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河北省2022届高三3月份信息卷
——数学试题
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．复数的虚部是（ ）
A． B． C． D．
3．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
4．已知为等比数列，为等差数列，，，则（ ）
A． B． C．或 D．以上都不对
5．抛物线的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
6．在面积为的中；内角、、所对的边分别为、、，，，则（ ）
A． B． C． D．
7．设数列满足，且，，设的和为，则的取值在哪两个相邻整数之间
A． B． C． D．
8．已知是定义在上的奇函数，且当时，，则的值为
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列四个函数中，以为周期且在上单调递增的偶函数有（ ）
A． B． C． D．
10．对于，有如下判断，其中正确的判断是（ ）
A．若，则为等腰三角形
B．若，则
C．若，，，则符合条件的有两个
D．若，则是钝角三角形
11．下列结论正确的有（ ）
A．若，则
B．若，，，则
C．若，，则
D．若，，，则
12．如图，在正方体中，，为棱的中点，为棱上的一动点，过点，，作该正方体的截面，则该截面可能是（ ）
A．平行四边形 B．等腰梯形 C．五边形 D．六边形
三、填空题
13．已知向量,,若,则___________.
14．关于函数有下列命题，其中正确的是___________.（填序号）
①的表达式可改写为；
②是以为最小正周期的周期函数；
③的图像关于点对称；
④的图像关于直线对称.
15．已知椭圆的左、右焦点分别为，过且与轴垂直的直线交椭圆于两点，直线与椭圆的另一个交点为C，若，则椭圆的离心率为_____ .
四、双空题
16．顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，黄金三角形看起来标准又美观.如图所示，是黄金三角形，，作的平分线交于点，易知也是黄金三角形.若，则______；借助黄金三角形可计算______.
五、解答题
17．已知．
（1）求的值；
（2）求的值．
18．已知数列满足，且.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)记，数列的前n项和为.
19．年月日新中国成立以来第一部以“法典”命名的法律《中华人民共和国民法典》颁布施行，我国将正式迈入“民法典”时代.为深入了解《民法典》，大力营造学法守法用法的良好氛围，高三年级从文科班和理科班的学生中随机抽取了名同学参加学校举办的“民法典与你同行”知识竞赛，将他们的比赛成绩分为组：、、、、、，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求的值；
（2）估计这名学生比赛成绩的中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）在抽取的名学生中，规定：比赛成绩不低于分为“优秀”，比赛成绩低于分为“非优秀”，请将下面的列联表补充完整，并判断是否有的把握认为“比赛成绩是否优秀与文理科别有关”？
优秀 非优秀 合计
文科生
理科生
合计
参考公式及数据：，.
20．如图，在四棱锥中，底面为正方形，，且，E为中点.
(1)证明：；
(2)若，求与平面所成角的正弦值.
21．已知椭圆过点，焦点分别为，．短轴端点分别为，，．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线与椭圆相交于，两点，当线段的中点落在四边形内（包括边界）时，求直线的斜率的取值范围．
22．已知函数定义域为，若对任意的，都有，且时，.
（1）判断的奇偶性；
（2）讨论的区间上的单调性；
（3）设，若，对所有，恒成立，求实数的取值范围.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
利用交集的定义可求得结果.
【详解】
由已知可得，
故选：B.
2．C
【解析】
【分析】
根据复数的除法运算，将化简，即可得答案.
【详解】
,
故复数的虚部是，
故选：C
3．A
【解析】
【分析】
由诱导公式化简，得，再用二倍角余弦公式求出.
【详解】
由，得，则.
故选：A.
【点睛】
本题考查了诱导公式和二倍角公式，属于容易题.
4．A
【解析】
【分析】
根据等差数列和等比数列的通项公式写出，，，，进而求得， ，即可求出结果.
【详解】
解：设等比数列的公比为，等差数列的公差为，
则根据题意可知，，
解得：， ，
则.
故选：A.
5．B
【解析】
【分析】
根据抛物线图象可得即可判断.
【详解】
由抛物线可知，，对称轴，即，
则一次函数的图象经过第一、三、四象限，
反比例函数的图象经过第二、四象限，故B选项的图象符合.
故选：B.
6．D
【解析】
【分析】
首先利用公式，转化和，得，再根据正弦定理边角互化，转化条件得，即得，再结合余弦定理，代入求值.
【详解】
由，有，有，有，有，又由，有，有，有，有，有．
故选：D
7．C
【解析】
由题中递推式可得，通过裂项相消法求得，得到，根据数列递推式写出前几项，利用数列的单调性得到的范围，从而可得范围，即可得解.
【详解】
由，
可得，
即有，
则
，
又，，，
，即为单调递增数列，
又，，，，，
，
，
，
故选：C.
【点睛】
本题考查了裂项相消法求和以及数列的单调性，考查了代数变形能力，属于中档题.
8．B
【解析】
【详解】
试题分析：由题意得，，故选B．
考点：指数幂运算及对数的运算性质．
9．CD
【解析】
【分析】
由单调性判断出A选项，由奇偶性判断B选项，C选项可画出函数图象进行判断，D选项，先判断出的最小正周期，单调性及奇偶性，进而作出判断.
【详解】
在上不单调，故A错误；
为奇函数，故B错误；
图象如下图：
故最小正周期为，在上单调递增，且为偶函数，故C正确；
最小正周期为，在上单调递增，且为偶函数，则也是以为周期且在上单调递增的偶函数，故D正确.
故选：CD
10．BD
【解析】
【分析】
对于A，根据三角函数的倍角公式进行判断；对于B，根据正弦定理即可判断证明；对于C，利用余弦定理即可得解；对于D，根据正弦定理去判断即可．
【详解】
在中，
对于A，若，则或，
当A＝B时，△ABC为等腰三角形；
当时，△ABC为直角三角形，故A不正确，
对于B，若，则，由正弦定理得，即成立．故B正确；
对于C，由余弦定理可得：b＝＝，只有一解，故C错误；
对于D，若，由正弦定理得，∴，∴C为钝角，∴是钝角三角形，故D正确；
综上，正确的判断为选项B和D．
故选：BD．
【点睛】
本题只有考查了正弦定理，余弦定理，三角函数的二倍角公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．
11．BCD
【解析】
【分析】
对于A，分和两种情况分析判断即可，对于B，利用指数函数、对数函数和三角函数的单调性判断，对于C，令，则，则，化简，再求可得答案，对于D，构造函数，由导数判断函数的单调性，然后利用单调性比较大小
【详解】
对于A，当时，由，得，则，当时，由，得，则，因为，所以，综上，或，所以A错误，
对于B，因为，所以，所以，所以，因为，所以，即，所以，所以，所以B正确，
对于C，令，则，所以，所以，所以，
所以
，所以C正确，
对于D，令，则，
当时，，当时，，所以在上递增，在上递减，因为，所以，所以，
因为，所以，所以，所以D正确，
故选：BCD
【点睛】
关键点点睛：此题考查指数函数、对数函数的性质的应用，考查导数的应用，解题的关键是构造函数，判断出函数的单调性，利用函数的单调性比较大小，考查数学转化思想，属于较难题
12．ABC
【解析】
【分析】
根据正方体的几何结构特征，当，截面为矩形；当时，截面为平行四边形；当时，截面为五边形；当，截面为等腰梯形，即可求解.
【详解】
当，即与重合时，如图1，取的中点，截面为矩形；
当时，如图2，截面为平行四边形；
当时，如图3，截面为五边形；
当，即与重合时，如图4，截面为等腰梯形.
故选：ABC.
13．
【解析】
根据向量垂直，数量积为0列方程求解即可.
【详解】
由题：，所以，
所以，
解得：.
故答案为：
【点睛】
此题考查向量数量积的坐标运算，根据两个向量垂直，数量积为0建立方程计算求解.
14．①③
【解析】
【分析】
根据诱导公式，周期的公式，对称中心和对称轴的公式，分别判断四个命题的正确性，得到答案.
【详解】
因为，所以①正确；
的最小正周期为，易得②不正确；
，故是对称中心，③正确，④不正确.
【点睛】
本题考查命题的判断，求三角函数的周期，对称中心和对称轴，属于简单题.
15．##
【解析】
【分析】
转化条件设点，，表示出点C坐标后直接代入椭圆方程，利用即可得解.
【详解】
解：设椭圆的左、右焦点分别为,将代入椭圆方程可得，可设,
由，得，即有，即，
得，代入椭圆方程可得，由,即有，解得.
故答案为：.
16．
【解析】
根据题意，得出，求出，再利用两角和与差公式以及余弦定理求出，利用诱导公式，即可求出.
【详解】
由题可得，，
所以，得，且.
设，则，所以，
可解得.
因为.
在中，根据余弦定理可得，
所以.
故答案为：；.
【点睛】
本题考查三角形相关的角的正弦值和余弦值，其中运用相似三角形和余弦定理，以及两角和与差公式和诱导公式化简.
17．（1）（2）12
【解析】
【详解】
试题分析：
(1)利用题意可知 ，结合两角和差正余弦公式可得 ．
(2)利用二倍角公式结合题意整理计算可得三角函数式的值为12.
试题解析：
（1）由
所以．
则
（2）因为，．
所以．
18．(1)证明见解析
(2)①当n为奇数时，；②当n为偶数时，.
【解析】
【分析】
（1）利用定义法证明等差数列；
（2）先求出，对n分奇偶进行讨论，邻项相消求和.
(1)
，
，即，
数列是以为公差的等差数列.
(2)
由（1）可知数列是以为公差的等差数列，且，
，
，
①当n为奇数时，
②当n为偶数时，
19．（1）；（2）；（3）列联表见解析，没有.
【解析】
【分析】
（1）利用直方图面积和为可求得实数的值；
（2）利用中位数左边的矩形面积和为可列等式求出中位数的值；
（3）根据题中信息完善列联表，计算出的观测值，结合临界值表可得出结论.
【详解】
（1）由题意可知：，解得；
（2）前三个矩形的面积和为，
前四个矩形的面积和为，
设中位数为，则，
由题意可得，解得，
因此，这名学生比赛成绩的中位数估计值为分；
（3）抽取的名学生中，“优秀”的人数为人，“非优秀”的人数为人，
列联表如下表：
优秀 非优秀 合计
文科生
理科生
合计
，
因此，没有的把握认为“比赛成绩是否优秀与文理科别有关”.
【点评】
本题主要考查了频率分布直方图的实际应用，考查了独立性检验的实际应用，是基础题.
20．(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）易证平面，再由，得到，再根据，E为中点，得到，然后利用线面垂直的判定定理证明；
（2）过点D作的垂线，交于点F，易知两两互相垂直，建立空间直角坐标系，因为平面，则是平面PBC的一个法向量，然后由求解.
(1)
证明：∵底面为正方形，
∴
又，即，且，平面，平面，
∴平面.
∵平面，
∴，
∵，∴.
∵，E为中点，
∴.
又，平面，平面，
∴平面.
又平面，
∴.
(2)
解：在平面内，过点D作的垂线，交于点F.
由（1）知，平面，平面，∴.
∴两两互相垂直，
∴以点D为空间坐标原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系.
由，，可知，，，
∴，.
由（1）知，平面，
∴.
∴与平面所成角的正弦值为.
21．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）把代入椭圆方程结合求出，，得到椭圆方程；（2）设出直线的方程，联立椭圆方程，利用韦达定理得到两根之和，进而得到的中点坐标，利用中点在四边形内（包括边界），得到直线斜率的取值范围.
(1)
由题设条件知，，，
解得：，．
故椭圆的方程为．
(2)
易证四边形为正方形，点的坐标，
显然直线的斜率存在，设直线的方程为．
如图，设点，的坐标分别为，，线段的中点为，
由，得，①
由，解得．②
因为，是方程①的两根，所以，于是
，．
因为，所以点不可能在轴的右边，
又直线，的方程分别为，，
所以点在正方形内（包括边界）的充要条件为．
即，亦即．
解得，此时②也成立，
故直线斜率的取值范围．
22．（1）奇函数（2）是在上为单调递减函数（3）或
【解析】
（1）首先令得到，再令得到，即可判断函数是奇函数.
（2）首先设任意，根据题意得到，即可证明.
（3）根据题意得到的最大值为，再根据恒成立求解即可.
【详解】
（1）因为有，
令，得，
所以，
令可得：，
所以，所以为奇函数.
（2）由题意设，
因为是定义在上的奇函数，
则
因为时，有，
所以，即.
所以是在上为单调递减函数；
（3）因为在上为单调递减函数，
所以在上的最大值为，
所以要使，对所有恒成立，
只要，即，
令
由得，
所以或.
【点睛】
关键点点睛：若，对所有，恒成立的理解转化，是解决本题的关键，首先转化为，即，
再转化为时恒成立，变换主元，看作关于的一次不等式恒成立即可求解.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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