又＝n，
因此，平面PAB的一个法向量为.
13．已知直线l过点P(1,0，－1)且平行于向量a＝(2,1,1)，平面α过直线l与点M(1,2,3)，则平面α的法向量不可能是(　　)
A．(1，－4,2) B.
C. D．(0，－1,1)
答案　D
解析　因为＝(0,2,4)，直线l平行于向量a，若n是平面α的一个法向量，则必须满足把选项代入验证，只有选项D不满足，故选D.
14．若A，B，C是平面α内三点，设平面α的法向量为a＝(x，y，z)，则x∶y∶z＝________.
答案　2∶3∶(－4)
解析　由已知得，＝，
＝，
∵a是平面α的一个法向量，
∴a·＝0，a·＝0，
即解得
∴x∶y∶z＝y∶y∶＝2∶3∶(－4)．
15．在平面几何中，直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的一个法向量可以写为n＝(A，B)，同时平面内任意一点P(x0，y0)到直线l的距离为d＝，类似地，假设空间中一个平面的方程写为a：Ax＋By＋Cz＋D＝0(A，B，C不同时为0)，则它的一个法向量n＝________，空间任意一点P(x0，y0，z0)到它的距离d＝________.
答案　(A，B，C)　
解析　∵直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的一个法向量可以写为n＝(A，B)，同时平面内任意一点P(x0，y0)到直线l的距离为d＝，
∴空间中一个平面的方程写为a：Ax＋By＋Cz＋D＝0(A，B，C不同时为0)，则它的一个法向量是(A，B，C)．
空间任意一点P(x0，y0，z0)到它的距离d＝.
16．已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．
(1)求证：是平面ABCD的法向量；
(2)求平行四边形ABCD的面积．
(1)证明　·＝(－1,2，－1)·(2，－1，－4)＝0，
·＝(－1,2，－1)·(4,2,0)＝0，
所以AP⊥AB，AP⊥AD.
又AB∩AD＝A，所以AP⊥平面ABCD.
所以是平面ABCD的法向量．
(2)解　因为||＝＝，
||＝＝2，
·＝(2，－1，－4)·(4,2,0)＝6，
所以cos〈，〉＝＝，
故sin〈，〉＝，
S ABCD＝||·||sin〈，〉＝8.

展开更多......

收起↑