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8.5 空间直线、平面的平行（同步训练）
1.若两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形(　　)
A．全等 B．不可能全等
C．仅有一个角相等 D．全等或相似
2.(多选)下列命题中，错误的有(　　)
A．如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等
B．如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等
C．如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补
D．如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行
3.如图，已知S为四边形ABCD外一点，G，H分别为SB，BD上的点，若GH∥平面SCD，则(　　)
A．GH∥SA B．GH∥SD C．GH∥SC D．以上均有可能
4.直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线有(　　)
A．0条　 B．1条
C．0条或1条　 D．无数条
5.如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，EH∥FG，则EH与BD的位置关系是(　　)
A．平行 B．相交 C．异面 D．不确定
6.(2021年武汉模拟)对于直线m，n和平面α，下面命题中的真命题是(　　)
A．如果m α，n α，m，n是异面直线，那么n∥α
B．如果m α，n与α相交，那么m，n是异面直线
C．如果m α，n∥α，m，n共面，那么m∥n
D．如果m∥α，n∥α，m，n共面，那么m∥n
7.如图，四棱锥S－ABCD的所有的棱长都等于2，E是SA的中点，过C，D，E三点的平面与SB交于点F，则四边形DEFC的周长为(　　)
A．2＋ B．3＋ C．3＋2 D．2＋2
8.(多选)如图所示，在四面体ABCD中，M，N，P，Q，E分别是AB，BC，CD，AD，AC的中点，则下列说法正确的是(　　)
M，N，P，Q四点共面 B．∠QME＝∠CBD
C．△BCD∽△MEQ D．四边形MNPQ为矩形
9.梯形ABCD中，AB∥CD，AB 平面α，CD 平面α，则直线CD与平面α的位置关系是_______
10.给出下列四个命题，其中正确命题的序号是________
①在空间，若两条直线不相交，则它们一定平行；
②平行于同一条直线的两条直线平行；
③一条直线和两条平行直线的一条相交，那么它也和另一条相交；
④空间四条直线a，b，c，d，如果a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥c.
11.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BD和B1D1分别是正方形ABCD和A1B1C1D1的对角线．
(1)∠DBC的两边与________的两边分别平行且方向相同；
(2)∠DBC的两边与________的两边分别平行且方向相反．
12.(2021年安庆期末)如图，P为□ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上一点，当PA∥平面EBF时，＝________
13.(2021年哈尔滨月考)如图所示，ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________
14.如图，已知在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点．
求证：(1)四边形MNA1C1是梯形；(2)∠DNM＝∠D1A1C1.
15.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，C1D1的中点，求证：EF∥平面BDD1B1.
16.在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ACB＝90°，EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，AB＝2EF，M是线段AD的中点，求证：GM∥平面ABFE.
17.如图，在四面体PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC，点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB的中点．
(1)求证：DE∥平面BCP；
(2)求证：四边形DEFG为矩形；
(3)是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由．
参考答案：
1.D　 解析：由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等．
2.AC　
解析：这两个角相等或互补，选项A错误；由等角定理知选项B正确；在空间中，这样的两个角大小关系不确定，选项C错误；由基本事实4知选项D正确．
3.B　
解析：因为GH∥平面SCD，GH 平面SBD，平面SBD∩平面SCD＝SD，所以GH∥SD，显然GH与SA，SC均不平行．故选B.
4.C　
解析：过直线a与n条直线的交点作平面β，设平面β与α交于直线b，则a∥b.若所给n条直线中有1条是与b重合的，则此直线与直线a平行，若没有与b重合的，则与直线a平行的直线有0条．
5.A　
解析：因为EH∥FG，FG 平面BCD，EH 平面BCD，所以EH∥平面BCD.因为EH 平面ABD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以EH∥BD.
6.C　
解析：对于A，如果m α，n α，m，n是异面直线，则n∥α或n与α相交，故A错误；对于B，如果m α，n与α相交，则m，n相交或是异面直线，故B错误；对于C，如果m α，n∥α，m，n共面，由线面平行的性质定理，可得m∥n，故C正确；对于D，如果m∥α，n∥α，m，n共面，则m∥n或m，n相交，故D错误．
7.C　
解析：由AB＝BC＝CD＝DA＝2，得AB∥CD，即AB∥平面DCFE，∵平面SAB∩平面DCFE＝EF，∴AB∥EF.∵E是SA的中点，∴EF＝1，DE＝CF＝.∴四边形DEFC的周长为3＋2.
8.ABC　
解析：由条件易得MQ∥BD，ME∥BC，QE∥CD，NP∥BD，所以MQ∥NP.对于A，由MQ∥NP，得M，N，P，Q四点共面，故A正确；对于B，根据等角定理，得∠QME＝∠DBC，故B正确；对于C，由等角定理知∠QME＝∠DBC，∠MEQ＝∠BCD，则△BCD∽△MEQ，故C正确；对于D，没有充分理由推证四边形MNPQ为矩形，故D不正确．
9.答案：平行　
解析：因为AB∥CD，AB 平面α，CD 平面α，由线面平行的判定定理可得CD∥α.
10.答案：②④　
解析：①错，可以异面；②正确，基本事实4；③错误，和另一条可以异面；④正确，由平行直线的传递性可知．
11.答案：(1)∠D1B1C1　(2)∠B1D1A1　
解析：(1)因为B1D1∥BD，B1C1∥BC且方向相同，所以∠DBC两边与∠D1B1C1两边分别平行且方向相同．
(2)B1D1∥BD，D1A1∥BC且方向相反，所以∠DBC的两边与∠B1D1A1的两边分别平行且方向相反．
12.答案：　
解析：连接AC交BE于G，连接FG，因为PA∥平面EBF，PA 平面PAC，平面PAC∩平面BEF＝FG，所以PA∥FG，所以＝.又因为AD∥BC，E为AD的中点，所以＝＝，所以＝.
13.答案：a　
解析：∵MN∥平面AC，平面PMN∩平面AC＝PQ，∴MN∥PQ.∵MN∥A1C1∥AC，∴PQ∥AC.
AP＝，∴DP＝DQ＝.∴PQ＝×＝a.
14.证明：(1)如图，连接AC.
因为在△ACD中，M，N分别是CD，AD的中点，所以MN是△ACD的中位线．
所以MN∥AC，MN＝AC. 由正方体的性质得AC∥A1C1，AC＝A1C1.
所以MN∥A1C1，且MN＝A1C1，即MN≠A1C1. 所以四边形MNA1C1是梯形．
(2)由(1)可知MN∥A1C1. 又因为ND∥A1D1，所以∠DNM与∠D1A1C1相等或互补．
而∠DNM与∠D1A1C1均为锐角，所以∠DNM＝∠D1A1C1.
15.证明：如图，取D1B1的中点O，连接OF，OB.
因为OF=B1C1，BE=B1C1，所以OF∥BE且OF=BE. 所以四边形OFEB是平行四边形．所以EF∥BO.
因为EF 平面BDD1B1，BO 平面BDD1B1，所以EF∥平面BDD1B1.
16.证明：因为EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，∠ACB＝90°，所以△ABC∽△EFG，∠EGF＝90°.
由于AB＝2EF，因此BC＝2FG.
如图，连接AF.由于FG∥BC，FG＝BC，在□ABCD中，M是线段AD的中点，
则AM∥BC，且AM＝BC. 因此FG∥AM且FG＝AM.
所以四边形AFGM为平行四边形．因此GM∥FA.
又FA 平面ABFE，GM 平面ABFE，所以GM∥平面ABFE.
17.(1)证明：∵D，E分别为AP，AC的中点，∴DE∥PC.
∵DE 平面BCP，PC 平面BCP，∴DE∥平面BCP.
(2)解：∵D，E，F，G分别为AP，AC，BC，PB的中点，∴DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF.
∴四边形DEFG为平行四边形．
∵PC⊥AB，∴DE⊥DG，∴四边形DEFG为矩形．
(3)解：存在点Q满足条件，理由如下：
连接DF，EG，设Q为EG的中点，由(2)知DF∩EG＝Q，且QD＝QE＝QF＝QG＝EG.
分别取PC，AB的中点M，N，连接ME，EN，NG，MG，MN，
与(2)同理，可证四边形MENG为矩形，其对角线交点为EG的中点Q，且QM＝QN＝EG，
∴Q为满足条件的点．

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