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对数的概念
新课程标准解读 核心素养
理解对数的概念，理解常用对数与自然对数 数学抽象
某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……
[问题]　(1)依次类推，那么1个这样的细胞分裂x次得到细胞个数N是多少？
(2)分裂多少次得到细胞个数为8个，256个呢？
(3)如果已知细胞分裂后的个数N，如何求分裂次数呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　对数的概念
1．对数的概念
一般地，如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么数b称为以为底的对数，记作logaN＝b，其中叫作对数的底数，叫作真数．
2．常用对数与自然对数
3．对数的基本性质
(1)负数和0没有对数；
(2)loga1＝(a>0，且a≠1)；
(3)logaa＝(a>0，且a≠1)；
(4)alogaN＝．
对数与指数的关系
指数式与对数式的互化(其中a>0，且a≠1)：
(1)开方运算和对数运算都是乘方运算的逆运算；
(2)弄清对数式与指数式的互化是掌握对数运算的关键．　　　　
1．式子logmN中，底数m的范围是什么？
提示：m>0且m≠1.
2．对数式logaN是不是loga与N的乘积？
提示：不是，logaN是一个整体，是求幂指数的一种运算，其运算结果是一个实数．
3．对数概念中为什么规定a>0，且a≠1呢？
提示：(1)若a<0，则当N为某些值时，x的值不存在．如：x＝log(－2)8不存在．
(2)若a＝0，则
①当N≠0时，x的值不存在．如：log03(可理解为0的多少次幂是3)不存在；
②当N＝0时，x可以是任意实数，是不唯一的，即log00有无数个值．
(3)若a＝1，则
①当N≠1时，x的值不存在．如：log13不存在；
②当N＝1时，x可以为任意实数，是不唯一的，即log11有无数个值．
因此规定a>0，且a≠1.
1．若loga＝－，则a＝(　　)
A．4　　　　　　　　 B．8
C．16 D．32
解析：选B　因为loga＝－，所以aeq \s\up6(－)＝，
所以a＝eq \s\up6(－)＝(2－2) eq \s\up6(－)＝23＝8.
2．对数式log(x－1)(4－x)＝b中，实数x的取值范围是__________________．
解析：由对数的定义可知∴1答案：(1，2)∪(2，4)
3．log3＝0，则x＝________．
答案：3
4．ln(lg 10)＝________．
答案：0
指数式与对数式的互化
[例1]　(链接教科书第97页例1、例2)(1)将下列指数式改写成对数式：24＝16，2－5＝.
(2)将下列对数式改写成指数式：log5125＝3，log16＝－4.
[解]　(1)log216＝4，log2＝－5.
(2)53＝125，＝16.
指数式与对数式互化的方法
(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式；
(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．　　　　
[跟踪训练]
　下列指数式与对数式的互化不正确的一组是(　　)
A．100＝1与lg 1＝0
B．27eq \s\up6(－)＝与log27＝－3
C．log39＝2与32＝9
D．log55＝1与51＝5
解析：选B　100＝1即lg 1＝0，A正确；27eq \s\up6(－)＝即log27＝－，B不正确；log39＝2即32＝9，C正确；log55＝1即51＝5，D正确．故选B.
利用指数式与对数式的互化求值
[例2]　(链接教科书第97页例3)利用指数式、对数式的互化求下列各式中x的值：
(1)log2x＝－；(2)logx25＝2；
(3)log5x2＝2；(4)2＝4.
[解]　(1)由log2x＝－，得2eq \s\up6(－)＝x，∴x＝.
(2)由logx25＝2，得x2＝25.
∵x>0，且x≠1，∴x＝5.
(3)由log5x2＝2，得x2＝52，∴x＝±5.
∵52＝25>0，(－5)2＝25>0，
∴x＝5或x＝－5.
(4)由2eq \s\up6()＝4＝22，得log3x＝2，
∴x＝32，即x＝9.
利用指数式与对数式的互化求变量值的策略
(1)已知底数与指数，用指数式求幂；
(2)已知指数与幂，用指数式求底数；
(3)已知底数与幂，利用对数式表示指数．　　　　
[跟踪训练]
1．若logx4＝2，则x的值为(　　)
A．±2　　　　　　　　 B．2
C．－2 D.
解析：选B　∵logx4＝2，∴x2＝4，又x>0，∴x＝2.故选B.
2．若log5x＝2，logy8＝3，则x＋y＝________．
解析：∵log5x＝2，∴x＝52＝25.
∵logy8＝3，∴y3＝8，∴y＝2，
∴x＋y＝27.
答案：27
对数的性质
[例3]　(链接教科书第98页B组1题)求下列各式中x的值：
(1)log2(log5x)＝0；
(2)log3(lg x)＝1；
(3)log3(log4(log5x))＝0.
[解]　(1)∵log2(log5x)＝0，
∴log5x＝20＝1，∴x＝51＝5.
(2)∵log3(lg x)＝1，∴lg x＝31＝3，
∴x＝103＝1 000.
(3)由log3(log4(log5x))＝0可得log4(log5x)＝1，故log5x＝4，∴x＝54＝625.
[母题探究]
1．(变条件)本例(3)中若将“log3(log4(log5x))＝0”改为“log3(log4(log5x))＝1”，又如何求解x呢？
解：由log3(log4(log5x))＝1可得，log4(log5x)＝3，则log5x＝43＝64，所以x＝564.
2．(变条件)本例(3)中若将“log3(log4(log5x))＝0”改为“3＝1”，又如何求解x呢？
解：由3＝1可得log4(log5x)＝1，故log5x＝4，所以x＝54＝625.
利用对数性质求解的2类问题的解法
(1)求多重对数式的值的解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值；
(2)已知多重对数式的值求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解．　　　　
[跟踪训练]
　已知log3(log5a)＝log4(log5b)＝0，则的值为(　　)
A．1 B．－1
C．5 D.
解析：选A　由log3(log5a)＝0得log5a＝1，即a＝5，同理b＝5，故＝1.
1．若7x＝8，则x＝(　　)
A. B．log87
C．log78 D．log7x
解析：选C　由7x＝8 x＝log78.故选C.
2．若loga＝c(a>0，且a≠1，b>0)，则有(　　)
A．b＝a7c B．b7＝ac
C．b＝7ac D．b＝c7a
解析：选A　∵loga＝c，∴ac＝.∴(ac)7＝()7.
∴a7c＝b.
3．若log3(log2x)＝1，则xeq \s\up6(－)＝(　　)
A. B．
C. D.
解析：选C　∵log3(log2x)＝1，∴log2x＝3，
∴x＝23＝8，则xeq \s\up6(－)＝＝ .
4．在对数式b＝log(a－2)(5－a)中，实数a的取值范围是(　　)
A．a>5或a<2 B．2C．2解析：选C　由题意得解得25．已知6a＝8，则(1)log68＝________；(2)log62＝________；(3)log26＝________．(用a表示各式)
解析：(1)log68＝a.(2)由6a＝8得6a＝23，即6＝2，所以log62＝.(3)由6＝2得2＝6，所以log26＝.
答案：(1)a　(2)　(3)
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6对数的运算性质
新课程标准解读 核心素养
理解对数的运算性质，能进行简单的对数运算 数学抽象、数学运算
大家都知道，对数运算可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算性质中，得出相应对数的运算性质吗？同学们能否大胆猜想一下对数的运算性质呢？
[问题]　观察下列各式，你能从中猜想出什么结论？
(1)log2(2×4)＝log22＋log24＝3；
(2)log3(3×9)＝log33＋log39＝3；
(3)log2(4×8)＝log24＋log28＝5.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　对数的运算性质
若a>0，且a≠1，M>0，N>0，b∈R，那么：
(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN；
(2)loga＝logaM－logaN；
(3)logaMb＝blogaM．
对数运算中的常见公式及推广
(1)loga＝logaM(M>0，n∈N＋，n>1，a>0，且a≠1)；
(2)loga＝－logaM(M>0，a>0，且a≠1)；
(3)loga＝logaM(M>0，n，p∈N＋，p，n>1，a>0，且a≠1)；
(4)loga(M·N)＝logaM＋logaN(a>0，且a≠1，M>0，N>0)可推广为loga(N1·N2·…·Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk(k∈N＋，N1，N2，…，Nk均大于0，a>0，且a≠1)．　　　　
在积的对数运算性质中，三项的乘积式loga(MNQ)是否适用？你可以得到一个什么样的结论？
提示：适用，loga(MNQ)＝logaM＋logaN＋logaQ，积的对数运算性质可以推广到真数是n个正数的乘积．
1．2log510＋log50.25＝(　　)
A．0　　　　　　　　 B．1
C．2 D．4
解析：选C　原式＝log5(100×0.25)＝log525＝2.故选C.
2．计算：(1)lg ＋lg ＝________；
(2)log345－log35＝________；
(3)log2(23×45)＝________．
解析：(1)lg ＋lg ＝lg(×)＝lg＝lg 10＝.
(2)log345－log35＝log3＝log39＝log332＝2.
(3)log2(23×45)＝log223＋log245＝3＋5log24＝3＋5log222＝3＋5×2＝13.
答案：(1)　(2)2　(3)13
对数式的运算
[例1]　(链接教科书第100页例1)计算下列各式的值：
(1)log2＋log224－log284；
(2)lg 52＋lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.
[解]　(1)法一：原式＝log2＝log2＝－.
法二：原式＝log2＋log2(23×3)－log2(22×3×7)＝log27－log2(25×3)＋3＋log23－1－log23－log27＝－×5－log23＋2＋log23＝－＋2＝－.
(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5×(1＋lg 2)＋(lg 2)2
＝2(lg 5＋lg 2)＋lg 5＋lg 2(lg 5＋lg 2)
＝2＋lg 5＋lg 2＝2＋1＝3.
对数式化简与求值的基本原则和方法
(1)基本原则：对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行；
(2)两种常用的方法：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；
②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．　　　　
[跟踪训练]
计算：(1)log3＋lg 25＋lg 4＋7eq \s\up6()＋(－9.8)0；
(2)2log32－log3＋log38－5eq \s\up6().
解：(1)原式＝log33＋lg 52＋lg 22＋＋1＝＋2lg 5＋2lg 2＋＝3＋2(lg 5＋lg 2)＝3＋2lg 10＝3＋2×1＝5.
(2)原式＝2log32－(log325－log332)＋log323－5
＝2log32－5log32＋2log33＋3log32－9＝2－9＝－7.
用已知对数式表示求值问题
[例2]　(链接教科书第100页例2)用logax，logay，logaz表示下列各式：
(1)loga(x2yz)；(2)loga；(3)loga.
[解]　(1)loga(x2yz)＝logax2＋logay＋logaz＝2logax＋logay＋logaz.
(2)loga＝logax2－loga(yz)＝2logax－(logay＋logaz)＝2logax－logay－logaz.
(3)loga＝loga－loga(y2z)＝logax－2logay－logaz.
用已知对数式表示求值问题的关键是充分利用对数运算的性质将要表示的对数式变形．　　　　
[跟踪训练]
　已知a＝log32，用a来表示log38－2log36为(　　)
A．a－2 B．5a－2
C．3a－(1＋a)2 D．3a－a2－1
解析：选A　log38－2log36＝3log32－2(log32＋log33)＝3a－2(a＋1)＝a－2.
对数方程
[例3]　(链接教科书第105页B组3题)方程log2(9x－5)＝2＋log2(3x－2)的解为x＝________．
[解析]　原方程可化为log2(9x－5)＝log2[4(3x－2)]，
∴9x－5＝4(3x－2)>0，3x>2，∴(3x)2－4×3x＋3＝0，∴(3x－3)(3x－1)＝0，
∵3x>2，∴3x＝3，即x＝1.
[答案]　1
[母题探究]
1．(变条件)本例条件变为“log2(9－2x)＝3－x”，求x的值．
解：∵log2(9－2x)＝3－x，∴log2(9－2x)＝log22(3－x)，∴9－2x＝2(3－x)，可化简为9－2x＝，
令2x＝t(t>0)，可得9－t＝，化简为t(9－t)＝8，
即t2－9t＋8＝0，∴(t－1)(t－8)＝0，解得t1＝1，t2＝8，
∴2x＝1或8，解得x＝0或3.
2．(变条件)本例条件变为“5＝9”，求x的值．
解：∵5＝9，∴5＝9，且2x－1>0，
∴(2x－1)2＝9，∴2x－1＝3(2x－1＝－3舍去)，解得x＝2.
对数方程的类型及一般解法
(1)logaf(x)＝logag(x)：可利用对数性质化为一般方程f(x)＝g(x)>0求解；
(2)p(logax)2＋qlogax＋r＝0：利用换元法，设t＝logax，化为一元二次方程pt2＋qt＋r＝0求解．　　　　
[跟踪训练]
已知log(x＋3)(x2＋3x)＝1，则实数x＝________．
解析：由对数的性质，得
解得x＝1，故实数x的值为1.
答案：1
对数式的实际应用
[例4]　分贝是计量声音强度相对大小的单位．物理学家引入了声压级来描述声音的大小：把一很小的声压P0＝2×10－5帕作为参考声压，把所要测量的声压P与参考声压P0的比值取常用对数后乘20得到的数值称为声压级．声压级是听力学中最重要的参数之一，单位是分贝(dB)．分贝值在60以下为无害区，说明声音环境优良，60～110为过渡区，110以上为有害区．
(1)试列出分贝y与声压P的函数关系式；
(2)某地声压P＝0.002帕，则该地为以上所说的什么区？声音环境是否优良？
[解]　(1)由已知得y＝20lg (其中P0＝2×10－5)．
(2)当P＝0.002 时，
y＝20lg ＝20lg 102＝40(分贝)．
由已知条件知40分贝小于60分贝，
所以此地为噪音无害区，声音环境优良．
解决对数应用题的一般步骤
　　　　
[跟踪训练]
在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg ，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1，2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为(　　)
A．1010.1 B．10.1
C．lg 10.1 D．10－10.1
解析：选A　由题意可设太阳的星等为m2，太阳的亮度为E2，天狼星的星等为m1，天狼星的亮度为E1，则由m2－m1＝lg ，得－26.7＋1.45＝lg ，∴lg ＝－10.1，lg ＝10.1，＝1010.1.
1．以下四个式子中a>0且a≠1，x>0，m>0，n>0，其中恒成立的是(　　)
A．(logax)3＝3logax
B．loga(m＋n)＝logam＋logan
C．loga＝logam－logan
D.＝logaxm
解析：选C　由对数的运算性质可知，a>0且a≠1，m>0，n>0，loga＝logam－logan，故选C.
2．计算(log312－2log32)＝(　　)
A．0 B．1
C．2 D．4
解析：选B　log64＋log63＝log64＋log63＝log62＋log63＝log66＝1，log312－2log32＝log312－log34＝log33＝1，∴(log312－2log32)＝1，故选B.
3．若lg x－lg y＝t，则lg－lg＝(　　)
A．3t B．t
C．t D.
解析：选A　lg－lg＝3lg－3lg＝3lg＝3(lg x－lg y)＝3t.
4．方程lg(2x＋1)＋lg x＝1的解为________．
解析：由题得lg[(2x＋1)x]＝1＝lg 10，所以x(2x＋1)＝10，所以2x2＋x－10＝0，解得x＝2或x＝－.
经检验，当x＝－时，原方程没有意义，x＝2满足方程．
答案：x＝2
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6换底公式
新课程标准解读 核心素养
知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数，并能进行简单的化简计算 数学运算
计算器上，只有常用对数键“log”和自然对数键“ln”，要计算logab必须将它转换成常用对数或自然对数．
[问题]　你知道如何转换吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　换底公式
一般地，若a>0，b>0，c>0，且a≠1，c≠1，则logab＝．这个结论称为对数的换底公式．
换底公式的推论
1．对数的换底公式用常用对数、自然对数表示是什么形式？
提示：logab＝，logab＝.
2．你能用换底公式和对数的运算性质推导出结论logMm＝logNM吗？
提示：logMm＝＝＝·＝logNM.
1．log6432的值为(　　)
A.　　　　　　　　 B．2
C. D.
解析：选C　log6432＝＝＝＝.
2．若log23＝a，则log49＝(　　)
A. B．a
C．2a D．a2
解析：选B　log49＝＝＝log23＝a.故选B.
3．(2021·襄阳联考)若log34·log48·log8m＝log416，则m＝________．
解析：利用换底公式，得··＝2，
∴lg m＝2lg 3＝lg 9，于是m＝9.
答案：9
对数换底公式的应用
[例1]　(链接教科书第103页例3)计算：(1)log29·log34；
(2).
[解]　(1)由换底公式可得，
log29·log34＝·＝·＝4.
(2)原式＝×＝log×log 9
＝×＝×＝－.
利用换底公式求值的思想与注意点
[跟踪训练]
1．计算(log32＋log23)2－－的值为(　　)
A．log26　　　　　　　　 B．log36
C．2 D．1
解析：选C　原式＝(log32)2＋2log32×log23＋(log23)2－(log32)2－(log23)2＝2log32×log23＝2××＝2.
2．若log2x·log34·log59＝8，则x＝(　　)
A．8 B．25
C．16 D．4
解析：选B　∵log2x·log34×log59＝··＝××＝8，∴lg x＝2lg 5＝lg 25，∴x＝25.
用已知对数式表示求值问题
[例2]　已知log189＝a，18b＝5，求log3645.(用a，b表示)
[解]　因为18b＝5，所以b＝log185.
所以log3645＝＝
＝＝
＝＝
＝.
[母题探究]
1．(变设问)若本例条件不变，如何求log1845(用a，b表示)
解：因为18b＝5，所以log185＝b，所以log1845＝log189＋log185＝a＋b.
2．(变条件)若将本例条件“log189＝a，18b＝5”改为“log94＝a，9b＝5”，则又如何求解呢？
解：因为9b＝5，所以log95＝b.
所以log3645＝＝
＝＝.
求解与对数有关的各种求值问题应注意如下三点
(1)利用对数的定义可以将对数式转化为指数式；
(2)两边同时取对数是将指数式化成对数式的常用方法；
(3)对数的换底公式在解题中起着重要的作用，能够将不同底的问题转化为同底问题，从而使我们能够利用对数的运算性质解题．　　　　
[跟踪训练]
　设a＝log36，b＝log520，则log215＝(　　)
A. B．
C. D.
解析：选D　∵a＝log36＝＝，
∴log23＝.
∵b＝log520＝＝，∴log25＝.
∴log215＝log23＋log25＝＋＝.
有附加条件的对数式求值问题
[例3]　(链接教科书第104页练习6题)(1)已知a，b，c是不等于1的正数，且ax＝by＝cz，＋＋＝0，则abc的值为________；
(2)已知5x＝2y＝()z，且x，y，z≠0，则＋的值为________．
[解析]　(1)法一：设ax＝by＝cz＝t，则x＝logat，y＝logbt，z＝logct，
∴＋＋＝＋＋＝logta＋logtb＋logtc＝logt(abc)＝0，∴abc＝t0＝1.
法二：∵a，b，c是不等于1的正数，且ax＝by＝cz，
∴令ax＝by＝cz＝t>0，∴x＝，y＝，z＝，
∴＋＋＝＋＋＝.
∵＋＋＝0，且lg t≠0，
∴lg a＋lg b＋lg c＝lg(abc)＝0，∴abc＝1.
(2)令5x＝2y＝()z＝k，则x＝log5k，y＝log2k，z＝lg k，z＝2lg k，∴＋＝＋＝2lg k(logk5＋logk2)＝2lg k·logk10＝2·log10k·logk10＝2.
[答案]　(1)1　(2)2
与对数有关的带有附加条件的代数式求值问题，需要对已知条件和所求式子进行化简转化，原则是化为同底的对数，以便利用对数的运算性质．要整体把握对数式的结构特征，灵活运用指数式与对数式的互化．　　　　
[跟踪训练]
已知实数a，b，c，d满足5a＝4，4b＝3，3c＝2，2d＝5，则(abcd)2 022＝________．
解析：将5a＝4，4b＝3，3c＝2，2d＝5转化为对数式，
得a＝log54＝，b＝，c＝，d＝，
所以(abcd)2 022＝＝12 022＝1.
答案：1
1．式子log32·log227的值为(　　)
A．2　　　　　　　　　 B．3
C. D．－3
解析：选B　log32·log227＝·＝＝log327＝3，故选B.
2．在，，logeq \s\do9()eq \r(a)，logbn(a，b均为不等于1的正数)中，与logab一定相等的有(　　)
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
解析：选C　＝logab，＝logba，logeq \s\do9()eq \r(a)＝logba，logbn＝logab，故选C.
3．计算：1＋lg 2·lg 5－lg 2·lg 50－log35·log259·lg 5＝(　　)
A．1 B．0
C．2 D．4
解析：选B　原式＝1＋lg 2·lg 5－lg 2(1＋lg 5)－··lg 5＝1＋lg 2·lg 5－lg 2－lg 2·lg 5－lg 5＝1－(lg 2＋lg 5)＝1－lg 10＝1－1＝0.
4．若实数a，b，c满足25a＝404b＝2 020c＝2 019，则下列式子正确的是(　　)
A.＋＝ B．＋＝
C.＋＝ D.＋＝
解析：选A　由已知，得52a＝404b＝2 020c＝2 019，得2a＝log52 019，b＝log4042 019，c＝log2 0202 019，所以＝log2 0195，＝log2 019404，＝log2 0192 020，而5×404＝2 020，所以＋＝，即＋＝，故选A.
5．方程log2x＋＝1的解是________．
解析：原方程可变为log2x＋log2(x＋1)＝1，即log2[x(x＋1)]＝1，∴x(x＋1)＝2，解得x＝1或x＝－2.又即x>0，∴x＝1.
答案：1
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5对数函数的概念 对数函数y＝log2x的图象和性质
新课程标准解读 核心素养
1.通过具体实例，了解对数函数的概念，了解反函数概念 数学抽象
2.能用描点法或借助计算机工具画出y＝log2x的图象，掌握其性质并会应用 直观想象、数学抽象
某种细胞进行分裂，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……
[问题]　(1)1个这样的细胞分裂x次后得到细胞个数y如何表示？
(2)如果知道一个细胞经过x次分裂后得到了1 024个细胞，该如何求解x的值呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　对数函数的概念
1．对数函数的概念
函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫作对数函数，其中a叫作对数函数的底数，x是自变量．
2．对数函数的基本性质
(1)定义域是(0，＋∞)；
(2)图象过定点(1，0)．
3．特殊的对数函数
常用对数函数 以10为底的对数函数y＝lg_x
自然对数函数 以无理数e为底的对数函数y＝ln_x
　(多选)下列函数中为对数函数的是(　　)
A．y＝log(－x)
B．y＝2log4(x－1)
C．y＝ln x
D．y＝logx(a是常数)
解析：选CD　对于A，真数是－x，故A不是对数函数；对于B，y＝2log4(x－1)＝log2(x－1)，真数是x－1，不是x，故B不是对数函数；对于C，ln x的系数为1，真数是x，故C是对数函数；对于D，底数a2＋a＋2＝＋>1，故D是对数函数．
知识点二　反函数
指数函数y＝ax是对数函数y＝logax的反函数．对数函数y＝logax也是指数函数y＝ax的反函数，即它们互为反函数．
反函数性质的再理解
(1)互为反函数的两个函数图象关于直线y＝x对称；
(2)反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域．　　　　
1．已知函数y＝f(x)是函数y＝10x的反函数，则f＝________．
解析：由已知得f(x)＝lg x，故f＝lg ＝lg 10－2＝－2.
答案：－2
2．对数函数y＝－log2x的反函数是________．
解析：y＝－log2x＝logx＝logx，故其反函数为y＝.
答案：y＝
知识点三　对数函数y＝log2x的图象与性质
函数 y＝log2x
图象
性质 定义域 (0，＋∞)
值域 R
单调性 在(0，＋∞)上是增函数
1．y＝log2(1－x)的大致图象是(　　)
解析：选C　y＝log2(－x)与y＝log2x的图象关于y轴对称，又因为y＝log2(1－x)＝log2[－(x－1)]，故将y＝log2(－x)的图象向右平移一个单位长度，即得y＝log2(1－x)的图象，故选C.
2．函数y＝的定义域为(　　)
A．(－∞，2)　　　　　　　 B．(2，＋∞)
C．(2，3)∪(3，＋∞) D．(2，4)∪(4，＋∞)
解析：选C　要使函数有意义，则
即解得23.
对数函数的概念
[例1]　(链接教科书第107页例1)(1)(多选)下列函数中，是对数函数的有(　　)
A．y＝logax(a∈R)　　　 B．y＝log8x
C．y＝ln x D．y＝logx(x＋2)
(2)若对数函数f(x)＝logax的图象过点(2，1)，则f(8)＝________．
[解析]　(1)形如y＝logax(a>0，且a≠1)的函数即为对数函数，符合此形式的函数表达式有B、C，其他的均不符合．故选B、C.
(2)依题意知1＝loga2，所以a＝2，
所以f(x)＝log2x，故f(8)＝log28＝3.
[答案]　(1)BC　(2)3
判断一个函数是对数函数的依据
　　　　
[跟踪训练]
1．已知f(x)＝log5x，则f(5)＝(　　)
A．0 B．1
C．5 D．25
解析：选B　f(5)＝log55＝1.
2．函数f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝________．
解析：a2－a＋1＝1，解得a＝0或1.
又a＋1＞0，且a＋1≠1，∴a＝1.
答案：1
求函数的反函数
[例2]　(链接教科书第108页例2、例3)求下列函数的反函数：
(1)y＝5x; (2)y＝；
(3)y＝logx; (4)y＝log7x.
[解]　(1)指数函数y＝5x，它的底数是5，它的反函数是对数函数y＝log5x.
(2)指数函数y＝，它的底数是，它的反函数是对数函数y＝logx.
(3)对数函数y＝logx，它的底数是，它的反函数是指数函数y＝.
(4)对数函数y＝log7x，它的底数是7，它的反函数是指数函数y＝7x.
反函数的求法
(1)由y＝ax(或y＝logax)解得x＝logay(或x＝ay)；
(2)将x＝logay(或x＝ay)中的x与y互换位置，得y＝logax(或y＝ax)；
(3)由y＝ax(或y＝logax)的值域，写出y＝logax(或y＝ax)的定义域．　　　　
[跟踪训练]
1．函数y＝log3x的定义域为(0，＋∞)，则其反函数的值域是(　　)
A．(0，＋∞) B．R
C．(－∞，0) D．(0，1)
解析：选A　反函数的值域为原函数的定义域(0，＋∞)．
2．求函数y＝3x－4(x≥2)的反函数．
解：∵y＝3x－4，∴3x＝y＋4，∴x＝log3(y＋4)．
又∵x≥2，∴3x－4≥5，
∴函数y＝3x－4(x≥2)的反函数为y＝log3(x＋4)(x≥5).
函数y＝log2x的图象与性质
[例3]　(链接教科书第109页例4，第110页例5)(1)函数y＝log2|x＋1|的大致图象是(　　)
(2)log2(a2＋a＋1)与log2的大小关系为(　　)
A．log2(a2＋a＋1)≥log2
B．log2(a2＋a＋1)>log2
C．log2(a2＋a＋1)≤log2
D．log2(a2＋a＋1)(3)(多选)已知f(x)＝|log2x|，若f(a)>f(2)，则a的值可以是(　　)
A. B．
C. D．3
[解析]　(1)y＝log2|x|是偶函数，其y轴右侧部分的图象即为y＝log2x的图象，再将y＝log2|x|的图象向左平移一个单位长度，即为y＝log2|x＋1|的图象，故选B.
(2)∵y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，而a2＋a＋1＝＋≥，∴log2(a2＋a＋1)≥log2.
(3)作出函数f(x)的图象，如图所示，由于f(2)＝f，故结合图象可知02.
[答案]　(1)B　(2)A　(3)ABD
解决与y＝log2x图象与性质有关问题的关键
一是抓住图象变换准确画出相关函数图象；
二是充分利用其性质去求解．　　　　
[跟踪训练]
1．已知函数y＝log2(1－x)的值域为(－∞，0)，则其定义域是(　　)
A．(－∞，1) B．
C．(0，1) D．(1，＋∞)
解析：选C　∵函数y＝log2(1－x)的值域为(－∞，0)，∴0<1－x<1，即－12．已知函数f(x)＝则不等式f(x)≤1的解集为________．
解析：因为函数f(x)＝所以若不等式f(x)≤1，则或解得0≤x≤2，所以原不等式的解集为{x|0≤x≤2}．
答案：{x|0≤x≤2}
1．下列函数是对数函数的是(　　)
A．y＝loga(2x) B．y＝log22x
C．y＝log2x＋1 D．y＝lg x
解析：选D　选项A、B、C中的函数都不具有“y＝logax(a>0，且a≠1)”的形式，只有D选项符合．
2．函数y＝loga(x＋2)＋1的图象过定点(　　)
A．(1，2) B．(2，1)
C．(－2，1) D．(－1，1)
解析：选D　令x＋2＝1，即x＝－1，得y＝loga1＋1＝1，故函数y＝loga(x＋2)＋1的图象过定点(－1，1)．
3．函数f(x)＝log2|2x－4|的图象为(　　)
解析：选A　函数f(x)＝log2|2x－4|的图象可以看作是将函数y＝log2|2x|的图象向右平移2个单位长度得到的，故选A.
4．为了得到y＝log2 的图象只需将y＝log2x的图象____________________．
解析：y＝log2 ＝log2x－1.
答案：向下平移一个单位长度
5．已知函数y＝ax＋b的图象过点(1，4)，其反函数的图象过点(2，0)，则a＝________，b＝________．
解析：由函数y＝ax＋b的图象过点(1，4)，得a＋b＝4；由反函数的图象过点(2，0)知，原函数的图象过点(0，2)，得a0＋b＝2，因此a＝3，b＝1.
答案：3　1
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7对数函数y＝logax的图象和性质
新课程标准解读 核心素养
1.进一步理解对数函数的图象和性质 直观想象
2.能运用对数函数的图象和性质解决相关问题 数学运算
第1课时　对数函数的图象和性质
观察图形，回答下列问题：
[问题]　(1)观察图①所示的函数y＝log2x，y＝log0.5x，y＝log10x，y＝log0.1x的图象，你能得出什么结论？
(2)函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx的图象如图②所示，那么a，b，c的大小关系如何？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　对数函数的图象和性质
a＞1 0＜a＜1
图象
性质 (1)定义域：(0，＋∞)
(2)值域：
(3)过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0
(4)当x＞1时，y＞；当0＜x＜1时，y＜ (4)当x＞1时，y＜；当0＜x＜1时，y＞
(5)在定义域(0，＋∞)上是函数；当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于正无穷大；当x值趋近于0时，函数值趋近于负无穷大 (5)在定义域(0，＋∞)上是函数；当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于负无穷大；当x值趋近于0时，函数值趋近于正无穷大
对数函数图象的再理解
(1)对数函数的图象永远在y轴的右侧，对数函数的图象都经过点，(1，0)，(a，1)，且图象都在第一、四象限内；
(2)①若01且x>1，则有y>0；
②若01，或a>1且0简记为：同区间为正，异区间为负．　　　　
1．函数y＝lg(x＋1)的图象大致是(　　)
解析：选C　由底数大于1可排除A、B，y＝lg(x＋1)可看作是y＝lg x的图象向左平移1个单位长度得到(或令x＝0 得y＝0，而且函数为增函数)．
2．已知a＝log23，b＝log2e，c＝ln 2，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a>b>c　　　　　　　 B．b>a>c
C．c>b>a D．c>a>b
解析：选A　a＝log23>b＝log2e>log22＝1，c＝ln 2b>c.
3.如图，若C1，C2分别为函数y＝logax和y＝logbx的图象，则(　　)
A．0＜a＜b＜1 B．0＜b＜a＜1
C．a＞b＞1 D．b＞a＞1
解析：选B　作直线y＝1(图略)，则直线与C1，C2的交点的横坐标分别为a，b，易知0＜b＜a＜1.
4．函数f(x)＝log2(x－1)的定义域是________．
答案：(1，＋∞)
对数型函数的定义域
[例1]　(链接教科书第111页例6)求下列函数的定义域：
(1)y＝；
(2)y＝；
(3)y＝log2(16－4x)；
(4)y＝log(x－1)(3－x)．
[解]　(1)要使函数式有意义，需解得x>1，且x≠2.
故函数y＝的定义域是{x|x>1，且x≠2}．
(2)要使函数式有意义，需
即解得x≥4.
故函数y＝的定义域是{x|x≥4}．
(3)要使函数式有意义，需16－4x>0，解得x<2.
故函数y＝log2(16－4x)的定义域是{x|x<2}．
(4)要使函数式有意义，需解得1故函数y＝log(x－1)(3－x)的定义域是{x|1求对数型函数定义域的原则
(1)分母不能为0；
(2)根指数为偶数时，被开方数非负；
(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1.　　　　
[跟踪训练]
求下列函数的定义域：
(1)y＝；
(2)y＝＋ln(x＋1)．
解：(1)要使函数有意义，需
即即－3故所求函数的定义域为(－3，－2)∪[2，＋∞)．
(2)要使函数有意义，需即
∴－1故所求函数的定义域为(－1，2).
对数型函数的图象
[例2]　(1)当a＞1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象为(　　)
(2)已知f(x)＝loga|x|，满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象．
(1)[解析]　y＝a－x＝，∵a＞1，∴0＜＜1，则y＝a－x在(－∞，＋∞)上是减函数，过定点(0，1)；对数函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，过定点(1，0)．故选C.
[答案]　C
(2)[解]　因为f(－5)＝1，所以loga5＝1，即a＝5，故f(x)＝log5|x|＝
所以函数y＝log5|x|的图象如图所示．
有关对数型函数图象问题的应用技巧
(1)求函数y＝m＋logaf(x)(a＞0，且a≠1)的图象过定点时，只需令f(x)＝1求出x，即得定点为(x，m)；
(2)给出函数解析式判断函数的图象，应首先考虑函数对应的基本初等函数是哪一种；其次找出函数图象的特殊点，判断函数的基本性质、定义域、单调性以及奇偶性等；最后综合上述几个方面将图象选出，解决此类题目常采用排除法；
(3)根据对数函数图象判断底数大小的方法：作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，根据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小．　　　　
[跟踪训练]
1．函数f(x)＝loga(x－1)＋1(a>0，且a≠1)的图象恒过点(　　)
A．(1，1)　　　　　　　 B．(1，2)
C．(2，1) D．(2，2)
解析：选C　令x－1＝1，即x＝2，得f(2)＝loga1＋1＝1，因此f(x)的图象恒过点(2，1)．故选C.
2．对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的大致图象如图所示，已知a的取值为，，，，则曲线C1，C2，C3，C4对应的a的值依次是________．
解析：当a>1时，对数函数y＝logax的图象是上升的；当0答案：，，，
3．作出函数y＝|log2(x＋1)|的图象．
解：第一步：作y＝log2x的图象，如图①所示．
第二步：将y＝log2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度，得y＝log2(x＋1)的图象，如图②所示．
第三步：将y＝log2(x＋1)在x轴下方的图象作关于x轴的对称变换，得y＝|log2(x＋1)|的图象，如图③所示．
比较对数值的大小
[例3]　(链接教科书第111页例7)比较下列各题中两个值的大小：
(1)log31.9，log32；
(2)log23，log0.32；
(3)logaπ，loga3.14(a>0，且a≠1)．
[解]　(1)因为y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，且1.9<2，所以log31.9(2)因为log23>log21＝0，log0.32log0.32.
(3)π>3.14，当a>1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，有logaπ>loga3.14；
当0有logaπ综上可得，当a>1时，logaπ>loga3.14；当0比较对数值大小时常用的4种方法
(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较；
(2)若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论；
(3)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以利用顺时针方向底数增大画出对数函数的图象，再进行比较；
(4)若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较．　　　　
[跟踪训练]
比较下列各组对数值的大小：
(1)log与log；
(2)3log45，2log23；
(3)log0.3与log3.
解：(1)因为y＝logx在(0，＋∞)上单调递减，且<，所以log>log.
(2)∵3log45＝log4125，2log23＝log29＝log481，且函数y＝log4x在区间(0，＋∞)上是增函数，又125>81，
∴3log45>2log23.
(3)由对数的性质知log0.3>0>log3，所以log0.3>log3.
求解对数不等式
[例4]　解不等式：
(1)log2(2x＋3)≥log2(5x－6)；
(2)loga(x－4)－loga(2x－1)＞0(a＞0，且a≠1)．
[解]　(1)原不等式等价于
解得＜x≤3.
所以不等式的解集为.
(2)原不等式化为loga(x－4)＞loga(2x－1)．
当a＞1时，不等式等价于 无解．
当0＜a＜1时，不等式等价于解得x＞4.
综上可知，当a＞1时，解集为 ；当0＜a＜1时，解集为{x|x＞4}．
常见对数不等式的2种解法
(1)形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论；
(2)形如logax＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解．　　　　
[跟踪训练]
1．求满足不等式log3x<1的x的取值集合．
解：∵log3x<1＝log33，
∴x满足的条件为
即0∴x的取值集合为{x|02．已知log0.7(2x)解：∵函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上为减函数，
∴由log0.7(2x)得
解得x>1.
∴x的取值范围是(1，＋∞)．
1．函数f(x)＝的定义域为(　　)
A．[1，2) B．(－∞，1)
C．(1，2) D．(－∞，2)
解析：选A　要使f(x)有意义，则
解得1≤x<2，∴f(x)的定义域为[1，2)．故选A.
2．(多选)已知a>0，且a≠1，函数y＝logax，y＝ax，y＝x＋a在同一坐标系中的图象不可能是(　　)
解析：选ABD　对于A，由指数函数和对数函数知a>1，而由一次函数知a<1，不符合；对于B，∵函数y＝ax与y＝logax的图象关于直线y＝x对称，∴排除B；对于C，都符合；对于D，由指数函数和对数函数知01，不符合．
3．函数y＝loga(x－2)(a＞0且a≠1)的图象恒过的定点是(　　)
A．(1，0) B．(2，0)
C．(3，0) D．(4，0)
解析：选C　令x－2＝1，得x＝3.当x＝3时，y＝0，故函数的图象恒过定点(3，0)．
4．三个数a＝3，b＝，c＝log3的大小顺序为(　　)
A．bC．c解析：选D　a＝3>1，0b>c.
5．已知loga>1，求a的取值范围．
解：由loga>1得loga>logaa.
①当a>1时，有a<，此时无解；
②当0所以a的取值范围是.
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8第2课时　对数函数图象及性质的应用(习题课)
对数型函数的最值与值域
[例1]　求下列函数的值域：
(1)y＝log(－x2＋2x＋1)；
(2)f(x)＝log2·log2(1≤x≤4)．
[解]　(1)设t＝－x2＋2x＋1，则t＝－(x－1)2＋2.
∵y＝logt为减函数，且0(2)∵f(x)＝log2·log2＝(log2x－2)·(log2x－1)
＝－，
又∵1≤x≤4，∴0≤log2x≤2，
∴当log2x＝，
即x＝2＝2时，f(x)取最小值－；
当log2x＝0，即x＝1时，f(x)取得最大值为2，
∴函数f(x)的值域是.
求函数值域的方法
(1)求对数型函数的值域，一般需要根据对数函数的单调性及真数的取值范围求解；
(2)求函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响，并结合函数的单调性求解，当函数较为复杂时，可对对数函数进行换元，把复杂问题简单化．　　　　
[跟踪训练]
1．已知函数f(x)＝3logx的定义域为[3，9]，则函数f(x)的值域是________．
解析：∵y＝logx在(0，＋∞)上是减函数，
∴当3≤x≤9时，log9≤logx≤log3，
即－2≤logx≤－1，
∴－6≤3logx≤－3，
∴函数f(x)的值域是[－6，－3]．
答案：[－6，－3]
2．函数y＝2x－log(x＋1)在区间[0，1]上的最大值为________，最小值为________．
解析：因为y＝2x在[0，1]上单调递增，y＝log(x＋1)在[0，1]上单调递减，所以y＝f(x)＝2x－log(x＋1)在[0，1]上单调递增，所以y的最大值为f(1)＝21－log2＝2－(－1)＝3，最小值为f(0)＝20－log1＝1－0＝1.
答案：3　1
对数型函数的单调性问题
[例2]　(链接教科书第124页C组2题)(1)已知函数f(x)＝loga(x2＋2x－3)，若f(2)>0，则此函数的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，－3)　　　　 B．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)
(2)已知函数f(x)＝lg(x2－2ax－a)在区间(－∞，－3)上是减函数，求实数a的取值范围．
（1）[解析]　∵f(2)＝loga5>0＝loga1，∴a>1.
由x2＋2x－3>0得函数f(x)的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．
设u＝x2＋2x－3，则此函数在(1，＋∞)上为增函数．
又∵y＝logau(a>1)在(0，＋∞)上也为增函数，
∴函数f(x)的单调递增区间是(1，＋∞)，故选D.
[答案]　D
[解]　设u(x)＝x2－2ax－a.
∵f(x)在(－∞，－3)上是减函数，
∴u(x)在(－∞，－3)上是减函数，
且u(x)>0在(－∞，－3)上恒成立．
又u(x)＝(x－a)2－a－a2在(－∞，a)上是减函数．
∴∴a≥－.
∴满足条件的实数a的取值范围是.
[母题探究]
1．(变条件)本例(1)中条件变为“f(x)＝lg(x2－2x)”，其他条件不变，试求函数f(x)的单调递增区间．
解：由已知，得x2－2x>0，解得x>2或x<0.因为u＝x2－2x在(2，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，而y＝lg u在(0，＋∞)上是增函数，所以y＝lg(x2－2x)的单调递增区间为(2，＋∞)．
2．(变条件)本例(2)中条件变为“f(x)＝loga(6－ax)在[0，2]上为减函数”，求a的取值范围．
解：若函数f(x)＝loga(6－ax)在[0，2]上为减函数．
则解得1形如y＝logaf(x)的函数的单调性
首先要确保f(x)>0.
当a>1时，y＝logaf(x)的单调性在f(x)>0的前提下与y＝f(x)的单调性一致；
当00的前提下与y＝f(x)的单调性相反．
[提醒]　研究对数型复合函数的单调性，一定要注意先研究函数的定义域，也就是要坚持“定义域优先”的原则．　　　　
[跟踪训练]
1．若y＝log(2a－3)x在(0，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围为________．
解析：由y＝log(2a－3)x在(0，＋∞)上是增函数，所以2a－3＞1，解得a＞2.
答案：(2，＋∞)
2．讨论函数y＝loga(3x－1)的单调性．
解：由3x－1>0，得函数的定义域为.
当a>1，x>时，
函数y＝f(x)＝loga(3x－1)为增函数；
当0时，
函数y＝f(x)＝loga(3x－1)为减函数.
有关对数型函数的探究开放题
[例3]　某老师为加强学生数学核心素养的培养，锻炼学生自主探究学习的能力，他们以函数f(x)＝lg 为基本素材，研究该函数的相关性质，取得部分研究成果如下：
①同学甲发现：函数f(x)的定义域为(－1，1)；
②同学乙发现：函数f(x)是偶函数；
③同学丙发现：对于任意的x∈(－1，1)，都有f＝2f(x)；
④同学丁发现：对于任意的a，b∈(－1，1)，都有f(a)＋f(b)＝f；
⑤同学戊发现：对于函数f(x)定义域中任意的两个不同实数x1，x2，总满足>0.
以上成果你认为都正确吗？写出正确成果的序号．
[解]　在①中，因为f(x)＝lg ，所以>0，解得函数的定义域为(－1，1)，所以①是正确的；在②中，f(x)＝lg ＝－lg ＝－f(－x)，所以函数f(x)为奇函数，所以②是错误的；在③中，对于任意x∈(－1，1)，有f＝lg ＝lg ＝lg ，又2f(x)＝2lg ＝lg ，所以③是正确的；在④中，对于任意的a，b∈(－1，1)，有f(a)＋f(b)＝lg ＋lg ＝lg＝lg ，又f＝lg ＝lg ，所以④是正确的；在⑤中，对于函数f(x)的定义域中任意的两个不同实数x1，x2，总满足>0，即说明f(x)是单调递增函数，但f(x)＝lg ＝lg是减函数，所以⑤是错误的．综上可知，正确研究成果的序号为①③④.
求解探究开放性问题的要点
[跟踪训练]
若函数f(x)的定义域为R，满足对任意x1，x2∈R，有f(x1＋x2)≤f(x1)＋f(x2)，则称f(x)为V型函数；若函数g(x)的定义域为R，满足对任意x∈R，g(x)>0恒成立，且对任意x1，x2∈R，有lg g(x1＋x2)≤lg g(x1)＋lg g(x2)，则称g(x)为对数V型函数．
(1)当函数f(x)＝x2时，判断f(x)是否为V型函数，并说明理由；
(2)你能否结合条件判断g(x)＝x2＋2是否为对数V型函数，并说明理由；
(3)若函数f(x)是V型函数，且满足对任意x∈R，有f(x)≥2，问f(x)是否为对数V型函数？若是，加以证明；若不是，请说明理由．
解：(1)∵f(x)＝x2，∴f(x1＋x2)－[f(x1)＋f(x2)]＝(x1＋x2)2－(x＋x)＝2x1x2.
当x1，x2同号时，不满足f(x1＋x2)≤f(x1)＋f(x2)，
∴f(x)不是V型函数．
(2)g(x)是对数V型函数．
∵g(x)＝x2＋2>0恒成立，∴要证对任意x1，x2∈R，lg g(x1＋x2)≤lg g(x1)＋lg g(x2)，
即证对任意x1，x2∈R，lg[(x1＋x2)2＋2]≤lg(x＋2)＋lg(x＋2)，
即证对任意x1，x2∈R，(x1＋x2)2＋2≤(x＋2)(x＋2)．
∵(x＋2)(x＋2)－[(x1＋x2)2＋2]＝xx＋(x1－x2)2＋2≥0，
∴g(x)是对数V型函数．
(3)f(x)是对数V型函数．证明如下：
∵f(x)是V型函数，
∴对任意x1，x2∈R，有f(x1＋x2)≤f(x1)＋f(x2)，
又对任意x∈R，有f(x)≥2，
∴＋≤1，
∴0∴f(x1＋x2)≤f(x1)f(x2)，
∴lg f(x1＋x2)≤lg[f(x1)f(x2)]＝lg f(x1)＋lg f(x2)，
∴f(x)是对数V型函数．
对数型函数的奇偶性问题
对数函数本身不具有奇偶性，但有些函数与对数函数复合后，得到的对数型复合函数就具有奇偶性了，如y＝log2|x|就是偶函数．一般利用函数奇偶性的定义，并结合对数的运算性质来判断这类函数的奇偶性．
为了便于判断函数的奇偶性，有时需要将函数进行化简，或利用定义的等价形式进行判断：f(－x)＝±f(x) f(－x)±f(x)＝0或＝±1(f(x)≠0)．其中f(－x)＋f(x)＝0，f(－x)－f(x)＝0多用于对数型函数奇偶性的判断，＝±1多用于指数型函数奇偶性的判断．
[问题探究]
1．已知函数f(x)＝log2(＋x)，试判断其奇偶性．
提示：由f(x)知x∈R，
又f(－x)＋f(x)＝log2(－x)＋log2(＋x)
＝log21＝0.∴f(x)为奇函数．
2．探究1中函数若变为f(x)＝log2(－x)，f(x)还是奇函数吗？
提示：是．
3．若给出f(x)＝log2，其奇偶性怎样？
提示：由>0知－1∴f(x)为奇函数．
4．探究3中函数若变为f(x)＝loga(a>0，且m≠0)，其奇偶性又怎样？
提示：奇函数．
[迁移应用]
1．已知函数f(x)＝ln(－x)＋1，f(a)＝4，则f(－a)＝________．
解析：∵f(x)＋f(－x)＝ln(－x)＋1＋ln(＋x)＋1＝ln(1＋x2－x2)＋2＝2，
∴f(a)＋f(－a)＝2.
∵f(a)＝4，∴f(－a)＝－2.
答案：－2
2．若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝________．
解析：法一：依据偶函数的定义列方程求解．
∵f(x)为偶函数，∴f(－x)－f(x)＝0恒成立，
∴－xln(－x＋)－xln(x＋)＝0恒成立，
∴xln a＝0恒成立，∴ln a＝0，即a＝1.
法二：由于f(x)＝xln(x＋)为偶函数，又y＝x为奇函数，∴g(x)＝ln(x＋)为奇函数，
∴g(－x)＝－g(x)，即ln(－x＋)＝－ln(x＋)，
∴ln a＝0，即a＝1.
答案：1
1．函数f(x)＝lg 是(　　)
A．奇函数　　　　　　 B．偶函数
C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数
解析：选A　由f(x)定义域为R，f(－x)＋f(x)＝lg ＋lg ＝lg ＝lg 1＝0，∴f(x)为奇函数，故选A.
2．函数f(x)＝lg x2的单调递减区间是(　　)
A．(－∞，0) B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．(0，＋∞)
解析：选A　函数f(x)＝lg x2，
可令t＝x2(x≠0)，则y＝lg t，
由t＝x2在(－∞，0)上递减，(0，＋∞)上递增，
y＝lg t在(0，＋∞)上递增，
可得函数f(x)＝lg x2的单调递减区间是(－∞，0)．
3．已知函数f(x)＝log2(1＋2－x)，则函数f(x)的值域是(　　)
A．[0，2) B．(0，＋∞)
C．(0，2) D．[0，＋∞)
解析：选B　f(x)＝log2(1＋2－x)，∵1＋2－x>1，
∴log2(1＋2－x)>0，∴函数f(x)的值域是(0，＋∞)，故选B.
4．(多选)已知f(x)＝lg(10＋x)＋lg(10－x)，则f(x)(　　)
A．是奇函数 B．是偶函数
C．在(0，10)上单调递增 D．在(0，10)上单调递减
解析：选BD　由得x∈(－10，10)，故函数f(x)的定义域为(－10，10)，因为 x∈(－10，10)都有－x∈(－10，10)，且f(－x)＝lg(10－x)＋lg(10＋x)＝f(x)，故函数f(x)为偶函数．
f(x)＝lg(10＋x)＋lg(10－x)＝lg(100－x2)，y＝100－x2在(0，10)上递减，y＝lg x递增，故函数f(x)在(0，10)上递减．
5．已知函数f(x)＝|logx|的定义域为，值域为[0，1]，则m的取值范围为________．
解析：作出f(x)＝|logx|的图象(如图)可知f＝f(2)＝1，f(1)＝0，由题意结合图象知：1≤m≤2.
答案：[1，2]
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7指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
新课程标准解读 核心素养
1.了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型 数学抽象
2.了解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长含义 逻辑推理
3.能根据具体问题选择合适的函数模型 数学建模
一家世界500强公司曾经出过这样的一道面试题：
现在有一套房子，价格200万元，假设房价每年上涨10%，某人每年固定能一共攒下40万元，如果他想买这套房子，在不贷款，收入不增加的前提下，这个人需要多少年才能攒够钱买这套房子？
A．5年　　　　　　　　 B．7年
C．8年 D．9年
E．永远买不起
[问题]　(1)房子每年的价格满足什么函数关系？
(2)这个人每年的收入之和满足什么函数关系？
(3)你能给出这道题的答案吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
1．当b>1，c>0时，即使b很接近于1，c很接近于0，都有y＝xc比y＝logbx增长快．
2．当a>1，c>0时，即使a很接近于1，c很大，都有y＝ax比y＝xc增长快．
3．随着自变量x的增大，y＝ax的函数值增长远远大于y＝xc的函数值增长；而y＝xc的函数值增长又远远大于y＝logbx的函数值增长．
4．当底数a>1时，由于指数函数y＝ax的值增长非常快，人们称这种现象为“指数爆炸”．
三种函数模型的再理解
(1)当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型；
(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型．　　　　
存在一个x0，当x>x0时，为什么ax>xn>logax(a>1，n>0)一定成立？
提示：当a>1，n>0时，由y＝ax，y＝xn，y＝logax的增长速度，存在x0，当x>x0时，三个函数的图象由上到下依次为指数，幂，对数，故一定有ax>xn>logax.
1．下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是(　　)
A．y＝ex B．y＝ln x
C．y＝3x D．y＝e－x
答案：A
2．某公司为了适应市场需求，对产品结构进行了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与产量x的关系，则可选用(　　)
A．一次函数模型 B．二次函数模型
C．指数函数模型 D．对数函数模型
答案：D
3．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：
x 1 5 10 15 20 25 30
y1 2 26 101 226 401 626 901
y2 2 32 1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109
y3 2 10 20 30 40 50 60
y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907
关于x呈指数型函数变化的变量是________．
解析：以爆炸式增长的变量是呈指数型函数变化的．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象可知变量y2关于x呈指数型函数变化．
答案：y2
几类函数模型的比较
[例1]　(链接教科书第117页练习1题)下面对函数f(x)＝logx，g(x)＝与h(x)＝xeq \s\up6(－)在区间(0，＋∞)上的衰减情况说法正确的是(　　)
A．f(x)衰减速度越来越慢，g(x)衰减速度越来越快，h(x)衰减速度越来越慢
B．f(x)衰减速度越来越快，g(x)衰减速度越来越慢，h(x)衰减速度越来越快
C．f(x)衰减速度越来越慢，g(x)衰减速度越来越慢，h(x)衰减速度越来越慢
D．f(x)衰减速度越来越快，g(x)衰减速度越来越快，h(x)衰减速度越来越快
[解析]　画出三个函数的图象如图，由图象可知选C.
[答案]　C
一般地，在(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(0随着x的增大，函数y＝ax(01时，函数值小于0，会越来越小．
因此，总会存在一个x0，当x>x0时，就有logax[提醒]　由指数函数、对数函数和幂函数的增长与衰减差异可知，总会存在一个x0，使得当x>x0时，若a>1，n>0，则logax[跟踪训练]
　三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如表：
x 1 3 5 7 9 11
y1 5 135 625 1 715 3 635 6 655
y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149
y3 5 6.10 6.61 6.95 7.20 7.40
则与x呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次是(　　)
A．y1，y2，y3 B．y2，y1，y3
C．y3，y2，y1 D．y3，y1，y2
解析：选C　由指数函数、对数函数、幂函数的增长速率比较，指数函数增长最快，对数函数增长最慢，分析表格中数据可知，y1是幂函数型函数，y2是指数函数型函数，y3是对数函数型函数，故选C.
几种函数模型增长的差异
[例2]　如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么红豆生长时间与枝数的关系用下列哪个函数模型拟合最好(　　)
A．指数函数：y＝2t B．对数函数：y＝log2t
C．幂函数：y＝t3 D．二次函数：y＝2t2
[解析]　由图可知函数在第一象限内单调递增，并且增长速度较快，且图象过点(2，4)，(4，16)，因此利用指数函数模型拟合较好．
[答案]　A
常见的函数模型及增长特点
(1)线性函数模型：线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变；
(2)指数函数模型：指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”；
(3)对数函数模型：对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓；
(4)幂函数模型：幂函数y＝xn(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间．　　　　
[跟踪训练]
四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程fi(x)(i＝1，2，3，4)关于时间x(x＞1)的函数关系是f1(x)＝x2，f2(x)＝2x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果它们一直运动下去，最终在最前面的物体具有的函数关系是(　　)
A．f1(x)＝x2　　　　　 B．f2(x)＝2x
C．f3(x)＝log2x D．f4(x)＝2x
解析：选D　由增长速度可知，当自变量充分大时，指数函数的值最大．故选D.
函数模型的构建
[例3]　(链接教科书第117页习题2题)某人对东北一种松树的生长进行了研究，收集了其高度h(米)与生长时间t(年)的相关数据，选择h＝mt＋b与h＝loga(t＋1)来拟合h与t的关系，你认为哪个符合？并预测第8年的松树高度.
t(年) 1 2 3 4 5 6
h(米) 0.6 1 1.3 1.5 1.6 1.7
[解]　在坐标轴上标出t(年)与h(米)之间的关系如图所示．
由图象可以看出增长的速度越来越慢，用一次函数模型拟合不合适，则选用对数函数模型比较合理．
不妨将(2，1)代入h＝loga(t＋1)中，得1＝loga3，解得a＝3.
故可用函数h＝log3(t＋1)来拟合这个实际问题．
当t＝8时，求得h＝log3(8＋1)＝2，故可预测第8年松树的高度为2米．
函数模型构建的一般步骤
(1)收集数据；
(2)根据收集到的数据，在平面直角坐标系内画出散点图；
(3)根据点的分布特征，选择一个能刻画散点图特征的函数模型；
(4)选择其中的几组数据求出函数模型；
(5)将已知数据代入所求出的函数模型中进行检验，看其是否符合实际，若不符合实际，则返回步骤(3)；若符合实际，则进入下一步；
(6)用所得函数模型解析实际问题．　　　　
[跟踪训练]
某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且资金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x, y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？
解：作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(如图所示)．观察图象可知，在区间[5，60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求．
1．下列函数中，随着x的增大，函数值的增长速度最快的是(　　)
A．y＝2 022ln x B．y＝x2 022
C．y＝ D．y＝2 022·2x
解析：选D　由于指数函数的增长是爆炸式增长，则随着x越来越大，函数y＝2 022·2x的函数值的增长速度最快．故选D.
2．向高为H的水瓶内注水，一直到注满为止，如果注水量V与水深h的函数图象如图所示，那么水瓶的形状大致是(　　)
解析：选B　水深h为自变量，随着h的增大，A项中V的增长速度越来越快，C项中先慢后快，D项中增长速度不变，只有B项中V的增长速度越来越慢．
3．某校甲、乙食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知该年9月份两食堂的营业额又相等，则该年5月份(　　)
A．甲食堂的营业额较高
B．乙食堂的营业额较高
C．甲、乙两食堂的营业额相同
D．不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高
解析：选A　设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m，甲食堂的营业额每月增加a(a>0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x.由题意，可得m＋8a＝m×(1＋x)8，则5月份甲食堂的营业额y1＝m＋4a，乙食堂的营业额y2＝m×(1＋x)4＝.因为y－y＝(m＋4a)2－m(m＋8a)＝16a2>0，所以y1>y2，故该年5月份甲食堂的营业额较高．
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6章末复习与总结
一、数学运算
数学运算核心素养在本章中主要体现在对数运算及对数函数的单调性、值域中.
对数运算
[例1]　求下列各式的值：
(1)lg 20·lg 5＋(lg 2)2；
(2)(log32＋log92)(log43＋log83)．
[解]　(1)原式＝(lg 22＋lg 5)·lg 5＋(lg 2)2＝(lg 5)2＋2lg 5lg 2＋(lg 2)2＝(lg 5＋lg 2)2＝(lg 10)2＝1.
(2)原式＝log32·log43＋log92·log43＋log32·log83＋log92·log83＝log32·log23＋log32·log23＋log32·log23＋log32·log23＝＋＋＋＝.
对数函数的单调性、值域
[例2]　设定义域均为[，8]的两个函数f(x)和g(x)，其解析式分别为f(x)＝log2x－2和g(x)＝log4x－.
(1)求函数f(x)的值域；
(2)求函数G(x)＝f(x)·g(x)的值域．
[解]　(1)因为y＝log2x在[，8]上是增函数，
所以log2≤log2x≤log28，即log2x∈.
故log2x－2∈，
即函数f(x)的值域为.
(2)G(x)＝f(x)·g(x)＝(log2x－2)
＝(log2x－2)
＝[(log2x)2－3log2x＋2]，
令t＝log2x，x∈[，8]，t∈，
则y＝(t2－3t＋2)＝－，t∈，
故当t＝时，y取最小值，最小值为－；
当t＝3时，y取最大值，最大值为1.
所以函数G(x)＝f(x)·g(x)的值域为.
[例3]　已知函数f(x)＝log(x2－ax＋4a)在区间[2，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－2，4]　　　　　　　 B．[－2，4]
C．(－∞，4] D．[4，＋∞)
[解析]　∵函数f(x)＝log(x2－ax＋4a)在区间[2，＋∞)上单调递减，设t＝x2－ax＋4a，
又y＝logt是减函数，
∴t＝x2－ax＋4a>0在区间[2，＋∞)上恒成立，且是增函数，
∴解得－2[答案]　A
二、直观想象
直观想象核心素养在本章中主要体现在对数函数图象的识别及应用问题中.
对数函数图象的识别
[例4]　已知lg a＋lg b＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，则函数f(x)＝a－x与函数g(x)＝logbx的图象可能是(　　)
[解析]　lg a＋lg b＝0，即为lg(ab)＝0，即有ab＝1，
当a>1时，0对数函数图象不可能在y轴的左边，A显然不成立；
选项D是0当01，函数f(x)＝a－x与函数g(x)＝logbx在同一坐标系中的图象可能是B，故选B.
[答案]　B
对数函数图象的应用
[例5]　(多选)f(x)＝若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值可以是(　　)
A．2 B．
C．3 D．4
[解析]　f(x)的图象如图所示．
由已知不妨设a∵f(a)＝f(b)，即|log2a|＝|log2b|，
∴－log2a＝log2b，∴log2a＋log2b＝0，
∴log2ab＝0，∴ab＝1，
又2∴abc∈(2，4)．故选B、C.
[答案]　BC
三、逻辑推理
逻辑推理核心素养在本章中主要体现在对数函数性质的应用中.
比较大小
[例6]　(2019·天津高考)已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．aC．b[解析]　因为y＝log5x是增函数，所以a＝log52log0.50.5＝1.因为y＝0.5x是减函数，所以0.5＝0.51[答案]　A
[例7]　若a>b>1，0A．acC．alogbc[解析]　法一：A、B、C、D分别等价于cln a由于a>b>1，0则由对数函数性质可得ln a>ln b>0，ln c<0，
所以cln a>cln b，(c－1)ln b>(c－1)ln a，<，>.故选C.
法二：由于0b>1时，ac>bc，排除A.
abcb>1时，bc－1>ac－1，排除B.
由于a>b>1，0ln b>0.
故logbc－logac＝(ln a－ln b)<0；
alogbc－blogac＝(aln a－bln b)<0，
即logac>logbc，排除D.alogbc法三：特殊值法，取a＝4，b＝2，c＝，则ac＝2，bc＝，ac>bc，排除A.abc＝4，bac＝4，abc>bac，排除B.logac＝－，logbc＝－1，logac>logbc，排除D.故选C.
[答案]　C
利用对数函数的单调性解不等式
[例8]　设0A．(－∞，0) B．(loga3，＋∞)
C．(－∞，loga3) D．(0，＋∞)
[解析]　由题意，令t＝ax，有t>0，则y＝loga(t2－2t－2)，若使f(x)<0，即loga(t2－2t－2)<0.因为01，解得t>3或t<－1.又因为t>0，故t>3，即ax>3.
又因为0[答案]　C
对数型函数性质的综合应用
[例9]　已知函数f(x)＝logm(0(1)判断f(x)的奇偶性并证明；
(2)令g(x)＝f(x－3)，①判断g(x)在(6，＋∞)上的单调性(不必说明理由)；
②是否存在6<α<β，使得g(x)在区间[α，β]的值域为[logmmβ，logmmα]？若存在，求出此时m的取值范围；若不存在，请说明理由．
[解]　(1)f(x)是奇函数，证明如下：
由>0解得x<－3或x>3，所以f(x)的定义域为(－∞，－3)∪(3，＋∞)，关于原点对称．又f(－x)＝logm＝logm＝logm＝－f(x)，故f(x)为奇函数．
(2)g(x)＝logm，①g(x)在(6，＋∞)上单调递减．
②假设存在β>α>6，使g(x)在区间[α，β]的值域为[logmmβ，logmmα]．
由①知，g(x)在(6，＋∞)上单调递减．
则有所以
所以α，β是方程＝mx在(6，＋∞)上的两根，
整理得mx2＝x－6在(6，＋∞)有2个不等根α和β.即m＝－，
令t＝，则0即直线y＝m与函数y＝－6t2＋t的图象(如图)在上有两个交点，所以m∈.
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