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随机现象 样本空间 随机事件
新课程标准解读 核心素养
结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系 数学抽象、直观想象、逻辑推理
体育彩票摇奖时，将10个质地和大小完全相同的小球标上号码，分别为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，然后放入摇奖器中经过充分搅拌后先后摇出两个小球，观察该球的号码．
[问题]　(1)这个试验的结果共有多少种情况？如何表示这些结果？
(2)如果改为抽取时先抽出一球，放回后再抽出一球，观察该球的号码，那么这个试验的结果共有多少种情况？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　随机现象
1．确定性现象
在一定条件下必然出现的现象．
2．随机现象
在一定条件下，进行试验或观察会出现不同的结果，而且每次试验之前都无法预言会出现哪一种结果的现象．
3．随机现象的两个特点
(1)结果至少有种；
(2)事先并不知道会出现哪一种结果．
下列现象中，是随机现象的有(　　)
①在一条公路上，交警记录某一小时通过的汽车超过300辆；②若a为整数，则a＋1为整数；③发射一颗炮弹，命中目标；④检查流水线上一件产品是合格品．
A．1个　　　　　　　　　 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选C　当a为整数时，a＋1一定为整数，是确定性现象，其余3个均为随机现象．
知识点二　样本空间
1．样本空间
一般地，将试验E的所有可能结果组成的集合称为试验E的样本空间，记作．
2．样本点
样本空间Ω的元素，即试验E的每种可能结果，称为试验E的样本点，记作ω.
3．有限样本空间
如果样本空间Ω的样本点的个数是有限的，那么称样本空间Ω为有限样本空间．
“试验”具有广泛的含义，如抛掷硬币、投篮、摸球、产品抽样检验、明天会不会下雨等都可以看成试验．一个试验如果满足下列条件：
(1)试验要在相同的条件下重复进行；
(2)试验的所有结果是确定可知的，且不止一种；
(3)每次试验总会出现这些结果中的一种，但在一次试验之前不能确定这次试验会出现哪一种结果，则称这个试验为随机试验．　　　　
1．如何确定试验的样本空间？
提示：确定试验的样本空间就是写出试验的所有可能的结果，并写成Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}的形式．
2．观察随机试验时，其可能出现的结果的数量一定是有限的吗？
提示：不一定，也可能是无限的．如在实数集中，任取一个实数．
从标有1，2，3，4，5的5张卡片中任取两张，观察取出的卡片上的数字．
(1)这个试验的样本点的总数为________；
(2)“数字之和为5”这一事件包含样本点为________．
答案：(1)10　(2)(1，4)，(2，3)
知识点三　随机事件
1．随机事件
一般地，把试验E的样本空间Ω的子集称为E的随机事件，简称事件，常用A，B，C等表示．
2．必然事件
样本空间Ω是其自身的子集，因此Ω也是一个事件；又因为它包含所有的样本点，每次试验无论哪个样本点ω出现，Ω都必然发生，因此称Ω为必然事件．
3．不可能事件
空集 也是Ω的一个子集，可以看作一个事件；由于它不包含任何样本点，它在每次试验中都不会发生，故称 为不可能事件．
事件与基本事件的区别
基本事件是试验中不能再分解的最简单的随机事件，不同的基本事件不可能同时发生．而事件可以由若干个基本事件组成．　　　　
　给出下列四个命题：
①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件；
②“当x为某一实数时，可使x2<0”是不可能事件；
③“明天兰州要下雨”是必然事件；
④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件．
其中正确命题的序号是(　　)
A．①②③④　　　　　 B．①②③
C．①②④ D．①②
解析：选C　“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”一定发生，是必然事件．①正确；“当x为某一实数时，可使x2<0”不可能发生，没有哪个实数的平方小于0，是不可能事件，②正确；“明天兰州要下雨”是随机事件，故③错误；“从100个灯炮中取出5个，5个都是次品”有可能发生，有可能不发生，是随机事件，故④正确．
事件类型的判断
[例1]　(链接教科书第192页习题A组1题)指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件：
(1)某人购买福利彩票一注，中奖500万元；
(2)三角形的两边之和大于第三边；
(3)没有空气和水，人类可以生存下去；
(4)从分别标有1，2，3，4的四张标签中任取一张，抽到1号标签；
(5)科学技术达到一定水平后，不需任何能量的“永动机”将会出现．
[解]　(1)购买一注彩票，可能中奖，也可能不中奖，所以是随机事件．
(2)所有三角形的两边之和都大于第三边，所以是必然事件．
(3)空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水，人类无法生存，所以是不可能事件．
(4)任意抽取，可能得到1，2，3，4号标签中的任一张，所以是随机事件．
(5)由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永动机”不会出现，所以是不可能事件．
判断一个事件是哪类事件的方法
一看条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的；
二看结果是否发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件．　　　　
[跟踪训练]
指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件：
(1)我国东南沿海某地明年将受到3次冷空气的侵袭；
(2)抛掷硬币10次，至少有一次正面向上；
(3)同一门炮向同一目标发射多枚炮弹，其中50%的炮弹击中目标；
(4)没有水分，种子发芽．
解：(1)我国东南沿海某地明年可能受到3次冷空气侵袭，也可能不是3次，是随机事件．
(2)抛掷硬币10次，也可能全是反面向上，也可能有正面向上，是随机事件．
(3)同一门炮向同一目标发射，命中率可能是50%，也可能不是50%，是随机事件．
(4)没有水分，种子不可能发芽，是不可能事件．
样本点和样本空间
[例2]　(链接教科书第184页例1)某人做试验，从一个装有标号为1，2，3，4的小球的盒子中，无放回地取两个小球，每次取一个，先取的小球的标号为x，后取的小球的标号为y，这样构成有序实数对(x，y).
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)写出“第一次取出的小球上的标号为2”这一事件．
[解]　(1)当x＝1时，y＝2，3，4；
当x＝2时，y＝1，3，4；
当x＝3时，y＝1，2，4；
当x＝4时，y＝1，2，3.
因此，这个试验的样本空间是Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)}．
(2)记“第一次取出的小球上的标号为2”为事件A，则A＝{(2，1)，(2，3)，(2，4)}．
[母题探究]
(变条件)若将本例中的条件改为每次取一个，先取的小球的标号为x，记录编号后放回盒子摇匀，再取一个小球的标号为y，这样构成有序实数对(x，y).试写出这个试验的样本空间．
解：当x＝1时，y可取1，2，3，4.
同理，x＝2，3，4时，对应的不同的试验结果也有4个．
所以这个试验的样本空间为Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}．
写样本空间的关键是找样本点，具体有三种方法
(1)列举法：适用样本点个数不是很多，可以把样本点一一列举出来的情况，但列举时必须按一定的顺序，要做到不重不漏；
(2)列表法：适用于试验中包含两个或两个以上的元素，且试验结果相对较多的样本点个数的求解问题，通常把样本归纳为“有序实数对”，也可用坐标法，列表法的优点是准确、全面、不易遗漏；
(3)树状图法：适用较复杂问题中的样本点的探求，一般需要分步(两步及两步以上)完成的结果可以用树状图进行列举．　　　　
[跟踪训练]
连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币是正面朝上还是反面朝上．
(1)写出这个试验的样本空间Ω；
(2)用集合表示事件M＝“恰有2枚正面朝上”．
解：(1)画树状图如图所示．
因此这个试验的样本空间Ω＝{(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)}．
(2)“恰有2枚正面朝上”包含(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，共3个样本点．
故M＝{(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)}．
事件与事件的表示
[例3]　(链接教科书第186页例2，187页例3)同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x，转盘乙得到的数为y，结果为(x，y).
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)求这个试验包含的样本点的总数；
(3)用集合表示下列事件：
①M＝“x＋y＝5”；②N＝“x<3，且y>1”；③T＝“xy＝4”．
[解]　(1)Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}．
(2)样本点总数为16.
(3)①“x＋y＝5”包含以下4个样本点：(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1).
所以M＝{(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)}；
②“x<3，且y>1”包含以下6个样本点：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，2)，(2，3)，(2，4).
所以N＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，2)，(2，3)，(2，4)}；
③“xy＝4”包含以下3个样本点：(1，4)，(2，2)，(4，1).
所以T＝{(1，4)，(2，2)，(4，1)}．
1．随机事件的结果是相对于条件而言的，要确定样本空间：(1)必须明确事件发生的条件；(2)根据题意，按一定的次序列出所有样本点．特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏．
2．试验中当试验的结果不唯一时，一定要将各种可能都要考虑到，尤其是有顺序和无顺序的情况最易出错．　　　　
[跟踪训练]
甲、乙两人做出拳游戏(锤、剪、布).
(1)写出样本空间；
(2)写出事件“甲赢”；
(3)写出事件“平局”．
解：(1)Ω＝{(锤，剪)，(锤，布)，(锤，锤)，(剪，锤)，(剪，剪)，(剪，布)，(布，锤)，(布，剪)，(布，布)}．
(2)记“甲赢”为事件A，则A＝{(锤，剪)，(剪，布)，(布，锤)}．
(3)记“平局”为事件B，则B＝{(锤，锤)，(剪，剪)，(布，布)}．
1．(多选)下列现象是随机现象的是(　　)
A．连续两次抛掷同一个骰子，两次都出现2点
B．走到十字路口，遇到红灯
C．异性电荷相互吸引
D．抛一石块，下落
解析：选AB　A、B是随机现象，C、D是确定性现象，故选A、B.
2．为了丰富高一学生的课外生活，某校要组建数学、计算机、航空模型、绘画4个兴趣小组，小明要随机选报其中的2个，则该试验中样本点的个数为(　　)
A．3 B．5
C．6 D．9
解析：选C　由题意，可得样本点为(数学，计算机)，(数学，航空模型)，(数学，绘画)，(计算机，航空模型)，(计算机，绘画)，(航空模型，绘画)，共6个，故选C.
3．写出下列试验的样本空间：
(1)甲、乙两队进行一场足球赛，观察甲队比赛结果(包括平局)________；
(2)从含有6件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数________．
解析：(1)对于甲队来说，有胜、平、负三种结果；
(2)从含有6件次品的50件产品中任取4件，其次品的个数可能为0，1，2，3，4，不能再有其他结果．
答案：(1)Ω＝{胜，平，负}　(2)Ω＝{0，1，2，3，4}
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6随机事件的运算
新课程标准解读 核心素养
了解随机事件的并、交与互斥、对立的含义，能结合实例进行随机事件的并、交运算 数学抽象、数学运算
中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，“甲夺得冠军”为事件A，“乙夺得冠军”为事件B.
[问题]　那么“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”用事件A与B如何表示？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　随机事件的运算
1．交事件(积事件)
定义 一般地，由事件A与事件B都发生所构成的事件，称为事件A与事件B的交事件(或积事件)
含义 A与B同时发生
符号表示 A∩B(或AB)
图形表示
2．并事件(和事件)
定义 一般地，由事件A和事件B至少有一个发生(即A发生，或B发生，或A，B都发生)所构成的事件，称为事件A与事件B的并事件(或和事件)
含义 A与B至少一个发生
符号表示 A∪B(或A＋B)
图形表示
3．互斥事件
定义 一般地，不能同时发生的两个事件A与B(A∩B＝)称为互斥事件
含义 A与B不能同时发生
符号表示 A∩B＝
图形表示
4．对立事件
定义 若A∩B＝，且A∪B＝，则称事件A与事件B互为对立事件，事件A的对立事件记作
含义 A与B有且仅有一个发生
符号表示 A∩B＝ ，A∪B＝Ω
图形表示
1．如果A与B相互对立，则A与B互斥，但反之不成立．
2．(A)＋(B)表示的是A与B的和，实际意义是：A发生且B不发生，或者A不发生且B发生，换句话说就是A与B中恰有一个发生．
同数的加、减、乘、除混合运算一样，事件的混合运算也有优先级，我们规定：求积运算的优先级高于求和运算，因此(A)＋(B)可简写为A＋B.　　　　
1．一枚骰子掷一次，记事件A＝{出现的点数为2}，事件C＝{出现的点数为偶数}，事件D＝{出现的点数小于3}，则事件A，C，D有什么关系？
提示：A＝C∩D.
2．命题“事件A与B为互斥事件”与命题“事件A与B为对立事件”有什么关系？(指充分性与必要性)
提示：根据互斥事件和对立事件的概念可知，“事件A与B为互斥事件”是“事件A与B为对立事件”的必要不充分条件．
1．从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是(　　)
A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”
B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
C．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”
D．“至少有一个黑球”与“都是红球”
解析：选C　A中的两个事件能同时发生，故不互斥；同样，B中两个事件也可同时发生，故不互斥；D中两个事件是对立的，故选C.
2．掷一颗骰子，统计正面向上的点数．记“出现5点”＝A，“出现3点”＝B，“出现1点”＝C，则“出现奇数点”这一事件可表示为________．事件A∪B与事件C是否互为对立事件，________(填“是”或“否”).
答案：A∪B∪C　否
3．有甲、乙两台机床，记“甲正常工作”＝A，“乙正常工作”＝B，则AB表示________，“甲不能正常工作”可记为________．
答案：“甲、乙同时正常工作”　
事件关系的判断
[例1]　(链接教科书第191页练习1题)某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件？如果是，再判断它们是不是对立事件：
(1)“恰有1名男生”与“恰有2名男生”；
(2)“至少有1名男生”与“全是男生”；
(3)“至少有1名男生”与“全是女生”；
(4)“至少有1名男生”与“至少有1名女生”．
[解]　从3名男生和2名女生中任选2人有如下三种结果：2名男生，2名女生，1男1女．
(1)“恰有1名男生”指1男1女，与“恰有2名男生”不能同时发生，它们是互斥事件；但是当选取的结果是2名女生时，该两事件都不发生，所以它们不是对立事件．
(2)“至少1名男生”包括2名男生和1男1女两种结果，与事件“全是男生”可能同时发生，所以它们不是互斥事件．
(3)“至少1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥，由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．
(4)“至少有1名女生”包括1男1女与2名女生两种结果，当选出的是1男1女时，“至少有一名男生”与“至少一名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件．
判断事件间关系的方法
(1)要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立其发生的条件都是一样的；
(2)考虑事件间的结果是否有交事件，可考虑利用Venn图分析，对较难判断关系的，也可列出全部结果，再进行分析．　　　　
[跟踪训练]
判断下列给出的每对事件，是否为互斥事件，是否互为对立事件，并说明理由．
从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张)中，任取1张．
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．
解：(1)是互斥事件，不是对立事件．
理由是从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．
(2)既是互斥事件，又是对立事件．
理由是从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．
(3)不是互斥事件，也不是对立事件．
理由是从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然也不可能是对立事件．
事件的运算
[例2]　(链接教科书第190页例5)从某大学数学系图书室中任选一本书．设A＝{数学书}；B＝{中文版的书}；C＝{2020年后出版的书}．问：
(1)A∩B∩表示什么事件？
(2)在什么条件下有A∩B∩C＝A
[解]　(1)A∩B∩＝{2020年或2020年前出版的中文版的数学书}．
(2)在“图书室中所有数学书都是2020年后出版的且为中文版”的条件下才有A∩B∩C＝A.
[母题探究]
1．(变设问)本例条件不变， B表示什么意思？
解： B表示2020年或2020年前出版的书全是中文版的．
2．(变设问)本例条件不变，如果＝B，那么是否意味着图书室中所有的数学书都不是中文版的？
解：是．＝B意味着图书室中的非数学书都是中文版的，而且所有的中文版的书都不是数学书．
事件运算应注意的2个问题
(1)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析；
(2)在一些比较简单的题目中，需要判断事件之间的关系时，可以根据常识来判断．但如果遇到比较复杂的题目，就得严格按照事件之间关系的定义来推理．　　　　
[跟踪训练]
1．抛掷一枚质地均匀的骰子，事件E＝“向上的点数为1”，事件F＝“向上的点数为5”，事件G＝“向上的点数为1或5”，则有(　　)
A．E F　　　　　　　　 B．G F
C．E∪F＝G D．E∩F＝G
解析：选C　根据事件之间的关系，知事件G发生当且仅当事件E发生或事件F发生，所以E∪F＝G，故选C.
2．(多选)一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品．从这批产品中任意抽取5件，现给出以下四个事件：
事件A：恰有一件次品；事件B：至少有两件次品；
事件C：至少有一件次品；事件D：至多有一件次品．
则以下结论正确的是(　　)
A．A∪B＝C　　　　 B．D∪B是必然事件
C．A∩B＝C D．A∩D＝C
解析：选AB　事件A∪B：至少有一件次品，即事件C，所以A正确；事件D∪B：至少有两件次品或至多有一件次品，包括了所有情况，所以B正确；事件A∩B＝ ，C不正确；事件A∩D：恰有一件次品，即事件A，所以D不正确．
事件关系的判断与集合形式表示
2019年4月23日，作为全国第三批启动高考综合改革试点的8个省市，河北、辽宁、江苏、福建、湖北、湖南、广东、重庆23日相继发布了本省份高考综合改革实施方案，明确从2018年秋季入学的高中一年级学生开始实施．
根据公布的实施方案，8个省市将采用“3＋1＋2”模式：“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有学生必考；“1”为首选科目，考生须在高中学业水平考试的物理、历史科目中选择一科；“2”为再选科目，考生可在化学、生物、思想政治、地理4个科目中选择两科．
[问题探究]
1．小李从物理、历史中选择1门，再在思想政治、地理、化学、生物中选择2门，请写出试验的样本空间，并说出样本点的个数．
提示：试验的样本点可用(x，y，z)表示，其中从物理、历史中选择1门，结果用x表示；从思想政治、地理、化学、生物中选择2门，结果用y，z表示．
该试验的样本空间Ω＝{(物理，思想政治，地理)，(物理，思想政治，化学)，(物理，思想政治，生物)，(物理，地理，化学)，(物理，地理，生物)，(物理，化学，生物)，(历史，思想政治，地理)，(历史，思想政治，化学)，(历史，思想政治，生物)，(历史，地理，化学)，(历史，地理，生物)，(历史，化学，生物)}，样本点的个数为12.
2．小李从物理、历史中选择1门，再在思想政治、地理、化学、生物中选择2门，若记事件A为“小李物理必选”；事件B为“小李生物必选”，用集合表示这两个事件，并判断事件A与事件B是不是互斥事件，是不是对立事件．
提示：A＝{(物理，思想政治，地理)，(物理，思想政治，化学)，(物理，思想政治，生物)，(物理，地理，化学)，(物理，地理，生物)，(物理，化学，生物)}，
B＝{(物理，思想政治，生物)，(物理，地理，生物)，(物理，化学，生物)，(历史，思想政治，生物)，(历史，地理，生物)，(历史，化学，生物)}．
则事件A，B中含有相同的样本点(物理，思想政治，生物)，(物理，地理，生物)，(物理，化学，生物)，
所以事件A与事件B不是互斥事件，也不是对立事件．
3．在第2小题的条件下，用集合的形式表示事件A∪B和事件∩，并说明事件A∪B和事件∩的关系．
提示：由第2问可知，事件A∪B＝{(物理，思想政治，地理)，(物理，思想政治，化学)，(物理，思想政治，生物)，(物理，地理，化学)，(物理，地理，生物)，(物理，化学，生物)，(历史，思想政治，生物)，(历史，地理，生物)，(历史，化学，生物)}，
事件∩＝{(历史，思想政治，地理)，(历史，思想政治，化学)，(历史，地理，化学)}，
所以事件A∪B和事件∩既是互斥事件，也是对立事件．
[迁移应用]
有一个正方体的玩具，六个面标注了数字1，2，3，4，5，6，甲、乙两位学生进行如下游戏：甲先抛掷一次，记下正方体朝上的数字为a，再由乙抛掷一次，记下正方体朝上的数字为b，若|a－b|≤1，就称甲、乙两人“默契配合”，则甲、乙两人“默契配合”的样本点为________________．
答案：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，5)，(6，6)
1．一个人连续射击三次，事件“至少有一次击中目标”的对立事件是(　　)
A．至多有一次击中目标　　 B．三次都击不中目标
C．三次都击中目标 D．只有一次击中目标
解析：选B　一个人连续射击三次，事件“至少有一次击中目标”的对立事件是“三次都击不中目标”．故选B.
2.给出事件A与B的关系示意图，如图所示，则(　　)
A．A B
B．A B
C．A与B互斥
D．A与B互为对立事件
解析：选C　由互斥事件的定义可知，C正确．故选C.
3．抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则(　　)
A．A B
B．A＝B
C．A∪B表示向上的点数是1或2或3
D．AB表示向上的点数是1或2或3
解析：选C　由题意可知A＝{1，2}，B＝{2，3}，则A∩B＝{2}，A∪B＝{1，2，3}，所以A∪B表示向上的点数是1或2或3.故选C.
4．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，事件E＝{向上的点数为偶数}，F＝{向上的点数为质数}，则E∩F＝______．
解析：E＝{向上的点数为偶数}＝{2，4，6}，
F＝{向上的点数为质数}＝{2，3，5}，
∴E∩F＝{向上的点数为2}．
答案：{向上的点数为2}
5．盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．
问：(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？
(2)事件C与A的交事件是什么事件？
(3)设事件E＝{3个红球}，事件F＝{3个球中至少有1个白球}，那么事件C与B，E是什么运算关系？C与F的交事件是什么？
解：(1)对于事件D，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球，故D＝A∪B.
(2)对于事件C，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球或3个均为红球，故C∩A＝A.
(3)由事件C包括的可能结果有1个红球2个白球，2个红球1个白球，3个红球三种情况，故B C，E C，而事件F包括的可能结果有1个白球2个红球，2个白球1个红球，3个白球，所以C∩F＝{1个红球2个白球，2个红球1个白球}＝D.
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1古典概型的概率计算公式
新课程标准解读 核心素养
结合具体实例，理解古典概型，能计算古典概型中简单随机事件的概率 数学抽象、数学运算
齐王与田忌赛马，田忌的上马优于齐王的中马，劣于齐王的上马，田忌的中马优于齐王的下马，劣于齐王的中马，田忌的下马劣于齐王的下马．现各出上、中、下三匹马分别进行一场比赛，胜两场以上(含两场)即为获胜．
[问题]　(1)若齐王知道田忌马的出场顺序，他获胜的概率是多大？
(2)如田忌知道齐王马的出场顺序，他能获胜吗？若双方均不知对方马的出场顺序，你能探求田忌获胜的概率吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　古典概型
1．古典概型的含义
一般地，若试验E具有如下特征：
(1)有限性：试验E的样本空间Ω的样本点总数有限，即样本空间Ω为有限样本空间；
(2)等可能性：每次试验中，样本空间Ω的各个样本点出现的可能性相等．
则称这样的试验模型为古典概率模型，简称古典概型．
2．古典概型的概率计算公式
对古典概型来说，如果样本空间Ω包含的样本点总数为n，随机事件A包含的样本点个数为m，那么事件A发生的概率为P(A)＝＝．
若一次试验的结果所包含的样本点的个数是有限个，则该试验是古典概型吗？
提示：不是，还必须满足每个样本点出现的可能性相等．
1．下列试验中，是古典概型的有(　　)
A．某人射击中靶或不中靶
B．在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都为整数的所有点中任取一个
C．四位同学用抽签法选一人参加会议
D．运动员投篮，观察是否投中
解析：选C　A中，某人射击中靶与不中靶的概率不相等，所以A不是古典概型；B中，横坐标和纵坐标都为整数的所有点有无数个，所以B不是古典概型；C中，每个人被选中的可能性相等，且共有4种结果，符合古典概型的特征，所以C是古典概型；D中，运动员投篮投中与没有投中的概率不相等，所以D不是古典概型．
2．甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为________．
解析：试验所包含的样本点有(红，红)，(红，白)，(红，蓝)，(白，红)，(白，白)，(白，蓝)，(蓝，红)，(蓝，白)，(蓝，蓝)，共9种，其中颜色相同的有(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共3种，故所求的概率为P＝＝.
答案：
古典概型的判断
[例1]　(链接教科书第195页思考交流)(多选)下列概率模型不属于古典概型的是(　　)
A．某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环
B．某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲
C．一只使用中的灯泡的寿命长短
D．中秋节前夕，某市工商部门调查辖区内某品牌的月饼质量，给该品牌月饼评“优”或“差”
[解析]　A不属于，原因是命中0环，1环，…，10环的概率不一定相同，不满足等可能性；B属于，原因是满足有限性，且任选1人与学生的性别无关，是等可能的；C不属于，原因是灯泡的寿命是任何一个非负实数，有无限多种可能，不满足有限性；D不属于，原因是该品牌月饼被评为“优”或“差”的概率不一定相同，不满足等可能性．
[答案]　ACD
判断一个试验是古典概型的依据
判断随机试验是否为古典概型，关键是抓住古典概型的两个特征——有限性和等可能性，二者缺一不可．　　　　
[跟踪训练]
下列试验是古典概型的为________．(填序号)
①从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小；
②同时掷两颗骰子，点数和为6的概率；
③近三天中有一天降雨的概率；
④10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率．
解析：①②④是古典概型，因为符合古典概型的定义和特点．③不是古典概型，因为不符合等可能性，降雨受多方面因素影响．
答案：①②④
较为简单的古典概型问题
[例2]　(链接教科书第195页例1)同时掷两个骰子，计算：
(1)一共有多少种不同的结果？
(2)其中向上的点数之和是5的结果有多少种？
(3)向上的点数之和是5的概率是多少？
[解]　(1)把两个骰子标上记号1，2以便区分，可能结果如表所示：
1 2 3 4 5 6
1 (1，1) (1，2) (1，3) (1，4) (1，5) (1，6)
2 (2，1) (2，2) (2，3) (2，4) (2，5) (2，6)
3 (3，1) (3，2) (3，3) (3，4) (3，5) (3，6)
4 (4，1) (4，2) (4，3) (4，4) (4，5) (4，6)
5 (5，1) (5，2) (5，3) (5，4) (5，5) (5，6)
6 (6，1) (6，2) (6，3) (6，4) (6，5) (6，6)
所以，同时掷两个骰子的结果共有36种．
(2)由表可知，向上的点数之和是5的结果有(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，共4种．
(3)记事件A表示“向上的点数之和为5”，由(2)可知，事件A包含的样本点个数为4.于是由古典概型的概率计算公式可得P(A)＝＝.
[母题探究]
1．(变设问)本例条件不变，求向上的点数之和不大于7的概率？
解：记“点数之和不大于7”这一事件为C，则C＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(6，1)}，样本点共有21个．∴P(C)＝＝.
2．(变设问)本例条件不变，求向上的点数之和等于3的倍数的概率？
解：记“点数之和等于3的倍数”为事件D，即点数和为3，6，9，12的情形，则D＝{(1，2)，(1，5)，(2，1)，(2，4)，(3，3)，(3，6)，(4，2)，(4，5)，(5，1)，(5，4)，(6，3)，(6，6)}，样本点共有12个．
∴P(D)＝＝.
求解古典概型的概率“四步”法
　　　　
[跟踪训练]
1．甲、乙两人有三个不同的学习小组A，B，C可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组(两人参加各小组的可能性相同)，则两人参加同一个学习小组的概率为(　　)
A．　　　　　　　　 B．
C． D．
解析：选A　甲、乙两人参加学习小组，若以(A，B)表示甲参加学习小组A，乙参加学习小组B，则样本空间Ω＝{(A，A)，(A，B)，(A，C)，(B，A)，(B，B)，(B，C)，(C，A)，(C，B)，(C，C)}，其中两人参加同一个学习小组共包含3个样本点，所以所求概率为.
2．某市举行职工技能比赛活动，甲厂派出2男1女共3名职工，乙厂派出2男2女共4名职工，若从甲厂和乙厂报名的职工中各任选1名进行比赛，求选出的2名职工性别相同的概率．
解：记甲厂派出的2名男职工为A1，A2，女职工为a；乙厂派出的2名男职工为B1，B2，2名女职工为b1，b2.从甲厂和乙厂报名的职工中各任选1名，不同的结果有(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，b1)，(A1，b2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，b1)，(A2，b2)，(a，B1)，(a，B2)，(a，b1)，(a，b2)，共12种．其中选出的2名职工性别相同的结果有(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(a，b1)，(a，b2)，共6种．
故选出的2名职工性别相同的概率为＝.
较为复杂的古典概型问题
[例3]　(链接教科书第196页练习1题)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：
①若xy≤3，则奖励玩具一个；
②若xy≥8，则奖励水杯一个；
③其余情况奖励饮料一瓶．
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动．
(1)求小亮获得玩具的概率；
(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．
[解]　用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则样本空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N，1≤x≤4，1≤y≤4}一一对应．
因为S中元素的个数是16个，
所以样本点总数n＝16.
(1)记“xy≤3”为事件A，则事件A包含的样本点个数共5个，
即A＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(3，1)}．
所以P(A)＝，即小亮获得玩具的概率为.
(2)记“xy≥8”为事件B，“3＜xy＜8”为事件C.
则事件B包含的样本点共6个，即B＝{(2，4)，(3，3)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}．
所以P(B)＝＝.
事件C包含的样本点个数共5个，
即C＝{(1，4)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(4，1)}．
所以P(C)＝.因为＞，
所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．
解古典概型问题时，要牢牢抓住它的两个特点和其计算公式．但是这类问题的解法多样，技巧性强，在解决此类题时需要注意以下两个问题：
(1)试验必须具有古典概型的两大特征——有限性和等可能性；
(2)计算样本点的数目时，须做到不重不漏，常借助坐标系、表格及树状图等列出所有样本点．　　　　
[跟踪训练]
甲、乙两人参加知识竞赛活动，组委会给他们准备了难、中、易三档题，其中容易题2道 ，分值各10分，中档题1道，分值20分，难题1道，分值40分，两人需分别从这4道题中随机抽取1道题作答(甲、乙两人所选题目可以相同).
(1)求甲、乙所选题目分值相同的概率；
(2)求甲所选题目分值大于乙所选题目分值的概率．
解：(1)设容易题用A1，A2表示，中档题用B表示，难题用C表示．
甲、乙两人分别从中随机抽取1道题作答，样本点共16个，为(A1，A1)，(A1，A2)，(A1，B)，(A1，C)，(A2，A1)，(A2，A2)，(A2，B)，(A2，C)，(B，A1)，(B，A2)，(B，B)，(B，C)，(C，A1)，(C，A2)，(C，B)，(C，C).
甲、乙所选题目分值相同所包含的样本点有(A1，A1)，(A1，A2)，(A2，A1)，(A2，A2)，(B，B)，(C，C)，共6个，
所以甲、乙所选题目分值相同的概率为＝.
(2)甲所选题目分值大于乙所选题目分值所包含的样本点有(B，A1)，(B，A2)，(C，A1)，(C，A2)，(C，B)，共5个，
所以甲所选题目分值大于乙所选题目分值的概率为.
1．下列试验中，是古典概型的为(　　)
A．三月份某一天是否下雨
B．从规格直径为250 mm±0.6 mm的一批合格产品中任意抽一根，测量其直径d
C．抛一枚硬币，观察其出现正面或反面
D．春天移植的树苗能否成活
解析：选C　古典概型有两个条件：有限性、等可能性．故选C.
2．在某微信群的“微信抢红包”活动中，若所发红包的总金额为8元，被随机分配为1.72元，1.83元，2.28元，1.55元，0.62元的5个红包，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙抢到的金额之和不低于3元的概率是(　　)
A． B．
C． D．
解析：选D　由题意，知甲、乙抢到的金额包含的样本点的总数为20，分别为(1.72，1.83)，(1.72，2.28)，…，(1.55，0.62)，(1.83，1.72)，(2.28，1.72)，…，(0.62，1.55).甲、乙抢到的金额之和不低于3元包含的样本点有12个，分别为(1.72，1.83)，(1.72，2.28)，(1.72，1.55)，(1.83，2.28)，(1.83，1.55)，(2.28，1.55)，(1.83，1.72)，(2.28，1.72)，(1.55，1.72)，(2.28，1.83)，(1.55，1.83)，(1.55，2.28).所以甲、乙抢到的金额之和不低于3元的概率为＝.故选D.
3．从集合{a，b，c，d，e}的所有子集中任取一个，则这个集合恰是集合{a，b，c}的子集的概率是(　　)
A． B．
C． D．
解析：选C　集合{a，b，c，d，e}有25＝32个子集，集合{a，b，c}有23＝8个子集，所以所求概率P＝＝.
4．四条线段的长度分别是1，3，5，7，从这四条线段中任取三条，则所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是(　　)
A． B．
C． D．
解析：选A　从四条长度各异的线段中任取一条，每条被取出的可能性均相等，所以该问题属于古典概型．又因为所有样本点包括(1，3，5)，(1，3，7)，(1，5，7)，(3，5，7)四种，而能构成三角形的样本点只有(3，5，7)一种，所以所取出的三条线段能构成一个三角形的概率P＝.
5．从三男三女共6名学生中任选2名(每名同学被选中的概率均相等)，则2名都是女同学的概率等于________．
解析：用A，B，C表示三名男同学，用a，b，c表示三名女同学，则从6名同学中选出2人共有15个样本点(A，B)，(A，C)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，C)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(C，a)，(C，b)，(C，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，2名都是女同学的有(a，b)，(a，c)，(b，c)，共有3个样本点故所求的概率为＝.
答案：
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7第1课时　古典概型的概率计算
新课程标准解读 核心素养
能够掌握古典概型的基本特征，根据实际问题构建概率模型，解决简单的实际问题 数学运算、数学建模
某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有编号为0，1，2，3四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一个球记下编号后放回，连续取两次，若取出的两个小球号码相加之和等于6，则中一等奖，等于5则中二等奖，等于4或3则中三等奖．
[问题]　(1)求中奖的概率？
(2)若上述问题改为每次取出一个球后不放回，中奖的概率是否发生变化？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　列样本点时要注意两类不同表述的区别
在利用古典概型求解实际问题时，首先判断该试验是否具有两大特征——有限性和等可能性，同时在获取题干中的信息时，注意以下两类不同的表述：
(1)“无序”与“有序”的区别：“无序”指取出的元素没有先后次序，常用“任取”表述，而“有序”指取出的元素有顺序，常用“依次取出”表述；
(2)“有放回”与“无放回”的区别：“有放回”取出的元素可以重复，而“无放回”取出的元素没有重复．
“有序不放回抽取”的特点是元素不能重复；“有放回抽取”的特点是元素允许重复．　　　　
口袋内有红、白、黄大小完全相同的三个小球，若从袋中摸出一个后放回，再摸出一个，则第一次摸出红球，第二次摸出白球的概率是________；若从袋中依次无放回地摸出两球，则第一次摸出红球，第二次摸出白球的概率是________．
解析：有放回地取球．样本空间为{(红，红)，(红，白)，(红，黄)，(白，白)，(白，红)，(白，黄)，(黄，红)，(黄，白)，(黄，黄)}，第一次摸出红球，第二次摸出白球，只包含(红，白)1个样本点，故所求概率为.
无放回地取球．样本空间为{(红，白)，(红，黄)，(白，红)，(白，黄)，(黄，红)，(黄，白)}，所以先摸出红球，再摸出白球的概率是.
答案：　
“有放回”与“不放回”问题
[例1]　口袋内有红、白、黄大小完全相同的三个小球，求：
(1)从中任意摸出两个小球，摸出的是红球和白球的概率；
(2)从袋中摸出一个后放回，再摸出一个，两次摸出的球是一红一白的概率．
[解]　(1)无放回地取球．任意摸出两个小球的样本空间为{(红，白)，(红，黄)，(白，黄)}，所以摸出的是红球和白球的概率为.
(2)有放回地取球．样本空间为{(红，红)，(红，白)，(红，黄)，(白，白)，(白，红)，(白，黄)，(黄，红)，(黄，白)，(黄，黄)}，而事件“摸出一红一白”包括(红，白)，(白，红)2个样本点，所以两次摸出的球是一红一白的概率为.
抽取问题是古典概型的常见问题，解决此类问题需要注意两点：一是所给问题是否需要将被抽取的个体进行区分才能满足古典概型的条件，二是看抽取的方式是有放回还是不放回，两种抽取方式对样本点的总数是有影响的．另外，不放回抽样看作无序或有序抽取均可，有放回抽样要看作有序抽取．　　　　
[跟踪训练]
从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为(　　)
A．　　　　　　　　 B．
C． D．
解析：选D　先后有放回地抽取2张卡片的情况有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，共25种．其中满足条件的有(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，共10种情况．因此所求的概率为P＝＝.故选D.
建立概率模型解决问题
[例2]　甲、乙、丙、丁四名学生按任意次序站成一排，试求下列事件的概率：
(1)甲在边上；
(2)甲和乙都在边上；
(3)甲和乙都不在边上．
[解]　利用树状图来列举样本点，如图所示．
由树状图可看出共有24个样本点．
(1)甲在边上有12种情形：
(甲，乙，丙，丁)，(甲，乙，丁，丙)，(甲，丙，乙，丁)，
(甲，丙，丁，乙)，(甲，丁，乙，丙)，(甲，丁，丙，乙)，
(乙，丙，丁，甲)，(乙，丁，丙，甲)，(丙，乙，丁，甲)，
(丙，丁，乙，甲)，(丁，乙，丙，甲)，(丁，丙，乙，甲).
故甲在边上的概率为P＝＝.
(2)甲和乙都在边上有4种情形：
(甲，丙，丁，乙)，(甲，丁，丙，乙)，
(乙，丙，丁，甲)，(乙，丁，丙，甲)，
故甲和乙都在边上的概率为P＝＝.
(3)甲和乙都不在边上有4种情形：
(丙，甲，乙，丁)，(丙，乙，甲，丁)，
(丁，甲，乙，丙)，(丁，乙，甲，丙)，
故甲和乙都不在边上的概率为P＝＝.
对于一些比较复杂的古典概型问题，一般可以通过分类，有序地把事件包含的情况分别罗列出来，从而清晰地找出满足条件的情况．在列举时一定要注意合理分类，才能做到不重不漏，结果明了，而树状图则是解决此类问题的较好方法．　　　　
[跟踪训练]
有A，B，C，D四位贵宾，应分别坐在a，b，c，d四个席位上，现在这四人均未留意，在四个席位上随便就座．
(1)求这四人恰好都坐在自己的席位上的概率；
(2)求这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率；
(3)求这四人恰有一位坐在自己的席位上的概率．
解：将A，B，C，D四位贵宾就座情况用如图所示的图形表示出来．
由图可知，所有的等可能样本点共有24个．
(1)设事件A为“这四人恰好都坐在自己的席位上”，则事件A只包含1个样本点，所以P(A)＝.
(2)设事件B为“这四人恰好都没坐自己的席位上”，则事件B包含9个样本点，所以P(B)＝＝.
(3)设事件C为“这四人恰有一位坐在自己的席位上”，则事件C包含8个样本点，所以P(C)＝＝.
古典概型的综合应用
[例3]　如图所示是某市2021年2月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数(AQI)小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择2月1日至2月12日中的某一天到达该市，并停留3天．
(1)求此人到达当日空气质量优良的概率；
(2)求此人在该市停留期间至多有1天空气重度污染的概率．
[解]　(1)在2月1日至2月12日这12天中，只有5日、8日这2天的空气质量优良，所以此人到达当日空气质量优良的概率P＝＝.
(2)根据题意，事件“此人在该市停留期间至多有1天空气重度污染”，即“此人在该市停留期间有0天空气重度污染或仅有1天空气重度污染”．
“此人在该市停留期间有0天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日或8日或9日”．
“此人在该市停留期间仅有1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是3日或5日或6日或7日或10日”．
所以“此人在该市停留期间至多有1天空气重度污染”包含8个样本点，
所以“此人停留期间至多有1天空气重度污染”的概率为.
1．概率问题常常与统计问题结合在一起考查，在此类问题中，通常直接用题目中的频率代替概率进行计算．
2．涉及方程或者函数的有关概率问题，考查的是如何计算要求的事件A所包含的样本点的个数，通常需要将函数与方程的知识应用其中．解决此类问题，只需要利用函数、方程知识找出满足条件的参数的范围，从而确定样本点的个数，最后利用古典概型的概率计算公式进行计算．　　　　
[跟踪训练]
把一枚骰子抛掷2次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b，试就方程组解的情况，解答下列各题：
(1)求方程组只有一个解的概率；
(2)求方程组只有正数解的概率．
解：若第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b记为有序数值组(a，b)，则所有可能出现的结果有：
(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共36种．
由方程组可得
(1)若方程组只有一个解，则b≠2a，满足b＝2a的有(1，2)，(2，4)，(3，6)，故适合b≠2a的有36－3＝33(个).
其概率为P1＝＝.
(2)方程组只有正数解，需满足b－2a≠0且
分两种情况：当2a＞b时，得
当2a＜b时，得
易得包含的样本点有13个：(2，1)，(3，1)，(4，1)，(5，1)，(6，1)，(2，2)，(3，2)，(4，2)，(5，2)，(6，2)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，因此所求的概率P2＝.
1．在建国71周年国庆阅兵中，某兵种A，B，C三个方阵按一定次序通过主席台，若先后次序是随机排定的，则B先于A，C通过的概率为(　　)
A． B．
C． D．
解析：选B　用(A，B，C)表示A，B，C通过主席台的次序，则试验的样本空间为Ω＝{(A，B，C)，(A，C，B)，(B，A，C)，(B，C，A)，(C，A，B)，(C，B，A)}，共6个样本点，其中B先于A，C通过的有(B，C，A)和(B，A，C)，共2个样本点，故所求概率P＝＝.
2．从2名男生和2名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为(　　)
A． B．
C． D．
解析：选A　2名男生记为A1，A2，2名女生记为B1，B2，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，样本空间Ω＝{A1A2，A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，B1B2，A2A1，B1A1，B2A1，B1A2，B2A2，B2B1}，共12个样本点，而星期六安排一名男生、星期日安排一名女生有A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，4个样本点，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率P＝＝.故选A.
3．一个袋子中装有编号分别为1，2，3，4的4个小球，现有放回地摸球，规定每次只能摸一个球，若第一次摸到的球的编号为x，第二次摸到的球的编号为y，构成数对(x，y)，则所有数对(x，y)中满足xy＝4的概率为(　　)
A．　　　 B．　　　　
C．　　　　 D．
解析：选A　由题意可知两次摸球得到的所有数对(x，y)有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共16个，其中满足xy＝4的数对有(1，4)，(2，2)，(4，1)，共3个．故所求事件的概率为.
4．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6)，骰子朝上的面的点数分别为x，y，则log2xy＝1的概率为________，总数之和为4的概率为________．
解析：由log2xy＝1，得y＝2x，因为1≤y≤6，所以x＝1，2，3.而先后抛掷两枚骰子，有6×6＝36(个)样本点，而适合题意的有(1，2)，(2，4)，(3，6)，共3个样本点，由古典概型概率公式知，所求概率为＝.总数之和为4的有(1，3)，(2，2)，(3，1)，共3个样本点，所以概率P＝.
答案：　
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7第2课时　互斥事件的概率
新课程标准解读 核心素养
通过实例，理解概率的性质，掌握互斥事件、对立事件概率的运算法则 数学建模、数学运算
[问题]　(1)抛掷一枚骰子，点数2朝上和点数3朝上可以同时发生吗？
(2)在两个装有质量盘的不透明箱子中各随机地取出一个质量盘，“总质量至少20 kg”与“总质量不超过10 kg”能同时发生吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　互斥事件的概率加法公式
1．在一个试验中，如果事件A和事件B是互斥事件，那么有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．这一公式称为互斥事件的概率加法公式．
2．特别地，P(A∪)＝P(A)＋P()，
即P(A)＋P()＝1，所以P()＝1－P(A)．
3．一般地，如果事件A1，A2，…，An两两互斥，那么有
P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
1．运用互斥事件的概率加法公式解题时，首先要分清事件之间是否互斥，同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件，做到不重不漏，分别求出各个事件的概率，然后用加法公式求出结果．
2．求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再运用公式求解．如果采用方法一，一定要将事件分拆成若干互斥的事件，不能重复和遗漏；如果采用方法二，一定要找准其对立事件，否则容易出现错误．
3．求解“至多”“至少”型事件的概率时，若直接计算符合条件的样本点的个数较烦琐，可先计算其对立事件的概率，再求结果．　　　　
设事件A发生的概率为P(A)，事件B发生的概率为P(B)，那么事件A∪B发生的概率是P(A)＋P(B)吗？
提示：不一定．当事件A与B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；当事件A与B不互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B).
1．已知P(A)＝0.2，P(B)＝0.4，且A与B是互斥事件，则P(A∪B)＝________．
解析：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.2＋0.4＝0.6.
答案：0.6
2．事件A与B是对立事件，且P(A)＝0.3，则P(B)等于________．
解析：P(B)＝1－P(A)＝0.7.
答案：0.7
3．一商店有奖促销活动中有一等奖与二等奖两个奖项，其中中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率为0.25，则不中奖的概率为________．
解析：中奖的概率为0.1＋0.25＝0.35，中奖与不中奖互为对立事件，所以不中奖的概率为1－0.35＝0.65.
答案：0.65
互斥事件与对立事件概率公式的应用
[例1]　(链接教科书第201页例4、例5)一名射击运动员在一次射击中射中10环，9环，8环，7环，7环以下的概率分别为0.24，0.28，0.19，0.16，0.13.计算这名射击运动员在一次射击中：
(1)射中10环或9环的概率．
(2)至少射中7环的概率．
[解]　设“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”的事件分别为A，B，C，D，E，可知它们彼此之间互斥，且P(A)＝0.24，P(B)＝0.28，P(C)＝0.19，P(D)＝0.16，P(E)＝0.13.
(1)P(射中10环或9环)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.24＋0.28＝0.52，所以射中10环或9环的概率为0.52.
(2)事件“至少射中7环”与事件E“射中7环以下”是对立事件，则P(至少射中7环)＝1－P(E)＝1－0.13＝0.87.
所以至少射中7环的概率为0.87.
[母题探究]
1．(变设问)本例条件不变，求射中环数小于8环的概率．
解：事件“射中环数小于8环”包含事件D“射中7环”与事件E “射中7环以下”两个事件，则P(射中环数小于8环)＝P(D∪E)＝P(D)＋P(E)＝0.16＋0.13＝0.29.
2．(变条件，变设问)某射击运动员在一次射击中，射中10环的概率是射中9环的概率的2倍，运动员射中9环以下的概率为0.1，求运动员在一次射击中，射中10环的概率．
解：设事件A，B，C分别表示“射中10环”“射中9环”“射中9环以下”，则＝A∪B，
因为P(A)＝2P(B)，所以P()＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1－0.1＝0.9，
得3P(B)＝0.9，所以P(B)＝0.3，P(A)＝0.6.
即运动员在一次射击中，射中10环的概率为0.6.
运用互斥事件的概率加法公式解题的一般步骤
(1)确定各事件彼此互斥；
(2)求各事件分别发生的概率，再求其和．
值得注意的是：(1)是公式使用的前提条件，不符合这点，是不能运用互斥事件的概率加法公式的．　　　　
[跟踪训练]
甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙获胜的概率为，求：
(1)甲获胜的概率；
(2)甲不输的概率．
解：(1)“甲获胜”和“和棋或乙获胜”是对立事件，所以“甲获胜”的概率P＝1－－＝.
即甲获胜的概率是.
(2)法一：设事件A为“甲不输”，可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P(A)＝＋＝.
法二：设事件A为“甲不输”，可看成是“乙获胜”的对立事件，所以P(A)＝1－＝.
即甲不输的概率是.
互斥事件与对立事件概率的综合问题
[例2]　(链接教科书第202页例6)一盒中装有各色球12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球，从中随机取出1球，求：
(1)取出1球是红球或黑球的概率；
(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．
[解]　记事件A1＝{任取1球为红球}，A2＝{任取1球为黑球}，A3＝{任取1球为白球}，A4＝{任取1球为绿球}，则
P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(A4)＝.
根据题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，
法一：由互斥事件的概率加法公式，得
(1)取出1球为红球或黑球的概率为
P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝.
(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为
P(A1＋A2＋A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)
＝＋＋＝.
法二：(1)取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A1＋A2的对立事件为A3＋A4.所以取得1球为红球或黑球的概率为
P(A1＋A2)＝1－P(A3＋A4)＝1－P(A3)－P(A4)
＝1－－＝＝.
(2)A1＋A2＋A3的对立事件为A4，所以
P(A1＋A2＋A3)＝1－P(A4)＝1－＝.
求复杂互斥事件概率的2种方法
直接法 将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和
间接法 先求该事件的对立事件的概率，再由P(A)＝1－P()求解．当题目涉及“至多”“至少”型问题时，多考虑间接法
[跟踪训练]
某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有10名队员，某些队员不止参加了一支球队，具体情况如图所示．现从中随机抽取一名队员，求：
(1)该队员只属于一支球队的概率；
(2)该队员最多属于两支球队的概率．
解：分别令“抽取一名队员只属于篮球队、羽毛球队、乒乓球队”为事件A，B，C.由图知3支球队共有球员20名．则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
(1)令“抽取一名队员且该队员只属于一支球队”为事件D.
则D＝A＋B＋C，∵事件A，B，C两两互斥，
∴P(D)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝＋＋＝.
(2)令“抽取一名队员且该队员最多属于两支球队”为事件E，则为“抽取一名队员且该队员属于3支球队”，
∴P(E)＝1－P()＝1－＝.
概率与统计的综合应用问题
[例3]　为了解我市的交通状况，现对其6条道路进行评估，得分分别为5，6，7，8，9，10(单位：分).规定评估的平均得分与全市的总体交通状况等级如下表：
评估的平均得分/分 [0，6) [6，8) [8，10]
全市的总体交通状况等级 不合格 合格 优秀
(1)求本次评估的平均得分，并参照上表估计我市的总体交通状况等级；
(2)用简单随机抽样的方法从这6条道路中抽取2条，它们的得分组成一个样本，求该样本的平均数与总体的平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．
[解]　(1)6条道路的平均得分为×(5＋6＋7＋8＋9＋10)＝7.5(分)，所以该市的总体交通状况等级为合格．
(2)设A表示事件“样本的平均数与总体的平均数之差的绝对值不超过0.5”．
从6条道路中抽取2条的得分组成的样本空间为Ω＝{(5，6)，(5，7)，(5，8)，(5，9)，(5，10)，(6，7)，(6，8)，(6，9)，(6，10)，(7，8)，(7，9)，(7，10)，(8，9)，(8，10)，(9，10)}，共15个样本点，事件A包括的样本点为(5，9)，(5，10)，(6，8)，(6，9)，(6，10)，(7，8)，(7，9)，共7个．
所以P(A)＝.
故该样本的平均数与总体的平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为.
解决古典概型与统计交汇的综合问题时，把相关的知识转化为事件，列举出样本空间，求出样本点的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算．　　　　
[跟踪训练]
　某校从七年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40，50)，[50，60)，…，[90，100]后得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求图中实数a的值；
(2)若该校七年级共有学生640人，试估计该校七年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；
(3)若从数学成绩在[40，50)与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．
解：(1)由已知，得10×(0.005＋0.010＋0.020＋a＋0.025＋0.010)＝1，解得a＝0.03.
(2)根据频率分布直方图，可知成绩不低于60分的频率为1－10×(0.005＋0.010)＝0.85.由于该校七年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想，可估计该校七年级期中考试数学成绩不低于60分的人数为640×0.85＝544.
(3)易知成绩在[40，50)分数段内的人数为40×0.05＝2，这2人分别记为A，B；成绩在[90，100]分数段内的人数为40×0.1＝4，这4人分别记为C，D，E，F.若从数学成绩在[40，50)与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，则所有的样本点有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15个．如果2名学生的数学成绩都在[40，50)分数段内或都在[90，100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在[40，50)分数段内，另一个成绩在[90，100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10.记“这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M，则事件M包含的样本点有(A，B)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共7个，故所求概率P(M)＝.
1．已知随机事件A和B互斥，且P(A∪B)＝0.5，P(B)＝0.3，则P()＝(　　)
A．0.5　　　　　　　　 B．0.2
C．0.7 D．0.8
解析：选D　∵A与B互斥，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，∴P(A)＝0.5－0.3＝0.2，∴P()＝1－P(A)＝1－0.2＝0.8.
2．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40%，甲不输的概率是90%，则甲、乙两人下和棋的概率是(　　)
A．60% B．30%
C．10% D．50%
解析：选D　“甲获胜”与“甲、乙下成和棋”是互斥事件，“甲不输”即“甲获胜或甲、乙下成和棋”，故P(甲不输)＝P(甲胜)＋P(甲、乙和棋)，∴P(甲、乙和棋)＝P(甲不输)－P(甲胜)＝90%－40%＝50%.
3．某市派出甲、乙两支球队参加全省足球冠军赛，甲、乙两队夺取冠军的概率分别是和，则该市球队夺得全省足球冠军的概率为(　　)
A． B．
C． D．
解析：选D　设事件A，B分别表示该市的甲、乙队夺取冠军，则P(A)＝，P(B)＝，且A，B互斥．该市球队夺得冠军即事件A∪B发生．于是P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
4.如图所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成，射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为0.35、0.30、0.25，则不命中靶的概率是________．
解析：设“射手命中圆面Ⅰ”为事件A，“命中圆环Ⅱ”为事件B，“命中圆环Ⅲ”为事件C，“不中靶”为事件D，则A，B，C彼此互斥，故射手中靶的概率为P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.35＋0.30＋0.25＝0.90.
因为中靶和不中靶是对立事件，故不命中靶的概率为P(D)＝1－P(A∪B∪C)＝1－0.90＝0.10.
答案：0.10
5．某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4.
(1)求他乘火车或乘飞机去的概率；
(2)求他不乘轮船去的概率；
(3)如果他乘交通工具的概率为0.5，请问他有可能乘哪种交通工具？
解：(1)记“他乘火车”为事件A，“他乘轮船”为事件B，“他乘汽车”为事件C，“他乘飞机”为事件D.这四个事件两两不可能同时发生，故它们彼此互斥，所以P(A∪D)＝P(A)＋P(D)＝0.3＋0.4＝0.7.
即他乘火车或乘飞机去的概率为0.7.
(2)设他不乘轮船去的概率为p，则
p＝1－P(B)＝1－0.2＝0.8，
所以他不乘轮船去的概率为0.8.
(3)由于P(A)＋P(B)＝0.3＋0.2＝0.5，
P(C)＋P(D)＝0.1＋0.4＝0.5，
故他可能乘火车或乘轮船去，也有可能乘汽车或乘飞机去．
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8频率与概率
新课程标准解读 核心素养
结合实例，会用频率估计概率 数学抽象、逻辑推理
投掷一枚质地均匀，形状规范的硬币，正面和反面出现的概率是一样的，都是.很多人会问，为什么正面和反面出现的概率是一样的？显然，硬币是质地均匀，形状规范的，哪一面都不会比另一面有更多的出现机会，正面和反面出现的概率是一样的，这称为古典概型的对称性，体育比赛经常用到这个规律来决定谁开球，谁选场地．为了解释这个现象，在历史上，有很多人对这个问题进行过验证，从结果可以看出，随着次数的不断增加，正面出现的频率越来越接近，我们也有理由相信，随着次数的继续增加，正面和反面出现的频率将固定在处，即正面和反面出现的概率都为.
[问题]　你知道频率与概率有什么关系吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　频率与概率
在相同条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性．这时，把这个常数叫作随机事件A的概率，记作P(A).显然，≤P(A)≤．我们通常用频率来估计概率．
1．频率本身是随机的，在试验前不能确定，做同样次数的重复试验得到某个事件的频率会不同．而概率是一个确定的常数，是客观存在的，与每次试验无关．
2．频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率．　　　　
1．同一个随机事件在相同条件下，每一次试验中发生的概率都一样吗？
提示：概率是从数量上反映随机事件在一次试验中发生可能性的大小的一个量，是一个确定的数，是客观存在的，与每次试验无关；同一个随机事件在相同条件下，每一次试验中发生的概率都是一样的．
2．怎样根据频率求事件发生的概率？
提示：在实践中，在大量的重复试验后，人们经常采用频率估计概率．
1．气象台预报“本市明天降雨概率是70%”，下列说法正确的是(　　)
A．本市明天将有70%的地区降雨
B．本市明天将有70%的时间降雨
C．明天出行不带雨具淋雨的可能性很大
D．明天出行不带雨具肯定要淋雨
解析：选C　气象台预报“本市明天降雨概率是70%”，则本市明天降雨的可能性比较大．因此明天出行不带雨具淋雨的可能性很大．故选C.
2．从一批准备出厂的电视机中随机抽取10台进行质量检查，其中有1台是次品，若用C表示抽到次品这一事件，则对C的说法正确的是(　　)
A．概率为
B．频率为
C．概率接近
D．每抽10台电视机，必有1台次品
解析：选B　事件C发生的频率为，由于只做了一次试验，故不能得出概率接近的结论．
3．某医院治疗一种疾病的治愈率为，前4个病人都没有治好，第5个病人的治愈率为(　　)
A．1　　　 B．　　　　
C．　　　　 D．0
答案：B
4．某商品的合格率为99%，某人购买这种商品100件，他认为这100件商品中一定有1件是不合格的，这种认识是________的(填“合理”或“不合理”).
答案：不合理
概率的意义
[例1]　(链接教科书第208页练习2题)试从概率角度解释下列说法的含义：
(1)掷一枚均匀的正方体骰子得到6点的概率是，是否意味着把它掷6次能得到1次6点？
(2)某种病的治愈率是0.3，那么前7个人没有治愈，后3个人一定能治愈吗？如何理解治愈率是0.3
(3)据报道：某地发生的9级地震是“千年一遇”的大地震．在这里，“千年一遇”是什么意思？
[解]　(1)把一枚均匀的骰子掷6次相当于做6次试验，因为每次试验的结果都是随机的，所以做6次试验的结果也是随机的．这就是说，每掷一次总是随机地出现一个点数，可以是1点，2点，也可以是其他点数，不一定出现6点．所以掷一枚骰子得到6点的概率是，并不意味着把它掷6次能得到1次6点．
(2)如果把治疗一个病人作为一次试验，治愈率是0.3，是指随着试验次数的增加，即治疗病人人数的增加，大约有30%的人能够治愈，对于一次试验来说，其结果是随机的，因此前7个病人没治愈是可能的，对后3个人来说，其结果仍然是随机的，即有可能治愈，也可能没有治愈．
(3)“千年一遇”是指0.001的概率，虽然0.001的概率比较小，但不代表没有可能；但也不能说每1 000年就一定会发生一次9级地震．
三个方面理解概率
(1)概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的稳定值；
(2)由概率的定义我们可以知道随机事件A在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映；
(3)正确理解概率的意义，要清楚与频率的区别与联系，对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件．　　　　
[跟踪训练]
　(多选)下列说法中，正确的是(　　)
A．某人射击10次，击中靶心8次，则他击中靶心的频率是0.8
B．某人射击10次，击中靶心7次，则他击不中靶心的频率是0.7
C．某人射击10次，击中靶心的概率是，则他可能击中靶心5次
D．某人射击10次，击中靶心的概率是0.6，则他击不中靶心的次数可能为4
解析：选ACD　对于A，正确，因为某人射击10次，击中靶心8次，所以他击中靶心的频率是＝0.8; 对于B，错误，因为某人射击10次，击中靶心7次，所以他击不中靶心的频率是＝0.3；对于C，正确，因为某人射击10次，击中靶心的概率是，所以他可能击中靶心10×＝5(次)；对于D，正确，因为某人射击10次，击中靶心的概率是0.6，所以他击不中靶心的次数可能为10×(1－0.6)＝0.4.故选A、C、D.
利用频率估计概率
[例2]　(链接教科书第209页A组3题)某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1 000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如表所示：
分组 频数 频率
[500，900) 223
[900，1 100) 193
[1 100，1 300) 165
[1 300，1 500) 42
[1 500，1 700) 48
[1 700，1 900) 121
[1 900，＋∞) 208
(1)求各组的频率；
(2)根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1 500小时的概率．
[解]　(1)频率依次是：0.223，0.193，0.165，0.042，0.048，0.121，0.208.
(2)样本中寿命不足1 500小时的频数是223＋193＋165＋42＝623，
所以样本中寿命不足1 500小时的频率是＝0.623.
即灯管使用寿命不足1 500小时的概率约为0.623.
1．频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，利用此公式可求出它们的频率．频率本身是随机变量，当n很大时，频率总是在一个稳定值附近摆动，这个稳定值就是概率．
2．解此类题目的步骤：先利用频率的计算公式依次计算频率，然后用频率估计概率．　　　　
[跟踪训练]
某射击运动员进行双向飞碟射击训练，各次训练的成绩记录如下：
射击次数 100 120 150 100 150 160 150
击中飞碟数 81 95 123 82 119 129 121
击中飞碟的频率
(1)将各次记录击中飞碟的频率填入表中；
(2)这个运动员击中飞碟的概率约为多少？
解：(1)射击次数100，击中飞碟数是81，故击中飞碟的频率是＝0.81，同理可求得之后的频率依次约为0.792，0.820，0.820，0.793，0.806，0.807.
(2)击中飞碟的频率稳定在0.81附近，故这个运动员击中飞碟的概率约为0.81.
游戏的公平性
[例3]　有两个不透明的箱子，每个箱子都装有4个完全相同的小球，球上分别标有数字1，2，3，4.
(1)甲从其中一个箱子中摸出一个球，乙从另一个箱子中摸出一个球，谁摸出的球上标的数字大谁就获胜(若数字相同则为平局)，求甲获胜的概率；
(2)摸球方法与(1)相同，若规定：两人摸到的球上所标数字相同甲获胜，所标数字不相同则乙获胜，这样规定公平吗？请说明理由．
[解]　(1)记甲、乙摸出的数字为(x，y)，则共有16种情况，
则x>y的有(4，1)，(4，2)，(4，3)，(3，2)，(3，1)，(2，1)，共6种情况，故甲获胜的概率为＝.
(2)不公平．理由如下：摸到的球上所标数字相同的情况有(4，4)，(3，3)，(2，2)，(1，1)，共4种情况，
故甲获胜的概率为＝，乙获胜的概率为＝，故不公平．
游戏公平性的标准及判断方法
(1)游戏规则是否公平，要看对游戏的双方来说，获胜的可能性或概率是否相同．若相同，则规则公平，否则就是不公平的；
(2)具体判断时，可以求出按所给规则双方的获胜概率，再进行比较．　　　　
[跟踪训练]
有一个转盘游戏，转盘被平均分成10等份(如图所示)，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字．游戏规则如下：两个人参加，先确定猜数方案，甲转动转盘，乙猜，若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符，则乙获胜，否则甲获胜．猜数方案从以下三种方案中选一种：
A．猜“是奇数”或“是偶数”；
B．猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”；
C．猜“是大于4的数”或“不是大于4的数”．
请回答下列问题：
(1)如果你是乙，为了尽可能获胜，你将选择哪种猜数方案，并且怎样猜？为什么？
(2)为了保证游戏的公平性，你认为应选哪种猜数方案？为什么？
(3)请你设计一种其他的猜数方案，并保证游戏的公平性．
解：(1)A方案中，“是奇数”和“是偶数”的概率都为0.5；B方案中，“是4的整数倍的数”的概率为0.2，“不是4的整数倍的数”的概率为0.8；C方案中，“是大于4的数”的概率为0.6，“不是大于4的数”的概率为0.4.故选择B方案，猜“不是4的整数倍的数”获胜的概率最大．
(2)为了保证游戏的公平性，应当选择方案A.因为方案A猜“是奇数”或“是偶数”的概率均为0.5，从而保证了该游戏是公平的．
(3)可以设计为：猜“是大于5的数”或“不是大于5的数”，也可以保证游戏的公平性．
1．(多选)下列说法正确的是(　　)
A．随机事件A发生的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值
B．在同一次试验中，不同的样本点不可能同时发生
C．任意事件A发生的概率P(A)满足0D．若事件A发生的概率趋近于0，则事件A是不可能事件
解析：选AB　随机事件A发生的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，A说法正确；样本空间包含的样本点的特点是任意两个样本点是互斥的，在同一次试验中，不同的样本点不可能同时发生，B说法正确；必然事件发生的概率为1，不可能事件发生的概率为0，因此任意事件A发生的概率P(A)满足0≤P(A)≤1.C说法错误；若事件A发生的概率趋近于0，则事件A是小概率事件，但不是不可能事件，D说法错误．
2．抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1 000次，那么第999次出现正面朝上的概率是(　　)
A．　　　　　　　　　 B．
C． D．
解析：选D　抛掷一枚质地均匀的硬币，只考虑第999次，有两种结果：正面朝上，反面朝上，每种结果等可能出现，故所求概率为.
3．高考数学试题中，有8道单项选择题，每道选择题有4个选项，其中只有1个选项是正确的，则随机选择其中一个选项正确的概率是，某家长说：“要是都不会做，每题都随机选择其中一个选项，则一定有2道题答对．”这句话(　　)
A．正确 B．错误
C．不一定 D．无法解释
解析：选B　把解答一道选择题作为一次试验，答对的概率是说明答对的可能性大小是.做8道单项选择题，即进行了8次试验，每个结果都是随机的，那么答对2道题的可能性较大，但是并不一定答对2道题，也可能都选错，或有2，3，4，…，甚至8个题都选择正确．
4．某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次10环，3次9环，4次8环，1次脱靶，在这次练习中，这个人中靶的频率是________，击中9环的频率是________．
解析：由题意可知，共射击10次，共有1次未中靶，所以未中靶的频率为，所以中靶的频率是1－＝＝0.9，共有3次击中9环，所以击中9环的频率是＝0.3.
答案：0.9　0.3
5．商场在一周内共卖出某种品牌的皮鞋300双，商场经理为考察其中各种尺码皮鞋的销售情况，以这周内某天售出的40双皮鞋的尺码为一个样本，分为5组，已知第3组的频率为0.25，第1，2，4组的频数分别为6，7，9.若第5组表示的是尺码为40～42的皮鞋，则售出的这300双皮鞋中尺码为40～42的皮鞋约为________双．
解析：∵第1，2，4组的频数分别为6，7，9，∴第1，2，4组的频率分别为＝0.15，＝0.175，＝0.225.
∵第3组的频率为0.25，∴第5组的频率是1－0.25－0.15－0.175－0.225＝0.2，∴售出的这300双皮鞋中尺码为40～42的皮鞋约为0.2×300＝60(双).
答案：60
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7事件的独立性
新课程标准解读 核心素养
1.结合有限样本空间，了解两个随机事件独立性的含义 数学抽象
2.结合古典概型，利用独立性计算概率 数学运算、逻辑推理
[问题]　(1)“常言道，三个臭皮匠能抵诸葛亮．”怎样从数学上来解释呢？将问题具体化：假如对某事件诸葛亮想出计谋的概率为0.88，三个臭皮匠甲、乙、丙想出计谋的概率各为0.6、0.5、0.5.问这三个臭皮匠能胜过诸葛亮吗？
(2)2010年1月26日上午，NBA常规赛进行了一场焦点之战——勒布朗·詹姆斯领衔的克利夫兰骑士在客场挑战由韦德率领的迈阿密热火．比赛非常激烈，直到终场前3.1秒比分打成90平，热火队犯规，詹姆斯获两次罚篮机会，已知詹姆斯的罚篮命中率为77.6%，问骑士队此时获胜的概率是多少？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　事件的独立性
1．相互独立事件
(1)事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫作相互独立事件；
(2)两个相互独立事件同时发生的概率，等于这两个事件发生的概率的积，即P(AB)＝P(A)P(B)．
2．随机事件的独立性的性质
如果两个事件相互独立，那么把其中一个换成它的对立事件，这样的两个事件仍然相互独立．
于是，由事件A与B相互独立，可以得到A与，与B，与也相互独立．
相互独立事件与互斥事件的区别
相互独立事件 互斥事件
条件 事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响 不可能同时发生的两个事件
符号 相互独立事件A，B同时发生，记作：AB 互斥事件A，B中有一个发生，记作：A∪B(或A＋B)
计算公式 P(AB)＝P(A)P(B) P(A∪B)＝P(A)＋P(B)
1．事件A与B相互独立可以推广到n个事件的一般情形吗？
提示：对于n个事件A1，A2，…，An，如果其中任何一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称事件A1，A2，…，An相互独立．
2．公式P(AB)＝P(A)P(B)可以推广到一般情形吗？
提示：公式P(AB)＝P(A)P(B)可以推广到一般情形：如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An).
1．一袋中装有100个球，其中有20个白球，在有放回地摸球中，用A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，则事件A1与2是(　　)
A．相互独立事件　　　　　 B．对立事件
C．互斥事件 D．无法判断
解析：选A　由于采用有放回地摸球，则每次是否摸到白球互不影响，故事件A1与2是相互独立事件．
2．甲、乙两人参加“社会主义核心价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为和，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为(　　)
A．　　　　　　　　　 B．
C． D．
解析：选D　根据题意，恰有一人获得一等奖即甲获得乙没有获得或甲没有获得乙获得，则所求概率是×＋×＝，故选D.
3．甲、乙两水文站同时作水文预报，如果甲站、乙站各自预报的准确率为0.8和0.7.那么，在一次预报中，甲、乙两站预报都准确的概率为________．
解析：由题意知，两水文站水文预报相互独立，故在一次预报中甲、乙两站预报都准确的概率为0.8×0.7＝0.56.
答案：0.56
4．A，B，C表示3种开关并联，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9，0.8，0.7，那么此系统的可靠性为________.
解析：某段时间内三个开关全部坏掉的概率为(1－0.9)×(1－0.8)×(1－0.7)＝0.006，所以系统正常工作的概率为1－0.006＝0.994，所以此系统的可靠性为0.994.
答案：0.994
事件独立性的判断
[例1]　(链接教科书第213页练习1题)下列事件A，B是相互独立事件的是(　　)
A．一枚硬币抛掷两次，事件A为“第一次为正面”，事件B为“第二次为反面”
B．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸两球，事件A为“第一次摸到白球”，事件B为“第二次摸到白球”
C．掷一枚骰子，事件A为“出现点数为奇数”，事件B为“出现点数为偶数”
D．事件A为“人能活到20岁”，事件B为“人能活到50岁”
[解析]　把一枚硬币抛掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故选项A中的两个事件是相互独立事件；选项B中不放回地摸球，显然事件A与事件B不相互独立；对于选项C，其结果具有唯一性，事件A，B应为对立事件，选项D中事件B受事件A的影响．
[答案]　A
两个事件是否相互独立的判断
(1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响；
(2)定义法：如果事件A，B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积，则事件A，B为相互独立事件．　　　　
[跟踪训练]
同时掷两颗质地均匀的骰子，令A＝{第一颗骰子出现奇数点}，令B＝{第二颗骰子出现偶数点}，判断事件A与B是否相互独立．
解：A＝{第一颗骰子出现1，3，5点}，
B＝{第二颗骰子出现2，4，6点}．
∴P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝＝，
∴P(AB)＝P(A)P(B)，∴事件A，B相互独立．
相互独立事件概率的计算
[例2]　(链接教科书第212页例1)甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3人能被选中的概率分别为，，，且各自能否被选中互不影响．
(1)求3人同时被选中的概率；
(2)求3人中至少有1人被选中的概率．
[解]　设甲、乙、丙能被选中的事件分别为A，B，C，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
(1)3人同时被选中的概率P1＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝××＝.
(2)3人中有2人被选中的概率P2＝P(AB∪AC∪BC)＝××＋××＋××＝.
3人中只有1人被选中的概率P3＝P(A)∪B∪C)＝××＋××＋××＝.
故3人中至少有1人被选中的概率为P1＋P2＋P3＝＋＋＝.
[母题探究]
1．(变设问)保持条件不变，求三人均未被选中的概率．
解：法一：三人均未被选中的概率
P＝P( )＝××＝.
法二：由本例(2)知，三人至少有1人被选中的概率为，
∴P＝1－＝.
2．(变条件，变设问)若条件“3人能被选中的概率分别为，，”变为“甲、乙两人只有一人被选中的概率为，两人都被选中的概率为，丙被选中的概率为”，求恰好有2人被选中的概率．
解：设甲被选中的概率为P(A)，乙被选中的概率为P(B)，
则P(A)(1－P(B))＋P(B)(1－P(A))＝， ①
P(A)P(B)＝， ②
由①②知P(A)＝，P(B)＝，
故恰有2人被选中的概率P＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)＝.
1．求相互独立事件同时发生的概率的步骤
(1)首先确定各事件之间是相互独立的；
(2)确定这些事件可以同时发生；
(3)求出每个事件的概率，再求积．
2．使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们同时发生．　　　　
[跟踪训练]
小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车准点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否准点到达互不影响．求：
(1)这三列火车恰好有两列准点到达的概率；
(2)这三列火车至少有一列准点到达的概率．
解：设A，B，C分别表示这三列火车准点到达的事件，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，
所以P()＝0.2，P()＝0.3，P()＝0.1.
(1)由题意得A，B，C之间相互独立，所以恰好有两列准点到达的概率为P1＝P(BC)＋P(AC)＋P(AB)＝P()P(B)P(C)＋P(A)P()P(C)＋P(A)P(B)P()＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.
(2)三列火车至少有一列准点到达的概率为P2＝1－P( )＝1－P()P()P()＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.
相互独立事件的实际应用
[例3]　(链接教科书第214页A组6题)在如图所示的电路中，5个格子表示保险匣，格子中所示数据表示通电时保险丝被熔断的概率，则当开关合上时，电路畅通的概率是(　　)
A．　　　　　　　 B．
C． D．
[解析]　当开关合上时，电路畅通即A至B畅通，且B至C畅通．A至B畅通的概率P1＝1－×＝，B至C畅通的概率P2＝1－×＝，所以电路畅通的概率P＝P1P2＝×＝.
[答案]　A
求解相互独立事件实际问题的思路
(1)列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示；
(2)厘清事件之间的关系(两事件是互斥还是对立．或者是相互独立)，列出关系式；
(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；
(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．　　　　
[跟踪训练]
某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮问题的概率分别为，，，且各轮问题能否正确回答互不影响．求该选手被淘汰的概率．
解：记事件“该选手能正确回答第i轮的问题”为Ai(i＝1，2，3)，则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝.
法一：该选手被淘汰的概率为
P(1)＋P(A12)＋P(A1A23)
＝P(1)＋P(A1)P(2)＋P(A1)P(A2)P(3)
＝＋×＋××＝.
法二：该选手被淘汰的概率为
1－P(A1A2A3)＝1－××＝.
不同赛制的可靠性探究
乒乓球比赛规则如下：
在一局比赛中，先得11分的一方为胜方，10分平后，先多得2分的一方为胜方；
一场比赛应采用奇数局，如三局两胜制、五局三胜制等；
一场比赛应连续进行，但在局与局之间，任何一方运动员都有权要求不超过1分钟的休息时间．
某校要通过选拔赛选取一名同学参加市级乒乓球单打比赛，选拔赛采取淘汰制，败者直接出局．现有两种赛制方案：三局两胜制和五局三胜制．
[问题探究]
1．若甲、乙对决，甲每局获胜的概率为0.6，现采用三局两胜制，则这场比赛中甲获胜的概率是多少？
提示：甲、乙两人对决，甲每局获胜的概率为0.6，采用三局两胜制时，甲获胜，其胜局情况是：“甲甲”或“乙甲甲”或“甲乙甲”．而这三种结局互不影响，于是由独立事件的概率公式，得甲最终获胜的概率为P1＝0.62＋2×0.62×(1－0.6)＝0.648.
2．若甲、乙对决，甲每局获胜的概率为0.6，现采用五局三胜制，则这场比赛中甲获胜的概率是多少？
提示：甲、乙两人对决，甲每局获胜的概率为0.6，采用五局三胜制，若甲最终获胜，至少需比赛3局，且最后一局必须是甲胜，而前面甲需胜两局，由独立事件的概率公式，得五局三胜制下甲最终获胜的概率为P2＝0.63＋3×0.63×(1－0.6)＋6×0.63×(1－0.6)2＝0.682 56.
3．两选手对决时，选择何种赛制更有利于选拔出实力最强的选手，并说明理由．(各局胜负相互独立，各选手水平互不相同)
提示：甲、乙两人对决，若甲更强，则其获胜的概率p>.采用三局两胜制时，若甲最终获胜，其胜局情况是：“甲甲”或“乙甲甲”或“甲乙甲”．而这三种结局互不影响，于是得甲最终获胜的概率为P3＝p2＋2p2(1－p).
采用五局三胜制，若甲最终获胜，则至少需比赛3局，且最后一局必须是甲胜，而前面甲需胜两局，由此得五局三胜制下甲最终获胜的概率为P4＝p3＋3p3(1－p)＋6p3(1－p)2.而P4－P3＝p2(6p3－15p2＋12p－3)＝3p2(p－1)2(2p－1).
因为p>，所以P4>P3，即五局三胜制下甲最终获胜的可能性更大．
所以五局三胜制更能选拔出最强的选手．
[迁移应用]
甲、乙两同学进行投篮比赛，每一局每人各投两次球，规定进球数多者该局获胜，进球数相同则为平局．已知甲每次投进的概率为，乙每次投进的概率为，甲、乙之间的投篮相互独立．
(1)求一局比赛中甲进两球获胜的概率；
(2)求一局比赛的结果不是平局的概率．
解：(1)设“一局比赛中甲进两球获胜”为事件A，则P(A)＝×＝.
(2)设“一局比赛出现平局”为事件B，则P(B)＝×＋2×××2×＋×＝，
所以P()＝1－P(B)＝，
即一局比赛的结果不是平局的概率为.
1．设A，B，C为三个随机事件，其中A与B互斥，B与C相互独立，则下列命题一定成立的是(　　)
A．A与B相互独立　　　 B．A与C互斥
C．B与C互斥 D．与相互独立
解析：选D　注意“互斥事件”与“相互独立事件”的区别，前者指的是不可能同时发生的事件，后者指的是在两个事件中，一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响．因为B与C相互独立，由两事件相互独立的性质易知D正确．
2．如图所示，用A，B，C三类不同的元件接成系统N，若元件A，B，C正常工作的概率分别为，，，那么系统N正常工作的概率为________．
解析：要使系统N正常工作，则需A正常工作，B，C至少有一个能正常工作，因此系统N能正常工作的概率为×＝.
答案：
3．现有甲、乙、丙三个独立的研究机构，在一定的时期内能研制出某疫苗的概率分别是，，，则他们都失败的概率是________，他们能够研制出疫苗的概率是________．
解析：令事件A，B，C分别表示“甲、乙、丙三个独立的研究机构在一定的时期内能研制出疫苗”，依题意可知，事件A，B，C相互独立，且P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.他们都失败，即事件，，同时发生，故P()＝P()P()P()＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝××＝××＝.
“他们能够研制出疫苗”的对立事件为“他们都失败”，结合对立事件间的概率关系可得所求事件的概率为1－P()＝1－＝.
答案：　
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8章末复习与总结
一、数据分析
数据分析核心素养在本章中主要体现在频率与概率的有关问题中．
频率与概率
[例1]　为了解某种产品的质量，从一大批产品中抽出若干批进行质量检查，结果如下：
抽取个数n 50 100 200 500 1 000 2 000
优等品数m 45 92 194 470 954 1 902
优等品频率
(1)计算各批产品中优等品的频率，把上表补充完整；
(2)从这一大批产品中随机抽取1个，则抽到优等品的概率约是多少？
[解]　(1)
抽取个数n 50 100 200 500 1 000 2 000
优等品数m 45 92 194 470 954 1 902
优等品频率 0.9 0.92 0.97 0.94 0.954 0.951
(2)由(1)知随着抽取个数的增加，频率都在常数0.95附近摆动，所以从这一大批产品中随机抽取1个，抽到优等品的概率约是0.95.
二、数学运算
数学运算在本章主要体现在概率计算问题中．
互斥事件与对立事件的概率计算
[例2]　根据气象部门统计，某地区年降水量(单位：mm)在下列范围内的概率如下表：
年降水量 [600，800) [800，1 000) [1 000，1 200) [1 200，1 400) [1 400，1 600]
概率 0.12 0.26 0.38 0.16 0.08
(1)求年降水量在[800，1 200)范围内的概率；
(2)如果年降水量≥1 200 mm就可能发生涝灾，求该地区可能发生涝灾的概率．
[解]　(1)记事件A为“年降水量在[800，1 000)”，B为“年降水量在[1 000，1 200)”，则所求事件为互斥事件A和B的并事件，所以年降水量在[800，1 200)范围内的概率是P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.26＋0.38＝0.64.
(2)记事件C为“年降水量在[1 200，1 400)”，事件D为“年降水量在[1 400，1 600]”，则所求事件为互斥事件C和D的并事件，所以年降水量≥1 200 mm的概率是P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝0.16＋0.08＝0.24.
古典概型的求法
[例3]　随着经济全球化、信息化，企业之间的竞争从资源的争夺转向人才的竞争．吸引、留住、培养和用好人才成为人力资源管理的战略目标和紧迫任务．在此背景下，某信息网站在15个城市对刚毕业的大学生的月平均工资和月平均期望工资进行了调查，数据如图所示：
(1)若某大学毕业生从这15个城市中随机选择1个城市就业，求该生选中月平均工资高于8 500元的城市的概率；
(2)若从月平均期望工资与月平均工资之差的绝对值高于1 000元的城市中随机选择2个城市，求这2个城市的月平均期望工资都低于8 500元的概率．
[解]　(1)设该生选中月平均工资高于8 500元的城市为事件E，
15个城市中月平均工资高于8 500元的有6个，
所以P(E)＝＝.
(2)月平均期望工资与月平均工资之差的绝对值高于1 000元的城市有6个，
其中月平均期望工资高于8 500元的有1个，记为A；
月平均期望工资低于8 500元的有5个，记为B1，B2，B3，B4，B5.
选取2个城市的所有可能情况为AB1，AB2，AB3，AB4，AB5，B1B2，B1B3，B1B4，B1B5，B2B3，B2B4，B2B5，B3B4，B3B5，B4B5，共15种，
其中2个城市的月平均期望工资都低于8 500元的有B1B2，B1B3，B1B4，B1B5，B2B3，B2B4，B2B5，B3B4，B3B5，B4B5，共10种．
所以所求概率为＝.
事件的相互独立性
[例4]　计算机考试分理论考试与实际操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书．甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为，，，在实际操作考试中“合格”的概率依次为，，，所有考试是否合格相互之间没有影响．
(1)假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？
(2)这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率．
[解]　(1)设“甲获得合格证书”为事件A，“乙获得合格证书”为事件B，“丙获得合格证书”为事件C，则
P(A)＝×＝，P(B)＝×＝，
P(C)＝×＝.
因为P(C)>P(B)>P(A)，所以丙获得合格证书的可能性最大．
(2)设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D，则
P(D)＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)
＝××＋××＋××＝.
三、数学建模
数学建模核心素养在本章主要体现在概率的实际应用问题中．
概率的实际应用
[例5]　某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为：[40，50)，[50，60)，…，[80，90)，[90，100].
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；
(3)从评分在[40，60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40，50)的概率．
[解]　(1)因为(0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，所以a＝0.006.
(2)由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022＋0.018)×10＝0.4，
所以估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率为0.4.
(3)受访职工中评分在[50，60)的有50×0.006×10＝3(人)，记为A1，A2，A3；
受访职工中评分在[40，50)的有50×0.004×10＝2(人)，记为B1，B2.
从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，即(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2).
因为所抽取2人的评分都在[40，50)的结果有1种，即(B1，B2)，所以所求的概率为.
[例6]　海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：
设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg，新养殖法的箱产量不低于50 kg”，估计A的概率．
[解]　记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50 kg”．
由题意知P(A)＝P(BC)＝P(B)P(C).
旧养殖法的箱产量低于50 kg的频率为(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62，
故P(B)的估计值为0.62.
新养殖法的箱产量不低于50 kg的频率为(0.068＋0.046＋0.010＋0.008)×5＝0.66，
故P(C)的估计值为0.66.
因此，事件A的概率估计值为0.62×0.66＝0.409 2.
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