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初中数学辅导讲义
相交线
知识点解析
一．相交线
两线四角 两条直线相交，形成四个角
1.邻补角
概念 两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，则这两个角互为邻补角．例如：∠1和∠2 选择
识别方法 ①具有一个公共的顶点；②有一条公共边；③两个角的另一边互为反向延长线；
性质 邻补角互补，例如：∠1+∠2=180°难点：已知条件没有，是隐含条件，需要自己发现 角度计算证明
2.对顶角
概念 如果两个角有公共顶点，并且它们的两边互为反向延长线，则这两个角互为对顶角．例如：∠1和∠3 选择
识别方法 ①有公共顶点；②角两边互为反向延长线．
性质 对顶角相等，例如：∠1=∠3．难点：已知条件没有，是隐含条件，需要自己发现 角度计算证明
二．垂线
1.定义
垂直与垂线定义 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是90°时，就说这两条直线互相垂直，记作：AB⊥CD.其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点O叫做垂足． 角度计算证明面积相关题
推理过程写作 ∵∠AOC=90°∴AB⊥CD(垂直的定义)
2.垂线的性质
垂线的画法 一落，二移，三画 画图题
垂线的性质1 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 选择填空
垂线的性质2 连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短．简称：垂线段最短． 选择填空简答题
区分 线段最短：两点一线段垂线段最短：一点一直线，还有垂线段
点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离. 选择
三．三线八角
三线八角 直线AB、CD是被截线，直线EF是截线，这样三条直线相交形成八个角．
同位角 两个角都在被截线同侧，并且在截线同侧.例如和
内错角 两个角都在被截线之间，并且在截线两侧．例如和
同旁内角 两个角都在被截线之间，并且在截线两侧．例如和
典型例题及重点题练习
类型一、邻补角
例1.下列选项正确的有（ ）个
①邻补角可以看成是平角被过它顶点的一条射线分成的两个角
②邻补角是互补的两个角，互补的两个角是邻补角
③邻补角是成对出现的，而且是互为邻补角
A.0 B.1 C.2 D.3
【变式】下列选项中,两个角是邻补角的是（ ）
A. B. C. D.
例2.如图,直线相交于点,若∠1等于40°,则∠2等于_____________
类型二、对顶角
例3.下列选项正确的有（ ）个
①如果两个角相等，那么这两个角是对顶角．
②如果两个角有公共顶点且没有公共边，那么这两个角是对顶角．
③两条直线相交成四个角，其中不相邻的两个角叫对顶角．
④两条直线相交，如果它们所成的邻补角相等，那么一对对顶角就互补
A.0 B.1 C.2 D.3
【变式】如图，∠1和∠2是对顶角的是（ ）．
A. B. C. D.
例4.如图，三条直线相交于点0，则∠1＋∠2＋∠3的度数等于（ )
A.210° B.180° C.150° D.120°
【变式】1.如图，直线a,b 相交于点0,使半圆形量角器的圆心与点0重合，发现表示60°的刻度与直线a重合，表示138°的刻度与直线b重合，则∠1的度数为（ )
A.60° B.78° C.102° D.138°
【变式】2.如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD.若∠AOE=140°,则∠AOC=_____________
例5.观察下列各图，寻找对顶角（不含平角）
（1）如图1，图中共有________对对顶角；（2）如图2，图中共有________对对顶角；
（3）如图3，图中共有________对对顶角；
（4）研究（1）～（3）小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，猜测：若有n条直线相交于一点，则可形成_____________对对顶角；
（5）若有10条直线相交于一点，则可形成___________对对顶角.
类型三、垂线
例6.如图，直线AB，CD相交于点O.下列条件中，不能说明AB⊥CD的是( )
A.∠AOD=90° B.∠AOC=∠BOC C.∠BOC+∠BOD=180° D.∠AOC+∠BOD=180°
【变式】如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，∠1＝55°，求∠EOD的度数.
解：∵AB⊥OE（ ）
∴∠EOB＝90°（ ）
∵∠BOD＝∠1＝55°（ ）
∴∠EOD=∠EOB+∠BOD =90°+55°=145°
例7.作图：
（1）在图1中过点P画AB的垂线；
（2）在图2中过点P分别画OA，OB的垂线；
（3）在图3中过点A画BC的垂线．
例8.已知OA⊥OC,∠AOB:∠AOC=2:3,则∠BOC=___________
【变式】如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD于点O．
（1）若∠AOC＝36°,求∠BOE的度数；
（2）若∠BOD：∠BOC＝1:5，求∠AOE的度数；
（3）在（2）的条件下，请你过点0作直线MN⊥AB，并在直线MN上取一点F（点F与点0不重合），然后直接写出∠EOF的度数.
例9.如图，已知NO⊥，MO⊥，所以NO与MO重合，其理由是( )
A.两点确定一条直线 B.在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C.垂线段最短 D.在同一平面内，过一点只能作一条垂线
例10.如图，想在河堤两岸搭建一座桥，图中搭建方式中，最短的是PB，理由________________
【变式】1如图，点A在直线BC外，AC⊥BC，垂足为点C，AC＝3，点P是直线BC上的一个动点，则AP的长不可能是 ( ） A.2.5 B.3 C.4 D.5
【变式】2如图，在三角形ABC中，∠BCA＝90°，BC＝3，AC＝4，AB＝5，点P是线段AB上的一动点，则线段CP的最小值是__________________
例11.如图，河道的同侧有M、N两个村庄，计划铺设一条管道将河水引至M，N两地，下面的四个方案中，管道长度最短的是( ）
【变式】“十三五”期间，国家启动实施农村饮水安全巩固提升工程，为脱贫攻坚和乡村振兴注入了源源动力.如图，平原上有A，B，C，D四个村庄，为解决饮水问题，政府准备投资修建一个蓄水池.
（1）不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H点的位置，使它到四个村庄距离之和最小；
（2）政府计划把河水引入蓄水池H中，怎样开渠最短并说明根据.
例12.如图所示，点到直线的距离是（ ）
A.线段的长度 B.线段的长度 C.线段的长度 D.线段的长度
【变式】如图，AB⊥ON于点B，CD⊥OM于点D,AB与CD相交于点P，则下列说法错误的是( )
A.线段AB的长是点A到ON的距离 B.线段CD的长是点C到OM的距离
C.线段PD的长是点P到OM的距离 D.线段PB是点P到ON的距离
类型四、三线八角
例13.如图，下列说法中不正确的是（ ）
A.∠1和∠3是同旁内角 B.∠2和∠3是内错角 C.∠2和∠4是同位角 D.∠3和∠5是对顶角
【变式】下列四个图形中,∠1和∠2不是同位角的是（ ）
A. B. C. D.
例14.如图，直线CM，CD，ON，OB被直线AO所截，则下列结论正确的是( )
∠1和∠4是同旁内角 B．∠2和∠4是内错角
C.∠ACD和∠AOB是同位角 D.∠1和∠3是同位角
例15.如图所示,∠1,∠2,∠3,∠4,∠5各是哪两条直线被哪条直线所截而成的 它们各是什么位置关系的角
例16.(1)如图1，两条水平的直线被一条直线所截，同位角有________对，内错角有_________对，同旁内角有____________对；
（2）如图2，三条水平的直线被一条直线所截，同位角有_________对，内错角有_______对，同旁内角有__________对；
（3）根据以上探究的结果，n（n为大于1的整数）条水平的直线被一条直线所截，同位角有多少对？内错角有多少对？同旁内角有多少对？（用含n的式子表示）

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